新高考新教材一轮复习人教B版 第九章 第二节 二项式定理与杨辉三角 学案

1.3.2 杨辉三角学习目标1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用. 基础·初探教材整理1 杨辉三角 杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 .(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 . 预先自测1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________.1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 92.如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……教材整理2 二项式系数的性质1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.3.如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项T n2＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于2n . 预习自测1.已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________.2.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________.3.(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________.合作探究类型1 与“杨辉三角”有关的问题例1如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值.名师指导“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：跟踪训练1.如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________.类型2 求展开式的系数和例2设(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017·x2 017(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值.名师指导1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.跟踪训练2.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.探究共研型探究点二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论.探究3二项式系数何时取得最大值？例3已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.名师指导1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得. 跟踪训练 3.已知(a 2＋1)n展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值. 课堂检测 1.(1＋x )2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋32.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A.64B.32C.63D.313.若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________.4.已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.5.在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中， (1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项.参考答案基础·初探教材整理1 杨辉三角 (1)1 相等(2)和 C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n预先自测1.【答案】 2n －1【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 2.【答案】 34【解析】 设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n， 即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！， 解得n ＝34.教材整理2 二项式系数的性质 1. 1 它“肩上”两个数的和 2. “等距离” 4. 2n 预习自测 1.【答案】 8【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n ＝8.2.【答案】 5【解析】 二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.3.【答案】 1－3102【解析】 因为(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1， 再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10， 两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.合作探究类型1 与“杨辉三角”有关的问题例1 解：S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274. 跟踪训练1.【答案】 46 n 2－n ＋22【解析】 由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46， 第n 行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋22.类型2 求展开式的系数和 例2 解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172.(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 017·(2x )r，∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ). ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017. 跟踪训练2.解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.探究共研型探究点 二项式系数性质的应用探究1 【提示】 对称性，因为C m n ＝C n －mn，也可以从f (r )＝C r n 的图象中得到.探究2 【提示】 C k nC k －1n＝n －k ＋1k .当k <n ＋12时，C k nC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小.探究3 【提示】 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n，12Cn n+ 相等，且同时取得最大值. 例3 解：令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(23x )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(23x )2(3x 2)3＝270223x .(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·23x (5＋2r ).假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405x 263. 跟踪训练3.解：由⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r ·C r 52052rx -， 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ， 由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝± 3.课堂检测 1.【答案】 C【解析】 该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项. 2.【答案】 B【解析】 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729， ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.3.【答案】 5【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5. 4.【答案】 1【解析】 (a －x )5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5a5－r x r ， 令r ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.5.解：T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r 524r x -. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大.则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项. 所以T 5＝C 48·24·2024x-＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x－11.(4)系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25172x-x －172＝－1 792172x -.。

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅L ，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nn n n n n C C C C C -=-+-++-L ，即02130()()n n n n C C C C =++-++L L ， ∴0213n n n n C C C C ++=++L L ，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=L L .例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（Λ=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=， 在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项 解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012nn a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++L ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ②∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，由①+②得：()0122nn n n nS n C C C C =++++L ， ∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅．例8．在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*),各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ. ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C Λ, 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C Λ. ④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ, 令1==y x ,得到110210=++++a a a a Λ…(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a Λ…(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a Λ, ∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a Λ, ∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a Λ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a Λ.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n ,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=，又展开式中二项式系数和为2n ， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r r rr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n Λ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+L 3n=，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81k k =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--L011228(88)8k k k k C C C -=+++L （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除，当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除三、课堂练习：1．)()4511x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为3．若二项式231(3)2n x x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ） A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ）A.0B.pqC.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n n nn n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------L ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 21．已知2(1)n a +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛+ ⎝的展开式的常数项，而2(1)na + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=； ②()95332+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6312+= 六、板书设计（略）七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

1.3.2二项式定理----杨辉三角学习目标：1掌握二项式定理和二项式系数的性质。

2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L二、讲解范例：例1． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012nn a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值 解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++L ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ②∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，由①+②得：()0122nn n n nS n C C C C =++++L ， ∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅．例3．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=， 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r rrr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例4．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n Λ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+L 3n=，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81kk =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--L011228(88)8k k k k C C C -=+++L （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除 三、课堂练习：1．)()4511x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n n nn n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------L ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：1．已知2(1)na +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=； ②()953399632+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82256=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6313652+= 六、板书设计（略） 七、课后记：。

杨辉三角教案凌源中学---于海涛一、教学目标：1、知识目标：掌握杨辉三角形中蕴含的二项式系数基本性质；2、过程与方法：通过探求杨辉三角形的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力，让学生在探索过程体验数学发现成功的喜悦3、情感态度与价值观：了解有关杨辉三角形的简史，掌握杨辉三角形中蕴含的规律，体会我国古代数学成就，提高民族自豪感。

二、教学重点：从杨辉三角形中发现总结二项式系数基本性质；三、教学难点：二项式系数基本性质的应用。

四、教学过程：一）复习回顾：1、二项式定理的内容：1）项数：2）二项式系数3）指数规律：4通项公式：2、预习题：计算（学生通过提前预习，感知二项式系数排布规律为本节课打好基础。

）（ab0=（ab1=（ab2=（ab 3=（ab 4=（ab 5=（ab 6=二、探索新知1、二项式系数的性质： （学生互相讨论，采用观察、归纳、猜想的方法，从横看、斜看两个角度探究杨辉三角形中蕴含的二项式系数的性质。

）2对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即c c m n m n 1-=(3) 增减性与最大值当n 为偶数时，中间一项T n 12+ 的二项式系数 最大。

当n 为奇数时，中间两项 T T n n 12121+++和项的二项式系数 最大。

（4）各二项式系数的和n n n n n n 2C C C C 210=++++奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数和=12-n 三）课堂实练：1递推性:两端都是1，即10==c c nn n 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和即c c c m n m n m n 11+-=+（通过练习使学生应用二项式系数的性质解题，巩固所学。

）1、在(2+x)n(n∈N)的二项展开式中,+若第7、8项二项式系数最大，则n等于()若只有x5的二项式系数最大,则n等于()(A)8.(B)9.(C)10.(D)13.2、已知(3x+x2)2n的二项式系数和为64，求(2x-1)2n展x开式中（1）二项式系数最大是第几项？（2）求常数项。

3．3二项式定理与杨辉三角1．每一行的两端都是____，其余每个数都等于____________________．即____________________.2．每一行中，与首末两端“________〞的两个数相等．即C m n ＝C n －m n .3．如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项____的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项________与________的二项式系数相等且最大．4．二项展开式的二项式系数的和等于________．知识点三杨辉三角的特点1．在同一行中，每行两端都是____，与这两个1等距离的项的系数________．即C m n ＝C n －m n. 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上〞两个数的________，即________________．[根底自测]1．以下判断正确的()A ．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．B ．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．C ．C k n an －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k 项． D ．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．2．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是()A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 4103．(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，那么n 等于________．4．(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，那么n 等于________．题型一二项式定理的正用、逆用例1(1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n n .状元随笔(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．方法归纳1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．跟踪训练1(1)求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n . 题型二二项式系数与项的系数问题例2(1)求二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求⎝⎛⎭⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数． 状元随笔利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．方法归纳1．二项式系数都是组合数C k n (k ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数〞与二项式展开式中“项的系数〞这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280. 跟踪训练2(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．题型三求展开式中的特定项 状元随笔1.如何求⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4展开式中的常数项？ [提示]利用二项展开式的通项C k 4x 4－k ·1x k＝C k 4x 4－2k 求解，令4－2k ＝0，那么k ＝2，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b)(c ＋d)展开式中的每一项为哪一项如何得到的？[提示](a ＋b)(c ＋d)展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？ [提示]⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x·C 33＋1x·C 13(2x)2＝x ＋12x ＝13x.即⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x.例3在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项． 状元随笔写出通项T k ＋1→令k ＝5，x 的指数为零→(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数→考查x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项方法归纳1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)假设⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，那么常数a 的值为________． 题型四求展开式的系数和先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．例4设(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021·x 2021(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2021的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2021|的值．方法归纳1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法〞是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．跟踪训练4假设(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.题型五二项式系数性质的应用状元随笔1.根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示]对称性，因为C m n ＝C n －m n. 2．计算C k n C k －1n，并说明你得到的结论． [提示]C k n C k －1n＝n －k ＋1k . 当k<n ＋12时，C k n C k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当k>n ＋12时，二项式系数逐渐减小． 3．二项式系数何时取得最大值？[提示]当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．例5f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项． 状元随笔求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋〞“－〞号．方法归纳求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练5(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3教材反思3．3二项式定理与杨辉三角新知初探·自主学习知识点一C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N ＋)k ＋1 知识点二1．1它“肩上〞两个数的和C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n2．等距离3．12n T +12n T +112n T ++4．2n知识点三(1)1相等(2)和C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n [根底自测]1．解析：A 错误，因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．B 错误，因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项C k n bn －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．C 错误，因为C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．D 正确，因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C k n .答案：D2．解析：含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.答案：D3．解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n 2＋1＝5，所以n ＝8. 答案：84．解析：二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.答案：5课堂探究·素养提升例1【解析】(1)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝⎛⎭⎫－32x 2＋…＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x－135x 4＋4058x 7－24332x 10. (2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2·(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .跟踪训练1解析：(1)方法一：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n .例2【解析】(1)由得二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 6·26－k ·332k x -，∴T 6＝－12·92x -.∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.(2)T k ＋1＝C k 9x 9－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 9·x 9－2k ， ∴9－2k ＝3，∴k ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.跟踪训练2解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，∴n ＝8.∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1120x 4.例3【解析】通项公式为：T k ＋1＝C k n 3n k x - (－3)k 3k x -＝C k n (－3)k 23n k x -. (1)∵第6项为常数项，∴k ＝5时，有n －2k 3＝0，即n ＝10. (2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈Z .令10－2k 3＝m (m ∈Z )， 那么10－2k ＝3m ，即k ＝5－32m . ∵k ∈Z ，∴m 应为偶数，m ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61236,295245x －2.跟踪训练3解析：(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎫x －a x 26的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据得C 26a ＝60，解得a ＝4.答案：(1)207(2)4例4【解析】(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2021＝(－1)2021＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2021＝32021.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2021)＝－1－32021，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝－1－320212. (3)∵T k ＋1＝C k 2021(－2x )k ＝(－1)k ·C k 2021·(2x )k ，∴a 2m －1＜0(m ∈N ＋)，a 2m ＞0(m ∈N )．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2021|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2021＝32021.跟踪训练4解析：(1)令x ＝0，那么a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，①所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，②由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8128.例5【解析】令x ＝1，那么二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n ，由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(23x )3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(23x )2(3x 2)3＝270223x . 跟踪训练5解析：该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．答案：C。

9.2二项式定理与杨辉三角必备知识预案自诊知识梳理1.二项式定理及相关的概念温馨提示二项式系数C n k(k=0,1,2,…,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念.二项式系数是指C n0,C n1,…,C n n,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是C n k,而该项的系数是C n k a n-k b k.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.2.二项式系数的性质(1)C n0+C n1+C n2+…+C n n=;(2)C n1+C n3+C n5+…=C n0+C n2+C n4+…=.3.杨辉三角具有的性质(1)每一行都是的,且两端的数都是;(2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数.(3)利用二项式系数的对称性可知,二项式系数C n0,C n1,C n2,…,C n n-2,C n n-1,C n n是先逐渐变,再逐渐变的,当n是偶数时,的二项式系数最大,当n是奇数时,的二项式系数相等且最大.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)(a+b)n的展开式中的第k项是C n k a n-k b k.()(2)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.()(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.()(4)通项公式T k+1=C n k a n-k b k中的a和b不能互换.()(5)二项式的展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.()2.(2021年1月8省适应性测试)(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A.60B.80C.84D.1203.若(x+1x )n的展开式的二项式系数之和为64,则(x+1x)n的展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.1204.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为()A.9B.8C.7D.65.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是.关键能力学案突破考点求二项展开式中的特定项(或系数)问题(多考向探究)考向1已知二项式求其特定项(或系数)【例1】(1)(2020天津,11)在(x+2x2)5的展开式中,x2的系数是.(2)(2020云南师大附中高三月考)若(ax-1x)6的展开式中常数项等于-20,则a=()A.1B.-1C.1D.-1解题心得求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项T k+1=C n k a n-k b k,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),再解出k;(3)把k代入通项中,即可求出T k+1,有时还需要先求n,再求k,才能求出T k+1或者其他量.对点训练1(1)(-√x+1x)10的展开式中x2的系数等于()A.45B.-20C.-45D.-90(2)已知x-√x5的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=.考向2已知两个因式之积求其特定项(或系数)【例2】(1)(1+x2)1-1x6的展开式中的常数项为() A.-15 B.16C.15D.-16(2)若(√x+12x )8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为21,则实数a的值为()A.3B.-3C.2D.-2(3)(1-√x)8(1+√x)5的展开式中x2的系数是()A.-5B.10C.-15D.25解题心得求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤(1)根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;(2)根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到;(3)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.对点训练2(1)(1-√x)6(1+√x)4的展开式中x的系数是()A.-4B.-3C.3D.4(2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2的项的系数为0,则正实数a=.考向3已知三项式求其特定项(或系数)【例3】(1)(x2+1x+√2)5的展开式中的常数项为.(2)(x2-x-2)4的展开式中x2的系数是.解题心得求三项展开式中某些特定项(或系数)的方法:(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理求解;(2)两次利用二项式定理的通项求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.对点训练3(1)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)(1+x+√x)4的展开式中x2的系数为.考点二项式系数的性质与各项系数的和(多考向探究)考向1二项式系数的最值问题【例4】已知m为正整数,(x+y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8解题心得二项式系数最大项的确定方法(1)若n是偶数,则中间一项T n2+1的二项式系数最大;(2)若n是奇数,则中间两项T n+12与T n+12+1的二项式系数相等并且最大.对点训练4在(x+ax)n(a>0)的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,且所有项的系数和为256,则含x6的项的系数为.考向2 项的系数的最值问题【例5】已知(√x 3+x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和大992,则在(2x -1x )2n的展开式中,二项式系数最大的项为,系数的绝对值最大的项为 .解题心得二项展开式系数最大项的求法如求(a+bx )n (a ,b ∈R )的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A 1,A 2,…,A n+1,且第k 项系数最大,应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,从而解得k.对点训练5(x +a x )5的展开式中各项系数的和为-1,则该展开式中系数最大的项为 .考向3 求二项展开式中系数的和【例6】若(x-3)3(2x+1)5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,则a 0= ,a 0+a 2+…+a 8= .解题心得求二项展开式系数和的常用方法是赋值法:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b )n ,(ax 2+bx +c )m(a ,b ∈R )的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by )n (a ,b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f (x )=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1),奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=f (1)+f (-1)2,偶数项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=f (1)-f (-1)2. 对点训练6已知(1-2x )7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7.求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.考点二项式定理的应用 (多考向探究)考向1 利用二项式定理近似计算【例7】0.996的计算结果精确到0.001的近似值是 ( ) A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943解题心得由(1+x )n =1+C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n,当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时,x 2,x 3,…,x n 等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计.对点训练71.028≈ (小数点后保留三位小数).考向2 利用二项式定理解决整除或余数问题【例8】设a∈Z且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12解题心得用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)即可.对点训练81-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90k C10k+…+9010C1010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87在解决一些与正整数n有关的组合恒等式或不等式问题时,常利用构造法,通过构造不同的二项式,利用二项式的不同展开方法和二项式定理的相关知识来实现.【例】求证:(C n0)2+(C n1)2+(C n2)2+…+(C n n)2=(2n)!(n!)2.解题指导此题若直接证明相当困难.不难发现,(2n)!n!n!=C2n n,因而可以考虑利用组合的知识或二项式定理来解决.证明(方法1)构造等式(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n,则C2n n是二项式(1+x)2n中x n的系数,于是我们考虑(1+x)n·(1+x)n中x n的系数.若第一个因式取常数项x0,系数为C n0,则第二个因式应取x n,系数为C n n,此时x n的系数为C n0C n n=(C n0)2;若x k取自第一个因式,其系数为C n k,x n-k取自第二个因式,其系数为C n n-k,此时(1+x)n·(1+x)n 的展开式中x n的系数为C n k·C n n-k=(C n k)2.所以(1+x)n·(1+x)n中x n的系数为C n0C n n+C n1C n n-1+…+C n k C n n-k+…+C n n C n0=(C n0)2+(C n1)2+(C n2)2+…+(C n n)2.所以(C n0)2+(C n1)2+(C n2)2+…+(C n n)2=C2n n=(2n)!n!n!=(2n)!(n!)2.(方法2)构造组合模型如下:某班有2n名学生,现从中选出n名学生参加某项活动.显然这样的选法有C2n n种选法.另一方面,将2n名学生分成A,B两组,从A组选出0名学生,从B组选出n名学生,有C n0C n n=(C n0)2种选法,从A组选出1名学生,从B组选出(n-1)名学生,有C n1C n n-1=(C n1)2种选法,……,从A组中选出n名学生,从B组中选出0名学生,有C n n C n0=(C n n)2种选法.由分类加法计数原理得(C n0)2+(C n1)2+(C n2)2+…+(C n n)2=C2n n=(2n)!(n!)2.解题心得上述两种方法都用到了“算两次”的思想,所谓“算两次”的思想,就是对同一个量,用两种不同的方法去计算,所得的结果相同.证明组合恒等式的关键在于构造二项式,利用二项展开式中系数的关系得到相应的恒等式.有时取二项式中的字母为某些特殊值也可得到相应的组合等式,故在解题时要注意合理赋值.对点训练求证:C n0C n1+C n1C n2+…+C n n-1C n n=C2n n-1.。

高考数学总复习杨辉三角与二项式系数的性质教案教学目标：掌握二项式系数的四个性质。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

一，复习1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角）课本32页探究： ，。

2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性： ，。

（2）增减性与最大值: , . .（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令 ，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++三，课堂小练（1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。

（2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。

（3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。

注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。

（4）=++++77372717C C C C 。

三、讲解范例：例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.展示一，课本38页8题展示二，课本35页练习1。

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C nn取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n－与12Cn n＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅－－－＝－，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于()A ．31B ．32C ．15D ．16答案A解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝243，即3n ＝35，所以n ＝5，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝25－1＝31.3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n ＝64，所以n ＝6，则T k ＋1＝C k 6·x6－k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A ．－45B ．－10C ．45D ．65答案C解析由二项式定理得T k ＋1＝C k －k(－x 2)k＝55210(1)C k kk x－－，令5k2－5＝0得k ＝2，所以常数项为(－1)2C 210＝45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k ＝(－a )k C k 5352k x.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A ．56B ．84C ．112D ．168答案D解析在(1＋x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.(2)在(2x ＋a 的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A ．3204B ．－160C ．160D ．－320答案D解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ＝C k 6·2k ·x6－2k ，2xT k ＋1＝C k 6·2k ＋1·x 7－2k，由k ∈N ，得7－2k ≠2，故不成立，aT k ＋1＝a C k 6·2k ·x6－2k，令6－2k ＝2，解得k ＝2，则a C 26·22＝60a ＝－120，解得a ＝－2，∵7－2k ≠0，在－2T k ＋1中，令6－2k ＝0，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为－2C 36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28.(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135答案D解析令x ＝1，得各项系数和为2n ，又二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 不正确；x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ＝C k 6·(－1)k 36－k ·362x ，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135，故C 不正确，D 正确．(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x )10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x k，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a 2＋a 6＋a 8＝C 210＋C 610＋C 810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k ＋1＝C k 6－k·(－2x )k ＝(－2)k C k 6·x2k －6.对于A ，令2k －6＝0，解得k ＝3，∴常数项为(－2)3C 36＝－8×20＝－160，A 正确；对于B ，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0,2,4,6，∴T 1＝x －6，T 3＝4C 26x －2＝60x －2，T 5＝(－2)4C 46x 2＝240x 2，T 7＝(－2)6x 6＝64x 6，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令x ＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D 正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式，下列说法正确的是()A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；在2中，令x ＝1，得(1－3)6＝64，故B 正确；展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝(－3)k C k 6x12－3k (0≤k ≤6，k ∈N )，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为(－3)4C 46＝1215，故C 正确；由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C 26＝135，第5项系数为(－3)4C 46＝1215，第7项系数为(－3)6C 66＝729，则系数最大的项为第5项，故D 不正确．(2)设(2＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．答案1解析令x ＝1有a 0＋a 1＋…＋a 10＝(2＋1)10，令x ＝－1有a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2－1)10，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512023＋a 能被13整除，则a 等于()A ．0B ．1C ．11D ．12答案B解析因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，所以512023＋a ＝(52－1)2023＋a＝C 020********－C 12023522022＋C 22023522021－…＋C 2022202352－C 20232023＋a ，因为512023＋a 能被13整除，所以－C 20232023＋a ＝－1＋a 能被13整除，结合选项，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析由题意可得T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k＝(－1)k C k 5·2k ·x10－3k ，令10－3k ＝4，则k ＝2，所以所求系数为(－1)2C 25·22＝40.2．(多选)若2的展开式中的常数项为1516，则实数a 的值可能为()A ．2 B.12C ．－2D ．－12答案AC 解析2的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝Cx 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46＝1516，即＝116，解得a ＝±2.3．在(x ＋3)的展开式中，常数项为()A ．－152 B.152C ．－52D.52答案A 解析原式＝＋，①而的通项公式为T k ＋1C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×C 36＝－152.4．在的展开式中，x 的指数是整数的项数是()A ．2B ．3C ．4D．5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 24(x )24－＝512624C kkx －，所以当k＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1120x 4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a ＝3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3，则当n ＝2023时，a 除以15所得余数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案A解析∵C 0n 3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3＋C n n 30＝(3＋1)n ＝4n，∴a ＝4n －1，当n ＝2023时，a ＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C 010********＋C 11011151010＋…＋C 1010101115，故此时a 除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是()A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k＝62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－－.对于A 选项，令6－2k3＝0，可得k ＝3，故常数项是第4项，A 错误；对于B 选项，各项的系数和是＝164，B 正确；对于C 选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C 正确；对于D 选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D 正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x )2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．展开式中所有项的二项式系数和为22023B ．展开式中系数最大项为第1350项C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝32023－12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－1答案AD解析易知(1－2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A 正确；由二项式通项，知T k ＋1＝C k 2023(－2x )k ＝(－2)k C k 2023x k ，所以第1350项的系数为(－2)1349C 13492023<0，所以第1350项不是系数最大项，故B 错误；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝－1，①当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝32023，②①－②，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝－1＋320232，故C 错误；当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝12时，a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－a 0＝－1，故D 正确．9．若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案80211解析因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.∴在(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4，设第k ＋1k 8·2k ≥C k －18·2k －1，k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，解得5≤k ≤6.又k ∈N ，∴k ＝5或k ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.11．(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是()A ．120B ．－120C ．60D ．30答案A解析由题意知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第k ＋1项为C k 5(x ＋y )5－k(－2z )k ，令k ＝2，可得第3项为(－2)2C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3x 3－m y m ，令m ＝2，可得第3项为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是(－2)2C 25C 23＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案－431解析因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.13．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n 等于()A ．405B ．810C ．243D ．64答案B解析(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1.令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n .又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810.14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2023＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2023x 2023，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2023等于()A ．－12023B.12023C ．2023D ．－2023答案A 解析令x ＝12，得－2023＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝0.令x ＝0，得b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝－1.由a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，是首项为1S 1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n ，所以S 2023＝－12023.。