11两参数威布尔分布中参数的极大似然估计量的迭代求解方法

i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填 充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充 E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位 置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会 失效，对
于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数 威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于 建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指 数分布，适合于建
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在 实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量 研究表明，用三参数威
布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲
劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理； 在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，
采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精 度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领 域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中 位秩算
法求得：
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进 行估计。

威布尔分布参数计算方法\[ f(x;\lambda, k) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]其中，$\lambda>0$和$k>0$是威布尔分布的两个参数，$\lambda$称为尺度参数，$k$称为形状参数。

下面将介绍如何计算威布尔分布的参数。

##最大似然估计法最常用的参数估计方法是最大似然估计法。

假设我们有$n$个样本数据$x_1, x_2, ..., x_n$，要估计威布尔分布的参数$\lambda$和$k$。

首先，根据概率密度函数，我们可以得到似然函数：\[ L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n}\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x_i/\lambda)^k} \]为了方便计算，我们可以求似然函数的对数：\[ \log L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log \lambda + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\lambda}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k \]接下来，我们需要最大化对数似然函数。

可以通过求偏导数等于0来求解最大化的参数。

求解$\lambda$的最大似然估计值：\[ \frac{\partial \log L}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{(k-1)}{\lambda} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^k}{\lambda^{k+1}} = 0 \]化简上式得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k =\frac{(k-1)}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\lambda} \]我们可以定义一些中间变量：\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]\[ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]将上面的结果代入方程中：\[ \left(\frac{\bar{x}}{\lambda}\right)^k = \frac{(k-1)}{n} \frac{\bar{x}}{\lambda} \]进一步整理可得：\[ \lambda = \left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} \]接下来求解$k$的最大似然估计值，我们将$\lambda$的最大似然估计值带入似然函数中，得到：\[ \log L(k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right)^k \]类似地，对上式求偏导等于0，可以得到对$k$的求解。

最大似然估计的原理及应用1. 原理概述最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是统计学中一种常见的参数估计方法，通过寻找使观测数据发生的概率最大化的参数值，来估计未知参数的方法。

其基本原理是在给定观测数据的条件下，选择参数值使得似然函数（或对数似然函数）最大。

2. 最大似然估计的步骤最大似然估计的步骤可以总结为以下几点：1.建立概率模型：根据观测数据的特点，选择合适的概率分布模型，如高斯分布、泊松分布等。

2.构建似然函数：将观测数据与参数构成的概率模型相结合，得到关于参数的似然函数。

3.对似然函数取对数：通常对似然函数取对数，方便计算和推导。

4.求导并解方程：对似然函数取导数，并解方程找到使似然函数最大化的参数值。

5.参数估计：得到使似然函数最大化的参数值，作为对未知参数的估计。

3. 最大似然估计的优点最大似然估计具有以下几个优点：•简单易用：只需要建立合适的概率模型，并求解似然函数的最大值，无需额外的假设或先验知识。

•有效性：在样本量充足的情况下，最大似然估计能够产生高质量的参数估计结果。

•渐进无偏性：在样本量趋于无穷的情况下，最大似然估计的结果具有无偏性。

4. 最大似然估计的应用4.1. 二项分布的参数估计二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述n次独立的二元试验中成功次数的概率分布。

最大似然估计可以用来估计二项分布的参数。

假设我们观测到了一系列成功次数的数据，我们可以建立一个二项分布模型，并使用最大似然估计来确定二项分布的参数，如成功概率p。

4.2. 正态分布的参数估计正态分布是一种常见的连续概率分布，具有对称性和钟形曲线特点。

最大似然估计可以用来估计正态分布的参数，包括均值和方差。

假设我们观测到一组服从正态分布的数据，我们可以建立正态分布模型，并使用最大似然估计来确定正态分布的参数，如均值和方差。

4.3. 泊松分布的参数估计泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述单位时间内独立事件发生次数的概率分布。

1 解方程组得到矩估计量分别为 ˆ i n n i 1 1
令 2 2 2
2 2
n
ˆ ( )
2
n
2 2 ( ) S i n . i 1
上例表明: 总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因 不同的总体分布而异.
为 则样本 1 , 2, ..., n 的分布律 或分布密度 n pxi ; ，当给定样本值 x1 , x2 ,...,xn
后，它只是参数 的函数，记为 L 即
L pxi ;
n i 1
i 1
则称 L 为似然函数。似然函数实质上 是样本的分布律或分布密度。
点估计问题就是要构造一个适当的统计量 ˆ( , , , ),用它的观察值 ˆ (x , x , , x ) 1 2 n 1 2 n 来估计未知参数 .
ˆ( , ,, )称为 的估计量. 通称估计, 1 2 n ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值. 简记为 ˆ.
xi n xi d i 1 令 ln L( p) i 1 0, dp p 1 p
1 n ˆ xi x . 解得 p 的最大似然估计值 p n i 1
n
n
1 n ˆ Xi X . p 的最大似然估计量为 p n i 1
这一估计量与矩估计量是相同的.
最大似然法是在总体类型已知条件下使用 的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统 计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 .
Gauss
Fisher
1.似然函数 设总体的分布律为 P x p x; （或分 ) ，其中 1 , 2 ,..., m 布密度为 p( x;） 是未知参数，1,2 ,...,n 是总体的一个样本,

最大似然估计的关键公式概览最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是统计学中一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化样本观测值在给定参数下的概率，从而得到最优的参数估计值。

在实际应用中，最大似然估计被广泛应用于各个领域，例如机器学习、统计分析、金融风险评估等。

本文将对最大似然估计中的关键公式进行概览，帮助读者更好地理解和应用该方法。

1. 似然函数（Likelihood Function）在最大似然估计中，首先需要定义似然函数。

似然函数是一个关于参数的函数，表示在给定参数的条件下，样本观测值出现的可能性。

在统计学中，常用L(θ;x)表示似然函数，其中θ表示参数，x表示样本观测值。

似然函数的计算通常基于样本观测值的分布假设，例如正态分布、泊松分布等。

2. 对数似然函数（Log-Likelihood Function）为了方便计算和优化，通常将似然函数取对数得到对数似然函数。

对数似然函数的形式为ln L(θ;x)，其中ln表示自然对数。

对数似然函数的计算可以将乘法转化为加法，简化计算过程。

同时，对数函数的单调性保证了最大化似然函数和最大化对数似然函数有相同的结果。

3. 最大似然估计的目标函数最大似然估计的目标是找到合适的参数值，使得似然函数或对数似然函数达到最大值。

因此，需要构建一个目标函数，以参数为变量，似然函数或对数似然函数为目标，通过优化算法求解最优的参数估计。

对于似然函数而言，目标函数为：argmax L(θ;x)对于对数似然函数而言，目标函数为：argmax ln L(θ;x)其中argmax表示使目标函数达到最大值的参数取值。

4. 最大化目标函数的方法为了求解使目标函数最大化的参数取值，通常使用数值优化方法。

常见的方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

梯度下降法是一种基于函数梯度信息的迭代优化算法，通过计算目标函数关于参数的梯度方向，并不断朝着梯度下降的方向更新参数值，直至达到最优解。

风电场风速概率Weibull分布的参数估计研究杨富程;韩二红;王彬滨;刘海坤;黄博文【摘要】风电场风速概率分布是描述风能特征的主要指标,其准确程度直接影响风电场风能资源的评估结果.主要介绍了两参数威布尔分布的极大似然估计法、最小二乘估计法和WASP估计法3种风速概率分布参数的估计方法.通过对四川广元地区低风速区域测风塔实测数据分析,结果表明,极大似然估计法与实测数据统计结果最为接近,拟合效果良好;Weibull参数c、k存在相对较为明显的季节变化;尺度参数c值随高度呈现幂指数形式,形状参数k值随高度呈现二次函数形式变化特征,在80～90 m高度左右,曲线出现拐点,k值取得最大值.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2019(037)002【总页数】7页(P264-269,299)【关键词】Weibull分布;概率分布;形状参数;尺度参数;参数估计【作者】杨富程;韩二红;王彬滨;刘海坤;黄博文【作者单位】四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都【正文语种】中文【中图分类】TM6140 引言随着世界工业经济的快速发展，化石能源燃烧排放出的大量温室气体导致全球气候发生巨大变化，已经严重危害到人类生存环境和健康安全[1]。

因此，可再生能源已成为解决能源与环境问题的主要途径之一，其中风力发电相比其它形式的可再生能源，因具有技术较为成熟、成本相对较低、对环境影响小等优势，成为世界各国大力发展可再生能源关注的重点之一[2]。

国家能源局在新能源“十三五”规划中提出“至2020年，我国风电装机容量将达到2.1亿kW以上，风电价格与煤电上网电价相当”。

同时，伴随着IV类复杂地形区域风资源相对较差及风电上网补贴电价不断下降的状况，准确评估风电场的经济性尤为关键。

2007.NO.4. CN35-1272/TK图 1威布尔函数拟合曲线的仿真系统模块作者简介 :包小庆 (1959~ , 男 , 高级工程师 , 从事可再生能源的研究。

大型风电场的建设不但可以减缓用电短缺情况 , 而且并网后还能为电网提供很大一部分电能。

而大型风电场的选址 , 与该地的风速分布情况有关。

用于描述风速分布的模型很多 , 如瑞利分布、对数正态分布、 r 分布、双参数威布尔分布、 3参数威布尔分布 , 皮尔逊曲线拟合等。

经过大量的研究表明 , 双参数威布尔分布函数更接近风速的实际分布。

本文采用 4种方法计算威布尔分布函数的参数 , 并利用计算出的参数确定威布尔分布函数的实际数学模型进行曲线拟合。

最后以白云鄂博矿区风电场拟选址为例 , 使用计算机软件 (MATLAB 对该地区风速威布尔分布函数进行曲线拟合 , 得到该地区不同高度的风速分布函数曲线。

1双参数威布尔分布函数的确定双参数威布尔分布是一种单峰的正偏态分布函数 , 其概率密度函数表达式为 :p(x=kx " exp-x "(1式中 :k ———形状参数 , 无因次量 ;c ———尺度参数 , 其量纲与速度相同。

为了确定威布尔分布函数的实际模型 , 需计算出实际情况下对应函数的 2个参数。

估算风速威布尔参数的方法很多 , 本文给出4种有效的方法以确定 k 和 c 值。

1.1HOMER 软件法HOMER 是一个对发电系统优化配置与经济性分析的软件。

通过输入 1a 逐时风速数据或者月平均风速数据 , 根据实际情况设置相应参数 , 即可计算得到 k 和c 值 , 此时计算出的 k 和 c 值是计算机系统认为的最佳值。

1.2Wasp 软件法Wasp 是一个风气候评估、计算风力发电机组年发电量、风电场年总发电量的软件。

通过输入风速统计资料 , 计算机可以直接计算出 k 和 c 值。

1.3最小二乘法通过风速统计资料计算出最小二乘法拟合直线 y=ax+b 的斜率 a 和截距 b 。

参数估计-Weibull分布-两参数估计迭代算法常⽤于为失效时间数据建模。

例如，⼀个制造商希望计算某个部件在⼀年、两年或更多年后失效的概率。

此分布⼴泛地应⽤于⼯程、医学研究、⾦融和⽓候学。

Weibull 分布由形状、尺度和阈值等参数描述。

阈值参数为零的情况称为 2 参数 Weibull 分布。

只为⾮负变量定义此分布。

取决于参数的值，Weibull 分布可以具有各种形状。

这种分布的主要优点之⼀在于它可以具有其他类型分布的特征，从⽽在拟合不同类型的数据时极其灵活。

⼀般在可靠性分析中使⽤常见数学统计算法包内包含各种分布的pdf，cdf，参数估计却很少提供，但是项⽬中必须要⽤，所以实现了⼀个经过优化的迭代算法（C#版本）（其中有使⽤Gamma函数，正态分布等，⽐较常见，此处代码不提供了）public sealed class WeibullDistribution{///形状参数private double _alpha;///尺度参数private double _beta;///正交化分布（⽅便计算）private double _norm;///<summary>///创建⼀个分布///</summary>///<param name="shape"></param>///<param name="scale"></param>public WeibullDistribution(double shape, double scale){if (shape <= 0)throw new ArgumentOutOfRangeException("Shape parameter must be positive");if (scale <= 0)throw new ArgumentOutOfRangeException("Scale parameter must be positive");DefineParameters(shape, scale);}public double ln(double x) { return Math.Log(x, Math.E); }public double SigmaLnXi(IList<double> doubles){double sum = 0;foreach (var item in doubles){sum += ln(item);}return sum;}public double SigmaPowXi(IList<double> doubles, double beta0){double sum = 0;foreach (var item in doubles){sum += Math.Pow(item, beta0);}return sum;}public double SigmaPowXi2(IList<double> doubles, double beta0){double sum = 0;foreach (var item in doubles){sum += Math.Pow(item, beta0) * ln(item);}return sum;}///<summary>///使⽤迭代计算数值解进⾏威布尔参数估计///</summary>///<param name="datas"></param>public WeibullDistribution(IList<double> datas){//参数估计NumericalVariable n = new NumericalVariable(datas);double xbar = n.Mean;double sd = n.StandardDeviation;double E = 0.001;double b0 = 1.2 * xbar / sd;double b = b0;double Beta = int.MaxValue;//迭代计算betawhile (Math.Abs(Beta - b) >= E){Beta = 1.0 / ((SigmaPowXi2(datas, b) / SigmaPowXi(datas, b)) - (1.0 / datas.Count * SigmaLnXi(datas)));b = (Beta + b) / 2;}////计算Alphadouble Alpha = Math.Pow(1.0 / datas.Count * SigmaPowXi(datas, Beta), 1.0 / Beta);DefineParameters(Beta, Alpha);}public double Average{get { return Fn.Gamma(1 / _alpha) * _beta / _alpha; }set{throw new InvalidOperationException("Can not set average on Weibull distribution");}}public void DefineParameters(double shape, double scale){_alpha = shape;_beta = scale;_norm = _alpha / Math.Pow(_beta, _alpha);}public double DistributionValue(double x){return1.0 - Math.Exp(-Math.Pow(x / _beta, _alpha));}public string Name{get { return"Weibull distribution"; }}public double[] Parameters{get { return new double[] { _alpha, _beta }; }set { DefineParameters(value[0], value[1]); }}public double InverseDistributionValue(double x){return Math.Pow(-Math.Log(1 - x), 1.0 / _alpha) * _beta;}public override string ToString(){return string.Format("Weibull distribution ({0:####0.00000},{1:####0.00000})", _alpha, _beta);}public double Value(double x){return _norm * Math.Pow(x, _alpha - 1) * Math.Exp(-Math.Pow(x / _beta, _alpha));}public double Variance{get{double s = Fn.Gamma(1 / _alpha);return _beta * _beta * (2 * Fn.Gamma(2 / _alpha)- s * s / _alpha) / _alpha; }}}。

第27卷第4期2021年11月Vol.27No.4November 2021多重Ⅰ型混合截尾样本的Weibull分布参数估计*秦睿（广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004）摘要：在多重Ⅰ型混合截尾样本情形下，讨论了两参数威布尔分布的参数估计问题。

首先结合样本次序统计量联合密度函数给出了参数最大似然估计的表达式，其次利用Newton⁃Raphson 迭代方法得到参数的最大似然估计，然后借助指数分布给出参数的精确置信区间，最后对参数的最大似然估计进行模拟研究和实例案例分析，最大似然估计的稳定性和有效性得到验证。

关键词：多重Ⅰ型混合截尾；Weibull 分布；最大似然估计中图分类号：O212.1文献标识码：A文章编号：1673-8462（2021）04-0064-060引言在产品的可靠性试验，生物医学实验的寿命评估，工程学的疲劳可靠性分析等领域中，受到试验时间和成本等因素的影响，大量试验产生了不完整数据，实际生活如在临床医学研究中，由于研究成本、研究对象失访或中途退出研究、研究对象因其他情况死亡等因素，造成研究人员无法观察所有研究对象完整的试验过程，出现收集到不完整数据的情形。

例如，定时截尾、定数截尾、混合截尾等都是不完整数据情形，其中多重Ⅰ型混合截尾情形在实际生活中广泛存在。

为了解产品的可靠程度，工程学的材料耐疲劳程度等各项指标，研究人员需要从上述不完整数据情形中统计分析相应的结果。

不同于完整数据样本的统计分析，截尾样本需要提前对样本数据进行处理后，选择适当的统计方法才能得到比较可靠的结果，为研究人员的决策提供依据。

现已有大批专家学者对Ⅰ型混合截尾样本进行了大量的研究。

在Ⅰ型混合截尾方案测试中有n 个寿命是独立同分布的随机变量x ，当测试中有m (m ≤n )个单元失效或者测试时间达到预先设定的测试停止时间T ，则整个测试停止，此时分别有如下两种数据情况，第一种当测试中有m (m ≤n )个单元失效，则能够观察到m 个完整的寿命数据为x 1,n ≤x 2,n ≤⋯≤x m ,n ，测试停止时间为x m ,n ；第二种当测试时间达到预先设定时间T ，则能够观察到d 个完整的寿命数据为x 1,n ≤x 2,n ≤⋯≤x d ,n ，其中d <m ,x d ,n ≤T <x d +1,n ，测试停止时间为T 。

《概率论与数理统计》典型教案教学内容：极大似然估计法教学目的：通过本节内容的教学，使学生：1、明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；2、理解极大似然思想；3、掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计值．教学重点：1、对极大似然思想阐述；2、极大似然估计值的求解．教学难点：对不能通过求导方法获得极大似然估计的值的确定．教学时数：２学时．教学过程：引例：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基本思想．一、极大似然思想一般地说，事件A 与参数Θ∈θ有关，θ取值不同，则)(A P 也不同．若A 发生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值．这就是极大似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率P ．分析：易知P 的值无非是1/4或3/4．为估计P 的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X 表示其中的黑球数，则),3(~P b X ．按极大似然估计思想，对P 的取值进行估计．解：对P 的不同取值，X 取3,2,1,0=k 的概率可列表如下:X ０ １ ２ ３41=P 6427 6427 649 641 43=P 641 649 6427 6427 故根据极大似然思想即知：⎪⎩⎪⎨⎧===3,2,431,0,41ˆk k P ． 在上面的例子中，P 是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P 的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则P 就最象那个．二、似然函数与极大似然估计1、离散分布场合：设总体X 是离散型随机变量，其概率函数为);(θx p ，其中θ是未知参数．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本．n X X X ,,,21 的联合概率函数为∏=ni i X p 1);(θ，这里，θ是常量，n X X X ,,,21 是变量．若我们已知样本取的值是n x x x ,,,21 ，则事件},,,{2211n n x X x X x X === 发生的概率为∏=ni i x p 1);(θ．这一概率随θ的值而变化．从直观上来看，既然样本值n x x x ,,,21 出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使∏=ni i x p 1);(θ取比较大的值．换句话说，θ应使样本值n x x x ,,,21 的出现具有最大的概率．将上式看作θ的函数，并用)(θL 表示，就有：∏===ni i n x p x x x L L 121);();,,,()(θθθ （１）称)(θL 为似然函数．极大似然估计法就是在参数θ的可能取值范围Θ内，选取使)(θL 达到最大的参数值θˆ，作为参数θ的估计值．即取θ，使);,,,(max )ˆ;,,,()(2121θθθθn n x x x L x x x L L Θ∈== （２） 因此，求总体参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数)(θL 的最大值问题．这可通过解下面的方程0)(=θθd dL （３） 来解决．因为L ln 是L 的增函数，所以L ln 与L 在θ的同一值处取得最大值．我们称)(ln )(θθL l =为对数似然函数．因此，常将方程（３）写成： 0)(ln =θθd L d （４） 方程（４）称为似然方程．解方程（３）或（４）得到的θˆ就是参数θ的极大似然估计值．如果方程（４）有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是所求的极大似然估计值．有时，直接用（４）式行不通，这时必须回到原始定义（２）进行求解．２、连续分布场合：设总体X 是连续离散型随机变量，其概率密度函数为);(θx f ，若取得样本观察值为n x x x ,,,21 ，则因为随机点),,,(21n X X X 取值为),,,(21n x x x 时联合密度函数值为∏=ni i x f 1);(θ．所以，按极大似然法，应选择θ的值使此概率达到最大．我们取似然函数为∏==ni i x f L 1);()(θθ，再按前述方法求参数θ的极大似然估计值．三、求极大似然估计的方法1、可通过求导获得极大似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导方法来获得似然函数极大值对应的参数值．例２、设某工序生产的产品的不合格率为p ，抽n 个产品作检验，发现有T 个不合格，试求p 的极大似然估计．分析：设X 是抽查一个产品时的不合格品个数，则X 服从参数为p 的二点分布),1(p b ．抽查n 个产品，则得样本n X X X ,,,21 ，其观察值为n x x x ,,,21 ，假如样本有T 个不合格，即表示n x x x ,,,21 中有T 个取值为１，T n -个取值为０．按离散分布场合方法，求p 的极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∏=--=ni x x i i P p p L 11)1()(（２）对)(p L 取对数，得对数似然函数)(p l ：∑∑==--+-=--+=ni i n i i i p p x p n p x p x p l 11)]1ln([ln )1ln()]1ln()1(ln [)(（３）由于)(p l 对p 的导数存在，故将)(p l 对p 求导，令其为０，得似然方程：0)1(11)111(1)(11=-+--=-++--=∑∑==n i i n i i x p p p n p p x p n dp p dl （４）解似然方程得：x x n p n i i ==∑=11ˆ （５）经验证，在x p =ˆ时，0)(22<dp p l d ，这表明x p =ˆ可使似然函数达到最大（６）上述过程对任一样本观测值都成立，故用样本代替观察值便得p 的极大似然估计为：X p=ˆ 将观察值代入，可得p 的极大似然估计值为：nT x p ==ˆ，其中∑==ni i x T 1．若总体X 的分布中含有多个未知参数k θθθ,,,21 时，似然函数L 是这些参数的多元函数),,(1k L θθ ．代替方程（３），我们有方程组),,2,1(0)(ln k i L i==∂∂θ，由这个方程组解得k θθθˆ,,ˆ,ˆ21 分别是参数k θθθ,,,21 的极大似然估计值．例３、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从),(2σμN ，其中2,σμ未知．为估计2,σμ，从中随机抽取100=n 根轴，测得其偏差为10021,,,x x x ．试求2,σμ的极大似然估计．分析：显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极大似然估计问题．通过建立关于未知参数2,σμ的似然方程组，从而进行求解．解：（１）写出似然函数：1222)(2212)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ∑===---=--∏n i i i x nni x e e L（２）写出对数似然函数：21222)(21)2ln(2),(∑=---=n i i x n l μσπσσμ （３）将),(2σμl 分别对2σμ、求偏导，并令它们都为０，得似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==0)(212),(0)(1),(1242221222n i i n i i x n l x l μσσσσμμσμσμ （４）解似然方程组得：x =μˆ，∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ （５）经验证2ˆ,ˆσμ使),(2σμl 达到极大， （６）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得2,σμ的极大似然估计分别为：X =μˆ，2122)(1ˆn n i i S X X n =-=∑=σ．２、不可通过求导方法获得极大似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极大似然估计，这时可从定义（２）出发直接求)(θL 的极大值点．例4、设总体X 服从均匀分布),0(θU ，从中获得容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其观测值为n x x x ,,,21 ，试求θ的极大似然估计．分析：当写出其似然函数)(θL 时，我们会发现)(θL 的非零区域与θ有关，因而无法用求导方法来获得θ的极大似然估计，从而转向定义（２）直接求)(θL 的极大值．解：写出似然函数：⎩⎨⎧≤≤≤=-其它场合,00,)()()1(θθθn n x x L 为使)(θL 达到极大，就必须使θ尽可能小，但是θ不能小于)(n x ，因而θ取)(n x 时使)(θL 达到极大，故θ的极大似然估计为：)(ˆn X =θ． 进一步，可讨论估计θˆ的无偏性：由于总体),0(~θU X ，其密度函数与分布函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x p ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(，从而)(ˆn X =θ的概率密度函数为：θθθ<<==--y ny y p y F n p n n n 0,)()]([11ˆ θθθθθθθ≠+====⎰⎰1)()()ˆ(00ˆ)(n n dy ny dy y yp X E E n n n 这说明θ的极大似然估计)(ˆn X =θ不是θ的无偏估计，但对θˆ作一修正可得θ的无偏估计为：)(11ˆn X nn +=θ． 通过修正获得未知参数的无偏估计，这是一种常用的方法．在二次世界大战中，从战场上缴获的纳粹德国的枪支上都有一个编号，对最大编号作一修正便获得了德国生产能力的无偏估计．综上，可得求极大似然估计值的一般步骤．四、求极大似然估计的一般步骤1、由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2、把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，得到似然函数)(θL ；3、求似然函数)(θL 的最大值点（常转化为求对数似然函数)(θl 的最大值点）；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值．五、极大似然估计的不变性求未知参数θ的某种函数)(θg 的极大似然估计可用极大似然估计的不变原则，证明从略．定理（不变原则）设θˆ是θ的极大似然估计，)(θg 是θ的连续函数，则)(θg 的极大似然估计为)ˆ(θg ． 例5、设某元件失效时间服从参数为λ的指数分布，其密度函数为0,);(≥=-x e x f x λλλ，λ未知．现从中抽取了n 个元件测得其失效时间为n x x x ,,,21 ，试求λ及平均寿命的极大似然估计．分析：可先求λ的极大似然估计，由于元件的平均寿命即为X 的期望值，在指数分布场合，有λ1)(=X E ，它是λ的函数，故可用极大似然估计的不变原则，求其极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∑===-=-∏n i i i x n n i x e eL 11)(λλλλλ（２）取对数得对数似然函数：∑=-=ni i x n l 1ln )(λλλ（３）将)(λl 对λ求导得似然方程为：0)(1=-=∑=ni i x n d dl λλλ （４）解似然方程得：xxn n i i 1ˆ1==∑=λ 经验证，λˆ能使)(λl 达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故λ的极大似然估计为：X1ˆ=λ； 根据极大似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极大似然估计为：X X E ==λˆ1)(．五、小结1、极大似然估计的思想；2、求解未知参数极大似然估计的一般步骤；3、极大似然估计的不变原则．五、作业见参考文献1的第278页第4，5，6页．参考文献：1、苏均和主编：概率论与数理统计，上海财经大学出版社．1999年1版．2、茆诗松等编著：概率论与数理统计，中国统计出版社．1999年1版．3、魏振军编：概率论与数理统计三十三讲，中国统计出版社．2000年1版．4、唐生强主编：概率论与数理统计复习指导，科学出版社．1999年1版．。

ＩＳＳＮ１６７２－９０６４ＣＮ３５－１２７２／ＴＫ图１威布尔函数拟合曲线的仿真系统模块作者简介：包小庆（１９５９～），男，高级工程师，从事可再生能源的研究。

大型风电场的建设不但可以减缓用电短缺情况，而且并网后还能为电网提供很大一部分电能。

而大型风电场的选址，与该地的风速分布情况有关。

用于描述风速分布的模型很多，如瑞利分布、对数正态分布、ｒ分布、双参数威布尔分布、３参数威布尔分布，皮尔逊曲线拟合等。

经过大量的研究表明，双参数威布尔分布函数更接近风速的实际分布。

本文采用４种方法计算威布尔分布函数的参数，并利用计算出的参数确定威布尔分布函数的实际数学模型进行曲线拟合。

最后以白云鄂博矿区风电场拟选址为例，使用计算机软件（ＭＡＴＬＡＢ）对该地区风速威布尔分布函数进行曲线拟合，得到该地区不同高度的风速分布函数曲线。

１双参数威布尔分布函数的确定双参数威布尔分布是一种单峰的正偏态分布函数，其概率密度函数表达式为：ｐ（ｘ）＝ｋｃｘｃ!"ｅｘｐ－ｘｃ!"（１）式中：ｋ———形状参数，无因次量；ｃ———尺度参数，其量纲与速度相同。

为了确定威布尔分布函数的实际模型，需计算出实际情况下对应函数的２个参数。

估算风速威布尔参数的方法很多，本文给出４种有效的方法以确定ｋ和ｃ值。

１．１ＨＯＭＥＲ软件法ＨＯＭＥＲ是一个对发电系统优化配置与经济性分析的软件。

通过输入１ａ逐时风速数据或者月平均风速数据，根据实际情况设置相应参数，即可计算得到ｋ和ｃ值，此时计算出的ｋ和ｃ值是计算机系统认为的最佳值。

１．２Ｗａｓｐ软件法Ｗａｓｐ是一个风气候评估、计算风力发电机组年发电量、风电场年总发电量的软件。

通过输入风速统计资料，计算机可以直接计算出ｋ和ｃ值。

１．３最小二乘法通过风速统计资料计算出最小二乘法拟合直线ｙ＝ａｘ＋ｂ的斜率ａ和截距ｂ。

由下式确定ｋ和ｃ的值：ｋ＝ｂ（２）ｃ＝ｅｓｐａｂ（３）１．４平均风速和最大风速估计法从常规气象数据获得平均风速和时间Ｔ观测到的１０ｍｉｎ平均最大风速Ｖｍａｘ，设全年的平均风速为Ｖ通过下式计算ｋ和ｃ值：ｋ＝ｌｎ（ｌｎＴ）０．９０Ｖｍａｘ（４）ｃ＝１＋１／!"Ｋ（５）计算过程中，为了减小Ｖｍａｘ的抽样随机误差，一般情况Ｖｍａｘ取多年平均值（１０ａ以上）进行计算。

极大似然函数怎么构造极大似然函数是一种常用的统计学方法，用于估计未知参数的值。

在统计学中，我们经常需要根据已知的数据来推断未知的参数，例如，我们可以通过观察一组数据来估计某个总体的均值或方差。

极大似然函数就是一种用于估计未知参数的方法，它的基本思想是选择使得观测数据出现的概率最大的参数值作为估计值。

极大似然函数的构造方法如下：假设我们有一组观测数据x1, x2, ..., xn，这些数据是从一个未知的总体中抽取得到的。

我们假设这个总体的分布是已知的，但是其中的某些参数是未知的，我们需要通过观测数据来估计这些参数的值。

假设这些参数的取值为θ，我们的目标是找到一个θ的值，使得观测数据出现的概率最大。

具体地，我们可以定义一个关于θ的函数L(θ)，称为似然函数，它表示在给定θ的情况下，观测数据出现的概率。

似然函数的定义如下：L(θ) = P(x1, x2, ..., xn | θ)其中，P表示概率，|表示给定的条件。

似然函数的意义是，在给定θ的情况下，观测数据出现的概率。

我们的目标是找到一个θ的值，使得L(θ)最大。

为了找到L(θ)的最大值，我们可以对θ进行求导，然后令导数等于0，求解得到θ的值。

具体地，我们可以对L(θ)取对数，得到一个更容易处理的函数l(θ)，称为对数似然函数：l(θ) = log L(θ)对l(θ)求导，得到：d l(θ) / dθ = Σi=1 to n d log P(xi | θ) / dθ其中，Σ表示求和，d表示微分。

我们令d l(θ) / dθ等于0，求解得到θ的值，即为极大似然估计值。

极大似然函数是一种常用的统计学方法，用于估计未知参数的值。

它的基本思想是选择使得观测数据出现的概率最大的参数值作为估计值。

通过构造似然函数和对数似然函数，我们可以求解出极大似然估计值，从而得到未知参数的估计值。

南开大学硕士学位论文威布尔分布参数估计的研究姓名：赵呈建申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：张润楚20071101威布尔分布参数估计的研究作者：赵呈建学位授予单位：南开大学本文读者也读过(10条)1.朱铭扬.ZHU Ming-yang三参数威布尔分布的参数估计[期刊论文]-江苏技术师范学院学报2006,12(6)2.赵冰锋.吴素君三参数威布尔分布参数估计方法[会议论文]-20073.赵冰锋.吴素君三参数威布尔分布参数估计方法[会议论文]-20074.史景钊.杨星钊.陈新昌.SHI Jing-zhao.YANG Xing-zhao.CHEN Xin-chang3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究[期刊论文]-河南农业大学学报2009,43(4)5.张慧敏.ZHANG Hui-min三参数威布尔分布在机械可靠性分析中的应用[期刊论文]-机械管理开发2009,24(3)6.郑荣跃.严剑松威布尔分布参数估计新方法研究[期刊论文]-机械强度2002,24(4)7.杨志忠.刘瑞元三参数Weibull分布参数估计求法改进[期刊论文]-工程数学学报2004,21(2)8.邢兆飞威布尔分布可靠度的近似置信限和浴盆形失效率函数及其统计分析[学位论文]20099.赵冰锋.吴素君.ZHAO Bing-feng.WU Su-jun三参数威布尔分布参数估计方法[期刊论文]-金属热处理2007,32(z1)10.严晓东.马翔.郑荣跃.吴亮.YAN Xiao-dong.MA Xiang.ZHENG Rong-yue.WU Liang三参数威布尔分布参数估计方法比较[期刊论文]-宁波大学学报（理工版）2005,18(3)引用本文格式：赵呈建威布尔分布参数估计的研究[学位论文]硕士 2007。

威布尔分布是一种常见的概率分布，在许多领域都有着重要的应用。

在统计学中，我们经常需要对数据进行概率分布的估计，以便做出进一步的推断和分析。

而其中一种常见的估计方法就是极大似然估计。

本文将就威布尔分布的极大似然估计过程进行详细的介绍和分析。

一、威布尔分布的概述威布尔分布是描述事件发生时间的概率分布，常用于可靠性分析中。

它的概率密度函数可以写为：f(x|λ, k) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，λ和k是分布的参数，λ>0，k>0。

威布尔分布具有灵活的形状，可以适应各种类型的数据分布。

二、极大似然估计的原理极大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过最大化样本的似然函数（概率密度函数的乘积）来确定参数的值。

具体来说，对于给定的样本，我们希望找到一组参数，使得观测到这组样本的概率最大。

我们要找到能最好地“解释”已有数据的参数值，这就是极大似然估计的基本原理。

三、威布尔分布的极大似然估计过程对于威布尔分布的参数λ和k的极大似然估计过程，我们可以按照以下步骤来进行：1. 构造似然函数我们需要构造威布尔分布的似然函数。

对于给定的样本x1, x2, ..., xn，其似然函数可以写为：L(λ, k|x1, x2, ..., xn) = ∏[i=1->n] (k/λ) * (xi/λ)^(k-1) * exp(-(xi/λ)^k)2. 求对数似然函数由于对数函数是单调递增的，对数似然函数和似然函数在参数估计中具有相同的极值点。

我们可以对似然函数取对数，得到对数似然函数：l(λ, k|x1, x2, ..., xn) = ∑[i=1->n] (log(k) - log(λ) + (k-1)*log(xi/λ) - (xi/λ)^k)3. 求偏导数接下来，我们需要对对数似然函数分别对λ和k求偏导数，并令偏导数为0，得到参数λ和k的估计值。

4. 求解参数通过求解偏导数为0的方程组，我们可以得到参数λ和k的极大似然估计值。

两参数威布尔分布中参数的极大似然估计量的迭代求解方法李剑;张群会
【期刊名称】《机械强度》
【年(卷),期】1994(16)3
【摘要】提出了两参数威布尔分布中参数的极大似然估计量的一种简单、有效的迭代求解方法。

【总页数】2页(P67-68)
【关键词】可靠性;分布参数;计算;威布尔分布
【作者】李剑;张群会
【作者单位】西安矿业学院
【正文语种】中文
【中图分类】TB114.3
【相关文献】
1.威布尔分布产品参数估计极大似然优化方法 [J], 金星;陈景鹏;文明;李俊美
2.威布尔分布参数最好线性无偏估计的两种求解方法 [J], 姚迅;文昌俊;钟毓宁
3.两参数威布尔分布极大似然估计软件 [J], 崔应钟;吴修群
4.应用MS Excel求解三参数威布尔分布函数的参数估计 [J], 刘子娟; 郑学斌; 郭小军
5.两参数对数正态分布与威布尔分布的近似极大似然估计 [J], 顾蓓青;徐晓岭;王蓉华
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基于Matlab_Simulink的Weibull分布的极大似然估计第29卷第4期2011年4月河南科学HENAN SCIENCEVol.29No.4Apr.2011收稿日期：2011-01-28基金项目：河南农业大学博士基金项目（30500022）作者简介：史景钊（1963－），男，河南柘城人，副教授，主要从事农业装备及其可靠性方面的研究.文章编号：1004-3918（2011）04-0466-03基于Matlab/Simulink 的Weibull 分布的极大似然估计史景钊，邵瑞娜，陈新昌（河南农业大学机电工程学院，郑州450002）摘要：介绍了三参数Weibull 分布的MLE ，利用Simulink 的图形化建模方法，直接“画”出MLE 的方程组模型，修改各模块的参数，完成三参数Weibull 分布的MLE ，并用实例验证了这种方法的可行性.模型同时也可用于二参数Weibull 分布参数的MLE .关键词：可靠性；Weibull 分布；极大似然估计；Matlab ；Simulink 中图分类号：TB 114.3文献标识码：AWeibull 分布是瑞典物理学家Weibull W．在分析材料强度时在实际经验的基础上推导出来的分布形式[1]，在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中比二参数Weibull 分布有更好的适应性，用三参数Weibull 分布拟合产品寿命分布比用二参数Weibull 分布拟合精度更高，但三参数Weibull 分布的参数比二参数Weibull 分布复杂得多.极大似然估计法（MLE ）是常用的参数估计方法之一，它是一种十分有效和通用的参数估计方法，有许多优良性质，在二参数Weibull 分布的参数估计中已广泛应用[2].三参数Weibull 分布的MLE 由于需要求解十分复杂的非线性超越方程组，以前较少使用，现在多利用计算机语言编程求解.许多学者就其解法的优化提出了多种不同的方法[3-9]，获得了不同的成果，优化了求解方法，但编程求解仍然比较复杂.Simulink 是一个图形化的建模工具，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境.Simulink 为用户提供了一些基本模块，用户只需通过简单的鼠标操纵模块浏览器中复制所需模块到模型窗口，并把这些模块连接起来，再修改模块参数，就可构造出复杂的系统模型[10].本文利用Simulink 的这种图形化的建模功能，把三参数Weibull 分布的MLE 方程组在Simulink 的模型窗口中“画”出来，不用编程即可进行参数估计，从而使三参数Weibull 分布的MLE 的求解变得简单直观.1Weibull 分布的极大似然估计Weibull 分布的概率密度函数由下式给出：f （t ）=mηt -γηm -1·exp -t -γηm，t ≥γ，（1）式中：m 称为形状参数，m ＞0；η称为尺度参数，η＞0；γ称为位置参数，对于产品寿命有，γ≥0，γ＝0时退化为二参数Weibull 分布；t 为产品的工作时间，t ≥γ.若随机从一批寿命服从三参数Weibull 分布的产品中任意抽取n 件进行寿命试验到全部产品失效，获得各产品的失效时间为t 1≤t 2≤…≤t n .根据极大似然估计原理，Weibull 分布的的对数似然函数为：ln L （t ；m ，η，γ）=n （ln m -ln η）+（m -1）n i =1Σlnt i -γη -ni =1Σt i-γη m，（2）分别求坠ln L 坠m ，坠ln L 坠γ，坠ln L 坠η，并经整理得对数似然方程组为：2011年4月1-ni =1Σ（t i-γ）mln （t i-γ）i =1Σ（t i-γ）m+1ni =1Σln （t i-γ）=0，m -1m ni =1Σ1t i -γ-n ni =1Σ（t i -γ）m -1ni =1Σ（t i-γ）m=0，ηm=1nni =1Σ（t i-γ）mΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ.若有m 赞，η赞，γ赞满足方程（3）～（5），则m 赞，η赞，γ赞即为所求的形状参数、尺度参数、位置参数的极大似然估计值.2Weibull 分布MLE 的Simulink 实现2．1Simulink 模型的建立Simulink 为各种数学运算、求解代数方程提供了相应的模块.考察方程（3）～（5），分析各元素之间的数学关系，在Simulink 中浏览器中找到相应的模块，并复制到Simulink 模型窗口中，合理安排各个模块的位置和方向，按照方程中各元素的关系把它们连接起来，得到如图1所示的仿真模型.模型中失效时间的输入采用Constant 模块，其值可从Matlab 命令窗口输入，格式为t ＝［t 1，t 2，…，t n ］；方程（3）和方程（4）则用两个Algebraic Constraint 模块表示，其输入是方程的左边，输出是形状参数和位置参数的估计值m赞，γ赞；Switch 模块用于切换Weibull 分布的参数个数，当控制端的输入大于2（图中为3）时，将按三参数Weibull 分布估计参数，否则按二参数Weibull 分布估计参数（直接输入0作为位置参数）；Display 模块用于显示m赞，η赞，γ赞，即三个参数的估计结果，可根据需要设置显示的精度.由于Simulink 的很多不同模块可以实现相同的功能，同时由于方程组本身的可变性，上述仿真模型并不是惟一的.图1Weibull 分布MLE 的Simulink 模型Fig.1Simulink model of Weibull distribution of MLE2．2计算实例例：一组铝合金试件，疲劳寿命试验结果如下：35，38，40，43，45，47，48，50，52，54，55，57，60，61，63，65，（3）（4）（5）史景钊等：基于Matlab/Simulink 的Weibull 分布的极大似然估计467--第29卷第4期河南科学67，73，77，84（单位：104次）[11].假设寿命数据是服从Weibull 分布的，试估计Weibull 分布的模型参数.启动Mtalab 和Simulink ，打开上述模型文件，在Mtalab 的命令窗口中输入失效时间向量，命令如下：＞＞t＝［35，38，40，43，45，47，48，50，52，54，55，57，60，61，63，65，67，73，77，84］在Simulink 的模型窗口中，分别双击两个“Algebraic Constraint ”模块，输入仿真的迭代初值，这里形状参数的初值设为1，位置参数的初值设为30.单击“Start simulation ”按钮进行仿真求解，可得形状参数、尺度参数、位置参数的估计值分别为m 赞=1.857，η赞=26.21，γ赞=32.38，这与编程求解的结果是一致的.3结语与讨论Matlab 为Weibull 分布的参数估计提供了专门的计算函数wblfit （），该函数采用MLE 估计参数，但只能用于二参数Weibull 分布.用Simulink 的图形化建模方法进行Weibull 分布的参数估计，通过开关选择，既可以用于二参数Weibull 分布，也可用于三参数Weibull 分布，为Weibull 分布的参数估计提供了一种新思路，通过实例证明这种方法是可行的，无需了解迭代方法和迭代过程，也无需复杂的代码.二参数Weibull 分布的MLE 是惟一的，但三参数Weibull 分布的MLE 有时不存在或有多个解[12-13]，所以设置迭代初值至关重要，设置不好可能无法迭代成功或得到的不是可行解.可以用图估计法或文献［2］介绍的方法设置迭代初值，并把估计结果与其他方法加以比较.如有多个解的情况，可用W bllike 函数求解对数似然函数的负值，以该值最小者作为估计结果.参考文献：［1］Hallinan A J．A review of the Weibull Distribution ［J ］．Journal of Quality Technology ，1993，25（2）：85－93.［2］戴树森，费鹤良．可靠性试验及其统计分析：下［M ］．北京：国防工业出版社，1984.［3］Qiao H Z ，Tsokos C P．Estimation of the three parameter Weibull probability distribution ［J ］．Mathematics and Computers inSimulation ，1995，39（1－2）：173－185．［4］Gove J H ，Fairweather S E．Maximum likelihood estimation of Weibull function parameters using a general interactive optimizerand grouped data ［J ］．Forest Ecology and Management ，1989，28（1）：61－69．［5］曲延碌，张程道，阎书源．三参数Weibull 分布的参数估计［J ］．气象学报，1987，45（3）：374－375．［6］王华胜，李忠厚，林荣文．耗损故障的三参数Weibull 分布的极大似然估计方法［J ］．中国铁道科学，2004，25（5）：39-42．［7］杨谋存，聂宏．三参数Weibull 分布参数的极大似然估计数值解法［J ］．南京航空航天大学学报，2007，39（1）：31－34.［8］方华元，胡昌华，李瑛．基于遗传算法的威布尔分布的参数估计及MATLAB 实现［J ］．战术导弹控制技术，2007，1：100－103.［9］Tan Zhibin．A new approach to MLE of Weibull distribution with interval data ［J ］．Reliability Engineering ＆System Safety ，2009，94（1）：394－403.［10］黄永安，马路，刘慧敏．Matlab 7．0/Simulink 6．0建模仿真开发与高级工程应用［M ］．北京：清华大学出版社，2005.［11］颜永年，俞新陆，郑楚鸿．疲劳绝对尺寸效应的统计分布［J ］.机械工程学报，1986，22（4）：85-87.［12］Lemon G H．Maximum likelihood estimations for the three parameters Weibull distribution based on censored samples ［J ］．Techn metrics ，1975，17（2）：247－254．［13］费鹤良，陈迪．三参数威布尔分布的参数估计方法［J ］．上海师范大学学报：自然科学版，1996，25（2）：1－8.Maximum Likelihood Estimation with Weibull DistributionBased on Matlab /SimulinkShi Jingzhao ，Shao Ruina ，Chen Xinchang（Henan Agricultural University ，Zhengzhou 450002，China ）Abstract ：In this paper ，using Simulink graphical modeling method ，directly paints a Weibull distribution of MLE model ，and modify the parameters of each module to complete the 3parameter Weibull distribution of MLE．The example shows that the approach is feasible and the result is reliable．Model also used as 2parameters Weibull distribution．Key words ：reliability ；Weibull distribution ；m aximum likelihood estimation ；Matlab ；Simulink468--。

第二章 线性回归模型回顾与拓展 （12-15学时）第四节 三大检验（LR Wald LM ） 一、极大似然估计法（ML ）（一）极大似然原理假设对于给定样本{},Y X ,其联合概率分布存在，(),;f Y X ξ。

将该联合概率密度函数视为未知参数ξ的函数，则(),;f Y X ξ称为似然函数（Likelihood Function ）。

极大似然原理就是寻找未知参数ξ的估计ˆξ，使得似然函数达到最大，或者说寻找使得样本{},Y X 出现的概率最大ˆξ。

（二）条件似然函数VS 无条件似然函数()()(),;;;f Y X f Y X f X ξθϕ=若θ与ϕ没有关系，则最大化无条件似然函数(),;f Y X ξ等价于分别最大化条件似然函数();f Y X θ和边际似然函数();f X ϕ，从而θ的最大似然估计就是最大化条件似然函数();f Y X θ。

（三）线性回归模型最大似然估计Y X u β=+，2(0,)u N I σ→2222()()(,;,)(2)exp{}2nY X Y X L Y X βββσπσσ-'--=-对数似然函数：22()()2222n n Y X Y X l LnL Ln Ln ββπσσ'--==---于是 22241ˆ(22)0ˆˆ21ˆˆ()()0ˆˆˆ22l X Y X X l n Y X Y X βσβββσσσ∂⎧''=--+=⎪⎪∂⎨∂⎪'=-+--=⎪∂⎩得到 12ˆ()1ˆMLML X X X Y e e n βσ-⎧''=⎪⎨'=⎪⎩（三）得分（Score ）和信息矩阵（Information Matrix ）(;,)lf Y X θθ∂=∂称为得分； 12...k l l l l θθθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦得分向量；（Gradient ） 海瑟矩阵（Hessian Matrix ）:2l H θθ∂='∂∂信息矩阵：三*、带约束条件的最小二乘估计（拉格朗日估计）在计量经济分析中，通常是通过样本信息对未知参数进行估计。