三参数威布尔分布的置信限

西南交《可靠性理论》离线作业一、单项选择题(只有一个选项正确，共10道小题)1. 失效率的浴盆曲线的三个时期中，不包括下列的（C）(A) 早期失效期(B) 随机失效期(C) 多发失效期(D) 耗损失效期2. 指数分布具有的特点中，不包括下列的（D）(A) 失效率为常数(B) 概率密度函数单调下降(C) 无记忆性(D) 多适用于机械产品3. 可靠性的特征量中，不包含下列的（D）(A) 可靠度(B) 失效率(C) 平均寿命(D) 性价比4. 失效率为常数的可靠性分布是（B）(A) 威布尔分布(B) 指数分布(C) 正态分布(D) 二项分布5. 可靠性特征量失效率的单位可以是（A）(A) 菲特(B) 小时(C) 个(D) 秒6. 常见的冗余系统结构中，不包含下列的（A）(A) 串联结构(B) 并联结构(C) n中取k结构(D) 冷储备系统结构7. 三参数威布尔分布的三个参数中，不包含下列的（B）(A) 位置参数(B) 特征参数(C) 尺度参数(D) 形状参数8. 一个由三个相同的单元组成的3中取2系统，若该单元的可靠度均为0.8，则系统的可靠度为：（C）(A) 0.512(B) 0.992(C) 0.896(D) 0.7649. 有四个相同的单元组成的系统中，其可靠度最高的系统结构是：（B）(A) 四个单元串联(B) 四个单元并联(C) 两两串联后再互相并联(D) 两两并联后再互相串联10. 故障树分析方法的步骤不包括以下的：（D）(A) 系统的定义(B) 故障树的构造(C) 故障树的评价(D) 故障树的拆散三、判断题(判断正误，共5道小题)11.（T）产品的故障密度函数反映了产品的故障强度。

12.（T）与电子产品相比，机械产品的失效主要是耗损型失效。

13.（F）相似产品可靠性预计法要求新产品的预计结果必须好于相似的老产品。

14.（T）故障树也是一种可靠性模型。

15.（F）一个由两个相同的单元并联组成的系统，若该单元服从指数分布且失效率为λ，则系统也服从指数分布且失效率为λ/2。

可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析郭必柱;邓建【摘要】对可靠性分析中疲劳寿命Weibull分布的参数估计方法进行研究.在研究相关系数优化法的基础上,提出一种新的参数估计方法--割线优化法.在MATLAB的基础上改进了概率权重矩法,使此参数估计方法精度提高并使之更方便于工程计算.给出了计算Weibull三参数的MATLAB语言程序,并对这三种参数估计方法进行了分析比较.运用这些方法进行工程实例计算,计算结果表明割线优化法有较高的精度.通过实例计算确定了各方法工程应用上的差异及其适用范围,对工程人员选用合适参数估计方法起一定指导作用.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)025【总页数】6页(P6117-6122)【关键词】可靠性;威布尔分布;相关系数;割线优化法;超过概率权重矩【作者】郭必柱;邓建【作者单位】中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083;中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O213.2;TB114.3自从 W.Weibull1951年在二参数威布尔分布的基础上建立了三参数模型[1,2],并用之建模处理大量的失效数据以来,三参数的威布尔分布模型在结构疲劳可靠性理论乃至整个可靠性学科中都成为了十分常用和重要的概率分布[3—6]。

在可靠性领域常见的几种概率分布,如指数分布、瑞利分布等,可看作是威布尔分布的特例。

而常见系统中元件的可靠性参数(如失效概率);工程材料的疲劳寿命和强度分布都可用威布尔分布很好地描述,因此,研究威布尔分布就有十分广泛的实际意义[7]。

然而,三参数威布尔分布模型的参数估计正因为含有 3个参数而变得复杂,所以能根据样本失效数据对三个参数进行准确估计,在结构疲劳可靠性研究方面具有十分重要的意义。

因此,国内外一直有人在致力于相关研究。

早期的做法通常是先由作图法得到位置参数,然后线性回归分析得形状参数和尺度参数[8,9],然而小样本作图法误差大,相关研究人员找到了新的参数估计方法。

三参数威布尔分布引言在统计学和概率论中，分布函数是描述随机变量的概率分布的函数。

三参数威布尔分布是一种常见的概率分布，它被广泛应用于可靠性工程和生物学领域。

本文将详细介绍三参数威布尔分布的定义、特性、参数估计方法以及在实际问题中的应用。

定义和性质三参数威布尔分布是一种连续分布，它由三个参数所决定：形状参数（shape parameter ）k 、尺度参数（scale parameter ）λ和位置参数（locationparameter ）δ。

其概率密度函数（Probability Density Function ，简称PDF ）可以表示为：f (x;k,λ,δ)={k λ(x −δλ)k−1exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ,其中，k >0表示形状参数，λ>0表示尺度参数，δ表示位置参数。

三参数威布尔分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function ，简称CDF ）可以表示为：F (x;k,λ,δ)={1−exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ.三参数威布尔分布具有以下性质：1. 分布函数单调递增：对于任意两个取值x 1<x 2，若x 1≥δ且x 2≥δ，则F (x 1)≤F (x 2)；2. 形状参数的取值对分布形态的影响：当k >1时，分布函数右偏，而当0<k <1时，分布函数左偏；3. 尺度参数的取值对分布的定位和尺度的变动起到作用：当λ增大时，分布函数向右平移，且尖峰逐渐变宽；4. 位置参数的取值决定了分布函数的起点。

参数估计方法在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计三参数威布尔分布的参数。

常用的估计方法包括最大似然估计法和矩估计法。

最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本的似然函数来估计参数值。

对于三参数威布尔分布，最大似然估计法的步骤如下：1.假设样本X1,X2,...,X n是独立同分布的三参数威布尔分布随机变量；2.构建似然函数L(k,λ,δ)，即样本的联合概率密度函数；3.对似然函数取对数得到对数似然函数l(k,λ,δ)；4.求解对数似然函数的一阶偏导数，令其为零，解得参数的最大似然估计值。

基于三参数威布尔可靠性模型的航空装备故障预测研究作者：孙扩赵波杨航来源：《航空维修与工程》2020年第10期摘要：针对目前我军装备保障任务维修中存在的设备故障率高和过度检修等问题，以三参数威布尔为基础，基于某飞机历年的故障记录数据，针对该型飞机的几个重要设备开展可靠度建模，并在故障預测中加以验证，与历年同时段同架次飞机故障数据进行对比，验证了该模型和预测方法具有可行性。

关键词：三参数威布尔；可靠度建模；航空设备；故障预测Keywords：three parameters Weibull；reliability modeling；aviation equipment；failure prediction0 引言航空装备维修保障主要有三类：事后维修、定期维修和视情维修[1]。

目前，我军装备保障任务维修基本采用的是事后维修与定期维修相结合的方式，该方式虽然有着简单、可操作性强的特点，但是存在设备故障率高和过度检修的风险和挑战。

随着设备状态监控技术的兴起，视情维修方式必定成为今后很长一段时间内装备维修保障的发展方向。

为此，针对某型飞机的重要电子设备，利用三参数威布尔构建可靠性模型，对设备进行故障预测和实验验证，为该设备的视情维修提供分析依据。

1威布尔分布威布尔分布[2]因瑞典教授Wallodi Weibull在进行材料强度统计时首次使用而得名，目前已广泛应用于电子元器件寿命试验和机械产品的疲劳寿命试验中。

两参数威布尔分布的参数估计简单、适应能力较强，但是某些机电设备特别是航空机电设备，其威布尔概率并非均匀分布，这种情况下三参数威布尔模型更能够描述复杂机电类产品磨损累计失效的分布形式。

因此，本文将三参数威布尔模型作为飞机设备可靠性建模的核心模型。

三参数威布尔分布的概率分布函数为：三参数威布尔分布的失效率函数为：2 威布尔模型可靠度建模与故障预测针对航空设备故障开展可靠度建模和故障预测[3]的基本流程如图1所示。

三种估计疲劳极限方法的比较作者：朱学超,李泉珍来源：《科学之友》2010年第03期摘要:文中阐述了3种估计疲劳极限的方法,即加权平均法、按正态分布(或对数正态分布)估计疲劳极限应力值和三参数威布尔分布理论。

并对3种方法进行了比较。

相比之下三参数威布尔分布理论可求出任意可靠度下的疲劳极限,应用更广泛。

关键词:疲劳极限;正态分布;威布尔分布;置信度;可靠度中图分类号:O211.4 文献标识码:A文章编号:1000-8136(2010)03-0009-02疲劳极限是表征材料与结构疲劳性能的重要参量之一,其试验与测定方法一直受到国内外的关注。

当研究其概率值时,试验方法主要有大子样升降法和小子样升降法。

大子样升降法测定结果精度较高,但花费试样较多,一般大于30个,这一试验方法已写入了英、日、法等国的试验标准。

小子样升降法测定结果精确度稍差,但花费试样较少,约13个～20个,在我国得到了广泛应用。

疲劳极限的早期理解是,材料不发生疲劳损伤(无限疲劳寿命)的临界疲劳强度;后来被理解为一定疲劳寿命(如107循环数)下的中值疲劳强度估计值。

因材料的疲劳极限随加载方式和应力比的不同而异,通常以对称循环(即应力比R=-1)下的疲劳极限作为材料的基本疲劳极限。

[1]扩展到概率领域,则应理解为一定疲劳寿命下疲劳强度的概率(包含存活概率和置信度两方面含义)估计值。

本文阐述了3种估计计算方法,并进行了比较。

1加权平均法为了区别对待不同精度条件下的测量结果,在计算平均值时需要采用加权平均。

所谓权,就是权衡轻重的意思,某个测量值越可信赖,则在数据分析中应该使它占有越大的比重,即需要赋予它越大的权。

测量值的可信赖程度与测量值的误差密切相关,误差越小,可信赖程度就越高,权也就越大;反之亦然。

在加权平均时,习惯上将权值取得与测量结果的方差成反比。

采用加权平均法对其小子样升降法的疲劳试验结果进行处理时,其缺点是加权平均值只可以作为可靠度为50%的疲劳极限。

装备环境工程第20卷第5期·12·EQUIPMENT ENVIRONMENTAL ENGINEERING2023年5月加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计马小兵，刘宇杰，王晗（北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院，北京 100191）摘要：目的在加速试验中，对寿命服从三参数威布尔分布的产品进行可靠性评估与寿命预测，解决形状参数小于1时传统方法难以计算的问题。

方法利用三参数威布尔分布与指数分布之间的转换关系，以变异系数误差最小为优化目标，在确定最优位置参数估计值的基础上，应用拟极大似然方法估计分布模型中的其余参数，建立极小变异–极大似然估计（MV-MLE）。

根据加速寿命试验中失效机理不变的原则，在失效机理等同条件下，将该方法推广至多应力水平下的可靠寿命评估。

结果在单一应力与多应力水平下，通过仿真模拟验证了所提方法的有效性。

与传统方法相比，在小样本条件下，所提方法可提高形状参数（机理等同性参数）估计精度40%以上。

结论所提方法对于三参数威布尔分布的参数估计和寿命评估具有较高精度，能够有效克服传统方法的不足，在加速寿命试验评估中具有良好的应用效果。

关键词：三参数威布尔分布；变异系数；加速寿命试验；机理等同性；可靠性评估；寿命预测中图分类号：TB114 文献标识码：A 文章编号：1672-9242(2023)05-0012-07DOI：10.7643/ issn.1672-9242.2023.05.003Minimum Variation-Maximum Likelihood Estimation of Three-parameterWeibull Distribution under Accelerated Life TestMA Xiao-bing, LIU Yu-jie, WANG Han(School of Reliability and Systems Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)ABSTRACT: The work aims to estimate the reliability and predict the lifetime of the products subject to three-parameter Weibull distribution under accelerated life test, so as to solve the problem that the traditional methods are difficult to complete the calculation when the shape parameter is less than 1. Through the conversion relationship between three-parameter Weibull distribution and exponential distribution, the best estimated value of the location parameter was determined with the error of co-efficient of variation as the optimization objective. Then, the analogue maximum likelihood method was used to estimate the remaining parameters of the Weibull distribution, based on which the minimum variation-maximum likelihood estimation收稿日期：2023–04–13；修订日期：2023–05–04Received：2023-04-13；Revised：2023-05-04基金项目：国家自然科学基金（72201019，52075020）；可靠性与环境工程技术重点实验室项目（6142004210105）；国防技术基础项目（JSZL2018601B004）Fund：The National Natural Science Foundation of China (72201019, 52075020); Reliability and Environmental Engineering Science & Tech-nology Laboratory (6142004210105); Basic Technical Research Project of China (JSZL2018601B004).作者简介：马小兵（1978—），男，博士。

weibull分布参数置信区间
Weibull分布是一种描述可靠性和寿命数据的概率分布，通常
用于可靠性工程和寿命测试领域。

在统计学中，我们经常需要估计Weibull分布的参数，并计算它们的置信区间。

Weibull分布有两个参数，形状参数（通常记为β）和尺度参
数（通常记为λ）。

估计这些参数的置信区间需要使用统计方法，
最常见的是最大似然估计（MLE）和贝叶斯方法。

对于最大似然估计，我们可以使用样本数据来估计Weibull分
布的参数，然后基于估计值计算置信区间。

通常使用参数估计的标
准误差来计算置信区间。

对于Weibull分布，参数估计的标准误差
可以通过Fisher信息矩阵来计算。

另一种方法是使用贝叶斯方法，它基于先验分布和样本数据来
估计参数的后验分布。

然后可以使用后验分布来计算参数的置信区间，通常是使用最高后验密度（Highest Posterior Density, HPD）区间。

无论使用哪种方法，计算Weibull分布参数的置信区间都需要
考虑样本大小、参数估计的精度和置信水平等因素。

通常情况下，我们使用95%的置信水平来计算置信区间，这意味着我们可以有95%的信心认为真实参数值落在计算的置信区间内。

总之，估计Weibull分布参数的置信区间涉及到统计方法和概率分布理论，需要考虑多个因素来确保估计的准确性和可靠性。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来计算参数的置信区间，并理解置信区间的解释和应用。