电路理论第六章-1

y/w
O
t
周期T (period)和频率f (frequency) :
1 f T
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imsin(w t+y)
(1)幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2)角频率(angular frequency)w 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
正弦电流、电压的有效值
1 U T
def

T
0
u ( t )dt
2
设 i(t)=Imsin(w t+ )
1 T 2 2 I 0 I m sin ( w t Ψ ) dt T


T
0
sin ( ω t + Ψ ) dt =
2
T
0
1 - cos2(ω t + Ψ ) 1 dt = t 2 2
例
100
i
50
已知正弦电流波形如图，w＝ 103rad/s，（1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解
i(t) = 100sin(10 t + θ)
3
0
t = 0 50 = 100sinθ
θ = π 6 or 2π 3 由于最大值发生在计时起点之后 6 π 3 i(t) = 100sin(10 t + ) 6 3 3 当 10 t1 3 有最大值 t1＝ 3 ＝1.047ms 10


jwt

jwt
2 U 2 e ) Im ( 2(U 1 U 2 )e jwt )

jwt


可得其相量关系为：
U U1 U 2
U
i1 i2 = i 3
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
I1 I 2 I 3
例
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V

解
547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 例2 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 解 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
0
j 3π 4 ( π 2) 5π 4 π j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
i , Im , I
6.2 正弦量的相量表示
1. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b
A=a+jb (j 1 为虚数单位)
Im b A |A|
A

0 a Re 0 a
j
Re
A a jb
A | A | e
j
A | A | e
| A | (cos j sin ) a jb
T 0
1 = T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
i(t) = I m sin(ω t +Ψ) = 2Isin(ω t +Ψ)
Im 2I
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) y 反映正一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i 一般规定：| | 。 0 t
y = /2 y =0
y =－/2
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、 同符号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其大小工程上采用有效值来表示。

180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
Im
A• ej
A Re
(3) 旋转因子：
复数
ej =cos
+jsin =1∠
0
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模 不变。故把 ej 称为旋转因子。
(1) 同频率正弦量的加减 u1 (t ) 2 U1 sin(w t Ψ 1 ) Im ( 2 U 1 e jw t )

u2 (t ) 2 U 2 sin(w t Ψ 2 ) Im ( 2 U 2 e jw t )
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Im ( 2 U 1 e ) Im ( 2 U 2 e jwt ) Im ( 2 U 1 e
jω t


2Ie
jω t
A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
称 I IΨ

为正弦量 i(t) 对应的相量。

i(t ) 2 I sin(w t Ψ ) I I Ψ
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
2. 正弦量的相量表示 i1 = 2 I1 sin(ω t + ψ1 ) 两个正弦量的相加 角频率： w 有效值： u, i i1 I1 i1 0
i2 = 2 I 2 sin(ω t + ψ2 )
w
i2
i2 I2
i1+i2 i3 i3 w
I3 wt
初相位： 1
2 Ie j( wt )
对A(t)取虚部：Im[A(t )] 2sin(w t Ψ ) 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复函数
i 2I sin (w t Ψ ) A(t ) 2Ie
A(t)还可以写成 A( t )
j(w t Ψ )
2 Ie e
复常数
jψ
A | A | e | A |
j
两种表示法的关系：
A=a+jb A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im b
A
|A|

0 a Re
| A | a 2 b 2 b θ arctg a 复数运算
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
U=380V，Um537V。 (1) 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备 铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐 注 压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压 水平时应按最大值考虑。
(2) 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 (3)区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
几种不同值时的旋转因子
Im

e
j

2
jI
I
,

2
cos

2
j sin
2

2
0
j
Re
jI
I
, e 2
j
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e j cos( ) j sin( ) 1
u (t ) 2U sin(w t θ ) U U θ
例1 已知
i 141.4sin(314t 30 )A
o

解
I 100 30 o A U 220 60 o V

u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
u
wt
j
i
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i
j ＝ 0， 同相：
u, i u i 0
u
0 u, i u i 0 iw t
wt
j= /2： u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2；i 落后 u /2, 不说 i 领 先 u 3/2。
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
物 理 意 义
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )