安徽省寿县安丰高二数学5月月考试题文(扫描版)新人教A版

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 直线的方程为，当，，时，直线必经过（ ）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限2. 已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）A.B.C.D.3. 已知点，，则线段的中点坐标是（ ）A.B.C.D.4. 设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若，，成等比数列，则（ ）l Ax +By +C =0A >0B <0C >0l ABC −A 1B 1C 1P B 1C 1=AP −→−++12AB −→−AC −→−12AA 1−→−++AB −→−12AC −→−12AA 1−→−+−12AB −→−12AC −→−AA 1−→−++12AB −→−12AC −→−AA 1−→−P(−1,0)Q(2,5)PQ (1,5)(，)1252(，)3252(−，)1252{}a n a 1−1S n n S 1S 2S 4=a 1A.B.C.D.5. 设，，，…，，，则 A.B.C.D.6. 已知菱形的边长为, ，是的中点， ，则 A.B.C.D.7. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为( )A.B.C.D.12−212−12(x)=sin x f 0(x)='(x)f 1f 0(x)='(x)f 2f 1(x)='(x)f n+1f n n ∈N ∗(x)=(f 2019)sin x−sin xcos x−cos xABCD 4∠ABC =60∘E BC =−2DF −→−AF −→−⋅=AE −→−BF −→−()24−7−10−12xOy E :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F (c,0)F 2bx −ay =0c 2–√2E 3–√2122–√22–√38. 若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”．给出下列数列：①，②，③，④，⑤其中是“差递减数列”的有（ ）A.③⑤B.①②④C.③④⑤D.②③二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列导数运算正确的有( )A.B.C.D.10. 已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是，的中点到轴的距离是，是坐标原点，则( )A.抛物线的方程是B.抛物线的准线方程是C.直线的方程是D.的面积是11. 如图所示，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）{}a n n {−}a n+1a n {}a n {}(n ∈)a n N ∗=3n a n =+1a n n 2=a n n −√=−n a n 2n =ln a n n n +1=()1x ′1x 2=(x +1)(x )e x ′e x=2()e 2x ′e 2x=(ln 2x)′2xl C :=−2px (p >0)y 2M N MN 16MN y 6O C =−8xy 2y =2l x −y +2=0△MON 82–√1ABCD −A 1B 1C 1D 1P B A 1A.平面平面B.不是定值C.三棱锥的体积为定值D.12. 已知等比数列的公比为，，，前项和为，前项积为，函数，若，则下列结论正确的为( )A.B.数列为单调递增的等差数列C.使得的的最小值为D.数列为等比数列卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若直线被圆截得弦长为，则的最小值是________．14. 斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”．在自然界中，某些蜗牛壳每一圈的半径尺寸及许多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数都是斐波那契数列中的数．斐波那契数列满足：，，则的结果是斐波那契数列中的第________项．15. 曲线＝在点处的切线方程为________．P ⊥D 1A 1APA 1⋅AP −→−DC 1−→−−PCB 1D 1D ⊥PC 1D 1{}a n q ∈(,1)a 112>0a n n S n n T n f (x)=x (x +)(x +)a 1a 2(x +)(x +)(x +)a 3a 4a 5(0)=1f ′1<q <2–√{ln }a n >1T n n 6{}S n 2ax +by +2=0(a >0,b >0)++2x +4y +1=0x 2y 24+4a 1b{}a n ==1a 1a 2=+a n+2a n+1a n (n ∈)N +1++++a 2a 4a 6+⋯+a 8a 100{}a n y 5x +ln x (1,5)=12216. 已知为双曲线的左焦点，，为双曲线同一支上的两点，若的长度等于虚轴长的倍，且直线过点，则的周长为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 如图，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使，如图．求证：平面；若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．求的通项公式；记为数列的前项和．求证： ．19. 椭圆与椭圆：有共同的焦点，且椭圆的离心率．点，分别为椭圆的左顶点和右焦点，直线过点且交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，.求椭圆的标准方程；是否存在直线，使得，若存在，求出直线方程；不存在，说明理由． 20. 已知数列的前项和为，，且 .证明： 是等比数列，并求的通项公式；在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列满足________，求的前项和 .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．21. 设抛物线的焦点为， 是抛物线上的点．求抛物线的方程；若过点的直线与抛物线交于不同的两点，，且，求直线的方程． 22. 已知：圆与轴交于，两点（为坐标原点），圆经过，两点，且与直线相切．求圆的方程；F −=1x 216y 29M N MN 2MN A(5,0)△MFN 1ABCD AB//CD AB ⊥AD AB =AD =CD =112AD ADEF AD ADEF ED ⊥DC 2(1)BC ⊥BDE (2)ABCDEF 23CD BCE {}a n n ,=14,=8S n S 3a 3(1){}a n (2)T n {}log 2a n n +++⋯+<21T 11T 21T 31T n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2E +=1x 225y 224C e =12M F C l F C P Q MP MQ k 1k 2(1)C (2)l +=−k 1k 214l {}a n n S n =4，n ∈S n+1a n N ∗=4a 1(1){−2}a n+1a n {}a n (2)=−b n a n+1a n =b n log 2a n n =b n a n+2a n+1a n {}b n {}b n n T n C :=2px (p >0)y 2F M (1,2)C (1)C (2)(2,0)l C A B |AF|⋅|BF|=13l :+=5C 1(x +1)2(y −2)2y O A O C 2O A OC 1(1)C 2(2)P (3,4)C A O MO C O若点，点为圆上异于点，的动点，直线与圆交于另一点（不同于点），证明： .(2)P (3,4)M C 1A O MO C 2N O PM =PN参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】各直线方程式之间的转化直线的一般式方程【解析】把直线的方程化为斜截式，根据斜率以及直线在轴上的截距的符号，判断直线在坐标系中的位置．【解答】解：当，，时，直线，即，故直线的斜率，且直线在轴上的截距，故直线经过第一、二、三象限，故选．2.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的加减法【解析】利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用线性表示即可．【解答】解：∵三棱柱，点为线段的中点，y A >0B <0C >0Ax +By +C =0y =−x −A B C B−>0A B y −>0C B A AP −→−,,AB −→−AC −→−AA 1−→−ABC −A 1B 1C 1P B 1C 1++−→−−→−−→−−→−∴,故选.3.【答案】B【考点】中点坐标公式【解析】由线段的中点坐标公式，结合题中数据加以计算，即可得到所求中点坐标．【解答】解：∵点，，∴设中点为，可得，，得中点为故选：4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】略5.【答案】=++AP −→−AB −→−BB 1−→−P B 1−→−=++AB −→−BB 1−→−12B 1C 1−→−−=++(−)AB −→−BB 1−→−12A 1C 1−→−−A 1B 1−→−−=++(−)AB −→−AA 1−→−12AC −→−AB −→−=++12AB −→−12AC −→−AA 1−→−D P(−1,0)Q(2,5)PQ M(m,n)m =(−1+2)=1212n =(0+5)=1252PQ M(，)1252BD【考点】导数的运算【解析】根据题中已知条件先找出函数的规律，便可发现的循环周期为，从而求出的值．【解答】解：，，，，，由上面可以看出，以为周期进行循环，，所以．故选．6.【答案】D【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得，，，所以，.因为在菱形中，，所以 .又因为菱形的边长为，(x)f n (x)f n 4(x)f 2016(x)=sin x f 0(x)='(x)=cos x f 1f 0(x)='(x)=−sin x f 2f 1(x)='(x)=−cos x f 3f 2(x)='(x)=sin x f 4f 3⋯42019÷4=504⋯3(x)=(x)=−cos x f 2019f 3D =AF −→−13AD −→−=BE −→−12BC −→−=AD −→−BC −→−=+AE −→−AB −→−12AD −→−=−=−BF −→−AF −→−AB −→−13AD −→−AB −→−ABCD ∠ABC =60∘∠BAD =120∘ABCD 4=||⋅||cos−→−−→−−→−−→−所以，所以.故选.7.【答案】A【考点】点到直线的距离公式椭圆的离心率【解析】直接由点到直线的距离公式，构造方程，即可解出，即可得出答案.【解答】解：由题意可知，点到直线的距离为：，整理可得，，故离心率.故选.8.【答案】A【考点】数列的应用【解析】⋅=||⋅||cos AB −→−AD −→−AB −→−AD −→−120∘=4×4×(−)=−812⋅=(+)⋅(−)AE −→−BF −→−AB −→−12AD −→−13AD −→−AB −→−=−|−⋅+|AB −→−|216AB −→−AD −→−16AD −→−|2=−16−×(−8)+×16=−121616D =b a 12F 2bx −ay =0=c 2bc 4+b 2a 2−−−−−−−√2–√2=b a 12e ===1−b 2a 2−−−−−−√1−14−−−−−√3–√2A利用“差递减数列”的定义，通过作差为递减数列即可判断得出．【解答】解：①∵，∴数列不为“差递减数列”．同理可得：②④不为“差递减数列”．③∵，∴数列为“差递减数列”．同理可得：⑤为“差递减数列”．故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】简单复合函数的导数导数的乘法与除法法则【解析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案．【解答】解：， ，故错误；， ，故正确；， ，故正确；，，故错误．故选．10.【答案】A,D【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的性质抛物线的标准方程【解析】−a n+1a n −=3(n +1)−3n =3a n+1a n {}a n −=−=a n+1a n n +1−−−−−√n −√1+n +1−−−−−√n−√{}a n A A ==−=−()1x ′()x −1′x −21x 2A B =+x =(x +1)(x )e x ′x ′e x ()e x ′e x B C ==2()e 2x ′(2x)′e 2x e 2x C D ==(ln 2x)′(2x)′12x 1x D BC【解答】解：设，，抛物线的焦点为，由题意可得，，∵的中点到轴的距离是，∴，∴，∴.所以抛物线的方程是，故正确；抛物线的准线方程为，故错误；当直线的斜率不存在时，直线的方程是，此时，，的长为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，直线方程为，联立直线方程与抛物线方程得，即，，解得：.直线的方程是或.故错误；当直线的方程是时，点到直线的距离为；当直线的方程是时，点到直线的距离为，∴的面积是.故正确.故选.11.【答案】A,C,D M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2F −−+p =16x1x2MN y 6−=6+x 1x 22+=−12x 1x 2p =4C =−8x y 2A C x ==2p 2B l l x =−2M(−2,4)N(−2,−4)MN 8l k y =k(x +2){=−8x,y 2y =k(x +2),+(+8)x +4=0k 2x 24k 2k 2+=−=−12x 1x 24+8k 2k 2k =±1l x −y +2=0x +y +2=0C l x −y +2=0O MN d ==22–√2–√l x +y +2=0O MN d ==22–√2–√△MON ⋅|MN|⋅d 12=×16×122–√=82–√D AD【考点】平面与平面垂直的判定两条直线垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，，由正方体的结构特征，得平面，平面，∴平面平面，故正确；，，故，故不正确；，，的面积是定值，平面，∵点是线段上的动点，∴点到平面的距离是定值，∴是定值，故正确；，∵，，，∴平面，而平面，∴，故正确．故选 .12.【答案】A,B,C【考点】数列的求和A ⊥D 1A 1AP A 1⊂D 1A 1P D 1A 1P ⊥D 1A 1AP A 1AB ⋅=(+)⋅AP −→−DC 1−→−AA 1−→−P A 1−→−DC 1−→−=⋅+⋅AA 1−→−DC 1−→−P A 1−→−DC 1−→−=||||cos +||||cos 9AA 1−→−DC 1−→−45∘P A 1−→−DC 1−→−0∘=1××=12–√2–√2⋅=1AP −→−DC 1−→−B C =V −PC B 1D 1V P−C B 1D 1△C B 1D 1B//A 1C B 1D 1P B A 1P C B 1D 1=V −PC B 1D 1V P−C B 1D 1C D D ⊥C 1A 1D 1D ⊥B C 1A 1∩B =A 1D 1A 1A 1D ⊥C 1P A 1D 1P ⊂D 1P A 1D 1D ⊥P C 1D 1D ACD等比数列的性质数列与函数的综合等比数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，设，则 ，，，，又 为等比数列，，即，且 ，则，则，解得，，故正确；，，又，则，，为单调递增的等差数列，公差为，故正确；，∵，，，，当时， ，故，又，，故正确；，.，不为等比数列，故错误.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】基本不等式A g(x)=(x +)(x +)a 1a 2(x +)(x +)(x +)a 3a 4a 5f (x)=xg(x)∴(x)=g(x)+x (x)f ′g ′∵(0)=1f ′∴(0)=g(0)==1f ′a 1a 2a 3a 4a 5∵{}a n ∴==1a 1a 2a 3a 4a 5a 53==1a 3a 1q 2∵∈(,1)a 112>0a n q >0q =1a 1−−−√1<q <2–√A B ln −ln =ln =ln q a n+1a n a n+1a n q >1ln q >0∴ln −ln =ln q >0a n+1a n ∴{ln }a n ln q B C >0a n ∈(,1)a 112q ∈(1,)2–√=1a 3∴n >3>1a n >1a 6=T 5a 1a 2a 3=1a 4a 5∴>1T 6C D ==−S n (1−)a 1q n 1−q a 11−q a 11−q q n ∵≠0a 11−q∴{}S n D ABC 9直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】由已知中圆的方程我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线被圆所截得的弦长为，我们易得到，的关系式，再根据基本不等式中的活用，即可得到答案．【解答】解：圆是以为圆心，以为半径的圆，又∵直线被圆所截得的弦长为，故圆心在直线上，即：，则，当且仅当时取“”，故的最小值为.故答案为：．14.【答案】【考点】归纳推理数列递推式【解析】本题考查归纳推理的知识，就是运用题目给的条件，推理出想要的答案.【解答】解：由斐波那契数列的定义可得，，，则，，，，由归纳推理得到：，则的结果是斐波那契数列的第项.故答案为：.15.【答案】＝++2x −4y +1=0x 2y 2ax −by +2=0(a >0,b >0)++2x −4y +1=0x 2y 24a b 1++2x +4y +1=0x 2y 2(−1,−2)22ax +by +2=0(a >0,b >0)++2x +4y +1=0x 2y 24(−1,−2)2ax +by +2=0a +b =1+=+4a 1b 4(a +b)a a +b b =(4+1)+(+)≥5+4=94b a a b a =,b =1212=+4a 1b 99101==1a 1a 2=+a n+2a n+1a n 1+=+=a 2a 1a 2a 3+=a 3a 4a 5⋯+=a 99a 100a 101∴1+++⋯+=a 2a 4a 100a 1011++++a 2a 4a 6+⋯+a 8a 1001011016x −y −10【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出切点坐标，求出斜率，然后求解切线方程．【解答】将点代入＝成立，为切点．因为＝，所以切线斜率＝．所以切线方程为＝，即＝．16.【答案】【考点】双曲线的定义双曲线的标准方程【解析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解决．求出周长即可．【解答】解：双曲线图象如图：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：.，①，②而，令①②得：，∴周长为：．故答案为：.(1,5)y 4x +ln x 5)y'5+k 5+y −56(x −2)6x −y −17402a −=1x 216y 29F(−5,0)A(5,0)6|MF |−|AM |=2a =8|NF |−|NA |=2a =8|MN |=12+|MF |+|NF |−|MN |=16|MF |+|NF |+|MN |=16+2|MN |=4040四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】证明：矩形中，，又，，、 平面，平面，，在直角梯形中，，，，，即，又，、平面，平面．解：平面，，由知，平面，，平面，，又，，、平面，平面，，多面体的体积为，，，过点作于，连接，由知，平面，平面，，，、 平面，平面，为直线与平面所成角，在中，，即，，在，，故直线与平面所成角的正弦值为．(1)∵ADEF DE ⊥AD ED ⊥DC AD ∩DC =D AD DC ⊂ABCD ∴DE ⊥ABCD ∴DE ⊥BC ABCD ∵AB =AD =CD =112∴BD =2–√BC =2–√∴B +B =C D 2C 2D 2BD ⊥BC DE ∩BD =D DE BD ⊂BDE ∴BC ⊥BDE (2)∵BC ⊥BDE ∴=BC ⋅=××××DE =DEV C−BDE 13S △BDE 132–√122–√13(1)DE ⊥ABCD ∵AF//DE AF ⊥ABCD ∴AF ⊥AB AB ⊥AD AF ∩AD =A AF AD ⊂ADEF ∴AB ⊥ADEF∴=AB ⋅=×1×1×DE =DE V B−ADEF 13S 矩形ADEF 1313∵ABCDEF 23∴=+=DE +DE =DE 23V C−BDE V B−ADEF 131323∴DE =1D DG ⊥BE G CG (1)BC ⊥BDE ∵DG ⊂BDE ∴BC ⊥DG ∵BE ∩BC =B BE BC ⊂BCE ∴DG ⊥BCE ∴∠DCG CD BCE Rt △BDE BD ⋅DE =DG ⋅BE BD ⋅DE =DG ⋅B +D D 2E 2−−−−−−−−−−√∴×1=DG ×2–√+()2–√212−−−−−−−−−√∴DG =6–√3Rt △CDG sin ∠DCG ===DG CD 6√326–√6CD BCE 6–√6【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面所成的角【解析】由，，知平面，有，再利用勾股定理的逆定理证明，然后由线面垂直的判定定理，得证；由可求得，过点作于，连接，结合，证得平面，从而知即为所求，再在中，由，求得的长，然后在中，由，得解．【解答】证明：矩形中，，又，，、 平面，平面，，在直角梯形中，，，，，即，又，、平面，平面．解：平面，，由知，平面，，平面，，又，，、平面，平面，， 多面体的体积为，，，过点作于，连接，由知，平面，平面，，，、 平面，平面，为直线与平面所成角，(1)DE ⊥AD ED ⊥DC DE ⊥ABCD DE ⊥BC BD ⊥BC (2)=+23V C−BDE V B−ADEF DE =1D DG ⊥BE G CG BC ⊥DG DG ⊥BCE ∠DCG Rt △BDE BD ⋅DE =DG ⋅BE DG Rt △CDG sin ∠DCG =DG CD(1)∵ADEF DE ⊥AD ED ⊥DC AD ∩DC =D AD DC ⊂ABCD ∴DE ⊥ABCD ∴DE ⊥BC ABCD ∵AB =AD =CD =112∴BD =2–√BC =2–√∴B +B =C D 2C 2D 2BD ⊥BC DE ∩BD =D DE BD ⊂BDE ∴BC ⊥BDE (2)∵BC ⊥BDE ∴=BC ⋅=××××DE =DE V C−BDE 13S △BDE 132–√122–√13(1)DE ⊥ABCD ∵AF//DE AF ⊥ABCD ∴AF ⊥AB AB ⊥AD AF ∩AD =A AF AD ⊂ADEF ∴AB ⊥ADEF ∴=AB ⋅=×1×1×DE =DE V B−ADEF 13S 矩形ADEF 1313∵ABCDEF 23∴=+=DE +DE =DE 23V C−BDE V B−ADEF 131323∴DE =1D DG ⊥BE G CG (1)BC ⊥BDE ∵DG ⊂BDE ∴BC ⊥DG ∵BE ∩BC =B BE BC ⊂BCE ∴DG ⊥BCE ∴∠DCG CD BCE Rt △BDE BD ⋅DE =DG ⋅BE在中，，即，，在，，故直线与平面所成角的正弦值为．18.【答案】解：由题意得，解得，所以，即的通项公式．证明：，易得数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，，所以．【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n 项和数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，解得，所以，即的通项公式．证明：，易得数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，Rt △BDE BD ⋅DE =DG ⋅BE BD ⋅DE =DG ⋅B +D D 2E 2−−−−−−−−−−√∴×1=DG ×2–√+()2–√212−−−−−−−−−√∴DG =6–√3Rt △CDG sin ∠DCG ===DG CD 6√326–√6CD BCE 6–√6(1){+q +=14,a 1a 1a 1q 2=8,a 1q 2=2,q =2a 1=2×=a n 2n−12n {}a n =a n 2n(2)==n log 2a n log 22n {}log 2a n 11=T n n (n +1)2==2(−)1T n 2n (n +1)1n 1n +1+++⋯+1T 11T 21T 31T n =2(−+−+⋯+−)111212131n 1n +1=2(1−)<21n +1+++⋯+<21T 11T 21T 31T n(1){+q +=14,a 1a 1a 1q 2=8,a 1q 2=2,q =2a 1=2×=a n 2n−12n {}a n =a n 2n (2)==n log 2a n log 22n {}log 2a n 11=T n n (n +1)2==2(−)1T n2n (n +1)1n 1n +1+++⋯+1T 11T 21T 31T n2(−+−+⋯+−)111111，所以．19.【答案】解：由题可知椭圆中，，由离心率可得，又知，所以椭圆的标准方程为．右焦点，右顶点．假设存在直线，满足．若直线斜率不存在时，，不合题意，舍去；设直线的方程为，联立方程 ，化简得由题意易知恒成立，设直线与椭圆的两个交点为，根据韦达定理得则，所以，即直线，化简得，综上可知，存在直线，满足.【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析3=2(−+−+⋯+−)111212131n 1n +1=2(1−)<21n +1+++⋯+<21T 11T 21T 31T n(1)C c =1e ==c a 12a=2=−=3b 2a 2c 2C +=1x 24y 23(2)F (1,0)M (−2,0)l +=−k 1k 214l +=0k 1k 2l y =k (x −1) y =k (x −1)+=1x 24y 23(3+4)−8x +4−12=0k 2x 2k 2k 2Δ>0l C P (,),Q (,)x 1y 1x 2y 2+=,=x 1x 28k 23+4k 2x 1x 24−12k 23+4k 2+=+=+k 1k 2y 1+2x 1y 2+2x 2k (−1)x1+2x 1k (−1)x 2+2x 2=k ⋅2+(+)−4x 1x 2x 1x 2+2(+)+4x 1x 2x1x 2=k ⋅2⋅+−44−12k 23+4k 28k 23+4k 2+2⋅+44−12k 23+4k 28k23+4k 2=k ⋅8−24+8−4(3+4)k 2k 2k 24−12+16+4(3+4)k 2k 2k 2=−=−1k 14k =4l :y =4(x −1)4x −y −4=0l :4x −y −4=0+=−k 1k 214【解答】解：由题可知椭圆中，，由离心率可得，又知，所以椭圆的标准方程为．右焦点，右顶点．假设存在直线，满足．若直线斜率不存在时，，不合题意，舍去；设直线的方程为，联立方程 ，化简得由题意易知恒成立，设直线与椭圆的两个交点为，根据韦达定理得则，所以，即直线，化简得，综上可知，存在直线，满足.20.【答案】解：当时，因为，所以，两式相减得， ，所以 .当时，因为，所以.又，故，于是，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，两边除得， .又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，即 .若选①：，(1)C c =1e ==c a 12a =2=−=3b 2a 2c 2C +=1x 24y 23(2)F (1,0)M (−2,0)l +=−k 1k 214l +=0k 1k 2l y =k (x −1) y =k (x −1)+=1x 24y 23(3+4)−8x +4−12=0k 2x 2k 2k 2Δ>0l C P (,),Q (,)x 1y 1x2y 2+=,=x 1x 28k23+4k 2x 1x 24−12k 23+4k 2+=+=+k 1k 2y 1+2x 1y 2+2x 2k (−1)x 1+2x 1k (−1)x 2+2x 2=k ⋅2+(+)−4x 1x 2x 1x 2+2(+)+4x 1x 2x 1x 2=k ⋅2⋅+−44−12k 23+4k 28k 23+4k 2+2⋅+44−12k 23+4k 28k 23+4k 2=k ⋅8−24+8−4(3+4)k 2k 2k 24−12+16+4(3+4)k 2k 2k 2=−=−1k 14k =4l :y =4(x −1)4x −y −4=0l :4x −y −4=0+=−k 1k 214(1)n ≥2=4Sn+1a n =4S n a n−1=4−4a n+1a n a n−1−2=2(−2)a n+1a n a n a n−1n =1=4S n+1a n =4S 2a 1=4a 1=12a2−2=4a 2a 1{−2}a n+1a n 42−2=a n+1a n 2n+12n+1−=1a n+12n+1a n2n =2a 12{}a n 2n 21=n +1a n 2n =(n +1)⋅a n 2n (2)=−b n a n+1a n即，因为，所以，两式相减得， ..所以 . 若选②：，即 . 所以 .若选③：，即，所以 .【考点】等差数列的通项公式等比数列等差数列数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，因为，所以，两式相减得， ，所以 .当时，因为，所以.又，故，于是，所以是以为首项，为公比的等比数列．=(n +2)⋅−(n +1)⋅=(n +3)⋅b n 2n+12n 2n =4×+5×+6×+⋯+(n +3)×T n 2122232n 2=4×+5×+6×+⋯+(n +3)×T n 2223242n+1−=4×+(++⋯+)−(n +3)×T n 2122232n 2n+1=8+−(n +3)×4×(−1)2n−12−12n+1=−(n +2)×+42n+1=(n +2)×−4T n 2n+1=b n log 2a n n =+=+n b n log 2n +1n log 22n log 2n +1n=(++⋯+)+(1+2+⋯+n)T n log 221log 232log 2n +1n=(××⋯)+log 22132n +1n (1+n)n 2=(n+1)+log 2(1+n)n 2=b n a n+2a n+1a n ==4(−)b n 4−4a n+1a n a n+1a n 1a n 1a n+1=4(−)+4(−)+⋯+4(−)T n 1a 11a 21a 21a 31a n 1a n+1=4(−)1a 11a n+1=4[−]141(n +2)2n+1=1−1(n +2)2n−1(1)n ≥2=4Sn+1a n =4S n a n−1=4−4a n+1a n a n−1−2=2(−2)a n+1a n a n a n−1n =1=4S n+1a n =4S 2a 1=4a1=12a 2−2=4a 2a 1{−2}a n+1a n 42所以，两边除得， . 又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，即 . 若选①：，即，因为，所以，两式相减得， . .所以 .若选②：，即 .所以 .若选③：，即，所以 .21.【答案】解：因为是抛物线上的点，所以，解得，则抛物线的方程为 .设，，当直线斜率不存在时，其方程为，此时，不合题意，故直线斜率存在．设直线方程为，由得，易知， ，.由抛物线的定义知，，则，解得，−2=a n+1a n 2n+12n+1−=1a n+12n+1a n 2n =2a 12{}a n 2n 21=n +1a n 2n =(n +1)⋅a n 2n (2)=−b n a n+1a n =(n +2)⋅−(n +1)⋅=(n +3)⋅b n 2n+12n 2n =4×+5×+6×+⋯+(n +3)×T n 2122232n 2=4×+5×+6×+⋯+(n +3)×T n 2223242n+1−=4×+(++⋯+)−(n +3)×T n 2122232n 2n+1=8+−(n +3)×4×(−1)2n−12−12n+1=−(n +2)×+42n+1=(n +2)×−4T n 2n+1=b n log 2a n n =+=+nb n log 2n +1n log 22n log 2n +1n=(++⋯+)+(1+2+⋯+n)T n log 221log 232log 2n +1n=(××⋯)+log 22132n +1n (1+n)n 2=(n +1)+log 2(1+n)n 2=b n a n+2a n+1a n ==4(−)b n 4−4an+1a na n+1a n 1a n 1a n+1=4(−)+4(−)+⋯+4(−)T n 1a 11a 21a 21a 31a n 1a n+1=4(−)1a 11a n+1=4[−]141(n +2)2n+1=1−1(n +2)2n−1(1)M (1,2)C =2p 22p =2C =4x y 2(2)A (，)x 1y 1B (，)x 2y2l x =2|AF|=|BF|=3l l y =k (x −2){y =k (x −2)，=4x y 2−(4+4)x +4=0k 2x 2k 2k 2Δ>0+=4+x 1x 24k 2=4x 1x 2|AF|=+1x 1|BF|=+1x2|AF|⋅|BF|=(+1)(+1)=+(+)+1x 1x 2x 1x 2x 1x 2=9+=134k 2k =±1所以直线的方程为.【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系【解析】（1）因为是抛物线上的点，所以，解得，则抛物线的方程为 .【解答】解：因为是抛物线上的点，所以，解得，则抛物线的方程为 .设，，当直线斜率不存在时，其方程为，此时，不合题意，故直线斜率存在．设直线方程为，由得，易知， ，.由抛物线的定义知，，则，解得，所以直线的方程为.22.【答案】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为： ．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立l y =±(x −2)M (1,2)C −2p 22p =2C =4x y 2(1)M (1,2)C =2p 22p =2C =4x y 2(2)A (，)x 1y 1B (，)x 2y 2l x =2|AF|=|BF|=3l l y =k (x −2){y =k (x −2)，=4x y 2−(4+4)x +4=0k 2x 2k 2k 2Δ>0+=4+x 1x 24k 2=4x 1x 2|AF|=+1x 1|BF|=+1x 2|AF|⋅|BF|=(+1)(+1)=+(+)+1x 1x 2x 1x 2x 1x 2=9+=134k 2k =±1l y =±(x −2)(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为： ．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN (1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：105 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合， ，则( )A.B.C.D.2. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为 A.和B.和C.和D.和3. 若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是( )A.B.C.D.4. 已知函数且，则（）A.B.A ={x|(x −2)(x +1)≥0}B ={x|−2<x <0}A ∩B =[−1,0)(−2,−1](0,2][−1,2]y =f(x)[−1，1][5，9]y =f(2x +1)()[1，3][11，19][−1，0][2，4][−1，0][5，9][−1，1][11，19]z z(1+i)=−2i i z 1−i1+i−1−i−1+if (x)={−1,x ≥1,3x−1−1−(x +5),x <1，log 3f (m)=−2f (6+m)=−1616C.D.5. 点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（ ）A.秒末B.秒末C.秒末D.，，秒末6. 曲线在点处的切线方程为 A.B.C.D.7. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地”，则该人第天走的路程为（ ）A.里B.里C.里D.里8. 函数的图象是（ ）A.B.2627t s =−+214t 435t 3t 2104014y =−x x 3(1,0)()2x −y =02x +y −2=02x +y +2=02x −y −2=03786496482412f (x)=(1−x)⋅|2−x|⋅(3−x)C. D.9. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )A.B.C.D.10. 曲线在点处的切线方程为（ ）A.B.C.D.11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A.B.C.D.12. 函数的导函数的图象大致是( )f (x)(−∞,0)(x)f ′f (x)+(x)<x 2xf ′f (x +2018)−4f (−2)>0(x +2018)2(−∞,−2016)(−2016,0)(−∞,−2020)(−2020,0)y =xx −2(1,−1)y =x −2y =−3x +2y =2x −3y =−2x +1y =−3ln x x 24−1232112f(x)=+cos x 14x 2A. B. C. D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设复数，，若为纯虚数，则实数________.14. 某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天中恰好仅有天连续的概率为________．15. 设函数，则________.16. 定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使不等式成立的的取值范围是________ .三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）17. （1）若，，化简：（2）若，，试用，表示．=1+i z 1=2+bi z 2⋅z 1z 2b =7332f (x)=+2x −3x 2(1)=f ′R f (x)(−∞,0]f (−2)=0(x −1)[f (x)+f (−x)]<0x a >0b >0−(4a −1)(2)⋅(−6)a 23b 12a 12b 13−3a 16b 563=a log 22=b log 5a b 45log 218. 下表是某小卖部天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温杯数杯将表中的数据制成散点图；试用最小二乘法求出线性回归方程（精确到）；如果某天的气温是，请你预测这天可能会卖出热茶多少杯？参考公式：，，参考数据：，，，． 19. 已知函数，其中.若的图象关于直线对称，求的值；求在区间上的最小值．20. 设函数＝，曲线＝在点（）处的切线与轴平行．Ⅰ求实数；Ⅱ求的单调区间．21. 设，.求曲线在点处的切线方程；求函数的单调区间．6x C /∘261813104−1y/202434385064(1)(2)0.001(3)−C 3∘b =−n ∑i=1n x i y i x ¯¯¯y ¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2a =−b y ¯¯¯x ¯¯¯=70∑i=16x i =230∑i=16y i =1286∑i=16x 2i =1910∑i=16x i y i f (x)=(x −2)(x +a)a ∈R (1)f (x)x =3a (2)f (x)[0,1]f(x)+mx +1x 3y f(x)1,f(1)x ()m ()f(x)f (x)=ln x g(x)=f (x)+(x)f ′(1)y =f (x)(1,f (1))(2)g(x)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用解二次不等式得集合,再利用交集得解.【解答】解：因为或，，所以.故选.2.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数的定义域为，值域为，所以由题可得：，解得.所以函数的定义域为，值域为.A A ={x|(x −2)(x +1)≥0}={x|x ≤−1x ≥2}B ={x|−2<x <0}A ∩B ={x|−2<x ≤−1}B y =f(x)[−1，1][5，9]−1≤2x +1≤1−1≤x ≤0y =f(2x +1)[−1，0][5，9]C3.【答案】D【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，，.故选.4.【答案】C【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】本题考查分段函数求值．【解答】解：若，则，方程无解；若，可得，解得，符合题意．所以．故选．5.【答案】B∵z(1+i)=−2i ∴z ==−2i 1+i −2i(1−i)(1+i)(1−i)==−1−i −2i(1−i)2∴=−1+i z¯¯¯D f (m)=−1=−23m−1=−13m−1f (m)=−1−(m +5)=−2log 3(m +5)=1log 3m =−2f (6+m)=f (4)=−1=2633C变化的快慢与变化率【解析】根据，，，求解导数为，即可解出速度为零的时刻．【解答】解：∵，∴，，，解得，故选：6.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，然后代入直线方程的点斜式得答案.【解答】解： ，，当时，，，曲线在点处的切线方程为： ，即 .故选.7.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析s =−+214t 435t 3t 2S'=−+4t t 395t 2t ≥00s =−+214t 435t 3t 2S'=−+4t t 395t 2t ≥0S'=0t =0B x =1∵y =−x x 3∴=3−1y ′x 2∴x =1y =1−1=0=3−1=2y ′∴y =−x x 3(1,0)y −0=2(x −1)2x −y −2=0D此题暂无解答8.【答案】C【考点】函数的图象【解析】无【解答】解：当时，，,故排除，；当时，，，故排除.故选.9.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，设，，求出导数，分析可得，则函数在区间上为减函数，结合函数的定义域分析可得：原不等式等价于解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：设，，其导数，又由，且，可得，则，则函数在区间上为减函数，所以x <11−x >0，2−x >0，3−x >0∴f(x)>0A B 1<x <21−x <0，2−x >0，3−x >0∴f(x)<0D C g(x)=f (x)x 2x <0(x)≤0g ′g(x)(−∞,0)g(x){x +2018<−2，x +2018<0，x g(x)=f (x)x 2x <0(x)=g ′[f (x)]x 2′=2xf (x)+(x)x 2f ′=x [2f (x)+x (x)]f ′f (x)+(x)<x 2x f ′x <02f (x)+x (x)>≥0f ′x 2(x)≤0g ′g(x)(−∞,0)f (x +2018)−4f (−2)>0(x +2018)2f (x +2018)>f (−2)22，又由函数在区间上为减函数，则有解可得：，即不等式的解集为.故选.10.【答案】D【考点】导数的几何意义【解析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：，∴．，则．故选：11.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，设出斜率为的切线的切点为，由函数在＝时的导数等于求出的值，舍掉定义域外的得答案．【解答】解：由，得，⇒f (x +2018)>f (−2)(x +2018)2(−2)2⇒g(x +2018)>g(−2)g(x)(−∞,0){x +2018<−2，x +2018<0，x <−2020f (x +2018)−4f (−2)>0(x +2018)2(−∞,−2020)C f(x)x =1y'=()'=x x −2−2(x −2)2k =y'=−2|x=1l :y +1=−2(x −1)y =−2x +1D −12(,)x 0y 0x x 02x 0x 0y =−3ln x x 24=x −y ′123x1设斜率为的切线的切点为，则．由，解得：或．∵函数的定义域为，∴．故选.12.【答案】A【考点】简单复合函数的导数函数的图象【解析】求函数的导数，根据函数的性质即可判断函数的图象．【解答】解：∵，∴，为奇函数，关于原点对称，排除，；设，则，得，由图象可知方程有三个根，排除，故正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】−12(,)x 0y 0=−y ′|x=x 012x 03x 0−=−12x 03x 012x 0=−3x 0=2(0,+∞)x 0=2B f(x)=+cos x 14x 2f'(x)=x −sin x 12B D g(x)=f'(x)=x −sin x 12g(x)=0x =sin x 12C A A 2【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由其实部等于且虚部不等于列式求解的值．【解答】解：∵，，∴，又为纯虚数，则解得．故答案为：.14.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】导数的运算【解析】求导，将代入导函数中即可得到答案.【解答】⋅z 1z 200b =1+i z 1=2+bi z 2⋅=(1+i)(2+bi)=(2−b)+(b +2)iz 1z 2⋅z 1z2{2−b =0，2+b ≠0，b =224x =1f (x)=+2x −32解：函数，∴，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】奇偶性与单调性的综合其他不等式的解法【解析】【解答】解：∵是定义在上的偶函数，∴，可化为，即.画出函数的简图如图，∴不等式等价于或即或. 故答案为：. 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）17.【答案】解：（1）∵，，∴．（2）∵，而，则，f (x)=+2x −3x 2(x)=2x +2f ′(1)=2+2=4f ′4(−2,1)∪(2,+∞)f (x)R (x −1)[f (x)+f (−x)]<02(x −1)f (x)<0(x −1)f (x)<0f (x){x >1,f (x)<0{x <1,f (x)>0,x >2−2<x <1(−2,1)∪(2,+∞)a >0b >0−(4a −1)=⋅−(4a −1)(2)⋅(−6)a 23b 12a 12b 13−3a 16b 562×(−6)−3a 16b 56˙=4⋅−(4a −1)=4a −(4a −1)=1a 76b 56a 16b 5645=(5×9)=5+9=5+23log 2log 2log 2log 2log 2log 22=b log 55=log 21b=2a +=12ab +1∴．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】（1）利用分数指数幂的运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则化简求值．【解答】解：（1）∵，，∴．（2）∵，而，则，∴．18.【答案】解：散点图如图.，，45=2a +=log 21b 2ab +1b a >0b >0−(4a −1)=⋅−(4a −1)(2)⋅(−6)a 23b 12a 12b 13−3a 16b562×(−6)−3a 16b 56˙=4⋅−(4a −1)=4a −(4a −1)=1a 76b 56a 16b 5645=(5×9)=5+9=5+23log 2log 2log 2log 2log 2log 22=b log 55=log 21b 45=2a +=log 21b 2ab +1b (1)(2)==x ¯¯¯706353==y ¯¯¯23061153n n∴ ，，∴线性回归方程为：.当气温为时，卖出热茶的杯数估计为：（杯）．【考点】散点图求解线性回归方程【解析】（1）散点图如图（2），∴ ，. 所以线性回归方程为： .（3）当气温为时，卖出热茶的杯数估计为：（杯）．【解答】解：散点图如图.b ==−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯21910−6××35311531286−6××353353≈−1.6477≈−1.648a =−b ×≈57.5571153353y =−1.648x +57.557(3)−C 3∘−1.648×(−3)+57.557=62.501≈63==,==x ¯¯¯706353y ¯¯¯23061153b ==≈−1.648−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯21910−6××35311531286−6××353353a =−b ×≈57.5571153353y =−1.648x+57.557−C 3∘−1.648×(−3)+57.557=62.501≈63(1)，，∴ ，，∴线性回归方程为：.当气温为时，卖出热茶的杯数估计为：（杯）．19.【答案】解：因为函数，所以函数的对称轴为直线，所以，解得.函数的对称轴方程为.①当，即时，因为在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；②当，即时，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；③当，即时，因为在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为(2)==x¯¯¯706353==y ¯¯¯23061153b ==−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯21910−6××35311531286−6××353353≈−1.6477≈−1.648a =−b ×≈57.5571153353y =−1.648x +57.557(3)−C 3∘−1.648×(−3)+57.557=62.501≈63(1)f (x)=(x −2)(x +a)=+(a −2)x −2a x 2f (x)x =2−a 2=32−a 2a =−4(2)f (x)x =2−a 2≤02−a 2a ≥2f (x)(0,1)f (x)[0,1]f (0)=−2a 0<<12−a 20<a <2f (x)(0,)2−a 2(,1)2−a 2f (x)[0,1]f ()=−2−a 2()2+a 22≥12−a 2a ≤0f (x)(0,1)f (x)[0,1]f(1)=−(1+a).二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】（1）求出函数的图象的对称轴，由函数的图象关于直线对称即可求出的值．（2）由题干中可得的图象的对称轴，分为三种情况进行讨论，求出在三种情况下在上的单调性，进而可求出函数的最值．【解答】解：因为函数，所以函数的对称轴为直线，所以，解得.函数的对称轴方程为.①当，即时，因为在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；②当，即时，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；③当，即时，因为在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为20.【答案】（1）∵＝，∴＝，∵曲线＝在点（）处的切线与轴平行，∴＝，即＝；（2）由Ⅰ可知＝，＝，当时，当,，故在，递增，递减．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程f (x)f (x)x =3a f (x)f (x)[0,1](1)f (x)=(x −2)(x +a)=+(a −2)x −2a x 2f (x)x =2−a 2=32−a 2a =−4(2)f (x)x =2−a 2≤02−a 2a ≥2f (x)(0,1)f (x)[0,1]f (0)=−2a 0<<12−a 20<a <2f (x)(0,)2−a 2(,1)2−a 2f (x)[0,1]f ()=−2−a 2()2+a 22≥12−a 2a ≤0f (x)(0,1)f (x)[0,1]f(1)=−(1+a).f(x)+mx +1x 3f'(x)7+m x 2y f(x)1,f(1)x f'(1)33+m 0()f(x)−3x +1x 8f'(x)6(x +1)(x −1)x ∈(−4,1)x ∈(−∞(1,f'(x)>5f(x)(−∞,−1)+∞)1)Ⅰ求出函数的导数，根据切线的意义得到关于的方程，解出即可；Ⅱ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】（1）∵＝，∴＝，∵曲线＝在点（）处的切线与轴平行，∴＝，即＝；（2）由Ⅰ可知＝，＝，当时，当,，故在，递增，递减．21.【答案】解：由可得，的定义域是，，∴， ，∴曲线在点处的切线方程为，即.， .令，则；令，则，又，∴函数的单调减区间是，单调增区间是.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】求导，求出切线的斜率和切点坐标，利用直线方程的点斜式求解即可；利用导函数的正负与单调性的关系求函数的单调区间即可.【解答】解：由可得，的定义域是，，∴， ，∴曲线在点处的切线方程为，即.， .令，则；令，则，又，∴函数的单调减区间是，单调增区间是.()m ()f(x)+mx +1x 3f'(x)7+m x 2y f(x)1,f(1)x f'(1)33+m 0()f(x)−3x +1x 8f'(x)6(x +1)(x −1)x ∈(−4,1)x ∈(−∞(1,f'(x)>5f(x)(−∞,−1)+∞)1)(1)f (x)=ln x f (x)(0,+∞)(x)=f ′1x f (1)=0(1)=1f ′y =f (x)(1,f (1))y −0=1(x −1)y =x −1(2)g(x)=f (x)+(x)=ln x +f ′1x (x)=−=g ′1x 1x 2x −1x 2(x)>0g ′x >1(x)<0g ′x <1x ∈(0,+∞)g(x)(0,1)(1,+∞)(1)(2)(1)f (x)=ln x f (x)(0,+∞)(x)=f ′1x f (1)=0(1)=1f ′y =f (x)(1,f (1))y −0=1(x −1)y =x −1(2)g(x)=f (x)+(x)=ln x +f ′1x (x)=−=g ′1x 1x 2x −1x 2(x)>0g ′x >1(x)<0g ′x <1x ∈(0,+∞)g(x)(0,1)(1,+∞)。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 命题，的否定是( )A.，B.，C.，D.，3. 双曲线的渐近线方程为 A.B.C.D.4. 如图所示的程序框图，若，则运算多少次停止（ ）是________，开始 ．输入Ⅰ ／输出 结束，否A.B. ：A ={x|+2x −3≤0}x 2B ={x|x ≥0}A ∩B ={x|1≤x ≤3}{x|0≤x ≤1}{x|0≤x ≤3}{x|−3≤x ≤1}∀x <0≥e x x 2∃<0x 0<e x 0x 20∃≥0x 0<e x 0x 20∀x <0<e x x 2∀x ≥0<e x x 2−=1x 22y 2()y =±x 2–√2y =±x2–√y =±xy =±2xx =5=3xx −2x200x 23C.D.5. 若实数，满足约束条件 则 的最大值是（ ）A.B.C.D.6. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为，则被污染的数字为( )A.B.C.D. 7.在正方体中，异面直线和所成的角是 A.B.C.D.8. 已知函数，若方程恰有两个实数解，则实数的取值范围是（ ）A.45x y x −1≥0，x −2y ≤0，x +y −4≤0，2x +3y 111059611234ABCD −A 1B 1C 1D 1AD 1C B 1()30∘45∘60∘90∘f(x)=a ln x −(a >0)2a 2x f[f(x)]=x a (0,1)(e,+∞)B.C.D.9. 某公司的班车分别在，，发车，某人在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（ ）A.B.C.D.10. 已知圆，直线过点且倾斜角为，则“ ”是“直线与圆"相切”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件11. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为( )A.B.C.D.12. 已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且＝，＝，＝，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）(e,+∞)(,+∞)e 22(,+∞)e 327:157:458:157:408:201013385878C :+=1(x −1)2y 2l (0,1)θθ=0l C R f(x)(x)f ′x f(x)>(x)f ′y =f(x)−1f(x)<e x (−∞,0)(0,+∞)(−∞,)e 4(,+∞)e 4P −ABC PA PB PC PA 3PB 4PC 5P −ABCA. B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 复数 ，其中为虚数单位， ， 则的值为________.14. 中国诗词大会总决赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加，依据规则，他们都有机会获得冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________.15. 已知直线是圆的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，有下列结论：①②③切线的斜率为或④对任意的实数，直线与圆的位置关系都是相交．其中所有正确结论的序号为________.16. 若函数＝图象在点（）处的切线方程为＝，则的最小值为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数．求这个函数的导数；求这个函数的图像在点处的切线方程．18. 随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区年至年农村居民家庭人均纯收入(单位：千元)的数据如表：年份年份代号人均纯收入求关于的线性回归方程；25π50πz =(a <0)ai 1+2ii |z|=5–√a l :ax +y −4=0(a ∈R)C :+−2x −6y +1=0x 2y 2A (−4,a)C B a =1|AB|=25–√AB 5+35–√45−35–√4m y =mx −m +1C f(x)−2x e x ,f()x 0x 0y kx +b k −b y =x ln x (1)(2)x =e 20152019y 20152016201720182019t 12345y 567810(1)y t (2)(1)利用中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面．证明：；若为中点，则在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．求椭圆的方程；设直线与椭圆交与，两点，点，且，求直线的方程． 21. 已知函数.当时，判断在的单调性；当时，恒成立，求实数的取值范围． 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，得到曲线以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线的极坐标方程为，与曲线，分别交于，两点．求曲线的直角坐标方程和极坐标方程；求||的值．(2)(1)201520192020=b ˆ(−)(−)∑i=1nt i t ¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)t i t ¯2=−a ˆy ¯¯¯b ˆt ¯P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD (1)BD ⊥PC (2)E BC PD F EF//PAB PF PD C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 26–√3C 6(1)C (2)l :y =kx −2C A B P(0,1)|PA |=|PB |l f (x)=−1−a sin x (a ∈R)e x (1)a =1f (x)(0,+∞)(2)x ∈[0,π]f (x)≥0a C +=9x 2y 2C 13C ′x l θ=(ρ≥0)π6C C ′A B (1)C ′(2)AB参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，所以．故选．2.【答案】A【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：∵命题，，∴为：，.故选.3.【答案】A ={x|−3≤x ≤1}A ∩B ={x|0≤x ≤1}B p :∀x <0≥e x x 2¬p ∃<0x 0<e x 0x 20AA【考点】双曲线的渐近线【解析】求出双曲线的，，由双曲线的渐近线方程为，即可得到．【解答】解：由双曲线得，，因为双曲线的渐近线方程为，则所求渐近线方程为．故选．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】【解答】5.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标−=1x 22y 2a b −=1x 2a 2y 2b 2y =±x b a −=1x 22y 2a =2–√b =1−=1x 2a 2y 2b 2y =±x b a y =±x 2–√2A代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得，令，可得，由图可知，当直线过点，直线在轴上的截距最大， 所以的最大值为.故选.6.【答案】B【考点】茎叶图众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】设出被污染的数字为，根据题意写出中位数与极差，列方程求出的值即可．【解答】解：设被污染的数字为，则该组数据的中位数为，极差为，∴，解得，则被污染的数字为．故选.7.【答案】x −1=0，x +y −4=0A （1，3）z =2x +3y y =−x +23z 3y =−x+23z 3A y z 2×1+3×3=11A x x x =+32(30+x)+342x 248−20=28(+32)+28=x 261x =22BD【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：连结，可知，则异面直线和所成的角，即异面直线和所成的角，故此角为.故选.8.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】要使方程恰有两个实数解，只需满足函数与恰有两个交点，从而有两个实数解，令，，求出，只需满足，即可保证函数有两个零点，由此能求出实数的取值范围．【解答】∵函数在内单调递增，∴要使方程恰有两个实数解，只需满足函数与恰有两个交点，∴有两个实数解，令，∵，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值，且当时，，当时，，∴只需满足，即可保证函数有两个零点，由，得．AD 1C//A B 1D 1AD 1C B 1D A 1AD 190∘D f[f(x)]=x y =f(x)y =x a ln x −=x 2a 2x g(x)=a ln x −−x 2a 2x g'(x)=−(x +a)(x −2a)x 2g(x =g(2a))max g(2a)>0g(x)a f(x)=a ln x −(a >0)2a 2x (0,+∞)f[f(x)]=x y =f(x)y =x a ln x −=x 2a 2x g(x)=a ln x −−x 2a 2x g'(x)=+−1=−a x 2a 2x 2(x +a)(x −2a)x 20<x <2a g'(x)>0x >2a g'(x)<0g(x)(0,2a)(2a,+∞)g(x)g(x =g(2a))max x →0g(x)→−∞x →+∞g(x)→−∞g(2a)>0g(x)g(2a)=a ln(2a)−a −2a >0a >e 32,+∞)3∴实数的取值范围是．9.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出小明等车时间不超过分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设某人到达时间为，当在至时，某人等车时间不超过分钟，故.故选.10.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线与圆的位置关系【解析】本题考查充分必要条件的判断，由直线与圆相切利用圆心到直线距离等于半径，即可求解，但要注意设直线的方程时，需考虑斜率是否存在．【解答】解：①当直线的倾斜角时，直线的方程为：，此时圆的圆心到直线的距离为，恰好等于圆的半径．故时，直线与圆相切．②当时，设直线的方程为：，即，由直线与圆相切，可知圆心到的距离，解得，即．综上：当或时，直线与圆相切．又或，a (,+∞)e 3210y y 7:407:45或8:05到8:1510P ==154038B l l θ=90∘l x =0C C(1,0)l 11θ=90∘l θ≠90∘l y =kx +1kx −y +1=0l C(1,0)l d ==r =1|k +1|+1k 2−−−−−√k =0θ=0∘θ=0∘θ=90∘l C θ=⇒θ=0∘0∘θ=90∘θ=0∘θ=⇏θ=90∘0∘但或，∴是直线与圆相切的充分不必要条件．故选．11.【答案】B【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性奇函数【解析】根据条件构造函数令，由求导公式和法则求出，根据条件判断出的符号，得到函数的单调性，再由奇函数的结论：求出的值，将不等式进行转化后，利用的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：令，则.∵，∴，即在上单调递减.∵为奇函数，∴，即，得，则不等式等价于，即，解得，∴不等式的解集为.故选.12.【答案】D【考点】球的表面积和体积球内接多面体θ=0∘θ=⇏θ=90∘0∘θ=0∘l C A g(x)=f(x)e x g'(x)g'(x)g(x)f(0)=0g(0)g(x)g(x)=f(x)e x (x)g ′=(x)−f(x)f ′e xf(x)>(x)f ′(x)<0g ′g(x)R y =f(x)−1f(0)−1=0f(0)=1g(0)=1f(x)<e x <1=g(0)f(x)e x g(x)<g(0)x >0(0,+∞)B棱锥的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解： ，解得 又所以.故答案为：.14.【答案】丙【考点】进行简单的合情推理【解析】假设爸爸的猜测是对的，得到冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，得到甲、乙、丙、丁、戊五位选手都不是冠军，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则爸爸的猜测是错的，而妈妈的猜测是对的，不合题意．−5z ===i +,ai(1−2i)5ai +2a 5a 52a 5|z|==(+(2a 5)2a 5)2−−−−−−−−−−−√5–√a =±5，a <0，a =−5−5解：假设爸爸的猜测是对的，则妈妈和孩子的猜测都是错的，从而得到冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，则爸爸和孩子的猜测都是错的，从而得到甲、乙、丙、丁、戊五位选手都不是冠军，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则爸爸的猜测是错的，而妈妈的猜测是对的，不合题意．综上，冠军是丙．故答案为：丙.15.【答案】①②④【考点】圆的切线方程两点间的距离公式直线的一般式方程直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：化为,则为，半径为，为圆的对称轴，过．将代入得．①对；：，，，则，②对；设斜率为，则：化为，则到的距离,则解得 ，③错；．当，．则其恒过，代入到圆：，在圆内，无论取何值，与圆都相交，④对. 综上，答案为①②④.故答案为：①②④.16.C :+−2xx −6y +1=0x 2y 2(x −1+(y −3=9)2)2C (1,3)R =3∵l C ∴l C(1,3)C(1,3)l a =1∵l x +y −4=0A(−4,1)|AC|==(1+4+(3−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√29−−√|AB|===2A −C 2R 2−−−−−−−−√20−−√5–√AB k AB y =kx +4k +1kx −y +4k +1=0C AB d ==R =3|5k−2|+1k 2−−−−−√k =5±35–√8y =mx −m +1x =1y =1(1,1)C (1−1+(1−3=4<9)2)2∴(1,1)C m y =mx −m +1C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，表示出切线方程，求出＝，根据函数的单调性求出的最小值即可．【解答】由题意切点为：（），＝，故＝，故＝图象在点（）处的切线斜率为：＝，故所求切线方程为＝（，即＝（，则＝，＝-•，则＝，对于函数＝，＝，当时，，当时，，故函数＝在＝处取得极小值，亦即最小值，则的最小值是，三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：，∴，∴..又当时，，所以切点为，∴切线方程为，即．【考点】导数的运算利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】−2−k −b −2x 0k −b ,f()x 0x 0f'(x)−2e x f'()x 0−2f(x)−2x e x ,f()x 0x 0k −2y −2)(x −)+x 0−2x 0y −2)x−+x 0k −2b +x 0k −b −2x0y x −2e x y'(x +1)e x x <−1y'<0x >−1y'>0y x −2e x x −1k −b −2−(1)y =x ln x y =1×ln x +x ⋅=1+ln x ′1x y =ln x +1′(2)k =y =ln e +1=2′|x=e x =e y =e (e,e)y −e =2×(x −e)2x −y −e =0（1）运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可．（2）欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：，∴，∴..又当时，，所以切点为，∴切线方程为，即．18.【答案】由表中数据计算，得，， ，，则，，故关于的回归方程为．由可知，，故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元．当时， ，所以预测年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元．【考点】求解线性回归方程回归分析的初步应用【解析】由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程；在中求得的回归方程中，取求得们得答案．【解答】x =e x =e (1)y =x ln x y =1×ln x +x ⋅=1+ln x ′1x y =ln x +1′(2)k =y =ln e +1=2′|x=e x =e y =e (e,e)y −e =2×(x −e)2x −y −e =0(1)==3t ¯1+2+3+4+55==7.2y ¯¯¯5+6+7+8+105=4+1+0+1+4=10∑i=15(−)t i t ¯2(−)(−)=(−2)×(−2.2)+(−1)×(−1.2)∑i=15t i t ¯y i y¯¯¯+0×(−0.2)+1×0.8+2×2.8=12===1.2b ˆ(−)(−)∑i=15t i t ¯y i y ¯¯¯∑i=15(−)t i t ¯21210=−=7.2−1.2×3=3.6a ˆy ¯¯¯b ˆt ¯y t =1.2t +3.6yˆ(2)(1)=1.2>0b ˆ201520191.2t =6=1.2×6+3.6=10.8yˆ202010.8(1)b ^a ^y t (2)(1)t =6=31+2+3+4+5由表中数据计算，得，， ，，则，，故关于的回归方程为．由可知，，故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元．当时， ，所以预测年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元．19.【答案】证明：连接，∵底面是菱形，∴．∵平面，平面，∴．又∵，、平面，∴平面．又∵平面，∴．解：存在点为中点时，平面，证明：取中点，连接，，，则，又∵ ，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面平面，∴平面．(1)==3t ¯1+2+3+4+55==7.2y ¯¯¯5+6+7+8+105=4+1+0+1+4=10∑i=15(−)t i t ¯2(−)(−)=(−2)×(−2.2)+(−1)×(−1.2)∑i=15t i t ¯y i y¯¯¯+0×(−0.2)+1×0.8+2×2.8=12===1.2b ˆ(−)(−)∑i=15t i t ¯y i y ¯¯¯∑i=15(−)t i t ¯21210=−=7.2−1.2×3=3.6a ˆy ¯¯¯b ˆt ¯y t =1.2t +3.6yˆ(2)(1)=1.2>0b ˆ201520191.2t =6=1.2×6+3.6=10.8yˆ202010.8(1)AC ABCD BD ⊥AC PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA ⊥BD AC ∩PA =A AC PA ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD ⊥PC (2)F PD EF//PAB PA G BG GF EF GF AD =//12BE AD =//12GF BE =//BEFG BG//EF EF ⊂PAB,BG ⊂PAB EF//PAB PF 1此时．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接，∵底面是菱形，∴．∵平面，平面，∴．又∵，、平面，∴平面．又∵平面，∴．解：存在点为中点时，平面，证明：取中点，连接，，，则，又∵ ，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面平面，∴平面．此时．20.【答案】解：由已知，，解得，，所以，=PF PD 12(1)AC ABCD BD ⊥AC PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA ⊥BD AC ∩PA =A AC PA ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD ⊥PC (2)F PD EF//PAB PA G BG GF EF GF AD =//12BE AD =//12GF BE =//BEFG BG//EF EF ⊂PAB,BG ⊂PAB EF//PAB =PF PD 12(1)2a =6=c a 6–√3a =3c =6–√=−=3b 2a 2c 2=122所以椭圆的方程为．由得，，直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得．设，，则，，计算，所以，，中点坐标为，因为，所以，，所以，解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为或．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）根据椭圆的定义首先求得椭圆的短半轴，进而根据离心率求得椭圆的半焦距，根，和的关系求得，则椭圆方程可得．（2）把直线方程与椭圆方程联立消去，根据直线与椭圆的两个交点判断出判别式大于，求得的范围，设，的坐标，则根据韦达定理求得，的表达式，根据直线方程求得的表达式，进而可表示出中点的坐标，根据推断出，可知，求得，则直线方程可求得．【解答】C +=1x 29y 23(2) +=1x 29y 23y =kx −2(1+3)−12kx +3=0k 2x 2Δ=144−12(1+3)>0k 2k 2>k 219A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=x 1x 212k 1+3k 2=x 1x 231+3k 2+=k(+)−4=k ⋅−4y 1y 2x 1x 212k 1+3k 2=−41+3k 2A B E(，−)6k 1+3k 221+3k 2|PA |=|PB |PE ⊥AB ⋅=−1k PE k AB ⋅k =−1−−121+3k 26k1+3k 2k =±1l x −y −2=0x +y +2=0a b c b y 0k A B +x 1x 2x 1x 2+y 1y 2AB |PA |=|PB |PE ⊥AB ⋅=−1k PE k AB k –√解：由已知，，解得，，所以，所以椭圆的方程为．由得，，直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得．设，，则，，计算，所以，，中点坐标为，因为，所以，，所以，解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为或．21.【答案】解：当时，，所以，当时，，，所以，所以在上单调递增．因为，所以，设，，当时，即时，因为，，所以，而，所以，即恒成立．当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，即成立，当时，，(1)2a =6=c a 6–√3a =3c =6–√=−=3b 2a 2c 2C +=1x 29y 23(2) +=1x 29y 23y =kx −2(1+3)−12kx +3=0k 2x 2Δ=144−12(1+3)>0k 2k 2>k 219A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=x 1x 212k 1+3k 2=x 1x 231+3k 2+=k(+)−4=k ⋅−4y 1y 2x 1x 212k 1+3k 2=−41+3k 2A B E(，−)6k 1+3k 221+3k 2|PA |=|PB |PE ⊥AB ⋅=−1k PE k AB ⋅k =−1−−121+3k 26k1+3k 2k =±1l x −y −2=0x +y +2=0(1)a =1f(x)=−1−sinx e x (x)=−cosx f ′e x x ∈(0,+∞)−1>0e x cosx ≤1(x)>0f ′f(x)(0,+∞)(2)f(x)=−1−asinx e x (a ∈R)(x)=−acosx f ′e x h(x)=(x)f ′(x)=+asinx h ′e x a ≤0−a ≥0x ∈[0,π]sinx ≥0−asinx ≥0−1≥0e x −1−asinx ≥0e x f(x)≥00<a ≤1(x)=+asinx ≥0h ′e x (x)f ′[0,π](0)=1−a ≥0f ′(x)≥(0)=0f ′f ′f(x)[0,π]f(x)≥f(0)=0a ≥1(x)=+asinx ≥0h ′e x )=>0ππ所以在上递增，而，，所以存在，有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，而，不成立，综上：实数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的最值【解析】【解答】解：当时，，所以，当时，，，所以，所以在上单调递增．因为，所以，设，，当时，即时，因为，，所以，而，所以，即恒成立．当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，即成立，当时，，所以在上递增，而，，所以存在，有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，而，不成立，综上：实数的取值范围是．22.【答案】(x)f ′[0,π](0)=1−a <0f ′()=>0f ′π2e π2∈[0,π]x 0()=0f ′x 00<x ≤x 0(x)<0f ′f(x)<x ≤πx 0(x)>0f ′f(x)x =x 0f(x)f ()x 0f ()<f(0)=0x 0a (−∞,1](1)a =1f(x)=−1−sinx e x (x)=−cosx f ′e x x ∈(0,+∞)−1>0e x cosx ≤1(x)>0f ′f(x)(0,+∞)(2)f(x)=−1−asinx e x (a ∈R)(x)=−acosx f ′e x h(x)=(x)f ′(x)=+asinx h ′e x a ≤0−a ≥0x ∈[0,π]sinx ≥0−asinx ≥0−1≥0e x −1−asinx ≥0e x f(x)≥00<a ≤1(x)=+asinx ≥0h ′e x (x)f ′[0,π](0)=1−a ≥0f ′(x)≥(0)=0f ′f ′f(x)[0,π]f(x)≥f(0)=0a ≥1(x)=+asinx ≥0h ′e x (x)f ′[0,π](0)=1−a <0f ′()=>0f ′π2e π2∈[0,π]x 0()=0f ′x 00<x ≤x 0(x)<0f ′f(x)<x ≤πx 0(x)>0f ′f(x)x =x 0f(x)f ()x 0f ()<f(0)=0x 0a (−∞,1]1解：将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，得到曲线，即．把代入得，即.设，，曲线的极坐标方程为，则， ，所以．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，得到曲线，即．把代入得，即.设，，曲线的极坐标方程为，则， ，所以．(1)C 13:+=9C ′x 2(3y)2+=1x 29y 2{x =ρcos θ,y =ρsin θ，θ+9θ=9ρ2cos 2ρ2sin 2=ρ29θ+9θcos 2sin 2(2)A(,)ρA π6B(,)ρB π6C :+=9x 2y 2ρ=3=3ρA ==ρB 9+9cos 2π6sin 2π6−−−−−−−−−−−−−−√3–√|AB|=|−|=3−ρA ρB 3–√(1)C 13:+=9C ′x 2(3y)2+=1x 29y 2{x =ρcos θ,y =ρsin θ，θ+9θ=9ρ2cos 2ρ2sin 2=ρ29θ+9θcos 2sin 2(2)A(,)ρA π6B(,)ρB π6C :+=9x 2y 2ρ=3=3ρA ==ρB 9+9cos 2π6sin 2π6−−−−−−−−−−−−−−√3–√|AB|=|−|=3−ρA ρB 3–√。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.已知等比数列{a n}前n项的和S n=3n+a（a为常数），则数列{a2n}的前n项和为( )A.12(9n−1)B.14(9n−1)C.18(9n+a)D.3+a8(9n−1)2. 若(a√x−1x)5展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中x的系数为( )A.−2B.−10C.−16D.−803. 函数f(x)=x 2+cosxx2sinx的部分图象大致为( )A. B. C.{}a n n=+aS n3na{}a2n n (−1)129n(−1)149n(+a)189n(−1)3+a89n(a−)x−√1x51x−2−10−16−80f(x)=+cos xx2sin xx2D.4. 6个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人相邻，且甲不站最左端，则不同的站法共有（ ）A.180种B.144种C.136种D.132种5. 已知log m 4=5，log n 9=8，p =log 0.80.5，则m ，n ，p 的大小关系为（ ）A.p >m >n B.m >n >p C.m >p >n D.p >n >m6. 某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是N =ae −bt ，其中a ，b 都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a 个减少到a2个时所经历的时间为t 1，由a2个减少到a4个时所经历的时间为t 2，则t 1t 2=( )A.2B.1C.ln2D.e7. 已知袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有3个黑球和3个白球，若不放回的依次从中抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第二次抽到白球的概率是( )A.0.3B.0.4C.0.5D.0.68. 若函数f(x)=(x −1)e x −ax （e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(−1e ,0)B.(−∞,0)C.(−1e ,+∞)D.(0,+∞)二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，|a 5|=|a 11|，公差d <0，则下列结论正确的为( )A.a 8=0B.S 7，S 8均为S n 的最大值631801441361324=5log m 9=8log n p =0.5log 0.8m n p p >m >nm >n >pm >p >np >n >m N t N =ae −bt a b a a 2t 1a 2a 4t 2=t 1t 221ln 2e 633210.30.40.50.6f(x)=(x −1)−ax e x e a(−,0)1e (−∞,0)(−,+∞)1e (0,+∞){}a n n S n ||=||a 5a 11d <0=0a 8C.S 16>0D.当d =−2时，{|a n |}的前n 项和为T n ，则T 12=7610. 如果4个学生和3个老师排成一排照相，规定两端不能排老师，那么排法种数是( )A.A 77B.A 35A 44C.A 37A 47D.A 24A 5511. 已知(2x −ax )7 的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）A.a =1B.展开式中二项式系数之和为256C.展开式中系数最大的项为第3项D.展开式中x −5的系数为−1412. 已知函数f(x)=e |x|sinx ，则下列结论正确的是( )A.f(x)是周期为2π的奇函数B.f(x)在(−π4,3π4)上为增函数C.f(x)在(−10π,10π)内有21个极值点D.f(x)≥ax 在[0,π4]上恒成立的充要条件是a ≤1卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=12，a n+1+S n S n+1=0，则S 10=________．14. 已知函数f(x)=x 3−2x +e x −1e x (其中e 是自然对数的底数)．若f(2a −3)+f(a 2−5)<0，则实数a 的取值范围是________．15. 设x 1，x 2，x 3，x 4∈{−1,0,2}，那么满足2≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x |≤4的所有有序数组(x 1,x 2,x 3,x 4)的组数为________. 16. 已知函数f(x)=ln (√1+x 2−x )+1，f(a)=4，则f(−a)=________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数f(x)＝kx −lnx(k ∈R)．>0S 16d =−2{||}a n n T n =76T 1243A 77A 35A 44A 37A 47A 24A 55(2x −)a x71a =12563x −5−14f (x)=sin x e |x|()f (x)2πf(x)(−,)π43π4f (x)(−10π,10π)21f (x)≥ax [0,]π4a ≤1S n {}a n n =a 112+=0a n+1S n S n+1=S 10f(x)=−2x +−x 3e x 1e x e f(2a −3)+f(−5)<0a 2a x 1x 2x 3∈{−1,0,2}x 42≤||+||+||+|x|≤4x 1x 2x 3(,,,)x 1x 2x 3x 4f(x)=ln (−x)+11+x 2−−−−−√f (a)=4f(−a)=f(x)kx −ln x(k ∈R)（2）讨论函数f(x)的零点个数． 18. 已知等式(x 2+2x +2)5=a 1+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10，其中a i (i =0,1,2,…,10)为实常数．求：（1）10∑n=1a n 的值；（2）10∑n=1na n 的值． 19. 有四个编有1、2、3、4的四个不同的盒子，有编有1、2、3、4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里．（结果用数字表示）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法．20. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n 2+a n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =(−1)n+1a 2n+1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ，并证明23≤T n ≤32． 21. 2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议．对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违．某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示．(1)求这100名受访群众年龄的平均数¯x 和方差s 2（同一组数据用该区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄X 服从正态分布N (μ,σ2)，其中μ近似为¯x ，σ2近似为s 2．①求P(33.2<X <46.6)；②从年龄在[45,55),[65,75)的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在[45,55)内的人数为Y ，求变量Y 的分布列和数学期望．参考数据：取√180=13.4，若X ∼N (μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9545． 22. 已知函数f(x)=lnx −ax −12.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若x =1是函数g(x)=xf(x)的极值点，求证：函数g(x)存在唯一的极大值点x 0，且−12<g (x 0)<0．（参考数据：ln2≈0.693）f(x)(+2x +2)5=+(x +1)+(x +1+...+(x x 2a 1a 1a 2)2a 9(i =0,1,2a i 10)∑n=110a n n ∑n=110a n 12341234{}a n n S n 2=+(n ∈)S n a n 2a n N ∗(1){}a n (2)=b n (−1)n+1a 2n+1⋅a n a n+1{}b n n T n ≤≤23T n 32202132425100100(1)100x ¯¯¯s 2(2)X N (μ,)σ2μx ¯¯¯σ2s 2P (33.2<X <46.6)[45,55),[65,75)7733[45,55)Y Y =13.4180−−−√X ∼N (μ,)σ2P (μ−σ<X <μ+σ)=0.6827P (μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9545f (x)=ln x −ax −12(1)f (x)(2)x =1g(x)=xf (x)g(x)x 0−<g()<012x 0ln 2≈0.693参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】等比数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为a n =S n −S n−1=(3n +a)−(3n−1+a)=3n −3n−1=2×3n−1，所以此数列为首项是2，公比为3的等比数列，则{a2n }=49⋅9n ，所以S n =49×9(1−9n )1−9=12(9n −1).故选A.2.【答案】D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】根据所有项的系数之和为 (1+a)5=1，求得a =−2，可得展开式中x 的系数.【解答】解：在(a √x −1x )5的展开式中，令x =1，可得所有项的系数之和为：(a −1)5=1，∴a =2，∴展开式的通项为：T r+1=(−1)r 25−r C r5x 5−3r2，令5−3r =2，解得：r =1，∴展开式中x 的系数为：−24C15=−80.故选D ．3.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断【解析】利用函数的奇偶性和函数值变化趋势求解即可.【解答】解：f(−x)=(−x)2+cos(−x)(−x)2sin(−x)=x 2+cosx−x 2sinx =−f(x)(x ≠kπ,k ∈Z)，∴函数为奇函数，关于(0,0)对称，排除D 选项；∵sinx ≠0，∴x ≠kπ,k ∈Z ，排除C 选项；当x >0且接近0时，函数接近正无穷大，排除B 选项，∴仅有A 图象符合.故选A ．4.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：若甲站在乙、丙的左侧，则不同的站法有A 22C 13A 33=36种；若乙、丙2人中有人站在甲的左侧，则不同的站法有C 12A 22A 44=96种．故总的站法有132种．故选D ．5.【答案】A【考点】对数值大小的比较指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】解∶依题意，m 5=4，故m =415=225；而n 8=9，故n =918=314，则mn =(225×20314×20)120=(2835)120=(256243)120>1，所以m >n ，因为p =log 0.80.5>log 0.80.64=2，而m =225<2，所以p >m >n.6.【答案】B【考点】指数函数的实际应用函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：当t =0时，N =a ，若N =a2，则e −bt =12，所以−bt =ln 12=−ln2，解得t =ln2b ；若N =a4，则e −bt =14，所以−bt =ln 14=−2ln2，解得t =2ln2b ，所以t 1=ln2b ，t 2=2ln2b −ln2b =ln2b ，所以t 1t 2=1.故选B.7.【答案】D【考点】条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：设“第1次抽到黑球的条件下，第2次抽到白球”的概率是P 2.先求出“第一次抽到黑球”的概率为：P 1=12再求“第一次抽到黑球，第二次抽到白球”的概率为P =1×32×5=310根据条件概率公式得P 2=35.故选D.8.【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值【解析】函数有两个极值点就是导函数等于零有两根，转化为两个函数有两个交点问题．分离出a ＝x ⋅e x ，求另一个函数的大致图象有两个交点时a 的取值范围．【解答】解：f′(x)=1⋅e x +(x −1)e x −a =x ⋅e x −a ，由函数f(x)有两个极值点，可得f′(x)=0有两个不相等的实数根，即y =a 与y =x ⋅e x 有两个交点．令g(x)=x ⋅e x ，g′(x)=e x +x ⋅e x =(x +1)⋅e x ，令g′(x)=0，则x =−1，当x <−1时，g′(x)<0，所以g(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，当x >−1时，g′(x)>0，所以g(x)在区间(−1,+∞)上单调递增，g(x)≥g(−1)=−1e ，g(x)的大致图象如下：所以y =a 与g(x)有两个交点的取值范围(−1e ,0)，即函数f(x)有两个极值点时实数a 的取值范围为(−1e ,0)．故选A.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】等差数列的性质等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由d <0，得a 5>a 11.又∵|a 5|=|a 11| ，∴a 5≠a 11．∴a 5=−a 11且a 5>0，∴a 1+4d =−(a 1+10d )，则a 1+7d =0，即a 8=0，故A 正确；∵a 8=0，d <0，∴S 7，S 8均为S n 的 最大值，故B 正确；S 16=162(a 1+a 16)=8(a 8+a 9)=8a 9<0，故C 错误；当d =−2 时， a 1+7d =0，则 a 1=14，∴T 12=a 1+a 2+⋯+a 8−a 9−a 10−a 11−a 12=82(a 1+a 8)−(a 9+a 10+a 11+a 12)=4(14+0)+(2+4+6+8)=56+20=76，故D 正确．故选ABD ．10.【答案】B,D排列、组合及简单计数问题【解析】利用两种不同的方法，即可得到结果.【解答】解：先选2名学生排在两端，剩下的学生和老师有A 24A 55种排法.先排4个学生，老师再站学生中间，则有A 35A 44种.故选BD.11.【答案】A,C【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】对于A 选项，令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和得到(2−a)2=1，求解a =1；对于B 选项，因为二项式系数和为2n ，由于n =7，从而展开式中二项式系数之和为128；对于C 选项，通项公式T r+1=(−1)r 27−r C r7x 7−2r ，从而得到展开式中系数最大的项为第3项；对于D 选项，根据通项公式得出展开式中x −5的系数．【解答】解：A ，令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为(2−a)7，所以(2−a)7=1，则a =1，故A 正确；B ，展开式中二项式系数之和为27=128，故B 错误；C ，展开式的通项为T r+1=(−1)r 27−r C r7x 7−2r ，当r =2时，系数(−1)2×27−2C 27最大，故展开式中系数最大的项为第3项，故C 正确；D ，7−2r =−5，r =6，(−1)6×27−6C 67=14，故D 错误.故选AC ．12.【答案】B,D【考点】函数的周期性利用导数研究函数的单调性必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析解：∵由题意得，函数f(x)的定义域为(−∞,+∞)，定义域关于原点对称，f(−x)=e |−x|sin(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f(x +2π)=e |x+2π|sin(x +2π)=e |x+2π|sinx ≠f(x)，∴f(x)的周期不是2π，故A 选项错误；∵当x ∈(−π4,0)时，f(x)=e −x sinx ，f ′(x)=e −x (−sinx +cosx)>0，当x ∈[0,3π4)时，f(x)=e x sinx ，f ′(x)=e x (sinx +cosx)>0，∴f(x)在区间(−π4,3π4)上为增函数，故B 选项正确；∵当x ∈[0,10π)时，f(x)=e x sinx ，∴f ′(x)=e x (sinx +cosx)=0，∴x =−π4+kπ(k =1,2,3,4,5,6,6,9,10)，∵当x ∈(−10π,0)时，f(x)=e −x sinx ，∴f ′(x)=e −x (−sinx +cosx)=0，∴x =π4+kπ(k =−1,−2,−3,−4,−5,−7,−8,−9,−10)，因此f(x)在(−10π,10π)内最多有20个极值点，故C 选项错误；∵当x =0时，f(x)=0≥0=ax ，∴a ∈R ，当x ∈(0,π4]时，f(x)≥ax ⇔a ≤e x sinxx ，设y =e x sinxx ，∴y ′=e x (xsinx +xcosx −sinx)x 2，令t =xsinx +xcosx −sinx ，t ′=sinx +x(cosx −sinx)>0，∴t >t(0)=0，y ′>0，∵当x →0时，y =e x sinxx →e x (sinx +cosx)1|x=0=1，∴a ≤1，故D 选项正确.故选BD.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】111【考点】数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a n+1+S n S n+1=0，∴S n+1−S n +S n S n+1=0，整理得S n −S n+1=S n S n+1，∴1S n+1−1S n =1，又1S 1=1a 1=2，∴数列{1S n }是以2为首项，1为公差的等差数列，∴1S n =2+(n −1)×1=n +1，∴S =1n +1，当n =10时，S 10=111.故答案为：111.14.【答案】(−4,2)【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f′(x)=3x 2−2+e x +1e x ≥3x 2−2+2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增.又f(−x)=−f(x)，∴函数f(x)在R 上为奇函数，∵f(2a −3)+f(a 2−5)<0，∴f(a 2−5)<−f(2a −3)=f(−2a +3)，∴a 2−5<−2a +3，解得−4<a <2，故实数a 的取值范围是(−4,2).故答案为：(−4,2).15.【答案】45【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：①|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|=2，则这四个数为2，0，0，0或−1，−1，0，0，有C 14+C 24=4+6=10组.②|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|=3，则这四个数为2，−1，0，0或−1，−1，−1，0，有C 14⋅C 13+C 34=12+4=16组.③|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|=4，则这四个数为2，2，0，0或−1，−1，2，0或−1，−1，−1，−1，有C 24+C 24C 12+C 44=6+6×2+1=19组.综上可得，所有有序数组(x 1,x 2,x 3,x 4)的组数为10+16+19=45.故答案为：45．16.【答案】−2【考点】奇函数函数的求值对数的运算性质【解析】无【解答】解：因为f(x)+f(−x)=ln(√1+x2−x)+1+ln(√1+x2+x)+1=ln(√1+x2−x)(√1+x2+x)+2=ln1+2=2，所以f(a)+f(−a)=2，所以f(−a)=2−4=−2.故答案为：−2．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】f(x)的定义域为(0,+∞)，∴f′(x)＝k−，由函数f(x)在（1,f(1)）处的切线与x轴平行，可得f′(1)＝k−1＝0，解得k＝1，此时f(x)＝x−lnx，f′(x)＝1−＝(x>0)，令f′(x)>0，则x>1；令f′(x)<0，则0<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，单调递减区间是(0,1)．函数f(x)的零点个数等价于函数g(x)＝lnx与y＝kx的交点个数，设P(x0,y0)是函数g(x)＝lnx上的一点，由g(x)＝lnx得，g′(x)＝，∴g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为y−lnx0＝(x−x0)，令x＝y＝0，则x0＝e，∴过原点所作的函数g(x)＝lnx的切线方程为y＝x，故当k>时，函数f(x)没有零点；当k＝或k≤0时，函数f(x)有1个零点；当0<k<时，函数f(x)有2个零点．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，解k，然后根据f′(x)与0的大小关系即可得f(x)的单调性；（2）函数f(x)的零点个数等价于函数g(x)＝lnx与y＝kx的交点个数．设P(x0,y0)是函数g(x)＝lnx上的一点，利用导数，求过原点且与g(x)相切于点P的切线方程，再根据k与切线斜率的关系讨论g(x)＝lnx与y＝kx的交点个数，即可得f(x)的零点个数．【解答】f(x)的定义域为(0,+∞)，∴f′(x)＝k−，由函数f(x)在（1,f(1)）处的切线与x轴平行，可得f′(1)＝k−1＝0，解得k＝1，此时f(x)＝x−lnx，f′(x)＝1−＝(x>0)，令f′(x)>0，则x>1；令f′(x)<0，则0<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，单调递减区间是(0,1)．函数f(x)的零点个数等价于函数g(x)＝lnx与y＝kx的交点个数，设P(x0,y0)是函数g(x)＝lnx上的一点，由g(x)＝lnx得，g′(x)＝，∴g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为y−lnx0＝(x−x0)，令x＝y＝0，则x0＝e，∴过原点所作的函数g(x)＝lnx的切线方程为y＝x，故当k>时，函数f(x)没有零点；当k＝或k≤0时，函数f(x)有1个零点；当0<k<时，函数f(x)有2个零点．18.【答案】解：（1）在(x 2+2x+2)5=a1+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a9(x+1)9+a10(x+1)10中，令x=−1，得a1=1．令x=0，得a1+a1+a2+...+a9+a10=25=32．所以10∑n=1a n=a1+a2+...+a10=31．（2）等式(x 2+2x+2)5=a1+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a9(x+1)9+a10(x+1)10两边对x求导，得5(x 2+2x+2)4⋅(2x+2)=a1+2a2(x+1)+...+9a9(x+1)9+10a10(x+1)5．在5(x 2+2x+2)4⋅(2x+2)=a1+2a2(x+1)+...+9a9(x+1)9+10a10(x+1)5中，令x=0，整理，得10∑n=1na n=a1+2a2+...+9a5+10a10=5⋅25=160．【考点】二项式定理的应用简单复合函数的导数二项式系数的性质【解析】（1）通过x=−1求出a1，然后通过x=0求出a1+a1+a2+...+a5+a10，即可求解10∑n=1a n．（2）利用二项式定理展开表达式，通过函数的导数且x=0推出所求表达式的值，【解答】解：（1）在(x 2+2x+2)5=a1+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a9(x+1)9+a10(x+1)10中，令x=−1，得a1=1．令x=0，得a1+a1+a2+...+a9+a10=25=32．所以10∑n=1a n=a1+a2+...+a10=31．（2）等式(x 2+2x+2)5=a1+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a9(x+1)9+a10(x+1)10两边对x求导，得5(x 2+2x+2)4⋅(2x+2)=a1+2a2(x+1)+...+9a9(x+1)9+10a10(x+1)5．在5(x 2+2x+2)4⋅(2x+2)=a1+2a2(x+1)+...+9a9(x+1)9+10a10(x+1)5中，令x=0，整理，得10∑n=1na n=a1+2a2+...+9a5+10a10=5⋅25=160．19.【答案】256种144种84种【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：小球全部放入盒子中有44=256种不同的放法，恰有一个盒子没放球有C 24A 34=144种不同的放法，恰有两个盒子没放球有(C 34+C 24C 22A 22)C 24A 22=84种不同的放法．20.【答案】解：(1)当n =1时，2a 1=2S 1=a21+a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，2a n =2S n −2S n−1=a2n+a n −(a 2n−1+a n−1)，∴a 2n −a n −(a 2n−1+a n−1)=(a 2n −a 2n−1)−(a n +a n−1)=(a n +a n−1)(a n −a n−1−1)=0.∵{a n }是正项数列，∴a n +a n−1>0，∴a n −a n−1=1，∴数列{a n }是以1为首项1为公差的等差数列．∴a n =n ．(2)由(1)可知b n =(−1)n+1a 2n+1a n ⋅a n+1=(−1)n+12n +1n(n +1)=(−1)n+1(n +1)+nn(n +1)=(−1)n+1(1n +1n +1)，因此，T n =(1+12)−(12+13)+⋯+(−1)n+1(1n +1n +1)=1+(−1)n+1n +1．当n 为奇数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1+1n +1单调递减，此时T n =1+1n +1∈(1,32]；当n 为偶数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1−1n +1单调递增，此时T n =1−1n +1∈[23,1)，∴23≤T n ≤32．【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列与不等式的综合【解析】无无【解答】解：(1)当n =1时，2a 1=2S 1=a21+a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，2a n =2S n −2S n−1=a2n+a n −(a 2n−1+a n−1)，∴a 2n −a n −(a 2n−1+a n−1)=(a 2n −a 2n−1)−(a n +a n−1)=(a n +a n−1)(a n −a n−1−1)=0.∵{a n }是正项数列，∴a n +a n−1>0，∴a n −a n−1=1，∴数列{a n }是以1为首项1为公差的等差数列．∴a n =n ．(2)由(1)可知b n =(−1)n+1a 2n+1a n ⋅a n+1=(−1)n+12n +1n(n +1)=(−1)n+1(n +1)+nn(n +1)=(−1)n+1(1n +1n +1)，因此，T n =(1+12)−(12+13)+⋯+(−1)n+1(1n +1n +1)=1+(−1)n+1n +1．当n 为奇数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1+1n +1单调递减，此时T n =1+1n +1∈(1,32]；当n 为偶数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1−1n +1单调递增，此时T n =1−1n +1∈[23,1)，∴23≤T n ≤32．21.【答案】解：(1)¯x =30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60，s 2=(−30)2×0.05+(−20)2×0.1+(−10)2×0.15+102×0.2+202×0.15=180．(2)①由(1)知X ∼N(60,180),所以P(33.2<X <46.6)=P(μ−2σ<X <μ−σ)=0.9545−0.68272=0.1359．②分层抽样抽取的7人中年龄在[45,55)，[65,75)内的分别有3人，4人．所以Y 的可能取值为0，1，2，3.P(Y =0)=C 34C 37=435，P(Y =1)=C 13C 24C 37=1835，P(Y =2)=C 23C 14C 37=1235，P(Y =3)=C 33C 37=135，所以Y 的分布列为Y 0123P 43518351235135故Y 的数学期望EY =1×1835+2×1235+3×135=97 ．频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)¯x =30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60，s 2=(−30)2×0.05+(−20)2×0.1+(−10)2×0.15+102×0.2+202×0.15=180．(2)①由(1)知X ∼N(60,180),所以P(33.2<X <46.6)=P(μ−2σ<X <μ−σ)=0.9545−0.68272=0.1359．②分层抽样抽取的7人中年龄在[45,55)，[65,75)内的分别有3人，4人．所以Y 的可能取值为0，1，2，3.P(Y =0)=C 34C 37=435，P(Y =1)=C 13C 24C 37=1835，P(Y =2)=C 23C 14C 37=1235，P(Y =3)=C 33C 37=135，所以Y 的分布列为Y 0123P 43518351235135故Y 的数学期望EY =1×1835+2×1235+3×135=97 ．22.【答案】(1)解：f ′(x)=1x −a =1−axx ，x >0．当a ≤0时，f ′(x)>0恒成立，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；当a >0时，在区间(0,1a )上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，在区间(1a ,+∞)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减．(2)证明：g(x)=xf(x)=xlnx −ax 2−12x ，则g ′(x)=lnx −2ax +12．因为x =1是函数g(x)=xf(x)的极值点，所以g ′(1)=−2a +12=0，故a =14．此时g ′(x)=lnx −x2+12，设h(x)=g ′(x)=lnx −x2+12，则h ′(x)=1x −12=2−x2x ，则当0<x <2时，h ′(x)>0，g ′(x)为增函数．又g ′(1)=0，g ′(2)=ln2−12>0，g ′(12)=−ln2+14<0，所以当0<x <1时，g ′(x)<0，g(x)为减函数；当1<x <2时，g ′(x)>0，g(x)为增函数．所以当x =1时，g(x)取得极小值，符合题意．由上，当0<x <2时，不存在极大值点．当x >2时，h ′(x)<0，g ′(x)为减函数，且g ′(4)=2ln2−32=4ln2−32<0．而g ′(2)=ln2−12>0，所以存在x 0∈(2,4)，使得g ′(x 0)=0．故当1<x <x 0时，g ′(x)>0，g(x)为增函数；当x >x 0时，g ′(x)<0，g(x)为减函数．所以函数g(x)存在唯一的极大值点x 0．且满足lnx 0−x 02+12=0，即lnx 0=x 02−12．所以g (x 0)=x 0lnx 0−x 204−x 02=x 204−x 0，设y =x 204−x 0．又函数y =x 204−x 0在区间(2,4)上单调递增，所以y <y(4)=0．又x 0为函数g(x)的极大值点，所以g (x 0)>g(4)=4ln4−14×42−12×4=8ln2−6≈−0.456>−12，所以−12<g (x 0)<0.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】无无【解答】(1)解：f ′(x)=1x −a =1−axx ，x >0．当a ≤0时，f ′(x)>0恒成立，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；当a >0时，在区间(0,1a )上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，在区间(1a ,+∞)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减．(2)证明：g(x)=xf(x)=xlnx −ax 2−12x ，则g ′(x)=lnx −2ax +12．因为x =1是函数g(x)=xf(x)的极值点，所以g ′(1)=−2a +12=0，故a =14．此时g ′(x)=lnx −x2+12，设h(x)=g ′(x)=lnx −x2+12，则h ′(x)=1x −12=2−x2x ，则当0<x <2时，h ′(x)>0，g ′(x)为增函数．又g ′(1)=0，g ′(2)=ln2−12>0，g ′(12)=−ln2+14<0，所以当0<x <1时，g ′(x)<0，g(x)为减函数；当1<x <2时，g ′(x)>0，g(x)为增函数．所以当x =1时，g(x)取得极小值，符合题意．由上，当0<x <2时，不存在极大值点．当x >2时，h ′(x)<0，g ′(x)为减函数，且g ′(4)=2ln2−32=4ln2−32<0．而g ′(2)=ln2−12>0，所以存在x 0∈(2,4)，使得g ′(x 0)=0．故当1<x <x 0时，g ′(x)>0，g(x)为增函数；当x >x 0时，g ′(x)<0，g(x)为减函数．所以函数g(x)存在唯一的极大值点x 0．且满足lnx 0−x 02+12=0，即lnx 0=x 02−12．所以g(x0)=x0lnx0−x204−x02=x204−x0，设y=x204−x0．又函数y=x204−x0在区间(2,4)上单调递增，所以y<y(4)=0．又x0为函数g(x)的极大值点，所以g(x0)>g(4)=4ln4−14×42−12×4=8ln2−6≈−0.456>−12，所以−12<g(x0)<0.。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 由，，，，，组成没有重复数字，且，不相邻的六位数的个数是( )A.B.C.D.2. 的展开式中的系数为（ ）A.B.C.D.3. 某班级有名同学，为庆祝中国共产党建党周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有名同学获奖概率为，名同学获奖概率为，名同学获奖概率为，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为（ ）A.B.C.D.4. 随机变量的概率分布列为，，，，其中是常数，则的值为（ ）A.123456133672480600(x +y)(2x −y)5x 3y 2−80−40408040100200.9120.880.70.630.780.760.83ξP (ξ=k)=,k =1c k (k +2)234c P (ξ≤2)233B.C.D.5. 已知随机变量，若，，则实数，的值分别为（ ）A.，B.，C.，D.，6. 已知随机变量的数学期望为，则随机变量的数学期望为( )A.B.C.D.7. 设某种动物由出生算起活到岁的概率为，活到岁的概率为．现有一个岁的这种动物，它能活到岁的概率是（ ）A.B.C.D.8. （1）将个小球随机地投入编号为，，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为，，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（ ）A.B. 34455568ξ∼B (n,p)E (ξ)=4.8D (ξ)=2.88n p 40.6120.480.3240.2X 2Y =2X +12345100.9150.6101535310232750k 12⋯k +1k +11ξ1k +112⋯k +2k +2k +2ξ2E ()<E ()ξ1ξ2D ()<D ()ξ1ξ2E ()<E ()ξ1ξ2D ()>D ()ξ1ξ2E ()>E ()ξξD ()<D ()ξξC. D.9. 若离散型随机变量的分布列为，则的值为( )A.B.C.D.10. 在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附：若，则，）A.B.C.D.11. 设，若，则展开式中系数最大项是 A.B.C.D.12. 安排人完成项不同工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式种数为( )A.E ()>E ()ξ1ξ2D ()<D ()ξ1ξ2E ()>E ()ξ1ξ2D ()>D ()ξ1ξ2X P(x =i)=a(，i =1,2,312)i a 877812131000N (0,1)x ∼N (μ,)σ2P (μ−σ<μ+σ)=0.6826X n P (μ−2σ<μ+2σ)=0.9544X n 239272341477(1+x =+x ++…+)n a 0a 1a 2x 2a n x n+++...+=63a 1a 2a 3a n ()15x 320x 321x 335x 3351160B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. （贵州第一教育联合体月联考）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有________种．14. 设，那么满足的所有有序数组的组数为________. 15. 随机变量，，若，则的值为________，的值为________．16. 若，则________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在 的二项展开式中.只有第四项的二项式系数最大，求该二项展开式中的常数项；若前三项系数成等差数列，求该二项展开式中的所有有理项．18. 的展开式中项的系数为________．19. 已知.求；求；求. 20. 计算：．21.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为~(分贝)，并规定测试值在区间1501802403ξ∼B(2,p)η∼B(4,p)P(ξ≥1)=59E(η)D(η)X ∼B (3,)15E(2X −1)=(+)x −√12x −√4n (1)(2)(1+x)(1−x)6x 5(1−2x =+x ++...+)5a 0a 1a 2x 2a 5x 5(1)++a 1a 3a 5(2)−(++)a 0a 2a 42(++)a 1a 3a 52(3)||+||+⋯||a 0a 1a 5A+2A +3A +...+8A 11223388025db (0,5](5,10]为非常优秀，测试值在区间为优秀，某班名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图如图.现从听力等级为的同学中任意抽取出人，记听力非常优秀的同学人数为，求的分布列与数学期望．在中抽出的人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为，，，，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号，，，（其中，，，为，，，的一个排列），若为两次排序偏离程度的一种描述，＝，求的概率．22. 从批量较大的产品中随机取出件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为，随机变量表示这件产品中的不合格产品的件数.问：这件产品中“恰好有件不合格的概率”和“恰好有件不合格的概率”哪个大？请说明理由；求随机变量的数学期望.(0,5](5,10]50(1)(0,10]4X X (2)(1)41234a 1a 2a 3a 4a 1a 2a 3a 41234Y Y |1−|+|2−|+|3−|+|4−|a 1a 2a 3a 4Y ≤2100.05X 10(1)102P(X =2)3P(X =3)(2)X E(X)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题分步乘法计数原理【解析】根据题意，分步进行分析：①，将、、、四个数全排列，②，四个数排好后，有个空位，在个空位中任选个，安排和，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分步进行分析：①将，，，四个数全排列，有种排法;②四个数排好后，有个空位，在个空位中任选个，安排和，有种情况.则有个符合题意的六位数.故选.2.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力.【解答】解：的展开式的通项公式：令，解得，令，解得，∴的展开式中的系数，224565521322456=24A 4455213=20A 2524×20=480C (2x −y)5==(−1T r+1C r 5(2x)5−r (−y)r 25−r )r C r 5x5−r y r 5−r =2r =35−r =3r =2(x +y)(2x −y)5x 3y 3=××+×(−1×=4022(−1)3C 3523)2C 25C故选．3.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由题意，先计算出获奖人数的均值，再代入概率公式中求解即可.【解答】解：已知获奖人数的均值为，所以从中随机选出一名同学，他获奖的概率.故选.4.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】无【解答】解：，∴．∴．故选．5.【答案】C 20×0.9+12×0.8+8×0.7=33.2P ==0.8333.240D +++c 1×3c 2×4c 3×5c 4×6=(1−+−+−+−)c 213121413151416=×=1c 21715c =3017P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=×(+)301711×312×4=×=301711245568DB【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布的应用【解析】本题考查了二项分布的数学期望和方差，属于基础题，由解方程组，即可求出结果.【解答】解：根据题意，得解得故选6.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：.故选.7.【答案】C【考点】条件概率与独立事件【解析】活到岁的概率是在活到岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题．E( xi)=np ，D( xi)=np(1−p)，{np =4.8，np(1−p)=2.88,{n =12，p =0.4.B.E(Y )=E(2X +1)=2E(X)+1=5D 1510【解答】解：记该动物从出生起活到岁为事件，从出生起活到岁的为事件，而所求的事件为，由题意可得，，由条件概率公式可得故选8.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】解：问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入号盒子中的次数为，求和，依题意，，，同理可得，，，，．故选．【解答】转化为二项分布的期望和方差可得．9.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：，10A 15AB B |A P(A)=0.9P(AB)=0.6P(B |A)===P(AB)P(A)0.60.923C k +1k 1ξ1E()ξ1D()ξ1∼B(k,)ξ11k +1∴E()=k ⋅=ξ11k +1kk +1D()=k ⋅⋅(1−)=ξ11k +11k +1k 2(k +1)2∼B(k +1,)ξ21k +2E()=ξ2k +1k +2D()=ξ2(k +1)2(k +2)2∴E()<E()ξ1ξ2D()<D()ξ1ξ2A ++=1a 2a 4a 8=17，.故选.10.【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】【解答】解：由题意，∴落入阴影部分点的个数的估计值为，故选．11.【答案】B【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】由题意可得 ，，得 ，由此求得 展开式中系数最大的项．【解答】解：∵，∴．∴，∴．∴展开式中系数最大的项是 ，故选．a =178a =87A P(0<X ≤1)=×0.6826=0.3413121000×0.3413≈341C =1a 0++...+=(1+1−1=−1=63a 1a 2a n )n 2n n =6(1+x =+x +…+)n a 0a 1a n x n =1a 0++...+a 1a 2a n =(1+1−1=−1=63)n 2n n =6=20C 36x 3x 3B12.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，将其分成两步进行分析：①分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算即可得到答案.【解答】解：根据题意，分步进行分析：①将项工作分成组，若分成，，的三组，共有种分组方法，若分成，，的三组，共有种分组方法，则将项工作分成组，有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有中情况，则有种不同的分组方法.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】将四个小球分成组，其中两个球分给一个小朋友的分法有（红红），（红白），（红黄），（白黄）四种．若将（红红），（红白），（红黄）分给其中一个小朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，共有种；若将（黄白）分给其中一个小朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，共有种，由分类加法计数原理可得所有分法种数为．14.253113=10C 35C 12C 11A 22122=15C 25C 23C 11A 225310+15=25=6A 3325×6=150B 21(2,1,1)××=18C 13C 13A 22×1=3C 1318+3=21【考点】分类加法计数原理【解析】分类讨论：，则这四个数为或有组；②，则这四个数为或有组；③，则这四个数为或或有组；综上可得，所有有序数组的组数为【解答】此题暂无解答15.【答案】,【考点】两点分布二项分布超几何分布的期望与方差【解析】解：由得,而,得,所以.所以,.【解答】解：由得，而，得，所以，所以，.故答案为：.16.|||+||+||+||=2x 1x 2x 3x 42,0,0,0−1,−1,0,0+=4+6=10C 14C 24||+||+||+||=3x 1x 2x 3x 32,−1,0,0−1,−1,−1.0×+=12+4=16C 14C 13C 34||+||+||+||=4x 1x 2x 3x 4 2.2.0.0−1,−1.2,0−1,−1,−1,−1++=6+6×2+1=19C 24C 24C 12C 44(,,,)x 1x 2x 3x 410+16+19=454389P (ζ≥1)=59P (ζ=0)=49P (ζ=0)=C 02P 0(1−P)2P =13η∼B (4,)13E (η)=4×=1343D (η)=4××=132389P (ξ≥1)=59P (ξ=0)=49P (ξ=0)=C 02P 0(1−P)2P =13η∼B (4,)13E (η)=4×=1343D (η)=4××=132389；4389【考点】两点分布二项分布超几何分布的期望与方差【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知~，则.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：依题意只有第四项的二项式系数最大，故，写出对应二项展开式得，令，解得，所以二项展开式的常数项应为.由知，若前三项系数成等差数列应满足：，化简得，解得，（舍去），，故满足当，，时，为整数.所以共有个有理项.【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】5X B(3,)15E(2X −1)=2E(X)−1=2×3×−1=151515(1)n =6=T r+1C r 6()x 126−r ()12x −14r =C r 6()12rx 12−3r 4=012−3r 4r =4==T 5C 46()124x 01516(2)(1)+=2C 0n C 2n 14C 1n 12(n −8)(n −1)=0n =8n =1=T r+1C r 8x 8−r 2()12r x −r 4=C r 8()12r x 16−3r 4r =0r =4r =816−3r 43本题考查二项展开式，常数项的求法思路：通过二项展开式化简整理.（2）本题考查二项展开式，有理数项思路：利用二项展开式公式计算；【解答】解：依题意只有第四项的二项式系数最大，故，写出对应二项展开式得，令，解得，所以二项展开式的常数项应为.由知，若前三项系数成等差数列应满足：，化简得，解得，（舍去），，故满足当，，时，为整数.所以共有个有理项.18.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】（1）根据题意得到其二项式的展开项以及和的系数，进而求解即可.【解答】解：设展开式的通项为 ，则，则在中项的系数为，项的系数为，那么在的展开式中的系数是.故答案为：.19.【答案】解：令得，，令得，①，(1)n =6=T r+1C r 6()x 126−r ()12x −14r =C r 6()12rx 12−3r 4=012−3r 4r =4==T 5C 46()124x 01516(2)(1)+=2C 0n C 2n 14C 1n 12(n −8)(n −1)=0n =8n =1=T r+1C r 8x 8−r 2()12r x −r 4=C r 8()12r x 16−3r 4r =0r =4r =816−3r 439x 5x 4(1−x)6T r+1=(−1⋅T r+1)r C r 6x r (1−x)6x 5−=−6C 56x 4=15C 46(1+x)(1−x)6x 4(−6)+15=99(1)x =0=1a 0x =1+++++=−1a 0a 1a 2a 3a 4a 5令得，②，①+②得③，将③代入①得;由得，，，∴，;,.【考点】二项式系数的性质【解析】（1）令，可求得；（2）令，可求得二项展开式所有项系数和．再求；（3）令，可得，的值，再与所有项系数和相加，可求得．【解答】解：令得，，令得，①，令得，②，①+②得③，将③代入①得;由得，，，∴，x =−1−+−+−=243a 0a 1a 2a 3a 4a 5+=120a 2a 4++=−122a 1a 3a 5(2)(1)++=−122a 1a 3a 5+=120a 2a 4=1a 0−(++)a 0a 2a 42(++)a 1a 3a 52=(1+120−(−122)2)2=−12121222=−243(3)(1−2x)5=1−10x +40−80+80−32x 2x 3x 4x 5||+||+…||a 0a 1a 5=||+(||+||+||)+(||+||)a 0a 1a 3a 5a 2a 4=1+|−122|+120=243x =0a 0x =1++...+a 1a 2a 5x =−1−+−+−a 0a 1a 2a 3a 4a 5++a 0a 2a 4(1)x =0=1a 0x =1+++++=−1a 0a 1a 2a 3a 4a 5x =−1−+−+−=243a 0a 1a 2a 3a 4a 5+=120a 2a 4++=−122a 1a 3a 5(2)(1)++=−122a 1a 3a 5+=120a 2a 4=1a 0−(++)a 0a 2a 42(++)a 1a 3a 52=(1+120−(−122)2)2=−22;,.20.【答案】！．【考点】排列及排列数公式【解析】要求的值，根据对式子进行化简，不难求出的值．【解答】解：！21.【答案】解：由题知，听力等级为的同学有人，听力等级为的同学有，故的可能值为，，，，，则，，，，；∴的分布列为=−12121222=−243(3)(1−2x)5=1−10x +40−80+80−32x 2x 3x 4x 5||+||+…||a 0a 1a 5=||+(||+||+||)+(||+||)a 0a 1a 3a 5a 2a 4=1+|−122|+120=2439−1+2+3+...+9A 11A 22A 33A 99−=n A n+1n+1A n n A n n +2+3+...+8A 11A 22A 33A 88+2+3+...+8A 11A 22A 33A 88=(−)+(−)+...+(−)A 22A 11A 33A 22A 99A 88=−A 99A 11=9−1(1)(0,5]50×0.016×5=4(5,10]50×0.024×5=6X 01234P(X =0)==C 46C 41015210P(X =1)==C 14C 36C 41080210P(X =2)==C 24C 26C 41090210P(X =3)==C 34C 16C 41024210P(X =4)==C 44C 4101210X X 01234158090241数学期望为＝；序号，，，的排列总数为种，∵＝，当＝时，＝，＝，＝，＝；当＝＝时，，，，的可能取值为：＝，＝，＝，＝；＝，＝，＝，＝；＝，＝，＝，＝；∴的概率为．【考点】概率的应用离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】Ⅰ根据题意得的可能值为，，，，，求出对应的概率，写出的分布列，计算数学期望值；Ⅱ序号，，，的排列总数为，计算对应的种数为＝或＝时共种，求出对应的概率值．【解答】解：由题知，听力等级为的同学有人，听力等级为的同学有，故的可能值为，，，，，则，，，，；∴的分布列为数学期望为＝P 152108021090210242101210E(X)0×+1×+2×+1521080210902103×+4×=1.6242101210(2)a 1a 2a 3a 4=24A 44Y |1−|+|2−|+|3−|+|4−|a 1a 2a 3a 4Y 0a 11a 22a 33a 44Y |1−|+|2−|+|3−|+|4−|a 1a 2a 3a 42a 1a 2a 3a 4a 11a 22a 34a 43a 11a 23a 32a 44a 12a 21a 33a 44Y ≤2P(Y ≤2)==42416()X 01234X ()a 1a 2a 3a 4A 44Y ≤2Y 0Y 24(1)(0,5]50×0.016×5=4(5,10]50×0.024×5=6X 01234P(X =0)==C 46C 41015210P(X =1)==C 14C 36C 41080210P(X =2)==C 24C 26C 41090210P(X =3)==C 34C 16C 41024210P(X =4)==C 44C 4101210X X 01234P 152108021090210242101210E(X)0×+1×+2×+1521080210902103×+4×=1.6241；序号，，，的排列总数为种，∵＝，当＝时，＝，＝，＝，＝；当＝＝时，，，，的可能取值为：＝，＝，＝，＝；＝，＝，＝，＝；＝，＝，＝，＝；∴的概率为．22.【答案】解:由于批量较大，可以认为随机变量，恰好有件不合格的概率，恰好有件不合格的概率，∵，∴，即恰好有件不合格的概率大.∵，，，，,.随机变量的概率分布为：故.答：随机变量的数学期望为.【考点】概率的应用离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】3×+4×=1.6242101210(2)a 1a 2a 3a 4=24A 44Y |1−|+|2−|+|3−|+|4−|a 1a 2a 3a 4Y 0a 11a 22a 33a 44Y |1−|+|2−|+|3−|+|4−|a 1a 2a 3a 42a 1a 2a 3a 4a 11a 22a 34a 43a 11a 23a 32a 44a 12a 21a 33a 44Y ≤2P(Y ≤2)==42416(1)X ∼B(10，0.05)2P(X =2)=××C 2100.0520.9583P(X =3)=××C 3100.0530.957==>1P(X =2)P(X =3)××C 2100.0520.958××C 3100.0530.957578P(X =2)>P(x =3)2(2)P(X =k)==(1−p P k C k 10p k )10−k k =012⋯10X X 012⋯10P k (1−p C 010P 0)10(1−p C 110P 1)9(1−p C 210P 2)8⋯(1−p C 1010P 10)0E(X)=k =0.5∑k=010p k X E(X)0.5此题暂无解析【解答】解:由于批量较大，可以认为随机变量，恰好有件不合格的概率，恰好有件不合格的概率，∵，∴，即恰好有件不合格的概率大.∵，，，，,.随机变量的概率分布为：故.答：随机变量的数学期望为.X ∼B(10，0.05)(1)2P(X =2)=××C 2100.0520.9583P(X =3)=××C 3100.0530.957==>1P(X =2)P(X =3)××C 2100.0520.958××C 3100.0530.957578P(X =2)>P(x =3)2(2)P(X =k)==(1−p P k C k 10p k )10−k k =012⋯10X X 012⋯10P k (1−p C 010P 0)10(1−p C 110P 1)9(1−p C 210P 2)8⋯(1−p C 1010P 10)0E(X)=k =0.5∑k=010pk X E(X)0.5。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 函数的最小正周期是( )A.B.C.D.3. 执行如图所示的程序框图，表示不超过的最大整数，若输出的的值为，则图中判断框内应该填入( )U ={−1,0,1}A ={x |x =,m ∈U}m 2A =∁U {0,1}{−1,0,1}∅{−1}y =3sin(x +)12π42ππ24ππ4[x]x S 7A.？B.C.？D.4. 若，满足约束条件则的最大值为( )A.B.C.D.5. 从某个角度观察篮球（如图），可以得到一个对称的平面图形，如图所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为( )A.B.i >4i >6i >8i >10x y 3x +y −6≤0,x +y ≥2,y ≤2,y −3x −1−32−3412O O O AB =BC =CD 2–√3–√3–√C.D.6. 投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A.B.C.D.7. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于平面，则与平行C.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面D.若，不平行，则在内不存在与平行的直线8. 已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线交于，两点，的中点为，且，则（ ）A.B.C.D.9. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )A.B.C.D.10. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是，，，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面35–√547–√7320.50.6480.6250.3750.5a b αβαβαβa b αa b a b a b αβαβC :=2px (p >0)y 2F F 45∘l C A B AB D D (,2)x D p =121252f (x)R x >0f (x)=x +log 24x f (−)=121−12−23458积是（ ）A.B.C.D.都不对11. 设，，， 则有 A.B.C.D.12. 已知锐角三角形的三边长分别为，，，则的取值范围( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 若复数满足 （其中为虚数单位），则的模为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 14. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，年该市共享单车用户年龄等级分布如图所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（岁岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将使用的次数为次或次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为次或不足次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．25π50π125π=0.8y 1log 0.7=0.9y 2log 1.1=y 3 1.10.9()>>y 3y 1y 2>>y 2y 1y 3>>y 1y 2y 3>>y 1y 3y 213a a (8,10)(2,)2–√10−−√(2,10)2–√(,8)10−−√z z ⋅i =1+i i z 20161220∼391940665556(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据题目中的数据，补全下列列联表：请根据中的列联表独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？(参考数据：其中，， 15. 已知正项数列是等比数列，且，，成等差数列．求的通项公式；求数列的前项和. 16. 如图，菱形的边长为，对角线交于点， ，将沿折起得到三棱锥 .求证：平面平面；若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.椭圆过点，离心率；在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.18. 已知函数.讨论的单调性；若有两个零点，求的范围．19. 在直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)2002×2(2)(1)=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d){}a n =a 1121a 2+21a 31a 4(1){}a n (2){n }a n n S n ABCD 4E ∠ABC =2π3△ADC AC D −ABC (1)DBE ⊥ABC (2)CD ABC 3–√4D −BC −E (1)(3,0)e =6–√3(2)x 4f (x)=(x −1)+a e x 12x 2(1)f (x)(2)f (x)a xOy l x =1+t,2–√2y =2−t,2–√2t O x C ρ=4cos θ(1)l C写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；求直线被曲线截得的弦长．(1)l C (2)l C参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】补集及其运算【解析】本题考查集合的概念与运算.【解答】解：∵，∴．故选．2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由三角函数的周期公式：，故选.3.【答案】B A ={x |x ＝,m ∈U}m 2={0,1}A =∁U {−1}D T ===4π2πω2π12C【考点】循环结构的应用程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：因为时输出，此时，结合选项.故选．4.【答案】D【考点】求解非线性目标函数的最值-有关斜率简单线性规划【解析】作出不等式组所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可.【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：目标函数代表可行域内点与连线的斜率，设为，由图可知，当直线经过时斜率取得最大值，由题可得解得所以，S =[]+[]+[]+[]+[]=70–√2–√4–√6–√8–√i =8B y −3x P(0,3)k A {3x +y −6=0，y =2，{x =，43y =2，A(,2)43(,2)4=y −3=−2−33将代入可得.故选.5.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到、的关系即可求解．【解答】解：设双曲线的方程为，则，因为，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，所以点在双曲线上，代入双曲线方程得，解得，所以双曲线的离心率为.故选．6.【答案】D【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，求得投中次的概率、投中次的概率，相加，即得所求．【解答】解：该同学通过测试的概率为，故选：．A(,2)43k =y −3x ==−k max 2−34334D a b −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2OC =a AB =BC =CD CD =2OC OD =3OC =3a O O (a,a)32–√32–√−=1929a 22b 2=b 2a 297e ====c a 1+b 2a 2−−−−−−√1+97−−−−−√47–√7D 23⋅⋅0.5+⋅=C 230.52C 330.5312D7.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】若垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除；若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除；若不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除，故选．【解答】解：，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除；，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除；，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除．故选．8.【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】无【解答】解：由得，所以直线的方程为．联立方程组整理得．设，，则，所以，所以．故选．9.A α,βαβA B a b αa b B D ααβD C A αβαβA B a b αa b B D αβαβD C =2px (p >0)y 2F (,0)p 2l y =x −p 2{y =x −,p 2=2px,y 2−2py −=0y 2p 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=2p y 1y 2==p y D +y 1y 22p =2C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】先利用奇函数的性质判断当时的函数方程，然后代入数值求解.【解答】解：∵是定义在上的奇函数，当时，，∴，∴.故选.10.【答案】B【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是，，，且它的个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：．故选．11.x <0f (x)R x >0f (x)=x +log 24xf (−x)=−f (x)=−x −log 24x f (−)=−f ()1212=−−=−−=1−2=−1log 212412log 22−1()2212B 3458=5++324252−−−−−−−−−−√2–√52–√24π(=50π52–√2)2B【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，可得．故选．12.【答案】B【考点】余弦定理【解析】由已知中三边长分别为、、，根据余弦定理的推论得到为锐角三角形时，由两边长和求出的范围，但与边均有可能为最大边，分类讨论即可求解．【解答】解：∵三边长分别为、、，又∵为锐角三角形，当为最大边时，设所对的角为，则根据余弦定理得：，∵，∴，解得；当为最大边时，设所对的角为，则根据余弦定理得：，∴，解得：，综上，实数的取值范围为．故选.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.=0.8∈(0,1)y 1log 0.7=0.9<0y 2log 1.1=>1y 3 1.10.9>>y 3y 1y 2A △ABC 13a △ABC 13a 3a △ABC 13a △ABC 33≥a 3αcos α=>0+1−a 2322aa >0−8>0a 23≥a >22–√a a >3a βcos β=>01+9−a 2610−>0a 23<a <10−−√a (2,)2–√10−−√B【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】（1）.本题考查对于复数以及模的计算.【解答】解：已知，则，根据.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：如表即为补全的列联表.年轻人 非年轻人合计经常使用共享单车用户不常使用共享单车用户合计由可知，，，， ，∴，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：如表即为补全的列联表.年轻人 非年轻人合计经常使用共享单车用户2–√z ⋅i =1+i z ===1−i 1+i i i(1+i)−1|z|==+12(−1)2−−−−−−−−−√2–√2–√(1)2×21002012060208016040200(2)(1)a =100b =20c =60d =20=≈2.083>2.072K 2200×(100×20−60×20)2120×80×160×4085%(1)2×210020120不常使用共享单车用户合计由可知，，，， ，∴，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．15.【答案】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 . 的通项公式为 . ， , ，两式相减得 ， . 【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质数列的求和【解析】（1）设数列的公比为．由且成等差数列，得60208016040200(2)(1)a =100b =20c =60d =20=≈2.083>2.072K 2200×(100×20−60×20)2120×80×160×4085%(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q 12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n +n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12n n()12n+1=−[1−]12()12n 1−12n()12n+1=1−−()12n n()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n{}a n q =a 112,+2,1a 21a n 1a 4，整理得，解得 .的通项公式为 .【解答】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 .的通项公式为 .，,，两式相减得，.16.【答案】证明：因为折叠前，所以，，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面，解：由知，平面平面，过点作 ，则平面，所以为与平面所成角.+1q 12=2+2112q 3 112q 22−+2q −1=0,(2q −1)(+1)=0q 3q 2q 2q =12{}a n =a n ()12n (1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n+n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12nn()12n+1=−[1−]12()12n1−12n()12n+1=1−−()12n n()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n(1)BD ⊥AC AC ⊥BE AC ⊥DE DE ∩BE =E AC ⊥BDE AC ⊂ABC DBE ⊥ABC (2)(1)DBE ⊥ABC D DO ⊥BE DO ⊥ABC ∠OCD CD ABC所以，所以 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的法向量为，则则，因为平面的法向量为，所以，即二面角的余弦值为.【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角【解析】【解答】证明：因为折叠前，所以，，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面，解：由知，平面平面，过点作 ，则平面，所以为与平面所成角.OD =3–√BO =OE =1B (1,0,0)D (0,0,)3–√C (−1,2,0)3–√E (−1,0,0)=(1,−2,)CD −→−3–√3–√=(−2,2,0)BC −→−3–√BCD =(x,y,z)n 1−→{−2x +2y =0，3–√x −2y +z =0，3–√3–√=(,1,1)n 1−→3–√BCE =(0,0,1)n 2−→cos θ==⋅n 1−→n 2−→⋅∣∣n 1−→∣∣∣∣n 2−→∣∣5–√5D −BC −E 5–√5(1)BD ⊥AC AC ⊥BE AC ⊥DE DE ∩BE =E AC ⊥BDE AC ⊂ABC DBE ⊥ABC (2)(1)DBE ⊥ABC D DO ⊥BE DO ⊥ABC ∠OCD CD ABC所以，所以 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的法向量为，则则，因为平面的法向量为，所以，即二面角的余弦值为.17.【答案】解：若焦点在轴上，则，∵，∴，∴．∴椭圆的方程为；若焦点在轴上，则，∵，，，，，∴椭圆方程为，∴所求椭圆的方程为或．设椭圆方程为．如图所示，为等腰直角三角形，OD =3–√BO =OE =1B (1,0,0)D (0,0,)3–√C (−1,2,0)3–√E (−1,0,0)=(1,−2,)CD −→−3–√3–√=(−2,2,0)BC −→−3–√BCD =(x,y,z)n 1−→{−2x +2y =0，3–√x −2y +z =0，3–√3–√=(,1,1)n 1−→3–√BCE =(0,0,1)n 2−→cos θ==⋅n 1−→n 2−→⋅∣∣n 1−→∣∣∣∣n 2−→∣∣5–√5D −BC −E 5–√5(1)x a =3e =6–√3c =6–√=−=9−6=3b 2a 2c 2+=1x 29y 23y b =3e ==c a 6–√3=c 2a 223=−a 2b 2a 223=b 2a 213∴=27a 2+=1y 227x 29+=1x 29y 23+=1y 227x 29(2)+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2△F A 1A 2为斜边的中线（高），且，，∴，∴，故所求椭圆的方程为．【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】无无【解答】解：若焦点在轴上，则，∵，∴，∴．∴椭圆的方程为；若焦点在轴上，则，∵，，，，，∴椭圆方程为，∴所求椭圆的方程为或．设椭圆方程为．如图所示，为等腰直角三角形，OF A 1A 2|OF|=c ||=2b A 1A 2c =b =2=+=8a 2b 2c 2+=1x 28y 24(1)x a =3e =6–√3c =6–√=−=9−6=3b 2a 2c 2+=1x 29y 23y b =3e ==c a 6–√3=c 2a 223=−a 2b 2a 223=b 2a 213∴=27a 2+=1y 227x 29+=1x 29y 23+=1y 227x 29(2)+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2△F A 1A 2为斜边的中线（高），且，，∴，∴，故所求椭圆的方程为．18.【答案】解： ，（）若，由得，当时， ，当时， ，∴在上单调递减， 在上单调递增.（）当时，若由得或 .①若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在，上单调递增 .②若，当时，，∴在上单调递增．③若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．综上可知，若， 在上单调递减， 在上单调递增，若， 在上单调递增，若， 在上单调递减，在，上单调递增，若，在上单调递减，在上单调递增 .（）若，，当时，，由函数的单调性可知，不可能有两个零点；（）若，，只有一个零点；（）若，在上单调递减，在上单调递增，，，∴在有一个零点．取且，.又，∴，∴.又，∴，即，∴，由此可知在有一个零点.综上，的取值范围为 .【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题OF A 1A 2|OF|=c ||=2b A 1A 2c =b =2=+=8a 2b 2c 2+=1x 28y 24(1)(x)=x (+a)f ′e x i a ≥0(x)=0f ′x =0x ∈(−∞,0)(x)<0f ′x ∈(0,+∞)(x)>0f ′f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)ii a <0(x)=0f ′x =0x =ln(−a)−1<a <0ln(−a)<0x ∈(−∞,ln(−a))∪(0,+∞)(x)>0f ′x ∈(ln(−a),0)(x)<0f ′f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a =−1x ∈(−∞,+∞)(x)≥0f ′f (x)(−∞,+∞)a <−1ln(−a)>0x ∈(−∞,0)∪(ln(−a),+∞)(x)>0f ′x ∈(0,ln(−a))(x)<0f ′f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a <−1f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a =−1f (x)(−∞,+∞)−1<a <0f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a ≥0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)(2)i a <0f (0)=−1<0x ≤0f (x)<0f (x)f (x)ii a =0f (x)=(x −1)e x f (x)iii a >0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)f (0)=−1<0f (2)=+2a >0e 2f (x)(0,+∞)<−2x 0<ln x 0a 2<e x 0a 2−1<−3x 0(−1)>(−1)x 0e x 0a 2x 0f ()=(−1)+a x 0x 0e x 012x 20>(−1)+a a 2x 012x 20=(+−1)a 2x 20x 0<−2x 0+−1>1>0x 20x 0(+−1)>0a 2x 20x 0f ()>0x 0f (x)(−∞,0)a (0,+∞)利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解： ，（）若，由得，当时， ，当时， ，∴在上单调递减， 在上单调递增.（）当时，若由得或 .①若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在，上单调递增 .②若，当时，，∴在上单调递增．③若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．综上可知，若， 在上单调递减， 在上单调递增，若， 在上单调递增，若， 在上单调递减，在，上单调递增，若，在上单调递减，在上单调递增 .（）若，，当时，，由函数的单调性可知，不可能有两个零点；（）若，，只有一个零点；（）若，在上单调递减，在上单调递增，，，∴在有一个零点．取且，.又，∴，∴.又，∴，即，∴，由此可知在有一个零点.综上，的取值范围为 .19.【答案】解：由直线的参数方程（为参数），可得其普通方程为.由曲线的极坐标方程得，所以曲线的直角坐标方程为.由得曲线，直线为，(1)(x)=x (+a)f ′e x i a ≥0(x)=0f ′x =0x ∈(−∞,0)(x)<0f ′x ∈(0,+∞)(x)>0f ′f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)ii a <0(x)=0f ′x =0x =ln(−a)−1<a <0ln(−a)<0x ∈(−∞,ln(−a))∪(0,+∞)(x)>0f ′x ∈(ln(−a),0)(x)<0f ′f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a =−1x ∈(−∞,+∞)(x)≥0f ′f (x)(−∞,+∞)a <−1ln(−a)>0x ∈(−∞,0)∪(ln(−a),+∞)(x)>0f ′x ∈(0,ln(−a))(x)<0f ′f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a <−1f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a =−1f (x)(−∞,+∞)−1<a <0f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a ≥0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)(2)i a <0f (0)=−1<0x ≤0f (x)<0f (x)f (x)ii a =0f (x)=(x −1)e x f (x)iii a >0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)f (0)=−1<0f (2)=+2a >0e 2f (x)(0,+∞)<−2x 0<ln x 0a 2<e x 0a 2−1<−3x 0(−1)>(−1)x 0e x 0a 2x 0f ()=(−1)+a x 0x 0e x 012x 20>(−1)+a a 2x 012x 20=(+−1)a 2x 20x 0<−2x 0+−1>1>0x 20x 0(+−1)>0a 2x 20x 0f ()>0x 0f (x)(−∞,0)a (0,+∞)(1)l x =1+t,2–√2y =2−t,2–√2t x +y −3=0C ρ=4cosθ=4ρcos θρ2C +−4x =0x 2y 2(2)(1)C :+=4(x −2)2y 2l x +y −3=0所以圆心到直线的距离为，所以直线被曲线截得的弦长为.【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：由直线的参数方程（为参数），可得其普通方程为.由曲线的极坐标方程得，所以曲线的直角坐标方程为.由得曲线，直线为，所以圆心到直线的距离为，所以直线被曲线截得的弦长为.(2,0)l d ==|2−3|2–√2–√2l C 2=−22()2–√22−−−−−−−−−−−√14−−√(1)l x =1+t,2–√2y =2−t,2–√2t x +y −3=0C ρ=4cosθ=4ρcos θρ2C +−4x =0x 2y 2(2)(1)C :+=4(x −2)2y 2l x +y −3=0(2,0)l d ==|2−3|2–√2–√2l C 2=−22()2–√22−−−−−−−−−−−√14−−√。

2022-2023学年人教A 版数学高二下月考试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知全集，，则( )A.B.C.D.2. 复数的实部为( )A.B.C.D.3. 已知椭圆的离心率，则的取值范围是( )A. B.C.D.4. 在等差数列中，已知，则（ ）A.4B.6C.8D.105. 数据显示年月以来文化类旅游的市场占比显著提升，某旅游服务平台收集并整理了年月日至日期间某文化类景区门票日订单量（单位：万张）和增长速度的数据，绘制了右边的统计图．则下列结论正确的是（增长速度（本期数上期数）上期数）（ ）U =A ∪B ={x ∈N|−1≤x ≤8}A ∩B ={1,3,5,7}∁U B ={2,4,6}{2,4,6,8}{0,2,4,6,8}{−1,0,2,4,6,8}i (2+i)−11−22+=1x 24y 2m e >2–√2m (0,1)∪(2,+∞)(0,2)∪(8,+∞)(−∞,2)(−∞,2)∪(8,+∞){}a n ++=15a 3a 5a 7+=a 1a 9202132021317=−/A.天的增长速度逐日增加B.天中有天的增长速度为正C.天的增长速度的平均值为负D.月日的订单量约为（万张）6. “”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知定义域为的函数的导函数为，且满足，若 ，则不等式的解集为 A.B.C.D.8. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，则 A.B.C. D.773736 3.19a =−5y =x +4(x −a +(y −3=8)2)2R f (x)f (x)′f (x)−2f (x)>4′f (0)=−1f(x)+2>e 2x ()(0,+∞)(−1,+∞)(−∞,0)(−∞,−1)=4y x 2F F l A B P (0,−)72PB ⊥AB |AF|=()322523(,)(,)(,)9. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：， ，…， ，则下列说法中正确的是（ ）A.由样本数据得到的回归方程必过样本中心B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有线性相关关系10. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A.乙类水果的平均质量B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数11. 以下结论不正确的是（ ）A.对立事件一定互斥B.事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率C.事件与事件互斥，则有D.事件，满足，则，是对立事件12.已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是 A.是函数的极小值点y x (,)x 1y 1(,)x 2y 2(,)x n y n =x +y ˆb ˆa ˆ(,)x ¯¯¯y¯¯¯R 2R 2y x r =−0.9362y x kg N (,)μ1σ21N (,)μ2σ22=0.8kgμ2=1.99σ2A B A A B P (A)=1−P (B)A B P (A)+P (B)=1A B y =f (x)()−1f (x)f (x)B.是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零13. 设、是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是_________.14. 若的展开式的常数项是，则常数的值为________．15. 将名同学安排到个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）16. 从数字，，，中，随机抽取个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为________.17. 某校高二年级共有学生名，其中走读生名，住宿生名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①，②，③，④，…得到频率分布直方图（部分）如图．如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表；并判断是否有的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生总计参考列表：若在第①组、第②组、第③组中共抽出人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于分钟”的学生人数为，求的分布列和数学期望．−3f (x)f (x)(−3,1)f (x)x =0F 1F 2C :+=1x 2m y 22C M ∠M =F 1F 2120∘m (x +)a −√x245a 53111234391000750250100100[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)(I)1002×295%501060100=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P(K 2≥)k 00.500.400.250.150.100.050.025k 00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024(II)360X X18.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长，某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份年份代号储蓄存款(千亿元)参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.由散点图看出；可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；(精确到)建立与的回归方程；如图，则认为所得到回归方程是可靠的，现知年，年该地区城乡居民人民币储蓄存款分别为千亿元、千亿元，选取这两组数据检验，试问中所得的回归方程是否可靠？19. 在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．求数列的通项公式；若，，求数列的前项和．20. 某电子器件的形状如图所示多边形，可以看成在一个长为，宽为的矩形的四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，记整个多边形的周长（图中实线部分）总长度为，与，的交点为，，与，的交点为，，，20102011201220132014t 12345y 578911r =(−t)(−)∑i=1nt i y i y¯¯¯∑i=1n (−)t i t ¯2∑i=1n(−)y i y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==b ^(−t)(−)∑i=1nt i y iy¯¯¯∑i=1n(−t)t i 2−n y∑i=1nt i y i t ¯−n ∑i=1nt 2i t2=−,≈1.414a ^y ¯¯¯b ^t ¯2–√(1)y t 0.01(2)y t (3)|−|≤1y i yˆi 201720181517(2)d {}a n =10a 1a 12+2a 25a 3(1){}a n (2)d <0=b n |−9|a n 3n {}b n n S n ABCDEFGH 80mm 60mm L CH AF BE M N DG AF BE P Q ∠CBN =θ(0<θ<)π2AF =80mm CH =60mm，.若，且米，求该电子器件底托的外围总长度（多边形周长）；由于设计需要，底托的外围总长度不超过，但又要使底托面积（多边形的面积）最大，以便放置尽可能多的集成电路，给出此设计方案中的大小与的长度．21. 已知点为抛物线＝的焦点，横坐标为的点在抛物线上，且以为圆心，为半径的圆与的准线相切．（1）求抛物线的方程；（2）设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当＝时，直线恒过定点．22. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面，点、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由．AF =80mm CH =60mm (1)θ=π6AB =EF =30L ABCDEFGH (2)L 240mm ABCDEFGH θBC F C :y 22px(p >0)1P F |PF |C C O l A B OA OB αβα+βl P −ABCD ABCD PA =PD PAD ⊥ABCD M N BC PA MN//PCD BD Q MNQ ⊥ABCD BQDQ参考答案与试题解析2022-2023学年人教A 版数学高二下月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】∵，，∴，故选．【解答】解：∵，，∴.故选．2.【答案】A【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】先化简复数，再利用复数的概念求解即可.【解答】解：，∴该复数的实部为.故选.3.【答案】U ＝AUB ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}A ∩B ＝{1，3，5，7}∁U B ＝{0，2，4，6，8}C U =A ∪B ={0，1，2，3，4，5，6，7，8}A ∩B ={1，3，5，7}∁U B ={0，2，4，6，8}C i (2+i)=+2i =−1+2i i 2−1AB【考点】椭圆的离心率【解析】答案未提供解析．【解答】解：，，当时，或，∴或．故选．4.【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，.故选5.【答案】D【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】e =>1−b 2a2−−−−−−√2–√2∴<b 2a 212∴m >0<m 412<4m 120<m <2m >8B ∵++=15a 3a 5a 7∴3=15a 5∴=5a 5∵+=2a 1a 9a 5∴+=10a 1a 9D.此题暂无解析【解答】解：结合统计图可知，日，日和日的增长速度比前一天均下降，选项不正确；天中，日，日，日和日的增长速度均为正，选项不正确；根据统计图可知天的增长速度的平均值为正，选项不正确；月日的订单量约为（万张），则月日的订单量约为（万张），选项正确．故选．6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线与圆的位置关系【解析】直线与圆相切，解得，即可判断出．【解答】解：由直线与圆相切，得，解得或，∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．故选．7.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】347A 72567B 7C 35 2.236 2.2×(1+0.45)=3.19D D y =x +4(x −a +(y −3=8)2)2⇔=2|a −3+4|2–√2–√a y =x +4(x −a +(y −3=8)2)2=2|a −3+4|2–√2–√a =−5a =3a =−5y =x +4(x −a +(y −3=8)2)2A F(x)=f(x)+2e 2x(x)=f(x)+2解：设，则，∵，∴，即函数在定义域上单调递增.∵，∴.∴不等式等价于 等价于.解得.故不等式的解集为.故选．8.【答案】D【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】利用抛物线的几何性质与向量的数量积解得，又，再利用.【解答】解：由题设抛物线的焦点，设，由，得，所以得，解得.设直线为：，由得，∴，得，所以.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）F(x)=f(x)+2e2x F'(x)=f'(x)−2f(x)−4e2x (x)−2f(x)−4>0f ′F'(x)>0F(x)f(0)=−1F(0)=1f(x)+2>e 2x>1f(x)+2e 2x F(x)>F(0)x >0(0,+∞)A =±x 22–√=−=−4x 1x 2p 2|AF|=+=3y 1p2F (0,1)A (,),B (,)x 1x 214x 2x 224PB ⊥AB ⋅=0⇒⋅=0AB −→−PB −→−BF −→−PB −→−+()()=0x 22−4x 224+14x 224=±x 22–√AB y =kx +1{y =kx +1,=4y,x 2−4kx −4=0x 2=−4x 1x 2=±2，=2x 12–√y 1|AF|=+=3y 1p2D9.【答案】A,B,D【考点】线性相关关系的判断求解线性回归方程回归分析【解析】此题暂无解析【解答】解：．由样本数据得到的回归方程必过样本中心，故正确；．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；．用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；．若变量和之间的相关系数为，的绝对值接近于，则变量和之间具有线性相关关系，故正确；故选．10.【答案】A,B,C【考点】正态分布的密度曲线【解析】利用正态分布性质，逐一判断即可求解.【解答】解：由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，，故，正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故正确；因为乙图象的最大值为，即，所以，故错误.故选.11.【答案】A =x +y ˆb ˆa ˆ(,)x ¯¯¯y ¯¯¯BC R 2R 2D y x r =−0.9362r 1y x ABD x =0.4x =0.8=0.4u 1=0.8u 2<u 1u 2A C B 1.99=1.9912π−−√σ2≠1.99σ2D ABCB,C,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】利用对立事件，互斥事件的概念以及对立事件的概率公式求解即可.【解答】解：，对立事件一定互斥，故该选项正确；，若，则事件与事件的和事件的概率等于事件的概率，故该选项错误；，事件与事件对立，则有，故该选项错误；，事件，满足，但，不一定是对立事件，故该选项错误.故选.12.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵由函数的导函数的图象可知，当时，，当时，,∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故选项错误，选项，正确；∵函数在处的导数大于零，∴函数在处切线的斜率大于零，故选项错误.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】A B B ⊂A A B A C A B P (A)=1−P (B)D A B P (A)+P (B)=1A B BCD y =f (x)x <−3(x)<0f ′x >−3(x)≥0f ′f(x)(−∞,−3)(−3,+∞)−3f (x)f (x)(−3,1)A B C y =f(x)x =0y =f(x)x =0D BC (0,]∪[8,+∞)12【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程【解析】分类讨论，由要使椭圆上存在点满足，，当假设椭圆的焦点在轴上，，，，当即可求得椭圆的焦点在轴上时，，，通过，即可求得的取值范围．【解答】解：假设椭圆的焦点在轴上，则，位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则位于短轴端点时，，，，解得，；当椭圆的焦点在轴上时，，位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则位于短轴端点时，，，，C M ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘x ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO ≥tan F 160∘y ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO F 1m C :+=1x 2m y 22x 2<m M ∠M F 1F 2C M ∠M =F 1F 2120∘M ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO ==≥tan =F 1c b m −2−−−−−√2–√60∘3–√m ≥8y 0<m <2M ∠M F 1F 2C M ∠M =F 1F 2120∘M ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO =≥tan =F 12−m −−−−−√m −−√60∘3–√<m ≤1解得，，∴的取值范围是.故答案为：.14.【答案】【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：名学生分成了组，每组至少人，有两种情况 ，①：分组方法有 种 ；②：分组方法有 种，共有种分法，再将组分到个小区，有种，故 种方法．故答案为：．16.【答案】【考点】0<m ≤12m (0,]∪[8,+∞)12(0,]∪[8,+∞)121505313,1,1=10C 35C 12A 222,2,1=15C 25C 23A 2210+15=2533=3×2×1=6A 3325×6=150150532古典概型及其概率计算公式【解析】求出基本事件总数为个，满足各位数字之和等于的分两类，一类数字不重复，一类数字有重复，求完后直接运用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：三位数共有个，各位数字之和等于有这样几种情况，第一种：各个数字不同，有一种，即取，，这样的三位数有个，第二种：有数字相同的情况，可以取，，这样的三位数也有个，可以取，，这样的三位数有个．所以概率是．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生总计… …由于，所以有的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…设第组的频率为,…,，则由图可知：，，，∴第①组人，第②组人，第③组人．…则的所有可能取值为，，，，，∴，…..∴的分布列为：．…..4×4×4=6494×4×4=649234614433331=1064532532(1)1002×25025751015256040100=≈5.556K 2100×(50×15−25×10)275×25×40×60>3.841K 295%(2)i (i =1,2P i 8)=×30=P 1130001100=×30=P 217504100=×30=P 31300101001410X 0123P(X =i)=(i =0,1,2,3)C i 5C 3−i 10C 315P(X =0)==C 05C 310C 3152491P(X =1)==，P(X =2)==，P(X =3)==C 15C 210C 3154591C 25C 110C 3152091C 35C 010C 315291X P 0123X 249145912091291E(X)=0×+1×+2×+3×=1249145912091291【考点】离散型随机变量的期望与方差独立性检验的应用离散型随机变量及其分布列【解析】把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表，求出，由，得到有的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．设第组的频率为,…,，推导出第①组人，第②组人，第③组人，从而的所有可能取值为，，，，，由此能求出的分布列和数学期望．【解答】解：把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生总计… …由于，所以有的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…设第组的频率为,…,，则由图可知：，，，∴第①组人，第②组人，第③组人．…则的所有可能取值为，，，，，∴，…..∴的分布列为：．…..18.【答案】解：由所给数据求得，(1)1002×2K 2>3.841K 295%(2)i (i =1,2P i 8)1410X 0123P(X =i)=(i =0,1,2,3)C i 5C 3−i 10C 315X (1)1002×25025751015256040100=≈5.556K 2100×(50×15−25×10)275×25×40×60>3.841K 295%(2)i (i =1,2P i 8)=×30=P 1130001100=×30=P 217504100=×30=P 31300101001410X 0123P(X =i)=(i =0,1,2,3)C i 5C 3−i 10C 315P(X =0)==C 05C 310C 3152491P(X =1)==，P(X =2)==，P(X =3)==C 15C 210C 3154591C 25C 110C 3152091C 35C 010C 315291X P 0123X 249145912091291E(X)=0×+1×+2×+3×=1249145912091291(1)=3,=8,5=120t ¯y ¯¯¯t ¯y¯¯¯1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=1345，，所以，回为与的相关系数近似为，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.由数据，求得.所以关于的线性回归方程为.年，年所对年份代号为.当时，，当时，.所以，中所得到的线性回归方程是可靠的.【考点】相关系数的求法回归分析的初步应用求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由所给数据求得，，，所以，回为与的相关系数近似为，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.由数据，求得.=1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134∑i=15t i y i −n =10,−n =20∑i=15t 2i t ¯2∑i=15y 2i y ¯¯¯2r =≈0.99134−12020×10−−−−−−√y t 0.99y t y t (2)=1.4,=8−1.4×3=3.8b ^a ^y t =1.4t +3.8y^(3)201720188，9t =8=1.4×8+3.8=15,|15−15|=0<1y^t =9=1.4×9+3.8=16.4,|17−16.4|=0.6<1y ^(2)(1)=3,=8,5=120t ¯y¯¯¯t ¯y¯¯¯=1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134∑i=15t i y i −n =10,−n =20∑i=15t 2i t ¯2∑i=15y 2i y ¯¯¯2r =≈0.99134−12020×10−−−−−−√y t 0.99y t y t (2)=1.4,=8−1.4×3=3.8b ^a^=1.4t +3.8^所以关于的线性回归方程为.年，年所对年份代号为.当时，，当时，.所以，中所得到的线性回归方程是可靠的.19.【答案】解：∵成等比数列，∴，整理得，解得或，当时，；当时，；所以或 .设数列前项和为，∵，∴，， ，当时，，当时， ，令，，则 ，两式相减可得，整理可得，则，，且满足上式，综上所述： ， .【考点】等差数列的通项公式数列的求和【解析】解：∵成等比数列，∴，整理得，解得或，y t =1.4t +3.8y^(3)201720188，9t =8=1.4×8+3.8=15,|15−15|=0<1y^t =9=1.4×9+3.8=16.4,|17−16.4|=0.6<1y ^(2)(1),2+2,5a 1a 2a 3=5⋅(2+2)a 22a 3a 1−3d −4=0d 2d =−1d =4d =−1=10−(n −1)=−n +11a n d =4=10+4(n −1)=4n +6a n =−n +11a n =4n +6,n ∈a n N ∗(2){}a n n S n d <0d =−1=−n +11a n =||b n 2−n 3n n =1=S 113n ≥2=++++⋯S n 130********+n −23n =++⋯+T n 133234n −23n n >2=++⋯13T n 134235+n −23n+1=+++⋯23T n 133134135+13n −n −23n+1=+(−)×T n 11214n 213n =+(−)×S n 51214n 213n n ≥2=S 113=+(−)×S n 51214n 213n n ∈N ∗(1),2+2,5a 1a 2a 3=5⋅(2+2)a 22a 3a 1−3d −4=0d 2d =−1d =4d =−1=10−(n −1)=−n +11当时，；当时，；所以或 .【解答】解：∵成等比数列，∴，整理得，解得或，当时，；当时，；所以或 .设数列前项和为，∵，∴，， ，当时，，当时， ，令，，则 ，两式相减可得，整理可得，则，，且满足上式，综上所述： ， .20.【答案】解：由题，得，得，由，则 ，，故，则．设，则，，则，，则，当会使整个底托的面积最大，d =−1=10−(n −1)=−n +11a n d =4=10+4(n −1)=4n +6a n =−n +11a n =4n +6,n ∈a n N ∗(1),2+2,5a 1a 2a 3=5⋅(2+2)a 22a 3a 1−3d −4=0d 2d =−1d =4d =−1=10−(n −1)=−n +11a n d =4=10+4(n −1)=4n +6a n =−n +11a n =4n +6,n ∈a n N ∗(2){}a n n S n d <0d =−1=−n +11a n =||b n 2−n 3n n =1=S 113n ≥2=++++⋯S n 130********+n −23n =++⋯+T n 133234n −23n n >2=++⋯13T n 134235+n −23n+1=+++⋯23T n 133134135+13n −n −23n+1=+(−)×T n 11214n 213n =+(−)×S n 51214n 213n n ≥2=S 113=+(−)×S n 51214n 213n n ∈N ∗(1)2NC +MN =602NC +30=60NC =15θ=π6BN =NC =153–√3–√BC =30CD =80−303–√L =4BC +2AB +2CD =4×30+2×30+2×(80−30)=(340−60)3–√3–√mm (2)BC =x NC =x sin θBN =x cos θAB =60−2x sin θCD =80−2x cos θL =4BC +2AB +2CD =4x +2(60−2x sin θ)+2(80−2x cos θ)=280+4x −4x sin θ−4x cos θL =240280+4x −4x sin θ−4x cos θ=240则，得，整个底托的面积，得，令，则且，得．则，当时，最大，即，此时 ，即整个底托的面积最大时，，．【考点】根据实际问题选择函数类型在实际问题中建立三角函数模型函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：由题，得，得，由，则 ，，故，则．设，则，，则，，则，当会使整个底托的面积最大，则，得，整个底托的面积280+4x −4x sin θ−4x cos θ=240x =10sin θ+cos θ−1S =80×60−4×x cos θ⋅x sin θ12=4800−2sin θcos θx 2S =4800−,0<θ<200sin θcos θ(sin θ+cos θ−1)2π2t =sin θ+cos θ−1=sin(θ+)−1,0<θ<2–√π4π2t ∈(2,1+]2–√t +1=sin θ+cos θ2sin θcos θ=+2t t 2S =4800−=4700−,t ∈(2,1+]100(+2t)t 2t 2200t2–√t =1+2–√S sin(θ+)+1=1+2–√π42–√θ=,π4x =10(+1)2–√θ=π4BC =10(+1)2–√(1)2NC +MN =602NC +30=60NC =15θ=π6BN =NC =153–√3–√BC =30CD =80−303–√L =4BC +2AB +2CD =4×30+2×30+2×(80−30)=(340−60)3–√3–√mm (2)BC =x NC =x sin θBN =x cos θAB =60−2x sin θCD =80−2x cos θL =4BC +2AB +2CD =4x +2(60−2x sin θ)+2(80−2x cos θ)=280+4x −4x sin θ−4x cos θL =240280+4x −4x sin θ−4x cos θ=240x =10sin θ+cos θ−1S =80×60−4×x cos θ⋅x sin θ12=4800−2sin θcos θ2，得，令，则且，得．则，当时，最大，即，此时，即整个底托的面积最大时，，．21.【答案】由题焦点，准线＝-，由抛物线的定义可得的值等于到准线的距离，因为以为圆心，为半径的圆与的准线相切，所以，解得＝，所以抛物线的方程为＝．证明：由题设，，易知直线的斜率存在，记为，与＝联立得＝，得，，则，，，＝+＝＝＝，又知＝，＝，＝＝＝，解得＝，所以直线＝＝，恒过定点．可证得当＝时，直线恒过定点．【考点】抛物线的性质=4800−2sinθcosθx2S=4800−,0<θ<200sinθcosθ(sinθ+cosθ−1)2π2t=sinθ+cosθ−1=sin(θ+)−1,0<θ<2–√π4π2t∈(2,1+]2–√t+1=sinθ+cosθ2sinθcosθ=+2tt2S=4800−=4700−,t∈(2,1+]100(+2t)t2t2200t2–√t=1+2–√S sin(θ+)+1=1+2–√π42–√θ=,π4x=10(+1)2–√θ=π4BC=10(+1)2–√x|PF|P1+F|PF|Cp2C y54xA(,)x1y2B(,)x2y2l k y64x k−2y+4my20+k OA k OB2k+ k OA tanαk OB tanβtan(α+β)tanm3k+4l:y kx+4k+5k(x+4)+4(−5α+βl(4抛物线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】【解答】。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 若向量，，，满足条件，则的值为( )A.B.C.D.2. 已知，则除以的余数是()A.B.C.D.3. 从集合中任取个不同的元素，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则 A.B.C.D.4. 党的十八大以来，党中央高度重视扶贫工作，为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排名干部到三个贫困村调研走访，要求每人只能去一个贫困村，每个贫困村至少有一人，则不同分配方案的=(1,1,x)a →=(1,2,1)b →=(1,1,1)c →(−)⋅(2)=−2c →a →b →x −2201S =2+4+8+⋯+C 126C 226C 326226C 2626S 102−289U ={x ∈Z |1≤x ≤15}2A =2B =2P(B |A)=()1537715125总数为( )A.B.C.D.5. 已知的展开式中常数项为，则实数的值为( )A.B.C.D.6. 已知的三个顶点，，及平面内一点满足，则点与的关系为 A.在内部B.在外部C.在边所在的直线上D.是边的一个三等分点7. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（ ）A.B.C.D.8. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )120150240300(−)x −√32a x 8112a ±112±2△ABC A B C P ++=PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−P △ABC ()P △ABC P △ABC P AB P AC 121323131656A B C 1A.B.C.D.9. ，，，，，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一系列如图所示的正三角形，依此规律推断第个三角形数是（ ）A.B.C.D.10. 已知随机变量，且，则（ ）A.B.C.D.11. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则 A.B.C.D.12. 如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且与所成的角为，则等于( )14827162936101521⋯100102001010051515050X ∼N (2,)σ2P (X <4)=0.8P (0<X <2)=0.60.40.30.2p X 10D(X)=2.1P(X =4)<P(X =6)p =()0.70.60.40.3ABCD AC =16BD =12M N AB CD AC BD 90∘MNA.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.已知的分布列为若，则的值为________.14. 某盏吊灯上并联着个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，每个灯泡能否正常照明相互独立，在这段时间内该吊灯上的灯泡能正常照明的个数设为，则随机变量的方差是________．15. 在的展开式中，常数项为________．（用数字作答）16. 如图，已知正方体的棱长为，点在棱上，且＝，是侧面内一动点，，则的最小值为________．56810X X −101P121316η=2X +2Dη50.9ξξ(1+2)(1+x 21x)8ABCD −A 1B 1C 1D 13H AA 1HA 11P BCC 1B 1CP三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 甲、乙两箱都装有某种产品，甲箱的产品中有个正品和个次品，乙箱的产品中有个正品和个次品．从甲箱中任取个产品，求这个产品都是次品的概率；若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．18. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有名男志愿者，，，，，和名女志愿者，，，，从中随机抽取人接受甲种心理暗示，另人接受乙种心理暗示．求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率；用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望．19. 如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制造，打磨出了一个作品，作品由三根木棒，，组成，三根木棒有相同的端点(粗细忽略不计），且，，，四点在同一平面内，，木棒可绕点任意旋转，设的中点为．当时，求的长；当木棒绕点任意旋转时，求的长的范围．20. 当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对题）．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，第一次由甲组开始答题．求：若第次由甲组答题的概率为，求；前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？21. 边长为的菱形中，，为线段上的中点，以为折痕，将折起，使得二面角成角（如图）（1）当在内变化时，直线与平面是否会平行？请说明理由；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．22. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，5343(1)22(2)26A 1A 2A 3A 4A 5A 64B 1B 2B 3B 455(1)A 1B 1(2)X X E(X)OA OB OC O O A B C OC =2OA =2OB =20cm ，∠AOB =π2OC O BC D (1)∠BOC =2π3OD (2)OC O AD 326133(1)n P n P n (2)424ABCD ∠A =60∘E CD BE △ACE C −BE −C θθ(0,π)AD BCE θ=90∘CA BCE ABC −A 1B 1C 1D E AB BB 1=AC =CB =AB–√．证明：平面；求异面直线和所成角的大小；A =AC =CB =ABA 12–√2(1)B //C 1CD A 1(2)BC 1D A 1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】空间向量运算的坐标表示空间向量的数量积运算【解析】先求出，再利用空间向量的数量积公式，建立方程，求出【解答】解：，，解得，故选.2.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】本题考查二项式定理的应用，余数问题要找到它的表达式，那么从原式中找到规律年指数与组合数的项数有关，然后凑出二项式的形式，最后找余数的规律.【解答】解：−c →a →=(,,)，=(,,)a →x 1y 1z 1b →x 2y 2z 2⋅=⋅++a →b →x 1x 2y 1y 2z 1z 2x−=(0,0,1−x)c →a →(−)⋅(2)c →a →b →=(2,4,2)⋅(0,0,1−x)=2(1−x)=−2x =2B S =2+4C 126C 226+8C 326+⋯+226C 2626=1+2+4-1C 026C 126C 226+8C 326+⋯+226C 2626=×××+26012512242，，，，，，的尾数为，那么的尾数是，因此除以的余数为.故选.3.【答案】B【考点】条件概率与独立事件【解析】分别计算，，根据条件概率公式计算．【解答】集合中共含有个元素，其中有个奇数，个偶数．∴，，∴．4.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用计数原理的应用【解析】包括两种情况：一是按照，，分配，有种方案；二是按照，，分配，有种方案．故不同分配方案的总数为 . =×××+C 02612620+C 12612521+C 22612422×+⋯+×−1C 32612323C 262610226=−1=−1(1+2)26326∵=331=932=2733=8134=24335⋯⋯∴3269−13268S 108C P(A)P(AB)U 1587P(A)==C +C 8272C 21549105P(AB)=P(B)==C 27C 21521105P(B |A)==P(AB)P(A)37221=9012C 25C 23A 3331161=6012C 15C 4A 3390+60=150【解答】解：包括两种情况：一是按照，，分配，有种方案；二是按照，，分配，有种方案，所以不同分配方案的总数为种方案. 故选.5.【答案】A【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】写出展开式的通项公式，求出常数项的系数，即可求出结果.【解答】解：的通项公式为：.当，得，所以的展开式中常数项为.又的展开式中常数项为，所以，解得.故选.6.【答案】D【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．【解答】221=9012C 25C 23A 33311=6012C 15C 14A 3390+60=150B (−)x −√32a x8==T r+1C r 8()x −√38−r (−)2a xr C r8(−2a)r x 8−4r 3=08−4r 3r =2(−)x −√32a x 8=112C 28(−2a)2a 2(−)x −√32a x8112112=112a 2a =±1A =2PC −→−AP −→−+=−→−−→−−→−−→−解：∵，∴，∴，∴是边的一个三等分点．故选.7.【答案】A【考点】互斥事件的概率加法公式相互独立事件的概率乘法公式【解析】对立事件的概率之和为，相互独立事件的概率用乘法法则．【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为，∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为．故选．8.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式相互独立事件的概率乘法公式【解析】每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，基本事件总数，甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数，由此能求出甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．【解答】解：某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，++=PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−++=−PA −→−PB −→−PC −→−PB −→−PA −→−=−2=2PC −→−PA −→−AP −→−P AC D 1(1−)×(1−)=1213131−=1323A n ==36C 24A 33m ==6C 22C 13A 22A B C n ==3623基本事件总数，甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．故选．9.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】首先利用合理推理，找到规律，接着利用规律找出通项，即可得出结果.【解答】解：后面的三角形数依次在前面的基础上加上，故第个三角形数为，因此第个三角形数是个.故选.10.【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解 ．11.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差n ==36C 24A 33m ==6C 22C 13A 22P ===m n 63616C 3,4,5，⋅⋅⋅n 1+2+3+⋯+(n +1)=(n +1)(n +2)21005151C P (0<X <2)=P (0<X <4)=−(1−2×0.2)=0.31212二项分布的应用【解析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，可看做是独立重复事件，满足，由，可得，可得，即.因为，可得，解得或（舍去）.故选.12.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】取的中点，连接，，中求的长度．【解答】解：如图，取的中点，连接，，则，，即为异面直线与所成的角(或其补角)．，又，，．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）p X ∼B(10,p)P(X =4)<P(X =6)(1−p <(1−p C 410p 4)6C 610p 6)41−2p <0p >12D(X)=2.110p(1−p)=2.1p =0.7p =0.3A AD P PM PN △PMN MN AD P PM PN PM//BD PN//AC ∵∠MPN AC BD ∴∠MPN =90∘PN =AC =812PM =BD =612∴MN ===10P +P M 2N 2−−−−−−−−−−−√+6282−−−−−−√D13.【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：,,∴.故答案为：.14.【答案】【考点】两点分布二项分布超几何分布的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，所以随机变量的方差是．故答案为：．15.【答案】【考点】二项式定理的应用209E(X)=−1×+0×+1×=−12131613D(X)=(−1+×+(0+×+(1+×=13)21213)21313)21659Dη=D(2X +2)=4D(X)=4×=592092090.45ξ∼B (5,0.9)ξ5×0.9×(1−0.9)=0.450.4557【解析】利用多项式的乘法将代数式展开；将问题转化为二项式展开式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出其常数项及含的系数，求出展开式中常数项．【解答】解：∴展开式中常数项等于展开式的常数项加上展开式中含的系数的倍.∵展开式的通项，令，得的常数项为，展开式中含的系数为，故展开式中常数项为．故答案为：.16.【答案】【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】由题意画出图形，求出在侧面内轨迹，则的最小值可求．【解答】如图，作交于点，则＝．∵，＝，∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，则的最小值为．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）(1+1x )8(1+1x )81x 2(1+2)(1+=(1++2⋅(1+x 21x )81x )8x 21x )8(1+2)(1+x 21x )8(1+1x )8(1+1x )81x 22(1+1x )8=(T r+1C r 81x )r r =0r =2(1+1x )811x 2C 281+2⋅=57C 2857−2P BCC 1B 1CP HG ⊥BB 1BB 1G G B 31HG 3P G 4CP17.【答案】解：从甲箱中任取个产品的事件数为，这个产品都是次品的事件数为．∴这个产品都是次品的概率为．设事件为“从乙箱中取出的个产品是正品”，事件为“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出个正品个次品”，事件为“从甲箱中取出个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥．，，，，，，∴．．【考点】古典概型及其概率计算公式条件概率与独立事件【解析】（1）从甲箱中任取个产品的事件数为种，且每种情况出现的可能性相等，故为古典概型，只要再计算出这个产品都是次品的事件数，去比值即可．（2）从甲箱中任取个产品的所有可能情况为个产品都是正品、个正品个次品、个产品都是次品，分三种情况分别计算从乙箱中取出的一个产品是正品的概率，再求和即可．【解答】解：从甲箱中任取个产品的事件数为，这个产品都是次品的事件数为．∴这个产品都是次品的概率为．设事件为“从乙箱中取出的个产品是正品”，事件为“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出个正品个次品”，事件为“从甲箱中取出个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥．(1)2==28C 288×722=3C 232328(2)A 1B 12B 211B 32B 1B 2B 3P()==B 1C 25C 28514P()==B 2C 15C 13C 281528P()==B 3C 23C 28328P(A |)=B 123P(A |)=B 259P(A |)=B 349P(A)=P()P(A |)+P()P(A |)+P()P(A |)B 1B 1B 2B 2B 3B 3=×+×+×=51423152859328497122==28C 288×72222112(1)2==28C 288×722=3C 232328(2)A 1B 12B 211B 32B 1B 2B 3()==C 2，，，，，，∴．．18.【答案】解：记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则．的可能取值为，，，，，∴，，，，，∴的分布列为．【考点】生活中概率应用排列、组合及简单计数问题离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的分布列及性质【解析】（1）利用组合数公式计算概率；（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．P()==B 1C 25C 28514P()==B 2C 15C 13C 281528P()==B 3C 23C 28328P(A |)=B 123P(A |)=B 259P(A |)=B 349P(A)=P()P(A |)+P()P(A |)+P()P(A |)B 1B 1B 2B 2B 3B 3=×+×+×=5142315285932849712(1)A 1B 1M P(M)==C 48C 510518(2)X 01234P(X =0)==C 56C 510142P(X =1)==C 46C 14C 510521P(X =2)==C 36C 24C 5101021P(X =3)==C 26C 34C 510521P(X =4)==C 16C 44C 510142X X 01234P 1425211021521142E(X)=0×+1×+1425212×+3×+4×=21021521142解：记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则．的可能取值为，，，，，∴，，，，，∴的分布列为．19.【答案】解：在 中，得．的长为.如图，以为轴，为轴建立坐标系，如图所示，则，设，则，由，得，即，所以的长的范围为．(1)A 1B 1M P(M)==C 48C 510518(2)X 01234P(X =0)==C 56C 510142P(X =1)==C 46C 14C 510521P(X =2)==C 36C 24C 5101021P(X =3)==C 26C 34C 510521P(X =4)==C 16C 44C 510142X X 01234P 1425211021521142E(X)=0×+1×+1425212×+3×+4×=21021521142(1)△BOC =(+)OD −→−12OB −→−OC −→−OD ==|OD −→−|2−−−−−√OD −→−2−−−−√=(+14OB −→−OC −→−)2−−−−−−−−−−−−√=12+2⋅+OB −→−2OB −→−OC −→−OC −→−2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+2×10×20×cos +1022π3202−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=53–√∴OD 5cm 3–√(2)OB x OA y xOy A(0,−10)，B(10,0)D(x,y)C(2x −10,2y)OC =20=20(2x −10+(2y )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −5+=100)2y 2AD [5−10,5+10]5–√5–√点、线、面间的距离计算向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在 中，得．的长为.如图，以为轴，为轴建立坐标系，如图所示，则，设，则，由，得，即，所以的长的范围为．20.【答案】解：若第次由甲组答题，则包括第次由甲组答题，第次继续由甲组答题，以及第次由乙组答题，第次由甲组答题．答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，其概率为，则答对的题数之和不是的倍数的概率为，所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，因此，(1)△BOC =(+)OD −→−12OB −→−OC −→−OD ==|OD −→−|2−−−−−√OD −→−2−−−−√=(+14OB −→−OC −→−)2−−−−−−−−−−−−√=12+2⋅+OB −→−2OB −→−OC −→−OC −→−2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+2×10×20×cos +1022π3202−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=53–√∴OD 5cm 3–√(2)OB x OA y xOy A(0,−10)，B(10,0)D(x,y)C(2x −10,2y)OC =20=20(2x −10+(2y )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −5+=100)2y 2AD [5−10,5+10]5–√5–√(1)(n +1)n (n +1)n (n +1)31+22+41+54+53+36+63+6=5×2+23613323n (n +1)13P n n (n +1)(1−)23P n =+(1−)=−+P n+113P n 23P n 13P n 23(n ∈)N ∗=−(−)+1111则，因为第一次由甲组开始，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即．由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，所以所求概率，由可知，，，所以．【考点】古典概型及其概率计算公式等比数列的通项公式概率的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：若第次由甲组答题，则包括第次由甲组答题，第次继续由甲组答题，以及第次由乙组答题，第次由甲组答题．答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，其概率为，则答对的题数之和不是的倍数的概率为，所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，因此，则，因为第一次由甲组开始，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即．−=−(−)P n+11213P n 12=1P 1{−}P n 1212−13−=P n 1212(−)13n−1=+P n 12(−)13n−112(2)12343P =(1−)(1−)+(1−)(1−)P 1P 2P 3P 4P 1P 2P 3P 4+(1−)(1−)P 1P 2P 3P 4(1)=P 213=P 359=P 41327P =100243(1)(n +1)n (n +1)n (n +1)31+22+41+54+53+36+63+6=5×2+23613323n (n +1)13P n n (n +1)(1−)23P n =+(1−)=−+P n+113P n 23P n 13P n 23(n ∈)N ∗−=−(−)P n+11213P n 12=1P 1{−}P n 1212−13−=P n 1212(−)13n−1=+P n 12(−)13n−112(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，所以所求概率，由可知，，，所以．21.【答案】解：（1）当在内变化时，直线与平面是不会平行．理由如下：假设直线与平面平行，平面平面，平面，∴，与题设矛盾．故假设不成立，∴直线与平面是不会平行．…（2）连结，∵，，∴是正三角形，又是中点，故，从而．∴二面角的平面角是，即．…，，，面．面，∴，又，，∴面，即点是点在面上投影，∴是直线与平面所成角的平面角．…，．∴直线与平面所成角的正弦值为．…【考点】与二面角有关的立体几何综合题【解析】（1）当在内变化时，假设直线与平面平行，平面平面，从而，与题设矛盾．从而直线与平面不会平行．（2）连结，由已知得二面角的平面角是，即，是直线与平面所成角的平面角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）当在内变化时，直线与平面是不会平行．理由如下：假设直线与平面平行，平面平面，平面，∴，与题设矛盾．故假设不成立，∴直线与平面是不会平行．…（2）连结，∵，，∴是正三角形，又是中点，故，从而．∴二面角的平面角是，即．…，，，面．面，∴，又，，∴面，即点是点在面上投影，(2)12343P =(1−)(1−)+(1−)(1−)P 1P 2P 3P 4P 1P 2P 3P 4+(1−)(1−)P 1P 2P 3P 4(1)=P 213=P 359=P 41327P =100243θ(0,π)AD BCE AD BC'E BC'E∩ABCD =CE AD ⊂ABCD AD //CE AD BCE BD CD =CB ∠BCD =60∘△BCD E CD BE ⊥CE BE ⊥CE C'−BE −C ∠CEC'∠CEC'=90∘C'E ⊥CE BE ⊥C'E BE ∩CE =E C'E ⊥ABCD AB ⊂ABCD AB ⊥C'E AB ⊥BE BE ∩C'E =E AB ⊥C'EB B A C'EB ∠AC'B C'A BC'E tan ∠A B ==1C ′AB BC ′sin ∠A B =C ′2–√2C'A BC'E 2–√2θ(0,π)AD BC'E BC'E∩ABCD =CE AD //CE AD BCE BD C'−BE −C ∠CEC'∠CEC'=90∘∠AC'B C'A BC'E C'A BC'E θ(0,π)AD BCE AD BC'E BC'E∩ABCD =CE AD ⊂ABCD AD //CE AD BCE BD CD =CB ∠BCD =60∘△BCD E CD BE ⊥CE BE ⊥CE C'−BE −C ∠CEC'∠CEC'=90∘C'E ⊥CE BE ⊥C'E BE ∩CE =E C'E ⊥ABCD AB ⊂ABCD AB ⊥C'E AB ⊥BE BE ∩C'E =E AB ⊥C'EB B A C'EB ∠AC'B C'A BC'E∴是直线与平面所成角的平面角．…，．∴直线与平面所成角的正弦值为．…22.【答案】证明：连接与相交于点，连接，由矩形可得点是的中点，又是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.解：由可得或其补角为异面直线和所成角．不妨取，，，易得，．在中，，∴，，∵为边的中点，∴,可求得∴异面直线和所成角的大小为；【考点】直线与平面平行的判定异面直线及其所成的角【解析】（1）连接与相交于点，连接，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：，再利用线面平行的判定定理即可证明．（2）由（1）可得或其补角为异面直线和所成角．不妨取，在中，由余弦定理即可得出．【解答】证明：连接与相交于点，连接，∠AC'B C'A BC'E tan ∠A B ==1C ′AB BC ′sin ∠A B =C ′2–√2C'A BC'E 2–√2(1)AC 1C A 1F DF ACC 1A 1F AC 1D AB DF //BC 1B ⊂C 1CD A 1DF ⊂CD A 1B //C 1CD A 1(2)(1)∠DF A 1BC 1D A 1AB =2DF =B =12C 112B +C 2C 1C 2−−−−−−−−−−√==112(+(2–√)22–√)2−−−−−−−−−−−−√D =A 1+A A 1A 2D 2−−−−−−−−−−√==(+2–√)212−−−−−−−−−√3–√CD =1C =2A 1△DC A 1=+D A 1C 2A 1D 2C 2∠DC =90°A 1∠D C =30°A 1DF C A 1DF =1∠DF =30°A 1BC 1D A 1π6AC 1C A 1F DF DF //BC 1∠DF A 1BC 1D A 1AB =2△DF A 1(1)AC 1C A 1F DF由矩形可得点是的中点，又是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.解：由可得或其补角为异面直线和所成角．不妨取，，，易得，．在中，，∴，，∵为边的中点，∴,可求得∴异面直线和所成角的大小为；ACC 1A 1F AC 1D AB DF //BC 1B ⊂C 1CD A 1DF ⊂CD A 1B //C 1CD A 1(2)(1)∠DF A 1BC 1D A 1AB =2DF =B =12C 112B +C 2C 1C 2−−−−−−−−−−√==112(+(2–√)22–√)2−−−−−−−−−−−−√D =A 1+A A 1A 2D 2−−−−−−−−−−√==(+2–√)212−−−−−−−−−√3–√CD =1C =2A 1△DC A 1=+D A 1C 2A 1D 2C 2∠DC =90°A 1∠D C =30°A 1DF C A 1DF =1∠DF =30°A 1BC 1D A 1π6。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合， ，则等于( )A.B.C.D.2. 若，为实数，则""是“"的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放．某景区对重新开放后的月份与该月游客的日平均人数（单位：千人/天）进行了统计分析，得出如表数据：月份日平均人数若与线性相关，且求得其线性回归方程为＝，则表中的值为（ ）A.B.C.D.无法确定M ={x|−3x −4<0}x 2N ={x|>0}13−x M ∩N {x|−4<x <3}{x|−1<x <3}{x|3<x <4}{x|1<x <3}a b b <1aab <14A x y (x)4578(y)1.93.2t 6.1y x x −2t 4.74.85=−→−4. 已知的重心为，则向量（ ）A.B.C.D.5. 随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种．为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出名男志愿者和名女志愿者参与该地区志愿服务．已知名志愿者将会被分为组派往该地区的个不同的社区，且女志愿者不单独成组．若每组不超过人，则不同的分配方法种数为( )A.B.C.D.6. 已知函数若函数 有且只有个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.7. 函数＝在＝处切线的方程为＝，则＝（ ）A.B.C.D.△ABC O =BO −→−+23AB −→−13AC −→−+13AB −→−23AC −→−−+23AB −→−13AC −→−−+13AB −→−23AC −→−42622432404856f (x)= +2x ，x ≤0，x 2，x >0．2x −4x F (x)=f (x)−|kx −1|3x (0,)916(,+∞)916(0,)12(−,0)∪(0,)116916f(x)ln x +b x a y x a +b −2128. 在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了个小球，其中个是白球，个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在箱中各任意摸出一个小球；方法二：在箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则( )A.B.C.D.以上三种情况都有可能二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( )A.B.C.D.10. 已知名同学排成一排，下列说法正确的是 A.甲不站两端，共有种排法B.甲、乙必须相邻，共有种排法C.甲、乙不相邻，共有种排法D.甲不排左端，乙不排右端，共有种排法11. 下列命题中正确的有（ ）A.设为复数，如果，那么B.设为复数，如果，那么C.是复数为纯虚数的必要不充分条件D.复数的平方根是12. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，且，则下列说法正确的是( )10912010p 1p 2=p 1p 2<p 1p 2>p 1p 2y =−3x 3−xy =ln |x|y =tan xy =x 37()A 15A 66A 55A 22A 25A 55−2+A 77A 66A 55,z 1z 2−>0z 1z 2>z 1z 2,z 1z 2||>1z 1z 2||>||z 1z 2a =0a +bi (a,b ∈R)−9±3iABCD −A 1B 1C 1D 13BD 1θtan θ=23A.则该正四棱柱的外接球表面积为B.异面直线与所成角的余弦值为C.二面角的平面角大小为D.点到平面的距离为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设，，若，则________．14. 的展开式共有________项，其中含的项的系数是________．（用数字作答）15. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________.16. 已知是定义在上且周期为的奇函数，若当时，，则_________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数的定义域为集合，函数＝的定义域为集合．Ⅰ当＝时，求；Ⅱ若＝，求的值．18. 已知 .求的值；求的值；26πDC BD 1326−−√26B −D −A D 190∘D AB D 1634−−√17=(1,5,−1)a →=(−2,3,5)b →(k +)//(−3)a →b →a →b →k =(x −2y +z)8x 3y 3x 2ABCD −A 1C 1C 1D 1E F AD B 1D 1E A 1BF f(x)R 4x ∈(0,2)f(x)=12x f(2019)=f(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√A g(x)lg(−2x +a)x 2B ()a −8A ∩B ()A ∩B ∁R {x |−1<x ≤3}a f (x)=(1−x)2020=+x ++⋯+a 0a 1a 2x 2a 2020x 2020(1)+++⋯+a 1a 2a 3a 2020(2)+2+3+⋯+2020a 1a 2a 3a 2020++⋯+1111求的值． 19. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且每次命中的概率都是．求汽油罐被引爆的概率；如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于的概率． 20. 在四棱锥中， 底面，底面是边长为的菱形， ，是的中点．求证：平面平面；直线与平面所成角为，求二面角的余弦值． 21. 某校高三年级共有人，其中男生人，女生人，为调查该年级学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集名学生每周平均体育运动时间（单位：小时）的样本数据．根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）．其中样本数据分组区间为：，，，，，．（1）估计该年级学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率；（2）在样本数据中，有位女生的每周平均体育运动时间超过个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．男生女生总计每周平均体育运动时间不超过小时每周平均体育运动时间超过小时总计附：，．(3)+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020523X X 4P −ABCD PD ⊥ABCD ABCD 2∠DAB =60∘E AD (1)PBE ⊥PAD (2)PB PAD 45∘C −PE −D 1000650350200200[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12]620695%6620200=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d P(≥k)222. 已知函数．求函数 的单调性及极值；如果当 时，不等式 恒成立，求实数的取值范围．P(≥k)K 20.100.050.0100.005k 2.7063.8416.6357.879f(x)=1+ln x x(1)f(x)(2)x ≥1f(x)≥+k k 3x +1k参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】分式不等式的解法一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：集合,集合,所以.故选.2.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用特值即可判断其充分性与必要性均不成立即可得解.【解答】解：当， 时，满足 ，但不成立，即充分性不成立；当，时，满足 ，但不成立，即必要性不成立；M ={x|−3x −4<0}x 2={x|−1<x <4}N ={x|>0}13−x ={x|x <3}M ∩N ={x|−1<x <3}B b =−2a =−1b <1a ab <1a =−1b =2ab <1b <1a <1则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选．3.【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】求出样本中心坐标代入回归直线方程求解即可．【解答】＝＝，＝＝，线性回归方程为＝，可得＝．4.【答案】C【考点】向量的三角形法则向量加减混合运算及其几何意义【解析】由重心性质得，进行求解即可.【解答】解：取中点，连接，∵为的重心，∴，，三点共线，由重心性质得，∴b <1aab <1D 2x −24−2++=OA −→−OB −→−OC −→−0→AC D OD O △ABC B O D ++=OA −→−OB −→−OC −→−0→=+BO −→−OA −→−OC −→−=2OD −→−=2×13BD −→−=×(+)2312BA −→−BC −→−−+(−)1−→−1−→−−→−.故选．5.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①分为，的两组时，名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法．②分为，的两组时，有种分组方法，其中有种两名女志愿者单独成组的情况，则有种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法．故共有种分配方法．故选．6.【答案】D【考点】分段函数的应用函数的零点与方程根的关系函数的零点【解析】利用形数结合画出和图像，分析和,利用临界求出和，再利用斜率得出取值范围．=−+(−)13AB −→−13AC −→−AB −→−=−+23AB −→−13AC −→−C 33212C 36A 22×=2012C 36A 2224×=15C 46C 22114A 2214×=28A 2220+28=48C =f(x)y 1=|kx −1|y 2k >0k <0k =916k =−116【解答】解：由题得，即，有个交点，画出图像．当时，若有个交点满足临界条件，有唯一解，在时，得，有三个交点．当时，，若有唯一解，在时，得，.综上得．故选．7.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】f(x)=|kx −1|=f(x)y 1=|kx −1|y 23f(x)k >03kx −1=2x −4x x >0k =916∴0<k <916k <0=|kx −1|=y 1 −kx +1,x >1k kx −1,x ≤1k −kx +1=2x −4x x >0k =−116∴−<k <0116k ∈(−,0)∪(0,)116916D古典概型及其概率计算公式概率的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：方法一：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率 . 方法二：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率，，则 . 故选 .二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义结合函数的性质进行判断即可．【解答】解：， 是奇函数，且在定义域内是增函数，故此选项正确；， 是偶函数，故此选项不正确；，是奇函数，但在整个定义域内不单调，故此选项不正确；，是奇函数，且在定义域内是增函数，故此选项正确．故选.10.【答案】110=1−p 1()91020=C 19C 21015=1−p 2()4510−=−p 1p 2()4510()91020=−<0()4510()8110010<p 1p 2B A y =−3x 3−x B y =ln |x|C y =tan x D y =x 3ADA,D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】考察对排列组合基本问题的理解和计算.【解答】解：，甲不站两端，有种排法，正确；，甲、乙必须相邻，有 种排法，错误；，甲、乙不相邻，有种排法，错误；，甲不排左端，乙不排右端，则七人全排列，减去甲排左端，乙排右端情况，再加上一个甲排左端，乙排右端情况，有种排法，正确；故选.11.【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用复数的基本概念复数代数形式的乘除运算复数的模【解析】根据不全为实数的两个复数不能比较大小，可判断；根据复数运算法则以及模的计算公式可判断；根据纯虚数的概念和充分条件与必要条件的判断方法可判断；根据复数的平方根的概念，计算的平方的值，即可判断D.【解答】解：对于，对于复数，，尽管满足，若它们不都为实数，则不能比较大小.如，，满足，但不能推出，所以错误；对于，设， ，A =C 15A 66A 15A 66B A 66A 22C A 55A 26D −2+A 77A 66A 55AD A B C ±3i A z 1z 2−>0z 1z 2=2+i z 1=1+i z 2−>0z 1z 2>z 1z 2A B =a +bi z 1=c +di z 2(a,b,c,d ∈R,≠0)z 2∵==∣∣∣z 1z 2∣∣∣∣∣∣a +bi c +di ∣∣∣∣∣∣(ac +bd)+(bc −ad)i +c 2d 2∣∣∣=+(ac +bd)2(bc −ad)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+c 2d 2=>1−−−−−−√，，所以正确；对于，当，时，复数，可见是复数为纯虚数的不充分条件，又当复数为纯虚数时，则,可见是复数为纯虚数的必要条件，∴是复数为纯虚数的必要不充分条件，∴正确；对于D ，，复数的平方根是，∴正确.故选.12.【答案】A,B,D【考点】棱柱的结构特征直线与平面所成的角柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积球内接多面体【解析】【解答】解：连接，如图，由题得，四边形是正方形，且边长为，所以.又与底面所成的角，所以，所以，所以外接球的直径，所以该正四棱柱的外接球表面积为，故正确；因为，==>1+a 2b 2−−−−−−√+c 2d 2−−−−−−√||z 1||z 2∴||>||z 1z 2B C a =0b =0a +bi =0a =0a +bi (a,b ∈R)a +bi (a,b ∈R)a =0a =0a +bi (a,b ∈R)a =0a +bi (a,b ∈R)C ∵=−9(±3i)2∴−9±3i D BCD BD AD 1ABCD 2BD =AB =32–√2–√BD θ=∠BD D 1tan ∠BD =D 123D =2D 12–√2R =B ==D 1(3+(22–√)22–√)2−−−−−−−−−−−−−√26−−√4π=26πR 2A AB//CD ∠ABDDC所以就是异面直线与所成的角，所以，故正确；由题知平面，所以，，所以二面角等于，故错误；因为，，所以，设点到平面的距离为由等体积法可得，所以，即，解得，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】空间向量运算的坐标表示共线向量与共面向量【解析】利用向量的坐标运算和向量平行的性质求解．【解答】解：∵，，∴，，∵，∴，解得．故答案为：．14.【答案】,∠ABD 1DC BD 1cos ∠AB ===D 1AB BD 1326−−√326−−√26B D ⊥D 1ABCD D ⊥AD D 1D ⊥BD D 1B −D −A D 1∠ADB =45∘CD =2D 12–√AD =3A ==D 18+9−−−−√17−−√D AB D 1h=V −ABD D 1V D−ABD 1AD ×AB ×D =A ×AB ×h 13D 113D 1×3×3×2=××3×h 132–√1317−−√h =634−−√17D ABD −13=(1,5,−1)a →=(−2,3,5)b →k +=(k −2,5k +3,−k +5)a →b →−3=(7,−4,−16)a →b →(k +)//(−3)a →b →a →b →==k −275k +3−4−k +5−16k =−13−1345−4480【考点】二项式定理的应用二项展开式的特定项与特定系数【解析】本题中是三项和的次方，先把看作整体进行展开，再把含的项展开即可．【解答】解：，所以展开式中总共项，其中含的项是 项．所以的系数是故答案为：，15.【答案】【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量较易求解.【解答】解：设正方体棱长为，以为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成的角为，(x −2y +z)8x −2y x −2y =+z +(x −2y +z)8(x −2y)8C 18(x −2y)7C 28(x −2y)6z 2++C 38(x −2y)5z 3⋯++C 78(x −2y)1z 7z89+8+7+⋯+2+1==459(9+1)2x 3y 3z 2=28C 28(x −2y)6z 2(x −2y)6z 2x 3y 3z 228×=−4480.C 36(−2)345−4480.30−−√102D DA DC DD 1x y z (2,0,2)A 1E (1,0,0)B (2,2,0)F (1,1,2)=(−1,0,−2)E A 1−→−=(−1,−1,2)BF −→−E A 1BF θ⋅|−→−−→−则.故答案为：.16.【答案】【考点】函数的周期性函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，知是定义在上且周期为的奇函数，则，又由当时，，则则.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】函数有意义，则有，解得，-----------当＝时，＝，cos θ=|cos <,>|E A 1−→−BF −→−=|⋅|E A 1−→−BF −→−||⋅||E A 1−→−BF −→−=|−1×(−1)+0×(−1)+(−2)×2|⋅++(−1)202(−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√++(−1)2(−1)222−−−−−−−−−−−−−−−√=30−−√1030−−√10−12f(x)R 4f(2019)=f(−1+505×4)=f(−1)=−f(1)x ∈(0,2)f(x)=12xf(1)=12f(2019)=−f(1)=−12−12(I)f(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√{ 5−x ≥0x +1>0−1<x ≤5a −8g(x)lg(−2x −8)x 2−2x −8>02所以，解得或，-----------所以＝；------------＝＝，--------------由＝，可得，＝，-------------将＝带入方程，解得＝，＝，满足题意，所以＝．--------------【考点】交集及其运算交、并、补集的混合运算【解析】求出函数、的定义域，再根据交集的定义写出；根据补集与交集的定义，结合一元二次不等式与方程的知识，即可求出的值．【解答】函数有意义，则有，解得，-----------当＝时，＝，所以，解得或，-----------所以＝；------------＝＝，--------------由＝，可得，＝，-------------将＝带入方程，解得＝，＝，满足题意，所以＝．--------------18.【答案】解：，，所以. ，所以 .因为，所以.因为−2x −8>0x 2x >4x <−2A ∩B {x |4<x ≤5}(II)B ∁R {x |−2x +a ≤0}x 2{x |≤x ≤}x 1x 2A ∩(B)∁R {x |−1<x ≤3}≤−1x 1x 23x 23a −3x 1−1a −3(I)f(x)g(x)A ∩B (II)a (I)f(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√{ 5−x ≥0x +1>0−1<x ≤5a −8g(x)lg(−2x −8)x 2−2x −8>0x 2x >4x <−2A ∩B {x |4<x ≤5}(II)B ∁R {x |−2x +a ≤0}x 2{x |≤x ≤}x 1x 2A ∩(B)∁R {x |−1<x ≤3}≤−1x 1x 23x 23a −3x 1−1a −3(1)f (0)=1=a 0f (1)=0=+++⋯+a 0a 1a 2a 2020+++⋯+=f (1)−f (0)=−1a 1a 2a 3a 2020(2)(x)=−2020f ′(1−x)2019=+2x +3+⋯+2020a 1a 2a 3x 2a 2020x 2019+2+3+⋯+2020=(1)=0a 1a 2a 3a 2020f ′(3)=(0≤k ≤2020)a k C k 2020(−1)k+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020=−+−+⋯+1C 120201C 220201C 320201C 20202020=1C k 2020k!(2020−k)!2020!⋅k!(2020−k)!(2021−k +k +1)，所以原式，，所以的值为.【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】【解答】解：，，所以.，所以 .因为，所以.因为，所以原式=⋅20212022k!(2020−k)!(2021−k +k +1)2021!=⋅20212022(2021−k)!k!+[2021−(k +1)]!(k +1)!2021!=[−+]202120221C k 20211C k+12021=[−(+)+(+)202120221C 120211C 220211C 220211C 32021−(+)+...+(+)]1C 320211C 420211C 202020211C 20212021=[−]202120221C 202120211C 12021=10101011+++⋯+1a 11a 21a 31a 202010101011(1)f (0)=1=a 0f (1)=0=+++⋯+a 0a 1a 2a 2020+++⋯+=f (1)−f (0)=−1a 1a 2a 3a 2020(2)(x)=−2020f ′(1−x)2019=+2x +3+⋯+2020a 1a 2a 3x 2a 2020x 2019+2+3+⋯+2020=(1)=0a 1a 2a 3a 2020f ′(3)=(0≤k ≤2020)a k C k 2020(−1)k+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020=−+−+⋯+1C 120201C 220201C 320201C 20202020=1C k 2020k!(2020−k)!2020!=⋅20212022k!(2020−k)!(2021−k +k +1)2021!=⋅20212022(2021−k)!k!+[2021−(k +1)]!(k +1)!2021!=[−+]202120221C k 20211C k+12021=[−(+)+(+)202120221C 120211C 220211C 220211C 32021−(+)+...+(+)]1C 320211C 420211C 202020211C 20212021[−]，，所以的值为. 19.【答案】解汽油罐被引爆的对立事件为油罐没有被引爆，没有引爆的可能情况是：射击次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为．所以所求的概率为．表示前次中只有一次击中，第四次击中，则．当时，表示前次射击只击中一次或一次也未击中，第次可以击中，也可以不击中，则．所以所求概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】略略20.【答案】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，=[−]202120221C 202120211C 12021=10101011+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020101010115⋅⋅(+(=C 152313)413)5112431−=11243232243X =43P (X =4)=⋅⋅(⋅=C 132313)223427X =545P (X =5)=⋅⋅(+(=C 142313)313)419P (X ≥4)=P (X =4)+P (X =5)=+=42719727(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，．所以在中，，．以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面所成的角直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的判定【解析】BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =45∘Rt △BPE PE =BE =AD =3–√23–√Rt △DPE DE =AD =112PD ==P −D E 2E 2−−−−−−−−−−√2–√E EA −→−x EB −→−y ||EA −→−E −xyz P(−1,0)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(1,,)m →23–√12–√(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →234−−√17C −PE −D 234−−√17证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，．所以在中，，．以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．21.(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =45∘Rt △BPE PE =BE =AD =3–√23–√Rt △DPE DE =AD =112PD ==P −D E 2E 2−−−−−−−−−−√2–√E EA −→−x EB −→−y ||EA −→−E −xyz P(−1,0)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(1,,)m →23–√12–√(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →234−−√17C −PE −D 234−−√17【考点】独立性检验的应用频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解：，则，当时， ；当 时，.所以 在 上单调递增，在 上单调递减．所以 在 处取得极大值不等式，即为，记，所以.令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，从而，故在上也单调递增，所以，所以 ，即 ，解得 .【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性(1)f(x)=1+ln x x (x)=−(x >0)f ′ln x x 20<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′f(x)(0,1)(1+∞)f(x)x =1 1.(2)f(x)≥+k k 3x +1≥+k (x +1)(1+ln x)x k 3g(x)=(x +1)(1+ln x)x g'(x)=[(x +1)(1+ln x)x −(x +1)(1+ln x)]′x 2=x −ln x x 2h(x)=x −ln x h'(x)=1−1x x ≥1h (x)≥0′h(x)[1,+∞)[h(x)=h(1)=1>0]min g (x)>0′g(x)[1,+∞)[g(x)=g(1)=2]min +k ≤2k 3(k −1)(+k +2)≤0k 2k ≤1（1）因为，，，则，利用函数的单调性和函数在区间（其中）上存在极值，能求出实数的取值范围．（2）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数的取值范围．【解答】解：，则，当时， ；当 时，.所以 在 上单调递增，在 上单调递减．所以 在 处取得极大值不等式，即为，记，所以.令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，从而，故在上也单调递增，所以，所以 ，即 ，解得 .f(x)=1+ln x x x >0x >0f'(x)=−ln x x 2f(x)(a,a +)12a >0a f(x)≥k x +1≥k (x +1)(1+ln x)x g(x)=(x +1)(1+ln x)x k (1)f(x)=1+ln x x (x)=−(x >0)f ′ln x x 20<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′f(x)(0,1)(1+∞)f(x)x =1 1.(2)f(x)≥+k k 3x +1≥+k (x +1)(1+ln x)x k 3g(x)=(x +1)(1+ln x)x g'(x)=[(x +1)(1+ln x)x −(x +1)(1+ln x)]′x 2=x −ln x x 2h(x)=x −ln x h'(x)=1−1x x ≥1h (x)≥0′h(x)[1,+∞)[h(x)=h(1)=1>0]min g (x)>0′g(x)[1,+∞)[g(x)=g(1)=2]min +k ≤2k 3(k −1)(+k +2)≤0k 2k ≤1。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知，，若，则实数的值为（ ）A.B.C.D.2. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ）A. B. C.D.3. 若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件=(1,5,−2)AB −→−=(3,1,z)BC −→−⊥AB −→−BC −→−z 52342ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BC CC 1P BCC 1B 1P A 1AEF P A 1D.既不充分也不必要条件4. 已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的余弦值等于 A.B.C.D.5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A.B.C.D.6. 袋中装有形状和大小完全相同的个黑球，个白球．从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（ ）A.B.C.D.7. 是的零点，若，则的值满足( )A.的符号不确定B.C.D.ABCD −A 1B 1C 1D 1∠ABC =60∘BC 1ABB 1A 1()6–√42–√210−−√43–√2ξN (2,)σ2P (ξ<4)=0.9P (0<ξ<2)=0.20.30.40.64347271213a f (x)=−x ()13xlog 20<<a x 0f ()x 0f ()x 0f ()<0x 0f ()=0x 0f ()>0x 08. 现有个相同的小球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机抽取两次，每次抽取一个球，记：事件表示“第一次取出的球数字是”，事件表示“第二次取出的球数字是”，事件表示“两次取出的球的数字之和为”，事件表示“两次取出的球的数字之和为”，则下列选项正确的是（ ）A.事件和事件相互独立B.事件和事件C 相互独立C.事件和事件D 相互独立D.事件和事件相互独立9. 从某班名学生（其中男生人，女生人）中任选人参加学校组织的社会实践活动．设所选人中女生人数为，则数学期望( )A.B.C.D.10. 设直线系＝，，对于下列四个命题：①中所有直线均经过一个定点；②存在定点不在中的任意一条直线上；③对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；④中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的是（ ）A.②③B.①④C.②③④D.①②11. 已知函数，，若，其中，则的取值范围是（ ）A.B.C.512345A 2B 3C 8D 6A C B B C D 64233ξEξ=451752M :x cos θ+(y −2)sin θ10≤θ≤2πM P M n n ≥3n M M f (x)=xe x g(x)=x ln x f ()=g()=t x 1x 2t >0ln tx 1x 2(−∞,e](−∞,]1e (−∞,]1e 2−∞,]1D.12. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足，，，则函数( )A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，也有极小值D.既无极大值，也无极小值卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 命题，，则￢为________．14. 函数的单调递增区间是________.15. 若展开式中的系数为，则________ .16. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数的取值范围为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 月日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数（1）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用表示抽得甲组学生的人数，求的分布列和数学期望．18. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点．求点到平面的距离；求与平面所成的角的余弦值．(−∞,]1e 3(0,+∞)f (x)x (x)−f (x)=x f ′e x f (1)=−3f (2)=0f (x)p :∀x ≥0−ax +3>0x 2p f (x)=2x −ln x (1+a )x 2(1+x)4x 312a =f (x)=(x +1)sin x +cos x ，∈[0,](≠)x 1x 2π2x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2a 42310912631010X X 4ABCD −A 1B 1C 1D 1E F A 1B 1B 1C 1(1)D BEF (2)BD BEF19. 随着互联网金融的发展，很多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条等．花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多后来说，他们更习惯提前消费．某研究机构随机抽取了名后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：信用支付方式银行信用卡蚂蚁花呗 京东白条其他人数每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率．估计后使用蚂蚁花呗的概率；在所抽取的人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取人，再在这人中随机抽取人，记为这人中使用蚂蚁花呗的人数，求的分布列及数学期望和方差． 20.①已知，求②已知 求;求过点的曲线的切线方程.21. 如图，在三棱柱中，平面是侧面的对角线的交点，分别是中点.求证：平面；求证：平面平面. 22. 已知函数.讨论函数的单调性；对任意，求证：.90100090300a 15050(1)90(2)1000884X 4X (1)f (x)=1+x 1−x e −x (2)f ′f (x)=ln x +1e x(1)f ′(2)Q (1,−1)y =−2x x 3ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC,AB =AC,M A C A 1C 1D,E AB,BC (1)MD//B A 1C 1(2)MAE ⊥BCC 1B 1f (x)=1+(a +1)x +ln x (1)f (x)(2)x >0+1+(a +1)x >f (x)2e xxe2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】空间向量运算的坐标表示【解析】根据，则，然后利用数量积的坐标关系建立等式，可求出的值．【解答】解：∵，，，∴即，解得：．故选：．2.【答案】B【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】⊥AB −→−BC −→−⋅=0AB −→−BC −→−z =(1,5,−2)AB −→−=(3,1,z)BC −→−⊥AB −→−BC −→−⋅=0AB −→−BC −→−1×3+5×1+(−2)×z =0z =4D必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由题意命题甲是命题乙的充分非必要条件，可得甲已，命题丙是命题乙的必要非充分条件，可得已丙，命题丁是命题丙的充要条件，可得丁丙，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，故选．4.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：直四棱柱的所有棱长相等，，所以底面是菱形，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设棱长为，则，所以，，，设平面的法向量为，所以令，则，，所以，设直线与平面所成的角为,⇒⇒⇔B ABCD −A 1B 1C 1D 1∠ABC =60°O 2A(0,1,0)，B(,0,0)，(,0,2)，(0,1,2)，(0,−1,2)3–√B 13–√A 1C 1=(,−1,2)AB 1−→−3–√=(0,0,2)AA 1−→−=(−,−1,2)BC 1−→−3–√ABB 1A 1=(x,y,z)n →⋅=x −y +2z =0,n →AB 1−→−3–√⋅=2z =0,n →AA 1−→−x =3–√y =3z =0=(,3,0)n →3–√BC 1ABB 1A 1θθ=⋅|−→−所以,所以.故选.5.【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解 因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线的对称轴是直线．又因为，所以，因此．6.【答案】C【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】解：设第一次摸到黑球为事件，则，第二次摸到白球为事件，则，设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为．故选．7.sin θ=|⋅|n →BC 1−→−||||n →BC 1−→−=|−3−3|×8–√12−−√=6–√4cos θ==1−θsin 2−−−−−−−−√10−−√4C ξN (2,)σ2x =2P (ξ<4)=0.9P (ξ≥4)=0.1P (0<ξ<2)=0.5−0.1=0.4A P(A)=47B P(AB)=×4736P(B|A)===P(AB)P(A)×47364712C【答案】D【考点】函数的零点利用导数研究函数的单调性【解析】根据，的是上的减函数，，可得的值的符号．【解答】解：∵为函数的零点，∴，∵，且，∴，且，∴在上是减函数.∵，∴.故选．8.【答案】C【考点】相互独立事件【解析】根据题意，计算基本事件总的个数，依次判断事件所包含的基本事件个数，求得四个事件的概率，再求，，，，根据公式判断四个事件的独立性．【解答】解：由题意可知，基本事件的总数为，事件所包含的基本事件为 ， ， ， ， ，事件所包含的基本事件为 ，， ，， ，事件所包含的基本事件为 ， ， ，事件所包含的基本事件为 ， ， ， ， ，，，，，0<<a x 0f(x)=(−x 13)x log 2(0,+∞)f()=0x 0f(a)a f(x)=(−x 13)x log 2f(a)=0f(x)=(−x13)x log 2x >0(x)=(ln −f ′13)x 131x ln 2(x)<0f ′f(x)(0,+∞)0<<a x 0f()>0x 0D ABCD P （A ∩C ）P （B ∩C ）P （B ∩D ）P （C ∩D ）P （A ∩B ）=P (A)P (B)5×5=25A (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)B (1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)C (3,5)(4,4)(5,3)D (1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)P(A)=15P(B)=15P(C)=325p(D)=15(AB)=1(AD)=1(BC)=1(BD)=1，，，，，，则,∴事件与事件相互独立，故选．9.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】先找到的所有可能取值，求出每种情况的概率，就可得到的分布列，再根据期望的计算公式计算出的期望值即可．【解答】解：的所有可能取值为，，．依题意，得，，．∴的分布列为∴．故选.10.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】可令，可得直线系表示圆 ＝ 的切线的集合，可判断①；对任意，存P(AB)=125P(AC)=0P(AD)=125P(BC)=125P(BD)=125P(CD)=0P(BD)=P(B)⋅P(D)B D C ξξξξ012P(ξ=0)==C 34C 3615P(ξ=1)==C 24C 12C 3635P(ξ=2)==C 14C 22C 3615ξξ012P153515Eξ=0×+1×+2×=1153515B M +(y −2x 2)21θ(0,2)+(y −22)2在定点不在直线系中的任意一条上，可判断②；考虑圆 ＝ 的外切正 边形，可判断③；中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，可判断④．【解答】由直线系＝，可令，消去可得 ＝，故直线系表示圆 ＝ 的切线的集合，故①不正确；因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确；由于圆 ＝ 的外切正 边形，所有的边都在直线系中，故③正确；中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确．综上，正确的命题是 ②③．11.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，，，则，作函数的草图如下，由图可知，当时，有唯一解，故，且，∴，设，则，令，解得，易得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故，(0,2)M +(y −2x 2)21n M M :x cos θ+(y −2)sin θ1(0≤θ≤2π)θ+(y −2x 2)21M +(y −2x 2)21θ(0,2)M +(y −2x 2)21n M M ABC ADE =t x 1e x 1ln =t x 2x 2ln =t x 2e ln x 2f(x)=xe x t >0f(x)=t x 1=ln x 2>0x 1==ln t x 1x 2ln t ln x 2x 2ln t t h(t)=,t >0ln t t (t)=h ′1−ln t t 2(t)=0h ′t =e t ∈(0,e)(t)>0h ′h(t)t ∈(e,+∞)(t)<0h ′h(t)h(t)≤h(e)=1eln t −∞,]1即的取值范围是．故选．12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】直接构造函数，再研究函数的单调性即可得出答案.【解答】解：设，∵∴在上是增函数，∵，∴，∵在上是增函数，∴在上是增函数，又，，故在上先负值，后正值，故函数有极小值，无极大值．故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，【考点】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．ln tx 1x 2(−∞,]1eB F (x)=f(x)x ==>0,()f (x)x ′x (x)−f (x)f ′x 2e x xF (x)=f (x)x (0,+∞)x (x)−f (x)=x f ′e x (x)=+f ′f (x)x e x y =e x (0,+∞)(x)f ′(0,+∞)(1)=−3+e <0f ′(2)=0+>0f ′e 2(x)f ′(0,+∞)y =f (x)B ∃x ≥0−ax +3≤0x 2【解答】解：命题是全称命题，则全称命题的否定是特称命题．即￢，.故答案为：，.14.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求导，令，解不等式即可.【解答】解：函数的定义域为，∴ ，令，解得，∴函数的单调递增区间为.故答案为：.15.【答案】【考点】二项式系数的性质【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：已知二项式的通项为，①当时，系数为，②当时，系数为 ,p :∃x ≥0−ax +3≤0x 2∃x ≥0−ax +3≤0x 2[,+∞)12(x)=2−≥0f ′1xf (x)=2x −ln x(0,+∞)(x)=2−f ′1x (x)=2−≥0f ′1x x ≥12f (x)=2x −ln x [,+∞)12[,+∞)122(1+x)4=⋅T r+1C r 414−r x r r =3=411C 34r =1=413C 143则的系数为，解得.故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，，则，故在上单调递增，不妨设，则，，∴由，可得成立，即.令，则，令，分离参数得，∴，∴在上单调递减，故，即的取值范围为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为，，，，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一小组的取法共有，所以这两名学生来自同一个小组的概率．由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为，．的可能取值为，，，x 34+4a =12a =22a ≥1f(x)=(x +1)sin x +cos x =x sin x +sin x +cos x (x)=sin x +x cos x −sin x +cos x =(x +1)cos x >0f ′f(x)[0,]π2>x 1x 2>e x 1e x 2f()>f()x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2f()−f()<a −a x 1x 2e x 1e x 2f()−a <f()−a x 1e x 1x 2e x 2g(x)=x sin x +sin x +cos x −ae x (x)=cos x +x cos x −a ≤0g ′e x h(x)=cos x +x cos x a ≥h(x)=F(x)e −x (x)=(−sin x −x sin x −x cos x)≤0F ′e −x F(x)[0,]π2a ≥F(x =F(0)=1)max a a ≥1a ≥1342110=45C 210++=10C 23C 24C 22P ==1045291032X 012(X =0)==2，，．∴的分布列为： ．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）从四个小组中抽取的人数分别为，，，，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一小组的取法共有，由此能求出这两名学生来自同一个小组的概率．（2）在参加问卷调查的名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为，．的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【解答】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为，，，，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一小组的取法共有，所以这两名学生来自同一个小组的概率．由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为，．的可能取值为，，，，，．∴的分布列为： ．18.P(X =0)==C 22C 25110P(X =1)==C C 3121C 2535P(X =2)==C 23C 25310X X 012P 11035310E(X)=0×+1×+2×=1103531065342110=45C 210++=10C 23C 24C 221032X 012X 342110=45C 210++=10C 23C 24C 22P ==1045291032X 012P(X =0)==C 22C 25110P(X =1)==C C 3121C 2535P(X =2)==C 23C 25310X X 012P 11035310E(X)=0×+1×+2×=1103531065【答案】解：如图所示，以点为原点建立如图空间直角坐标系，依题意，得，，，，则，，设平面的法向量为，则，，则，即，由此取，可得平面的一个法向量为，又由，所以点到平面的距离为．设与平面所成角为，则，且，所以与平面所成角的余弦值为．【考点】点、线、面间的距离计算用空间向量求直线与平面的夹角【解析】无无【解答】解：如图所示，以点为原点建立如图空间直角坐标系，(1)A A −xyz B (4,0,0)D (0,4,0)E (2,0,4)F (4,2,4)=(−2,0,4)BE −→−=(0,2,4)BF −→−BEF =(x,y,z)n →⊥n →BE −→−⊥n →BF −→− ⋅=−2x +4z =0n →BE −→−⋅=2y +4z =0n →BF −→−{x =2z y =−2z z =1BEF =(2,−2,1)n →=(4,−4,0)DB −→−D BEF d =|⋅|DB −→−n →||n →=4×2+(−4)×(−2)+0×1++22(−2)212−−−−−−−−−−−−−√=163(2)BD BEF θθ∈(0,)π2sin θ=|cos , |DB −→−n →=|⋅|DB −→−n →||⋅||DB −→−n →=d ||DB −→−=163+42(−4)2−−−−−−−−−√=22–√3BD BEF cos θ=1−θsin 2−−−−−−−−√=)1−(22–√3)2−−−−−−−−−−√=13(1)A A −xyz依题意，得，，，，则，，设平面的法向量为，则，，则，即，由此取，可得平面的一个法向量为，又由，所以点到平面的距离为．设与平面所成角为，则，且，所以与平面所成角的余弦值为．19.【答案】解：（人），所以后使用蚂蚁花呗的概率为；这人中使用信用卡的人数为人，则使用蚂蚁花呗的人数为人，则随机变量的取值为，，，，所以，，，．所以随机变量分布列为B (4,0,0)D (0,4,0)E (2,0,4)F (4,2,4)=(−2,0,4)BE −→−=(0,2,4)BF −→−BEF =(x,y,z)n →⊥n →BE −→−⊥n →BF −→−⋅=−2x +4z =0n →BE −→−⋅=2y +4z =0n →BF −→−{x =2z y =−2z z =1BEF =(2,−2,1)n →=(4,−4,0)DB −→−D BEF d =|⋅|DB −→−n →||n →=4×2+(−4)×(−2)+0×1++22(−2)212−−−−−−−−−−−−−√=163(2)BD BEF θθ∈(0,)π2sin θ=|cos , |DB −→−n →=|⋅|DB −→−n →||⋅||DB −→−n →=d ||DB −→−=163+42(−4)2−−−−−−−−−√=22–√3BD BEF cos θ=1−θsin 2−−−−−−−−√=)1−(22–√3)2−−−−−−−−−−√=13(1)a =1000−300−150−50=50090=0.55001000(2)88×=3300300+5005X 1234P(X =1)==C 33C 15C 48114P(X =2)==C 23C 25C 4837P(X =3)==C 13C 35C 4837P(X =4)==C 45C 48114X故，．【考点】用频率估计概率离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：（人），所以后使用蚂蚁花呗的概率为；这人中使用信用卡的人数为人，则使用蚂蚁花呗的人数为人，则随机变量的取值为，，，，所以，，，．所以随机变量分布列为故，．20.X 1234P 1143737114E(X)=1×+2×+3×+4×=114373711452D(X)=×(1−)522114+×+(2−)52237×+(3−)52237×=(4−)5221141528(1)a =1000−300−150−50=50090=0.55001000(2)88×=3300300+5005X 1234P(X =1)==C 33C 15C 48114P(X =2)==C 23C 25C 4837P(X =3)==C 13C 35C 4837P(X =4)==C 45C 48114X X 1234P 1143737114E(X)=1×+2×+3×+4×=114373711452D(X)=×(1−)522114+×+(2−)52237×+(3−)52237×=(4−)5221141528【答案】解：①，;②，.设为切点，则切线的斜率为，故切线方程为，即，又知切线过点，代入上式得，即，解得或，故所求的切线方程为：或，即或．【考点】导数的运算简单复合函数的导数导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】无无【解答】解：①，;②，.设为切点，则切线的斜率为，故切线方程为，即，又知切线过点，代入上式得，即，解得或，故所求的切线方程为：或，即或．21.【答案】证明：棱柱的侧面对角线的交点，是中点.是中点，.平面平面，∴平面.(1)(x)=f ′+1x 2(1−x)2e −x (2)=5f ′e −2(x)=f ′1−x −ln x xe x (1)=0f ′(2)P (,)x 0y 0()=3−2f ′x 0x 20y −=(3−2)(x −)y 0x 20x 0y −(−2)=(3−2)(x −)x 30x 0x 20x 0(1,−1)−1−(−2)=(3−2)(1−)x 30x 0x 20x 02−3+1=0x 30x 20=1x 0=−x 012y +1=x −1y +1=−(x −1)54x −y −2=05x +4y −1=0(1)(x)=f ′+1x 2(1−x)2e −x (2)=5f ′e −2(x)=f ′1−x −ln x xe x (1)=0f′(2)P (,)x 0y 0()=3−2f ′x 0x 20y −=(3−2)(x −)y 0x 20x 0y −(−2)=(3−2)(x −)x 30x 0x 20x 0(1,−1)−1−(−2)=(3−2)(1−)x 30x 0x 20x 02−3+1=0x 30x 20=1x 0=−x 012y +1=x −1y +1=−(x −1)54x −y −2=05x +4y −1=0(1)∵M AA 1C C ∴M AC 1∵D AB ∴MD//BC1∵MD ⊂B ，B ⊂A 1C 1C 1B A 1C 1MD//B A 1C 1(2)∵AB =AC ，E BC是中点，.平面，平面，棱柱,平面.平面.平面平面平面【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：棱柱的侧面对角线的交点，是中点.是中点，.平面平面，∴平面.是中点，.平面，平面，棱柱,平面.平面.平面平面平面22.【答案】解：由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．证明：要证，(2)∵AB =AC ，E BC ∴AE ⊥BC ∵A ⊥A 1ABC AE ⊂ABC ∴A ⊥AE.A 1∵B //A B 1A 1∴B ⊥AE.B 1∵B ∩BC =B,B ,BC ⊂B 1B 1BCC 1B 1∴AE ⊥BCC 1B 1∵AE ⊂MAE ，∴MAE ⊥BC .C 1B 1(1)∵M AA 1C C ∴M AC 1∵D AB ∴MD//BC 1∵MD ⊂B ，B ⊂A 1C 1C 1B A 1C 1MD//B A 1C 1(2)∵AB =AC ，E BC ∴AE ⊥BC ∵A ⊥A 1ABC AE ⊂ABC ∴A ⊥AE.A 1∵B //A B 1A 1∴B ⊥AE.B 1∵B ∩BC =B,B ,BC ⊂B 1B 1BCC 1B 1∴AE ⊥BCC 1B 1∵AE ⊂MAE ，∴MAE ⊥BC .C 1B 1(1)f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(2)+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2>ln x 2x令，则 . 易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以 · 令，则 . 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 ．综上，即 . 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】（1）由题意得，的定义域为， . 当时，恒成立，∴在上单调递增．当时，令，解得，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减．【解答】解：由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．证明：要证，即证，g(x)=x 2(x)=g ′(x −2)e x x 3g(x)(0,2)(2,+∞)g =g(2)=(x)min e 24⋅≥×=2e 2e x x 22e 2e 2412h (x)=ln x x (x)=h ′1−ln x x 2h (x)(0,e)(e,+∞)h =h (e)=<(x)max 1e 12⋅>2e 2e x x 2ln x x +1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(1)f (x)(0,+∞)(x)=a +1+=f ′1x (a +1)x +1x a ≥−1(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <−1(x)>0f ′x <−1a +1(x)<0f ′x >−1a +1f (x)(0,−)1a +1(−,+∞)1a +1(2)+1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2⋅>ln x 2e 2e x x >2x ln x则 . 易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以 · 令，则 . 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 ．综上，即 . (x)=g ′x 3g(x)(0,2)(2,+∞)g =g(2)=(x)min e 24⋅≥×=2e 2e x x 22e 2e 2412h (x)=ln x x (x)=h ′1−ln x x 2h (x)(0,e)(e,+∞)h =h (e)=<(x)max 1e 12⋅>2e 2e x x 2ln x x +1+(a +1)x >f (x)2e x xe 2。