威布尔分布参数估计在EXCEL中的实现方法研究

用Excel进行参数的假设检验
计算机应用Excel检验参数假设的第五次实践
假设检验是先对总体的参数或分布形式提出假设，然后利用样本数据信息判断原始假设是否合理，从而决定是接受还是拒绝原始假设。

假设检验的一般步骤是:(1)建立原始假设H0和替代假设H1；
(2)确定适当的测试统计量及其分布，并根据给定的样本值计算测试统计量的值；(3)根据显著性水平？，确定检查阈值和拒绝域；(4)统计判断:如果p值≤,则从样本值中确定概率p值。

或者统计值落在拒绝域内，原始假设H0被拒绝，替代假设H1被接受，即差异在统计上是显著的；如果p值>？或者统计值不在拒绝域内，则接受原始假设H0，即差异在统计上不显著。

下表总结了正常人群参数检验的主要步骤和结果。

表5-1正态总体参数假设检验总结
最初的假设是H0？=？0(？已知)？=？0(？2未知)替代假说H1？≦?0(双边)？>？0(一侧)？？0(一侧)？。

最小二乘法实现威布尔分布拟合一、概述在统计学和概率论中，威布尔分布是一种连续概率分布，通常用于描述事件的持续时间或生存时间。

最小二乘法是一种常用的参数拟合方法，可以用于拟合威布尔分布的参数。

本文将介绍如何使用最小二乘法实现威布尔分布的拟合，从而更好地分析和解释实际数据。

二、威布尔分布的概述威布尔分布是描述正定随机变量的概率分布，其概率密度函数为：\[f(x;\lambda,k) = \frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\]其中，\(x \geq 0, \lambda > 0, k > 0\)，\(\lambda\)和k分别是威布尔分布的尺度参数和形状参数。

威布尔分布可以用于描述许多自然现象的持续时间或生存时间，例如产品的寿命、设备的故障时间等。

三、最小二乘法的原理最小二乘法是一种常用的参数拟合方法，其原理是通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和来确定模型的参数。

对于威布尔分布拟合来说，最小二乘法可以用于估计分布的尺度参数和形状参数。

四、最小二乘法实现威布尔分布拟合的步骤要实现威布尔分布的拟合，可以按照以下步骤进行：1. 收集实际数据。

首先需要收集与威布尔分布相关的实际数据，例如产品的寿命数据或设备的故障时间数据。

2. 确定拟合函数。

根据威布尔分布的概率密度函数，确定拟合函数的形式，并假设其为威布尔分布的概率密度函数。

3. 构建最小二乘法的优化目标函数。

将拟合函数的参数作为优化变量，构建目标函数为实际观测值与拟合值之间的误差平方和。

4. 求解最小二乘法的优化问题。

通过数值优化算法，求解目标函数的最小值，得到威布尔分布的尺度参数和形状参数的估计值。

5. 模型检验和结果分析。

对拟合的威布尔分布模型进行检验，判断拟合结果的合理性，并进行相应的结果分析和解释。

五、实例分析下面通过一个实际的例子，演示如何使用最小二乘法实现威布尔分布的拟合。

威布尔分布参数计算方法\[ f(x;\lambda, k) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]其中，$\lambda>0$和$k>0$是威布尔分布的两个参数，$\lambda$称为尺度参数，$k$称为形状参数。

下面将介绍如何计算威布尔分布的参数。

##最大似然估计法最常用的参数估计方法是最大似然估计法。

假设我们有$n$个样本数据$x_1, x_2, ..., x_n$，要估计威布尔分布的参数$\lambda$和$k$。

首先，根据概率密度函数，我们可以得到似然函数：\[ L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n}\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x_i/\lambda)^k} \]为了方便计算，我们可以求似然函数的对数：\[ \log L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log \lambda + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\lambda}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k \]接下来，我们需要最大化对数似然函数。

可以通过求偏导数等于0来求解最大化的参数。

求解$\lambda$的最大似然估计值：\[ \frac{\partial \log L}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{(k-1)}{\lambda} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^k}{\lambda^{k+1}} = 0 \]化简上式得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k =\frac{(k-1)}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\lambda} \]我们可以定义一些中间变量：\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]\[ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]将上面的结果代入方程中：\[ \left(\frac{\bar{x}}{\lambda}\right)^k = \frac{(k-1)}{n} \frac{\bar{x}}{\lambda} \]进一步整理可得：\[ \lambda = \left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} \]接下来求解$k$的最大似然估计值，我们将$\lambda$的最大似然估计值带入似然函数中，得到：\[ \log L(k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right)^k \]类似地，对上式求偏导等于0，可以得到对$k$的求解。

利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数
由于威布尔分布的可以描述独立同分布变量的分布，经常被用于不同
概率密度函数模型之间的相互比较，因此其参数估计一直是建模分析的重
要环节，使用EXCEL可以规划求解威布尔分布参数，我们以以下案例来求
解该分布参数：
假设有一组随机样本x(1),x(2),…,x(n)，满足威布尔分布，想对α
和β参数进行估计，那么我们可以使用下面的方法：
1.首先，使用EXCEL编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数。

2.编写规划过程求解α、β估计值。

具体而言，我们需要构建EXCEL规划模型，使得对数似然函数最大，而其估计值α、β即为结果。

我们以EXCEL求解威布尔分布参数为例，指导将这一过程编写如下：
1.首先，在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数，其取值范围通常设置为大于0小于100，因此，可以将参数α作为变量编写入EXCEL规划模型，即：
MIN = lnL
S.T.0 < α < 100 and0 < β < 100
2.在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
其中α,β为待求参数，α ∑ lnx 为样本的对数期望值， -β ∑x 为样本的期望值，而n ln β 为测量方差。

利用Excel软件进行区间估计Excel在区间估计中的应用分析学院：机械学院专业：机械设计制造及其自动化姓名：学号：华北水利水电大学Excel在区间估计中的应用分析摘要Excel是目前使用最普遍的电子表格软件，它具有大量财务和统计函数库。

能进行更为复杂的数据处理。

具有相当强大的数据分析功能。

利用Excel进行区间估计有“插入函数”和“分析工具库”两种操作过程。

关键词：Excel 区间估计函数分析工具库置信区间利用Excel进行区间估计，有两种方法可以选择：一是直接点击工具栏中的“插入”，选择打开菜单中的“函数”然后选择不同的函数进行操作。

二是利用“分析工具库”。

单机“工具”菜单中的“数据分析”命令可以浏览已用的分析工具。

如果再“工具”菜单上没有“数据分析”的命令。

应在“工具”菜单上运行“加载宏”命令。

在“加载宏”的对话框中选择“分析工具库”利用“分析工具库”进行总体方差估计时，还需要用到函数。

下面将以具体的实例说明这两种方法的操作过程。

利用“函数”进行总体均值的区间估计例：假设又一个班级有100名同学，随机抽取20名同学的概率论课程期末考试成绩如下：80，92,85,74,63,94,96,81,64,73,83,91,72,82,84,79,87,91,86，68。

已知学生成绩成正态分布。

总体标准差为10分。

置信水平为90%。

应用excel 进行总体均值的区间估计。

分析：具体过程为：第一：打开新建一个空白的excel工作表格。

在单元格A1键入“20名学生概率论期末考试成绩”，有单元格A2到A21分别键入“80,92,······68”。

第二：选中单元格B1，键入“样本均值”，选中单元格C1，键入“=”，然后点击工具栏中“插入”，选中打开的菜单中的“函数”，点击其中的函数“AVERAGE”。

就会出现图A-1的结果。

在Number1一行中键入“A2:A21”，然后点击“确定”即可得到样本均值X=81.25。

Excel中如何进行数据挖掘和分析算法应用在当今数字化的时代，数据已成为企业和个人决策的重要依据。

Excel 作为一款广泛使用的电子表格软件，不仅可以用于简单的数据记录和计算，还能够进行数据挖掘和分析算法的应用，帮助我们从大量数据中提取有价值的信息。

接下来，让我们一起深入了解在 Excel 中如何实现这一目标。

首先，我们要明确数据挖掘和分析的基本概念。

数据挖掘是从大量的数据中发现潜在的模式、趋势和关系的过程，而分析则是对这些发现进行解释和评估，以支持决策制定。

在 Excel 中，虽然其功能可能不如专业的数据挖掘和分析工具那么强大，但对于一些常见的需求和小规模的数据，仍然能够发挥很大的作用。

数据准备是数据挖掘和分析的关键第一步。

在 Excel 中，我们需要确保数据的准确性、完整性和一致性。

这可能包括删除重复的数据、处理缺失值以及纠正错误的数据。

例如，如果数据中有一些空白单元格表示缺失值，我们可以选择用平均值、中位数或其他合理的方法来填充这些缺失值。

在数据准备好之后，我们可以使用 Excel 中的排序和筛选功能来初步观察数据。

通过对数据进行升序或降序排列，可以快速发现数据中的最大值、最小值以及数据的分布情况。

筛选功能则允许我们根据特定的条件来显示或隐藏数据，有助于我们聚焦于感兴趣的数据子集。

接下来，让我们谈谈 Excel 中的数据透视表。

这是一个非常强大的工具，能够快速对大量数据进行汇总、分析和比较。

我们可以轻松地将数据字段拖放到行、列和值区域，以不同的方式查看数据的汇总结果。

例如，如果我们有销售数据，包括产品类别、地区和销售额，通过数据透视表，我们可以快速了解不同产品类别在不同地区的销售总额，或者每个地区各类产品的销售情况。

除了数据透视表，Excel 还提供了一些基本的统计函数和分析工具。

例如，平均值函数（AVERAGE）、标准差函数（STDEV）、方差函数（VAR）等，可以帮助我们计算数据的集中趋势和离散程度。

excel韦伯分布拟合韦伯分布（Weibull distribution）是一种常见的概率分布函数，经常在工程学、风险分析和可靠性工程等领域中使用。

它的概率密度函数为：f(x) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，x是一个随机变量，k是形状参数（shape parameter），λ是尺度参数（scale parameter）。

韦伯分布可以表示正向偏移（k>1）、反向偏移（k<1）以及无偏移（k=1）的情况。

对于给定的样本数据，我们可以使用Excel做出韦伯分布的拟合。

下面将介绍具体的步骤。

步骤一：准备数据首先，在Excel的一个工作表中准备你要进行拟合的样本数据。

这些数据可以是连续的，也可以是离散的，但要确保数据的数量足够大，这样可以确保拟合结果的准确性。

步骤二：计算分布参数的初值然后，我们需要计算分布参数k和λ的初值。

可以使用Excel的相关函数来完成这一步骤。

具体的函数如下：-形状参数k的估计值可以使用Excel的GAMMA.INV函数来计算。

函数的参数为：样本数据的平均值，样本数据的标准差，以及一个概率值（推荐选择0.5）。

-尺度参数λ的估计值可以使用Excel的AVERAGE函数计算样本数据的平均值。

步骤三：计算拟合函数值接下来，使用Excel的韦伯分布函数（WEIBULL.DIST）来计算拟合函数的值。

该函数的参数为：输入数据，形状参数k，尺度参数λ，以及一个布尔值（若为TRUE，则返回累积分布函数值）。

步骤四：绘制拟合曲线在完成拟合函数值的计算后，我们可以使用Excel的绘图功能来绘制拟合曲线。

具体的步骤如下：1.在Excel中选择一个空白的单元格，输入一个x值序列，用于绘制横轴。

这里可以选择的x值区间可以根据数据的范围来确定。

2.在相邻的单元格中，使用韦伯分布函数计算对应的y值序列。

函数的参数为：x值序列，形状参数k，尺度参数λ。

用Excel进行威布尔型产品可靠性数值仿真评估张仕念;张国彬;易当祥;颜诗源;杨艳妮【摘要】基于最小二乘法,利用Excel的已有甬数和单元格的引用,估计威布尔分布的参数(m)和(η),用RAND()函数产生的随机数和逆变法抽取服从分布参数为(m)和(η)的威布尔分布抽样样本,计算可靠度的一个抽样值,反复抽样,得到可靠度的分布密度函数,用SMALL()函数返回可靠度置信下限的仿真值.实例表明,仿真结果与计算结果很接近,用Excel进行可靠性数字仿真,可以避免繁杂的编程工作,方便实用.【期刊名称】《电子产品可靠性与环境试验》【年(卷),期】2012(030)004【总页数】4页(P43-46)【关键词】威布尔分布;可靠性;数字仿真【作者】张仕念;张国彬;易当祥;颜诗源;杨艳妮【作者单位】北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京100085;北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京 100085【正文语种】中文【中图分类】TB114.3;TB115.20 引言可靠性仿真是将仿真技术应用于可靠性分析的一种方法，利用计算机技术对己经建好的系统可靠性模型进行仿真，得到一系列的仿真结果，能够解决常规的解析法很难奏效的部分可靠性问题。

可靠性仿真具有经济性好、应用范围广、通用性好、难度小、直观和保密等优点[1]。

Microsoft Excel是微软公司开发的电子表格软件，易学易用，使用范围广；Excel 2003就提供了财务、日期与时间、数学与三角函数、统计等九大类约300个函数，具有强大的计算、统计功能。

本文以服从威布尔分布的数据为例，利用Excel的、已有函数和单元格的引用，进行复杂的数值计算，利用RAND（）函数产生的随机数而引入随机因素，实现可靠性评估的数值仿真。

实例表明，用Excel进行可靠性评估的数字仿真，可以避免繁杂的编程工作，省时省力，方便实用，且仿真结果与计算结果十分接近。

应用MS Excel求解三参数威布尔分布函数的参数估计刘子娟1，郑学斌2，郭小军1（1.中国湖南航空动力机械研究所，湖南株洲412002；2.长沙升华微电子材料有限公司，长沙410000）摘要:从理论上根据相关系数法所得的边界条件，运用MS Excel对三参数威布尔分布进行参数估计，以举例一组数据的方式来说明如何使用Excel中的数学运算函数、规划求解功能，快速、高效地求解三参数威布尔分布的参数估计，从而避免复杂的编程求解。

关键词:MS Excel；三参数威布尔分布；参数估计；可靠度中图分类号:TP391.7文献标志码:A文章编号：1002-2333（2020）02-0117-04 Parameter Estimation of Three-Parameter Weibull Distribution Function Using MS ExcelLIU Zijuan1,ZHENG Xuebin2,GUO Xiaojun1（1.China Hunan Aviation Power Machinery Research Institute,Zhuzhou412002,China;2.Changsha Shenghua Microelectronics Materials Co.,Ltd.,Changsha410000,China）Abstract:Based on the boundary conditions obtained by the correlation coefficient method,the powerful mathematical operations and statistical analysis functions of MS Excel are used to estimate the parameters of the three-parameter Weibull distribution theoretically.A set of data is used to illustrate how to use the mathematical operation function and the solution solving function in Excel to solve the parameter estimation of the three-parameter Weibull distribution quickly and efficiently,thus avoiding complicated programming.Keywords:MS Excel;three-parameter Weibull distribution;parameter estimation;reliability0引言在机械零件的疲劳试验数据统计分布中，广泛应用正态分布或对数正态分布[1]。

第43卷　第4期河南农业大学学报Vol .43　No .42009年 8月Journal of Henan Agricultural UniversityAug .　2009收稿日期:2009-01-15基金项目:河南农业大学博士基金项目(30500022)作者简介:史景钊(1963-),男,河南商丘人,副教授,主要从事农业装备及其可靠性方面的研究.文章编号:1000-2340(2009)04-0405-053参数威布尔分布参数估计方法的比较研究史景钊1,杨星钊2,陈新昌1(1.河南农业大学机电工程学院,河南郑州450002;2.许昌职业技术学院,河南许昌461000)摘要:介绍了完全样本下极大似然估计法、矩估计法、相关系数优化法、概率权重矩法、灰色模型法、双线性回归法等常用的3参数威布尔分布的参数估计方法,提出了极大似然估计的一种新解法,从相关系数、Theil 不等系数、对数似然函数值3个方面比较了各种方法的差异.不同容量的样本实例计算表明,小样本情况下各估计法的差别较大,而大样本时差别较小,灰色模型法在各种样本下均具有较高的估计精度.关键词:可靠性;威布尔分布;参数估计中图分类号:T B114.3 文献标志码:ACo mparati ve study on parameter estimati on methods for32parameter W ei bull distri buti onSH I J ing 2zhao 1,Y ANG Xing 2zhao 2,CHE N Xin 2chang1(1.College of Mechanical and Electrical Engineering,Henan Agricultural University,Zhengzhou 450002,China;2.Xuchang Vocati onal and Technical College,Xuchang 461000,China )Abstract:Six kinds of commonly used para meter esti m ati on methods (maxi m u m likelihood esti m ati on method,moment method esti m ates,correlati on coefficient op ti m izati on method,p r obability 2weighted moment method,gray model method,and bilinear regressi on method )were intr oduced based on co m 2p lete sa mp le .A ne w algorith m method was p r oposed f or the max mu m likelihood esti m ati on .The differ 2ences bet w een vari ous methods were compared in three as pects:correlati on coefficrent .Their unequal coefficieut and l og 2likehood functi on value .Exa mp le calculati ons show that the s maller the sa mp le size is the greater the difference in esti m ati on methods .The gray model method in a variety of sa mp les has a higher esti m ati on accuracy .Key words:reliability;W eibull distributi on;para meter esti m ati on 用3参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[1],物理意义更加合理.在以损耗为特征的机械零件寿命评估中,采用3参数威布尔分布比采用2参数威布尔分布拟合精度更高.因此,3参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用.3参数威布尔分布的参数估计比较复杂,国内外研究人员提出了很多方法[2～14],如极大似然估计[5]、双线性回归估计[6]、相关系数优化法[7,8]、概率权重矩法[9,10]、灰色估计法[11]、矩估计法[12]、贝叶斯估计法[13]等,但多数方法都需要用Matlab 或其他计算机语言编程求解.由于计算繁琐、使用不便,限制了很多方法的应用.作者研究了常用的几种可以在MS EXCE L 的工作表上进行求解的威布尔分布参数估计方法,这种表上作业的方法减少了编程的麻烦,便于工程406　河　南　农　业　大　学　学　报第43卷技术人员使用.1　常用的参数估计方法1.1　威布尔分布若某产品寿命X服从威布尔分布,则其概率密度函数为f(x)=mηm(x-γ)m-1exp[-(x-γ)m/ηm](1)寿命分布函数为F(x)=1-exp[-(x-γ)m/ηm](2)式中:m为形状参数,m>0;η为尺度参数,η>0;γ为位置参数.1.2　极大似然估计对于容量为n的完全样本数据x1≤x2≤…≤x n,威布尔分布的对数似然函数为ln L(x1,…,x n;m,η,γ)=∑n i=1ln mηm(xi-γ)m-1exp(-(x i-γ)m/ηm)(3)对数似然函数对各参数求偏导数,得方程组9ln L9m=nm+∑ni=1lnxi-γη-∑ni=1x i-γηmlnxi-γη=9ln L9γ=(1-m)∑ni=11x i-γ+mη∑ni=1x i-γηm-1=09ln L9η=-nη-n(m-1)η+mη∑ni=1xi-γηm=0(4)上述方程组即为求解威布尔分布参数估计的似然方程组,解方程组(4)即可获得3个参数的估计值.但由于方程组(4)无代数解,求解十分复杂,一般是通过计算机语言如C语言、M atlab等编程求解,使其应用不便.以下通过直接寻求对数似然函数的极大值求解各参数.由9L(x1,…,x n;m,η,γ)/9η=0可求得ηm=1n ∑ni=1(xi-γ)m(5)把(5)式代入(3)式,从(3)式中消去尺度参数η可得ln L(x1,…,x n;m,γ)=n ln m-n ln1n∑ni=1(xi-γ)m+(m-1)∑ni=1ln(xi-γ)-n(6)根据极大似然原理,使(6)式取得极大值的^m,^γ即为所求的形状参数、位置参数的估计值,然后再根据(5)式即可估计出尺度参数.由3参数威布尔分布的物理意义可知,一般有0<m<10,0≤γ<x1,这样就把求解对数似然方程组的问题变为了求解有约束条件的极值问题,使问题得到了大大简化,而且(6)式的极值可在M S EXCEL上使用“规划求解”功能直接求解,省去了编程的麻烦,方便了一般工程技术人员使用.极大似然估计法是一种常用的参数估计方法,精度较高,且适用于包括有中途撤出试验的各种截尾试验场合,但由于计算较复杂,以前较少使用,随着计算机技术的发展,极大似然估计已经成为最主要的参数估计方法之一.1.3　矩法估计若设gi(m)=Γ(1+im),i=1,2,3,则3参数威布尔分布的数学期望E(X)、标准差σ(X)、偏度B(X)及其估计值样本均值 x,样本标准差S,样本偏度B分别是E(X)=η·g1(m)+γ(7)σ(X)=ηg2(m)-g12(m)(8) B(X)=g3(m)-3g2(m)g1(m)+2g13(m)[g2(m)-g12(m)]3/2(9)x=1n∑ni=1x i(10)S=1n-1∑ni=1(xi-x)2(11) B0=n(n-1)(n-2)S3∑ni=1(xi-x)3(12)利用(12)式求出B后作为B(X)的估计值,代入(9)式可求出m的估计值^m,然后用(8)式和(11)式获得η的估计值^η,再用(7)式和(10)式获得γ的估计值^γ.矩法估计的基本思想是用试验样本的各阶矩估计母体的各阶矩,并据此估计其他参数.矩法估计算法简单,有专用数表可查,使用方便.该法在小样本时精度不高,且仅适用于完全样本的场合. 1.4　相关系数优化法对(2)式进行变换Y=ln[-ln(1-F(x))],X=ln(x-γ),B=lnηm则(2)式可化为线性方程Y=m X-B由样本数据(xi,F(x i))换算得到(X i,Y i),计算X与Y间的相关系数R(X,Y).第4期史景钊等:3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究407　R (X,Y )=(∑ni =1X i Y i -nX ·Y )(∑ni =1X2i-nX 2)(∑ni =1Y2i-nY 2)(13)显然R (X,Y )是位置参数γ的函数,使R (X,Y )最大的^γ即为位置参数的估计值,然后利用最小二乘法即可求得形状参数估计值^m 和尺度参数估计值^η.通过推导可以证明[8],在下述等式成立时,相关系数R (X,Y )最大.(∑ni =1X 2i -n X 2)∑ni =1Y -Y i x i-γ-(∑ni =1X i Y i -nX ·Y )∑ni =1X -X ixi-γ=0(14)方程(14)的解即为要求的位置参数的估计值.相关系数优化法基于最小二乘原理,既适用于完全样本,也适用于截尾样本,具有满足工程要求的精度,是一种常用的估计方法.1.5　概率权重矩法试验样本概率权重矩的估计值[9]为M 1,0,k =1n∑ni =1x i 1-i -0.35nk,k =0,1,3(15)用概率权重矩表示的威布尔分布参数的估计值为^m =ln 2ln (M 1,0,0-2M 1,0,12M 1,0,1-4M 1,0,3)(16)^η=M 1,0,0-γΓln (M 1,0,0-2M 1,0,11,0,1-2M 1,0,3)/ln 2(17)^γ=4(M 1,0,3M 1,0,0-M21,0,1)4M 1,0,3+M 1,0,0-4M 1,0,1(18)概率权重矩法的精度与样本概率权重矩的计算方法有很大的关系,同时与数据的分散性有较大的关系,有时无法获得满足要求的解.在各种估计方法中,该法估计出的位置参数较其他方法小.1.6　双线性回归法变换(2)式,并令x 0=ηm,可得到2个方程ln [-ln (1-F (x ))]=m ln (x -γ)-ln x 0(19)[-ln (1-F (x ))]1/m=1ηx -γη(20)可以证明上述2式线性无关,每个方程单独进行最小二乘估计,合并整理后得到[6]m =ln (x -γ)·ln [-ln (1-F (x ))]-ln (x -γ)·ln [-ln (1-F (x ))]ln 2(x -γ)-ln (x -γ)2(21)γ= x -[-ln (1-F (x ))]1/m ·(x 2-x 2)x ·[-ln (1-F (x ))]1/m- x ·[-ln (1-F (x ))]1/m(22)　ηm=exp [m ·ln (t -γ)-ln (-ln (1-F (x ))](23)任给m 的一个初始值,由式得(22)式得γ的一个初值,代入(21)式得m 的一个估计值m ′值,若m 和m ′差值足够小,则m ′即为所求的形状参数,否则用2m -m ′代替m ,继续用(22)式计算γ,再代入(21)式计算m ′,如此反复直至满足精度要求.最后用(22)式计算尺度参数^η.双线性回归法是一种精度较高的方法,但在迭代过程中,有些样本会出现负数取对数的现象,使得在M S EXCEL 上无法使用宏功能求解,这种情况下可使用其他方法代替.1.7　灰色模型法(2)式也可表示为x =γ+ηexpln [-ln (1-F (x ))]m(24)令t i =ln [-ln (1-F (x i ))],i =1,2,…,n,并记η=c ,1/m =-a ,γ=b,视(x i ,t i )为一时间序列,则(24)式可转化为x i =c exp (-a t i )+b(25)灰色模型G M (1,1)的微分方程为d ^x (t )d t+a^x (t )=u (t ∈R )(26)灰色模型G M (1,1)的时间响应模型为^x (t )=c exp (-a t )+ua(27)(25)式和(27)式具有相同的形式,因此可用灰色模型对参数a,u,c 进行估计,进而得到m ,γ,η的估计值.灰色模型的参数[11]为[a u ]T =(B T B )-1B TY N(28)式中:B =-(x 1+x 2)/21⁝⁝-(x n -1+x n )/21,Y N =x 2-x 1t 2-t 1…x n -x n -1t n -t n -1T[b c ]T=(D T D )-1D TX(29)式中:D =1…1exp (-a t 1)…exp (-a t n )T,408　河　南　农　业　大　学　学　报第43卷X=[x1,…,x n]T由(28)式得到a和u的估计值,对比(25)式和(27)式即知^m=-a-1,^γ=b=u/a.由(29)式得到c即得^η=c,(29)式算出的b可以作为γ的一个优化值.灰色模型法基于邓聚龙提出的灰色系统原理,是一种较新的参数估计方法.该法在数据量较小时就可获得较高的估计精度,在MS EXCEL上无需使用规划求解功能迭代求解,也无需使用宏命令,是一种较易实现的算法.2　实例对比分析产生50个服从形状参数m=2.5、尺度参数η=30、位置参数γ=20随机数:25.6,28.0,29.7,30.6, 31.5,32.7,33.4,34.5,35.3,36.0,36.7,37.3, 37.9,38.6,39.2,39.8,40.4,40.9,41.7,42.4, 43.2,43.7,44.3,44.9,45.4,45.9,46.5,47.1, 47.7,48.2,48.8,49.5,50.3,51.1,51.9,52.6, 53.4,54.2,55.0,55.7,56.4,57.4,58.5,59.6, 60.8,62.4,64.5,66.4,69.9,75.0.各种估计方法的估计结果如表1所示.实例中所有运算结果均在MS EXCE L上实现,主要使用规划求解、数据图表、宏和函数功能,这种表上计算方法免去了编程的麻烦,非常适于一般工程技术人员使用.从表1对比结果可以看出,本研究提出的求解极大似然估计的方法使对数似然表1　各种参数估计方法估计结果对比Table1　Co m par ison of results of var i ous esti m a tes算法A lgorithm 形状参数Shapepara meter尺度参数Scalepara meter位置参数Locati onpara meter相关系数Correlati oncoefficientTheil不等系数Theil unequalcoefficient对数似然函数值Log2likelihoodfuncti on value相关系数优化法Op ti m azati on ofcorrelati on coefficientesti m ati on2.352728.808120.98510.999840.003884-190.4288双线性回归法B ilinear regressi onesti m ati on2.326328.623121.16220.999830.003643-190.4223矩法Moment esti m ati on2.464729.466120.31450.999720.007423-190.4599灰色模型法Gray modelesti m ati on2.272728.036821.68830.999660.003732-190.3767概率权重矩法Pr obability weightedmoments esti m ati on2.319429.019320.73870.999820.005571-190.5469极大似然法Maxi m um likelihoodesti m ati on2.226326.635322.85460.998050.008941-190.2730函数不受尺度参数的影响.这种直接求解极大值的方法,求解精度比一般文献中的求解精度高[14].(6)式同时表明,对数似然函数值的大小只与形状参数和位置参数有关,而与尺度参数无关.相关系数优化法使得试验数据的拟合具有最好的线性度,在各种估计方法中,该法得到的相关系数最大,Theil不等系数也较小.(13)式和(14)式表明,相关系数的大小只与位置参数的估计值有关.因此,估计出位置参数后,形状参数和尺度参数的估计并不限于最小二乘法.相关系数优化法、灰色模型法、双线性回归法均使用了样本分布函数,其估计结果与样本分布函数的计算方法有关,表1中估计结果是按照中位秩算法计算样本分布函数得到的.3　结论1)研究的6种方法中,概率权重矩法计算最为简单,不需要迭代计算,但当样本容量较小时,该方法精度较差.灰色模型法也无需迭代计算,用最小二乘法即可获得3个参数的估计值,在各种样本容量下均可获得较好的精度.双线性回归法、相关系数优化法、矩法、极大似然法均需要迭代,在MS EXCE L求解时双线性回归法可用宏代码实现,其余可用“规划求解”功能实现.第4期史景钊等:3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究4092)研究的6种方法中极大似然估计、相关系数优化法、灰色模型法、双线性回归法均可适用于截尾试验数据.在各种估计方法中,矩法估计和概率权重矩法估计的位置参数较小,形状参数较大,且这2种方法仅适用于完全样本数据.3)双线性回归法在迭代时采用动态步长,与文献[6]采用的固定步长相比加快了收敛速度,减少了计算时间.在MS EXCE L中实现时,数行宏代码即可实现,与使用其他编程语言相比,大大简化了程序,提高了执行效率.4)不同容量的样本实例计算表明,随着样本容量的增加,各估计方法之间的差异越来越小,在样本容量较大时,各种估计方法均可使用;在样本容量较小时,各种估计方法的差异较大,灰色模型法具有较高的精度.使用者需根据实际情况选择合适的估计方法.参考文献:[1]　HALL I N AN A J.A revie w of the W eibull distributi on[J].Journal of Quality Technol ogy,1993,25(2):85-93.[2]　TI RY AKI O LU M,HUDAK D.On esti m ating W eibullmodulus by the linear regressi on method[J].Journal ofMaterials Science,2007:42(24):10173-10179. [3]　ADATI A A,CHART L K.Esti m at ors of the32para me2terW eibull distributi on[J].I EEE Transacti ons on Re2liability,1985,34(3):358-369.[4]　G ARN G W.Moment esti m at ors for the32para meterW eibull distributi on[J].I EEE Transacti ons on Relia2bility,1988,37(3):156-164.[5]　LE MON G H.Maxi m u m likelihood esti m ati ons f or thethree para metersW eibull distributi on based on cens oredsa mp les[J].Techn metrics,1975,17(2):247-254.[6]　庄渭峰.用微机实现威布尔参数的双线性回归最小二乘估计[J].电子产品可靠性与环境试验,1999(5):2-7.[7]　傅惠民,高镇同.确定威布尔分布三参数的相关系数优化法[J].航空学报,1990,11(7):323-327. [8]　史景钊,蒋国良.用相关系数法估计威布尔分布的位置参数[J].河南农业大学学报,1995,29(2):167-171.[9]　张秀之.概率权重矩法及其在W eibull分布参数估计中的应用[J].海洋预报,1994,11(3):56-61. [10]邓　建,古德生,李夕兵.确定可靠性分析W eibull分布参数的概率加权矩法[J].计算力学学报,2004,21(5):609-613.[11]郑荣跃,秦子增.W eibull分布参数估计的灰色方法[J].强度与环境,1989(2):34-40.[12]胡文中.用矩法估算W eibull分布三参数[J].太阳能学报,1997,17(4):348-452.[13]刘　飞,王祖尧,窦毅芳,等.基于Gibbs抽样算法的三参数威布尔分布Bayes估计[J].机械强度,2007,29(3):429-432.[14]杨谋存,聂　宏.三参数W eibull分布参数的极大似然估计数值解法[J].南京航空航天大学学报,2007,39(1):31-34.(责任编辑:蒋国良)。

南开大学硕士学位论文威布尔分布参数估计的研究姓名：赵呈建申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：张润楚20071101威布尔分布参数估计的研究作者：赵呈建学位授予单位：南开大学本文读者也读过(10条)1.朱铭扬.ZHU Ming-yang三参数威布尔分布的参数估计[期刊论文]-江苏技术师范学院学报2006,12(6)2.赵冰锋.吴素君三参数威布尔分布参数估计方法[会议论文]-20073.赵冰锋.吴素君三参数威布尔分布参数估计方法[会议论文]-20074.史景钊.杨星钊.陈新昌.SHI Jing-zhao.YANG Xing-zhao.CHEN Xin-chang3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究[期刊论文]-河南农业大学学报2009,43(4)5.张慧敏.ZHANG Hui-min三参数威布尔分布在机械可靠性分析中的应用[期刊论文]-机械管理开发2009,24(3)6.郑荣跃.严剑松威布尔分布参数估计新方法研究[期刊论文]-机械强度2002,24(4)7.杨志忠.刘瑞元三参数Weibull分布参数估计求法改进[期刊论文]-工程数学学报2004,21(2)8.邢兆飞威布尔分布可靠度的近似置信限和浴盆形失效率函数及其统计分析[学位论文]20099.赵冰锋.吴素君.ZHAO Bing-feng.WU Su-jun三参数威布尔分布参数估计方法[期刊论文]-金属热处理2007,32(z1)10.严晓东.马翔.郑荣跃.吴亮.YAN Xiao-dong.MA Xiang.ZHENG Rong-yue.WU Liang三参数威布尔分布参数估计方法比较[期刊论文]-宁波大学学报（理工版）2005,18(3)引用本文格式：赵呈建威布尔分布参数估计的研究[学位论文]硕士 2007。

用电子表格Excel计算药物溶出度Weibull分布参数
张莉;夏运岳
【期刊名称】《药学进展》
【年(卷),期】2002(26)1
【摘要】[目的]求算溶出度Weibull分布参数.[方法]运用电子表格Excel软件处理药物溶出数据,[结果]采用Ex-cel计算的结果与文献计算结果完全吻合,尤其是位置参数α的确定更为精密.[结论]此法简便,计算结果准确,适用于药物溶出度Weibull 分布参数的计算.
【总页数】3页(P48-50)
【作者】张莉;夏运岳
【作者单位】苏州大学附属第一医院,江苏,苏州,215006;苏州大学附属第一医院,江苏,苏州,215006
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.13;R927.11
【相关文献】
1.Weibull分布在接触可靠性中的应用—介绍用微机计算Weibull分布参数的方法[J], 全仲余
2.三种方法求解药物溶出度Weibull分布参数的探讨 [J], 郭剑伟;吴俊珠;王成军;高鹏飞;缪菊莲;杨志勇
3.用MATLAB曲线拟合工具箱计算药物溶出度Weibull分布参数 [J], 曹俊涵;郭晓波
4.用Origin软件计算药物溶出度Weibull分布参数 [J], 周郁斌;袁中文;李海刚;关世侠;李中桂;曹丽萍;许淑芹;李杜军;杨艳
5.用SAS软件计算药物溶出度Weibull分布参数 [J], 潘玉善;李文清;王伟;马素英;胡功政
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

计量经济学问题用Excel解决方法温永益【摘要】计量经济学中使用最广泛的计算工具是古典线性回归模型，采用最小二乘法来求解样本回归函数，根据样本回归函数进行预测。

本文利用Microsoft Excel软件介绍最小二乘法的三种求解方法，以帮助《计量经济学》这一门课程的读者更好掌握其中的计算方法。

【关键词】计量经济学Excel 最小二乘法计量经济学是依据经济理论，使用数学和统计推断等工具，用观测数据对经济和商务活动进行实证研究，测度和检验经济变量间的经验关系，从而给出经济理论的经验内容，在经济理论的抽象世界和人类活动的具体世界之间搭建桥梁。

用于计量经济学的应用软件有很多如：SPSS、SAS、Eviews等，对于计量经济学的初学者，学习该门课程的难度是很大的，因为内容涉及太多的数学知识，计算量很大。

在没有掌握专用的计量经济学软件之前，能否用计算机的常用办公软件Excel电子表格来解决计量经济学的有关问题呢？本文试图通过一个例子来说明计量经济学的问题是可以通过电子表格来解决的。

问题一：在美国对每周家庭收入（美元）与每周消费支出（美元）的抽样调查数据如下：（1）你认为Y与X之间是怎样的关系？（2）利用最小二乘法求样本回归函数，并预测当X＝280（美元）时，Y 的值。

最小二乘法的原理是：在给定X和Y的一组观测值(X1 , Y1), (X2 , Y2) , ..., (Xn , Yn)的情况下, 求出Yt = α + βXt + ut 中α和β的估计值αˆ和βˆ, 使得拟合的直线为最佳。

拟合的直线X Yβαˆˆˆ+=称为拟合的回归线。

（t=1,2,……,n ），et 代表观测点对于回归线的误差，称为拟合或预测的残差。

我们的目标是使拟合出来的直线在某种意义上是最佳的，直观地看，也就是要求估计直线尽可能地靠近各观测点，这意味着应使残差总体上尽可能地小。

要做到这一点，就必须用某种方法将每个点相应的残差加在一起，使其达到最小。

利用Excel进行FFT和Fourier分析的大体步骤实例：杭州市2000人口散布密度[依照2000年人口普查的街道数据经环带(rings)平均计算取得的结果，数据由冯健博士处置]。

下面的变换实质是一种空间自相关的分析进程。

第一步，录入数据在Excel中录入数据不赘述（见表1）。

表1 原始数据序列表2 补充后的数据序列第二步，补凑数据由于Fourier变换（FT）一样是借助快速Fourier变换（Fast Fourier Transformation, FFT）算法，而这种算法的技术进程涉及到对称处置，故数据序列的长度必需是2N（N=1,2,3,…，）。

若是数据序列长度不是2N，就必需对数据进行补充或裁减。

此刻数据长度是26，介于24=16到25=32之间，而26到32更近一些，若是裁减数据，就会损失许多信息。

因此，采纳补凑数据的方式。

补充的方式超级简单，在数据序列后面加0，直到序列长度为32=25为止（表2）。

固然，延续到64=26也能够，总之必需是2的整数倍。

只是，补充的“虚拟数据”越多，变换结果的误差也就越大。

第三步，Fourier变换的选项设置沿着工具（Tools）→数据分析（Data Analysis）的途径打开数据分析复选框（图1）。

图1 数据分析（Data Analysis）的途径在数据分析选项框当选择傅立叶分析（Fourier Analysis）（图2）。

图2 数据分析（Data Analysis）在Fourier分析对话框中进行如下设置：在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”；选中“标志位于第一行（L）”；将输出区域设为“$C$2”或“$C$2:$C$33”（图3a）。

ab图3 傅立叶分析（Fourier Analysis）注意：若是“输入区域”设为“$B$2:$B$33”，那么不选“标志位于第一行（L）”（图3b）。

表3 FFT的结果第四步，输出FFT 结果选项设置完毕以后，确信（OK ），当即取得FFT 结果（表3）。