三参数weibull分布参数的图解及优化法结合求法

Weibull分布三参数图估法的程序优化
邓中明
【期刊名称】《武汉纺织工学院学报》
【年(卷),期】1995(008)001
【摘要】鉴于Ｗｅｉｂｕｌｌ三参数图估法作图繁琐，精度不高的特点，本文通过以位置参数γ为设计变量，以二参数回归方程的相关灵目标函数的最优模型，解决了Ｗｅｉｂｕｌｌ三参数图估法的程序化总理２。

【总页数】4页(P31-34)
【作者】邓中明
【作者单位】武汉纺织工学院机电系
【正文语种】中文
【中图分类】O213.2
【相关文献】
1.耐用度服从三参数Weibull分布的机床刀具在变加工条件下的可靠性评估 [J], 王智明;任丽娜;段红燕;杨海鱼
2.三参数Weibull分布函数的参数估计：高斯——牛顿法 [J], 熊安元;赵明明
3.三参数Weibull分布参数的图解及优化法结合求法 [J], 熊和根
4.三参数Weibull分布的多因素作用下混凝土加速寿命试验 [J], 乔宏霞;郭向柯;朱彬荣
5.基于三参数Weibull分布的安徽省年最大风速均一性检验 [J], 温华洋;朱华亮;刘壮;孔芹芹;马文周;陈凤娇
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维护和故障预测提供了依据。
案例三
总结词
复杂系统的Weibull分布可靠性评估
详细描述
质量管理课程中，我们还通过案例研究探讨 了复杂系统的Weibull分布可靠性评估。针 对由多个子系统组成的复杂系统，我们首先 识别了各子系统的故障模式和失效机制，然 后使用Weibull分布模型对各子系统的可靠 性进行了评估。最后，我们综合各子系统的 可靠性特征，对整个复杂系统的可靠性进行 了分析和预测。这一案例研究有助于提高我
案例二
总结词
机械部件故障模式的Weibull分布应用
详细描述
在质量管理课程中，我们还探讨了机械部件故障模式的Weibull分布应用。针对不同类 型的机械部件，我们收集了其故障数据，并使用Weibull分布模型进行拟合。通过对比 不同部件的Weibull分布参数，我们分析了各部件的故障模式和可靠性特征，为预防性
Weibull分布的特性
总结词
Weibull分布具有形状参数和尺度参数两个参数，决定了分布 的形状和尺度。
详细描述
Weibull分布有两个参数，一个是形状参数λ（lambda），一个 是尺度参数k。形状参数决定了分布的形状，尺度参数决定了分 布的尺度。当形状参数λ=1时，Weibull分布退化为指数分布。
识别潜在故障模式
通过FMEA分析，识别产品或过程中可能出 现的故障模式。
分析故障影响
评估每种故障模式对产品质量、安全性、可 靠性和其他关键性能指标的影响。
确定风险优先级
根据故障影响程度和发生概率，确定风险优 先级，为改进措施提供依据。
制定预防措施
针对高风险故障模式，制定有效的预防措施， 降低其发生概率或减轻其影响程度。
掌握如何利用软件进行Weibull分布的拟合、分析和绘 图。

i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填 充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充 E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位 置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会 失效，对
于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数 威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于 建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指 数分布，适合于建
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在 实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量 研究表明，用三参数威
布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲
劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理； 在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，
采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精 度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领 域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中 位秩算
法求得：
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进 行估计。

weibull函数Weibull函数是一种常见的概率分布函数，在工程、生物学、环境科学等领域都有广泛的应用。

本文将围绕Weibull函数展开详细的讲解。

一、Weibull函数的概念Weibull函数是von Weibull于1951年提出的一种数学函数，具有如下公式：f(x) = (k/λ) * [(x/λ)^(k-1)] * exp[-(x/λ)^k] (x>=0)其中，k和λ是Weibull函数的参数，k称为形状参数，反映随机变量的分布形状；λ称为尺度参数，反映随机变量的尺度大小。

二、Weibull函数的特点1、Weibull函数是典型的右偏分布，也称为正倾斜分布，这是由于右侧长尾的存在导致的。

2、Weibull函数可用于刻画各种不同类型的现象，如失效时间、断裂强度等。

3、Weibull函数在实际应用中具有广泛的应用领域，如可靠性分析、质量控制、产品寿命预测等。

三、Weibull函数的参数估计在实际应用中，我们需要估算Weibull函数的参数，目前常用的方法有极大似然估计和最小二乘估计。

1、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是在已知样本数的情况下，通过求解最大的似然函数值，来获得Weibull函数的参数估计值。

2、最小二乘估计最小二乘估计是通过最小化误差平方和的方法来获得Weibull函数的参数估计值。

四、Weibull函数的应用Weibull函数是一种常见的概率分布函数，其应用范围非常广泛。

下面列举几个实际应用案例：1、可靠性分析Weibull函数可以用来描述机械零件的失效时间分布，通过对失效时间的估计，可以预测产品的寿命，并制定相关的维修和更换计划。

2、产品寿命预测基于Weibull函数的特点，可以通过对产品失效数据的分析得到不同时间段内的失效概率和相关的可靠性数据，从而预测产品的寿命。

3、质量控制Weibull函数可以用来描述产品的质量控制数据，通过对数据的分析，可以判断产品整体质量水平，及时发现和解决质量问题。

２）参数的图解估计 将寿命试验所得的ｎ个数据按数值大小次序Ｌｔ≤三２≤……≤上ｎ及对应的失 效概率Ｆ（厶）（ｉ＝ｌ，２，……，ｎ）分别为横坐标与纵坐标，可在威布尔概率纸上 得到ｎ个数据点。然后重点依靠Ｆ（厶）＝３０％～７０％范围内的数据点，凭目测
绘制出一条直线。该直线与Ｆ（三）＝６３．２％水平线相交的点所对应的寿命值，即 为三。值。若该直线与横坐标的夹角为０，则可得
二参数威布尔分布的研究重点是形状参数ｂ值的确定，其代表性研究成果 为Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论。三参数威布尔分布的研究重点则是在二参 数威布尔分布研究的基础上，主要关注最小寿命参数岛值的确定，其代表性研 究成果为Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论。ＩＳＯ标准和有关国家标准则对轴承寿命的威布尔形 状参数作了权威性认同与规定。但是，由于威布尔参数的精确（高可靠性与高 置信度的）确定，特别是位置参数即最小寿命参数岛值的确定，需要大量的试 验作支撑，以寻求其统计规律性，财力、物力与时间耗费巨大，因此，有关研 究成果在种种局限性之下所导致的或者难以涉及，或者做不深入，或者做不准 确，就成为必然之事。也正因为如此，继续深入开展相关研究，以求不断完善 威布尔分布、尤其是三参数威布尔分布在轴承寿命方面的应用，其理论意义与 实用价值就十分重大。
１．３本论文的主要研究内容、技术难点与研究方法 １．３．１主要研究内容
１）对轴承寿命的威布尔分布三参数进行研究，其中重点为形状参数ｂ值和 最小寿命参数如值的确定（特征寿命参数Ｌ系尺度性参数，无需特意研究）。
２）将研究结果与Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论、Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论和ＩＳＯ 标准等权威研究成果进行验证性比较研究。 １．３．２技术难点
＃
图２－－３ ｒ＝Ｏ，ａ＝２，而∥取不同数值时的，（ｆ）曲线

水 量 和 月 降水 量¨ 风 速 的概 率 分 布 ¨ ， 的 最 大 流量 口 等． 于 三 参 数 ｗｅｂ ｌ分 布 的统 计 分 析 １ ， ９河 ］ 关 ｉｕ１
已有 许 多文 献 作 了研 究 ， 参 阅文 献 ［ ］ ［ ３ ． 考 虑如 下 情况 ， 由 于某 种 原 因 ， 得 试验 中 的 可 １～ １］ 现 即 使 某 一些 样 本 寿命 数 据 丢 失 ， 只能 知道 其 前后 的寿命 数 据 ． 种 情 况 在 现 实 中是 经 常 发 生 的 ， 其 而 这 称 为 数 据 丢 失 或数 据 缺 失 ． 于 Ｗｅ ｕ１ 布数 据 缺 失场 合 下 的统 计 分 析 ， 关 ｉ ｌ分 ｂ 可参 阅 文 献 ［ ～ ［ ｏ ， １ ］ ２ ］ ５
数对 数 正 态分 布．
１ 参数 的近似极大似 然估计 （ ＡＭＬＥ）
设 产 品的 寿命 ｔ 服从 三参 数 Ｗｅ ｕ１ 布 ， ｉ ｌ分 ｂ 其分 布 函数 和 密度 函数 分 别 为 ：
Ｆ ｆ， ） — — ， （ｉ７ 一ｌ ｃ ｔ ， ｎ
７ 一 ， ，／ ｃ ， ｆ ｒ ＼
Ｖ ．
（） ３
而 Ｙ∽＝ｌ （ ） Ｚ ｎｔ ∽ ， ∽一
， Ｙ（≤ ｙ 则 １ ） ≤ …≤ｙ 为来 自位 置 参数 为 ， 度参 数 为 的极 小 刻
Ｈ ∑
值分 布 的样 本 容 量 为 的前 ｒ 次序 统 计 量 ， 个 ｚ㈩≤ｚ ≤ …≤ｚ 为来 自标 准 极 小值 分 布 的样 本 容 量 为 的 前 ｒ个 次 序统 计 量 ， 虑 到数 据 有 缺失 场 合 ， 有 ： Ａｙ ｒ ≤ｙ ｒ ≤ｙ ≤ … ≤ ｙ ， ０Ａ 考 则 ０ ） Ｊ Ｉ １ １ 及 一
Ｆ（ ， ｙ； ）一 １一 Ｃ 一 －ｅ

关 键 词 :MTBF ;威布尔分布 ;航空发动机
中图分类号 :O21113 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 2889 (2006) 03 - 0040 - 04
平均故障间隔时间 MTBF (Mean Time Between Failures) 是航空发动机可靠性的重要指标之一 ,对发 动机产品的设计 、生产和使用等都具有重要的影响 和意义 。它标志着发动机产品在同一使用间隔期内 产品质量的优劣 、故障比率的高低和使用寿命的长 短[1 - 2] 。
时间一般是作为确定发动机 MTBF 的辅助性依据 。 目前国内现役机种的厂内试车故障相对较少 ,信息
量不足 ,给 MTBF 的计算带来一定的困难 。 另外 ,由于发动机故障中有些是必然性故障 ,而
有些是偶然性故障 。必然性故障为发动机设计 、生
产等环节带来的问题或潜在的故障问题 ,如零件疲
劳断裂 、耗损等 。有些必然性故障在一定条件下才
TMFHB F的计算表达式为 :
n
ρ ti
TMFHB F
=
i
=1
N
式中 : ti ———相邻两次故障间的飞行小时数 ; N ———总故障数 。
2 平均故障间隔时间 MTBF 的计算
根据间接定义计算 MTBF 需要进行系数修正 , 具有较大的伸缩性和裕度量 ,使 MTBF 值的范围拓 宽 。采用直接计算 ,故障数据直观 ,含义清晰 ,在工 程中较多使用 。
经分析后删除掉一些偶然性的故障保留了其中的89起重复性的故障并对其进行了分类表12某型发动机故障随工作时间的分布故障时间故障次数百分比0100343812100200262912200300161810300400910400500415500600某型航空发动机故障类型分布故障类型重复次数百分比裂纹121315漏油719叶片打伤232518导管断裂910转速不合格213催化点火器掉块213喷口滑油泵故障基于威布尔分布法的某型发动机mtbf计算故障类型重复次数百分比温控放大器故障141517停不了车故障171911热电偶断路故障某型发动机mtbf计算为了便于比较本文分别运用均值法两参数威布尔分布的一二次分布计算法和三参数威布尔分布的一二次分布计算法对该型发动机的故障间隔时间进行统计分析在计算过程中取置信度90所得结果如下

Statistical Inference of Varying-stress Accelerated Life Test with Competing Failures Based on Three-parameter Weibull Distribution
ZHANG Xiangpo1, 2 SHANG Jianzhong 1 CHEN Xun 1 ZHANG Chunhua 1
(1. Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support, National University of Defense Technology, Changsha, 410073; 2. College of Field Engineering, PLA University of Science and Technology, Nanjing 210007)
失效和当前应力，而与累积方式无关[1]。 (2) 寿命分布模型。产品 p 个失效模式下的潜 在失效时间在各应力水平下均服从 TPWD，加速应 力只改变各失效模式的分布参数，而不改变其分布 类型。 在时间 t，应力水平 S (t ) 下第 m 个失效模式的 失效概率、失效概率密度、可靠度和故障率函数分 别记为 Fm (t ) 、f m (t ) 、 Rm (t ) 和 hm (t ) ( m 1,2, , p )。月 2014 年 7 月
张详坡等：三参数 Weibull 分布竞争失效场合变应力加速寿命试验统计分析
43
相间失效和槽间失效之一产生，绝缘系统的寿命是 这三种失效模式的最小失效时间[1]。轴承的失效有 可能由轴承内圈失效、外圈失效、滚动体失效和保 持架失效中的一个导致。竞争失效是产品的一种重 要失效形式，竞争失效产品加速寿命试验的统计分 析方法与单一失效分析有很大的差别，研究竞争失 效场合加速寿命试验统计分析具有重要意义，受到 很多学者的关注[1-7]。 但这些研究都是针对常用的分 布如对数正态分布、指数分布和两参数 Weibull 分 布，而系统针对各失效模式分布为三参数 Weibull 分布(Three-parameter Weibull distribution，TPWD) 的竞争失效加速寿命统计分析的研究还鲜见报道。 由于 TPWD 中位置参数 γ 的引入，使得其分 布形式具有最小寿命特征，因此描述对于具有渐变 性失效特征的失效模式如机械产品的磨损、疲劳、 腐蚀、老化等的寿命分布具有更加明确的物理意 义[8-10]，同时因为威布尔分布含有三个参数，所以 与其他较常用寿命分布如正态分布、 对数正态分布、 指数分布(只有一个参数)等相比，对于各种类型的 试验数据拟合能力更强。 正是由于 TPWD 的这些特 点，航空产品的疲劳寿命和强度分布都可以用 TPWD 很好地描述。 目前 TPWD 已经广泛应用在诸 [11-12] 如导弹部件 、发动机部件[13]、数控机床[14]等机 械零部件的可靠性分析与评价中。因此研究 TPWD 竞争失效加速寿命统计分析方法具有重要意义。 本文针对 TPWD 的特点， 研究产品各失效模式 寿命分布为 TPWD 时的竞争失效变应力加速寿命 统计分析方法，建立求解其分布参数的极大似然估 计模型。

建 课 （ Ｚ ５ １ ５１Ｏ）
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１２ ２
大 学 数 学
第 ２ ４卷
数分别为
Ｆ （ ／，） １ ｅ ｐ 一 ｅ ｝ （ ， ） ； 口 一 ｅ ｅ ｐ 一 ｅ ｝ ｘ｛ ．
设对产 品进行定期检测得 到分组 型数据 ｗ“， 对应 于寿命 Ｔ的分组型数据 ｗ“可得 到 ｙ， ｚ的分组 型 数据 ｗ 及 ｗ“ ， 中 ’ ’其
Ｗｉ ｌ ｔ－ ）， ＝ ｎ（ｉ 一 Ｙｉ ［ －＿ ｔ
， 一 １ ２， ， ． ， … ｋ
易知似然 函数 Ｌ ，，）（ 中 Ｃ 为正常数 ） （ 口 其 ，
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第 ２ ４卷 第 ３期
２０ ０ ８年 ６月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨ ＡＴＩ Ｍ ＥＭ ＣＳ
Ｖｏ１ ２ № ． ． ４， ３
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ．０ ８
分 组 型数 据 三 参 数 Ｗ ｅｂ ｌ分 布 的参 数 估 计 ｉｕ１
１ 参 数 估 计
人 们 在 做 寿 命 试 验 时 ， 于 具 体 条 件 所 限 ， 能 长 期 连 续 地 进 行 检 测 ， 其 是 对 产 品 的贮 存 试 验 ． 由 不 尤 针
对这 一情形 ， 们一 般进 行如 下类 型 的寿命 试 验 ， 我 以取 得试 验 数 据 ． 机地 取 个 产 品 在 时刻 ｔ一０同 随 。 时投 入试 验 ， 期对 它们 进行 检测 ， 定 如发 现失 效则 不 再检 测 ． 由于检 测 结 果 只能 知 道产 品在某 一时 问 区 间 内失效 ， 而不 知道 它失 效 的确切 时 间． 是得 到如 下 形式 的分 组 型数 据 （ １ ． 文将 这 一数 据 类型 于 表 ）本

学会使用WEIBULLDIST和WEIBULLINV 函数进行Weibull分布计算在Excel中，可以通过使用WEIBULLDIST和WEIBULLINV函数来进行Weibull分布的计算。

WEIBULLDIST函数用于计算Weibull分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF），而WEIBULLINV函数则用于计算Weibull分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。

WEIBULLDIST函数的语法如下：WEIBULLDIST(x, alpha, beta, cumulative)其中，x为要计算PDF的数值，alpha为分布的形状参数，beta为分布的尺度参数，cumulative为是否计算累积分布函数。

如果cumulative 为TRUE（或省略），则计算CDF；如果cumulative为FALSE，则计算PDF。

WEIBULLINV函数的语法如下：WEIBULLINV(probability, alpha, beta)其中，probability为要计算CDF的概率值，alpha为分布的形状参数，beta为分布的尺度参数。

下面通过一个实际的例子来说明如何使用WEIBULLDIST和WEIBULLINV函数进行Weibull分布的计算。

假设某电子产品的寿命服从Weibull分布，已知该产品的形状参数为2，尺度参数为1000天。

现在需要计算不同时间点上该产品寿命的概率密度和累积分布。

首先，在Excel中输入以下数据：接下来，使用WEIBULLDIST函数计算不同时间点上的概率密度。

选择一个单元格，输入以下公式，并按下Enter键：`=WEIBULLDIST(A2,$B$2,$C$2,FALSE)`其中，A2为时间点的值，$B$2和$C$2为形状参数和尺度参数的位置，FALSE表示计算概率密度。

在有限样本的可靠性试验评估 中， 母体百分位 式中 占≥Ｏ ＞０ 和 ＞０ 分别为 Ｗｅ ｕ１ ｉｌ ｂ 分布的位 置参数 、 尺度参数和形状参数。 当 ＝０ ，１ 式成 时 （） 为两参数 Ｗｅ ｕ１ ｉｌ ｂ 分布函数。 设 ｔ， ， ， （ｌ≤ ｔ ≤ … ≤ ｔ）是 来 自 ｌｔ … ｔ ｔ ２ ２ Ｗｅ ｕ 分布的一组有序样本 ， 和 ｔ ｉｌ ｂ１ 分别是概率 为 Ｐ的母体百分位值 的置信水平为 的单侧置信 上限和下限， Ｐ 分别是给定 ｔ Ｐ 和 处的母体百分率
２１ ００年 ６月
西 北 工 业 大 学 学 报
Ｊｕ ｎ ｌ ｆＮｏｔｗ ｓｅｎ Ｐ ｌｔｃ ｎｃｌＵｍｖ ｍｉ ｏ ｒａ ｒｈ ｅｔｒ ｏｙｅ ｈ ｉａ ｏ ｅ ￣
Ｊｎ ２ １ ｕ ｅ ＯＯ
Ｖ０． ８ ｏ ３ １２ Ｎ ．
第 ２ 卷第 ３ ８ 期
基 于概 率 加权 矩 的三 参数 Ｗｅ ｕ１ 布 母 体 ｉ ｌ分 ｂ 百 分 位 值 和 可 靠 度 置 信 限估 计 的 新 方 法
第３ 期
赵新攀等 ： 于概率加权矩的三参数 ｗｅ ｌ 分布母 体百分位 值和可靠 度置信限估计的新方法 基 ｉｌ ｂｌ １
．７பைடு நூலகம்． ４ １
式中各变量见文献 ［ ］本文不再一一列举 。 １， 的求解类似。 对于方 程组 的求解 ， 首先 由（ ） 求得 吼 ， 后 ８ 式 然 再 通过 （ ） 和 （ ） ６式 ７ 式求 得 和 。８ 式 较复杂 ， （） 需要用迭代法求解 ， 通常使用二分法。由于二分法 的起 始 区间必须 满足对 应 的起始 点处 函数值符 号相 反的条件 ， 否则不收敛 ， 所以对起始点的选择要求 比 较高。 由于该方 法 由傅 惠 民等人 提 出 ， 中为叙 述 方 文 便， 称为傅氏方法。

∗
郝晓乐,雷晓波,雷蒂远,文㊀ 敏
摘㊀ 要:提出了一种改进的最大似然法用于估算三参数威布尔分布参数㊂ 从累积分布函数㊁ 样本量㊁ 数据敏感性三个 方面对比分析了相关系数法㊁最大似然法和灰色模型法三种参数估算方法的优劣性㊂ 研究得出: 相关系数法和改进 后的最大似然法估算的参数精度比灰度模型法高,灰度模型法对数据更敏感㊁ 参数估算值波动大, 建议在飞机和发动 机可靠性研究中采用相关系数法或最大似然法估算三参数威布尔分布参数㊂ 将威布尔分布应用在某飞机法向极值 的研究中,结果表明该飞机法向过载极值符合三参数威布尔分布㊂ 建立的方法对于飞机和发动机结构可靠性研究具 有一定的参考价值㊂ 关键词:飞行试验;可靠性研究;威布尔分布;最大似然法;极值预测;法向过载 中图分类号:V217. 32㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 文献标志码:A㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 文章编号:1007-4414 ( 2017 ) 02-0001-04
Comparative Study on Parameter Estimation of Three -Parameter Weibull Distribution HAO Xiao -le, LEI Xiao -bo, LEI Di -yuan, WEN㊀ Min
( Engine Department of Chinese Flight Test Establishment, Xiᶄan Shannxi㊀ 710089 , China)
mulative distribution function, sample capacity and sensitivity on data. The analysis results show that correlation coefficient

Equipment Manufacturing Technology No.12,2020基于三参数指数-威布尔分布的加速试验剖面优化设计方法王海东$，陈志伟％,马洪波％,赵少康％,蒋冈！(1.上海密机械究所环境试验检测部，上海201600；2.西安电子科技大机电工程院，西安710071)摘要:加速寿命试验利用加速应力对试件进行寿命试验，可以提高试验和获得产9的寿命信息的效率。

为更加准确地评估高可靠性长寿命机电装备在规定环境下工作的寿命，同时考虑到三参数指数-威布尔分布可以更好地描述复杂产9的失效机理，基于三参数指数-威布尔分布，2应力水平和应力转换时间为设计变量，2产9在正常应力水平下的对数中位寿命估计值的渐近方差最小化为优化准则，进行三步进应力加速寿命试验剖面的优化设计，并与通过传统剖面设计方法设计的剖面进行对比，证明了该优化方法的有效性。

关键词：加速寿命试验;三参数指数-威布尔分布;设计变量;优化准则中图分类号:TN406文献标识码:A文章编号：1672-545X(2020)12-0040-050引言在传统环境应力试验中，对可使用时间长、不易发生故障的机电产品，无法在有限的试验时间内获取足够的失效数据来进行寿命的有效预测。

为了减少试验成本，提高对其寿命评估的效率和准确性，目前常采用加速寿命试验方法。

在可靠性技术中，加速寿命试验(ALT)于高可靠性且长寿命产品具有试验效率高的显著优势，这极大地减少了试验时间和降了试验用，大的优势使其应用于新材机电发和究等领域叫ALT 用更高的环境应力来使产品迅速暴岀故障，进用速的产品故障来进行可靠性评估。

目前已有不少对应力加速寿命试验CSALT)、进应力加速寿命试验SSALT)和序进应力加速寿命试验PSALT)这加速试验进行了的优究。

Tang=2>究了和的应力CSALT优方Miller冈于数进行了：寿命试验的进应力SSALT优究。

Fard=E>基于Weibull产品可靠寿命估的进方为准进行I? SSALT优究。

ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｓ ｔ ｉｂ ｒ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｔｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ — ｐ ｒａ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ Ｗ ｅ ｉ ｂ ｕ ｌ ｌ ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｐ ａ ｒ ｍ ｅ ａ ｔ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗａ ｓ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｉ ｎ ｆ ａ ｉ ｌ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ａ ｓ ｅ ｉｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ＣＮＣ ｌ ａ ｔ ｈｅ ｓ ｎｄ ａ ｓ ｕ ｃ ｃ ｅ ｓ ｓ ｆ ｕ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｗｅ ｒ ｅ
可靠 性分 析 的首要 问题 是 寻 找 能够 确 切 反 映系 统 故 障机 理 并与故 障 数据 的分 析 结生任何故障 ， 这些设备 的故 障数 据经过威布尔 变 换后 在威 布 尔 概 率 纸 上 呈 现 的不 再 是 一 条 直线 ， 此 时如果仍然采用两参数威布尔分布模型拟合故障数据
体 。遗传 迭代 前 ， 需 要 首 先建立一个 由若干初始解 （ 也称为个体 ） 组成的群体 ，
即初始群体。初始群体 中的每个个体都是通过随机方 法得到的参数编码 。
生成 初始 群 体 前 通 常 要 确 定 每个 参 数 的 范 围 ， 称 作搜 索空 间 。搜 索 空 间必 须 足 够 大 ， 能 够 涵 盖 每 一 个
法的可行性 。
关键词 ：三参数威布尔分布 ； 参数估计 ； 图解法 ； 遗传算法 ； 数控机 床

3分布参数置信限1t0尺度参数区间估计a服从正态分布容?得到下式aandatn1故给定置信度1001?的置信区间为expatn1da?n2expatn1da?n2202m形状参数的区间估计由式18可得b的1001?置信区间为bt2n2ni1xix2214应用举例某种型号8台汽轮机投入运?后第14压?级叶片和轮缘均发生断裂损坏其中7台机组首次失效时间依次为8479119581652121739239112700030008h
威布尔分布函数[1～ 3 ]为
F ( t) = 1 - exp [ - ( t - r) m t0 ]
(1)
式中: t0为尺度参数; r 为位置参数; m 为形状参数。分布类型检验及三参数置信限估计
很少有人研究。为此, 本文对文献[ 1 ]的相关系数优化法作了进一步简化和改进; 利用线性回
归显著性分析得到了威布尔分布检验判别式; 在分析了各参数分布规律后, 给出了各参数置
信限的数学表达式。本法便于编程及工程应用。
1 三参数点估计
对式 (1) 变形并取两次自然对数
ln ln 1 -
1 F (t)
=
m ln ( t -
r) -
ln t0
(2)
令
ln ln 1 -
1 F (t)
=
Y ; ln ( t -
r) = X
(3)
- ln t0 = A ; m = B
(4)
则式 (2) 可写成
(8)
式中: D (Y ) 为随机变量 Y 的方差。
由上可知A , B , Θ都是 r 的函数。由威布尔分布函数定义知, r 应该使随机变量 X , Y 完
全成线性即相关系数等于1, 事实上数据存在分散性, r 应是 X 和 Y 相关程度最好的一个,

第43卷　第4期河南农业大学学报Vol .43　No .42009年 8月Journal of Henan Agricultural UniversityAug .　2009收稿日期:2009-01-15基金项目:河南农业大学博士基金项目(30500022)作者简介:史景钊(1963-),男,河南商丘人,副教授,主要从事农业装备及其可靠性方面的研究.文章编号:1000-2340(2009)04-0405-053参数威布尔分布参数估计方法的比较研究史景钊1,杨星钊2,陈新昌1(1.河南农业大学机电工程学院,河南郑州450002;2.许昌职业技术学院,河南许昌461000)摘要:介绍了完全样本下极大似然估计法、矩估计法、相关系数优化法、概率权重矩法、灰色模型法、双线性回归法等常用的3参数威布尔分布的参数估计方法,提出了极大似然估计的一种新解法,从相关系数、Theil 不等系数、对数似然函数值3个方面比较了各种方法的差异.不同容量的样本实例计算表明,小样本情况下各估计法的差别较大,而大样本时差别较小,灰色模型法在各种样本下均具有较高的估计精度.关键词:可靠性;威布尔分布;参数估计中图分类号:T B114.3 文献标志码:ACo mparati ve study on parameter estimati on methods for32parameter W ei bull distri buti onSH I J ing 2zhao 1,Y ANG Xing 2zhao 2,CHE N Xin 2chang1(1.College of Mechanical and Electrical Engineering,Henan Agricultural University,Zhengzhou 450002,China;2.Xuchang Vocati onal and Technical College,Xuchang 461000,China )Abstract:Six kinds of commonly used para meter esti m ati on methods (maxi m u m likelihood esti m ati on method,moment method esti m ates,correlati on coefficient op ti m izati on method,p r obability 2weighted moment method,gray model method,and bilinear regressi on method )were intr oduced based on co m 2p lete sa mp le .A ne w algorith m method was p r oposed f or the max mu m likelihood esti m ati on .The differ 2ences bet w een vari ous methods were compared in three as pects:correlati on coefficrent .Their unequal coefficieut and l og 2likehood functi on value .Exa mp le calculati ons show that the s maller the sa mp le size is the greater the difference in esti m ati on methods .The gray model method in a variety of sa mp les has a higher esti m ati on accuracy .Key words:reliability;W eibull distributi on;para meter esti m ati on 用3参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[1],物理意义更加合理.在以损耗为特征的机械零件寿命评估中,采用3参数威布尔分布比采用2参数威布尔分布拟合精度更高.因此,3参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用.3参数威布尔分布的参数估计比较复杂,国内外研究人员提出了很多方法[2～14],如极大似然估计[5]、双线性回归估计[6]、相关系数优化法[7,8]、概率权重矩法[9,10]、灰色估计法[11]、矩估计法[12]、贝叶斯估计法[13]等,但多数方法都需要用Matlab 或其他计算机语言编程求解.由于计算繁琐、使用不便,限制了很多方法的应用.作者研究了常用的几种可以在MS EXCE L 的工作表上进行求解的威布尔分布参数估计方法,这种表上作业的方法减少了编程的麻烦,便于工程406　河　南　农　业　大　学　学　报第43卷技术人员使用.1　常用的参数估计方法1.1　威布尔分布若某产品寿命X服从威布尔分布,则其概率密度函数为f(x)=mηm(x-γ)m-1exp[-(x-γ)m/ηm](1)寿命分布函数为F(x)=1-exp[-(x-γ)m/ηm](2)式中:m为形状参数,m>0;η为尺度参数,η>0;γ为位置参数.1.2　极大似然估计对于容量为n的完全样本数据x1≤x2≤…≤x n,威布尔分布的对数似然函数为ln L(x1,…,x n;m,η,γ)=∑n i=1ln mηm(xi-γ)m-1exp(-(x i-γ)m/ηm)(3)对数似然函数对各参数求偏导数,得方程组9ln L9m=nm+∑ni=1lnxi-γη-∑ni=1x i-γηmlnxi-γη=9ln L9γ=(1-m)∑ni=11x i-γ+mη∑ni=1x i-γηm-1=09ln L9η=-nη-n(m-1)η+mη∑ni=1xi-γηm=0(4)上述方程组即为求解威布尔分布参数估计的似然方程组,解方程组(4)即可获得3个参数的估计值.但由于方程组(4)无代数解,求解十分复杂,一般是通过计算机语言如C语言、M atlab等编程求解,使其应用不便.以下通过直接寻求对数似然函数的极大值求解各参数.由9L(x1,…,x n;m,η,γ)/9η=0可求得ηm=1n ∑ni=1(xi-γ)m(5)把(5)式代入(3)式,从(3)式中消去尺度参数η可得ln L(x1,…,x n;m,γ)=n ln m-n ln1n∑ni=1(xi-γ)m+(m-1)∑ni=1ln(xi-γ)-n(6)根据极大似然原理,使(6)式取得极大值的^m,^γ即为所求的形状参数、位置参数的估计值,然后再根据(5)式即可估计出尺度参数.由3参数威布尔分布的物理意义可知,一般有0<m<10,0≤γ<x1,这样就把求解对数似然方程组的问题变为了求解有约束条件的极值问题,使问题得到了大大简化,而且(6)式的极值可在M S EXCEL上使用“规划求解”功能直接求解,省去了编程的麻烦,方便了一般工程技术人员使用.极大似然估计法是一种常用的参数估计方法,精度较高,且适用于包括有中途撤出试验的各种截尾试验场合,但由于计算较复杂,以前较少使用,随着计算机技术的发展,极大似然估计已经成为最主要的参数估计方法之一.1.3　矩法估计若设gi(m)=Γ(1+im),i=1,2,3,则3参数威布尔分布的数学期望E(X)、标准差σ(X)、偏度B(X)及其估计值样本均值 x,样本标准差S,样本偏度B分别是E(X)=η·g1(m)+γ(7)σ(X)=ηg2(m)-g12(m)(8) B(X)=g3(m)-3g2(m)g1(m)+2g13(m)[g2(m)-g12(m)]3/2(9)x=1n∑ni=1x i(10)S=1n-1∑ni=1(xi-x)2(11) B0=n(n-1)(n-2)S3∑ni=1(xi-x)3(12)利用(12)式求出B后作为B(X)的估计值,代入(9)式可求出m的估计值^m,然后用(8)式和(11)式获得η的估计值^η,再用(7)式和(10)式获得γ的估计值^γ.矩法估计的基本思想是用试验样本的各阶矩估计母体的各阶矩,并据此估计其他参数.矩法估计算法简单,有专用数表可查,使用方便.该法在小样本时精度不高,且仅适用于完全样本的场合. 1.4　相关系数优化法对(2)式进行变换Y=ln[-ln(1-F(x))],X=ln(x-γ),B=lnηm则(2)式可化为线性方程Y=m X-B由样本数据(xi,F(x i))换算得到(X i,Y i),计算X与Y间的相关系数R(X,Y).第4期史景钊等:3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究407　R (X,Y )=(∑ni =1X i Y i -nX ·Y )(∑ni =1X2i-nX 2)(∑ni =1Y2i-nY 2)(13)显然R (X,Y )是位置参数γ的函数,使R (X,Y )最大的^γ即为位置参数的估计值,然后利用最小二乘法即可求得形状参数估计值^m 和尺度参数估计值^η.通过推导可以证明[8],在下述等式成立时,相关系数R (X,Y )最大.(∑ni =1X 2i -n X 2)∑ni =1Y -Y i x i-γ-(∑ni =1X i Y i -nX ·Y )∑ni =1X -X ixi-γ=0(14)方程(14)的解即为要求的位置参数的估计值.相关系数优化法基于最小二乘原理,既适用于完全样本,也适用于截尾样本,具有满足工程要求的精度,是一种常用的估计方法.1.5　概率权重矩法试验样本概率权重矩的估计值[9]为M 1,0,k =1n∑ni =1x i 1-i -0.35nk,k =0,1,3(15)用概率权重矩表示的威布尔分布参数的估计值为^m =ln 2ln (M 1,0,0-2M 1,0,12M 1,0,1-4M 1,0,3)(16)^η=M 1,0,0-γΓln (M 1,0,0-2M 1,0,11,0,1-2M 1,0,3)/ln 2(17)^γ=4(M 1,0,3M 1,0,0-M21,0,1)4M 1,0,3+M 1,0,0-4M 1,0,1(18)概率权重矩法的精度与样本概率权重矩的计算方法有很大的关系,同时与数据的分散性有较大的关系,有时无法获得满足要求的解.在各种估计方法中,该法估计出的位置参数较其他方法小.1.6　双线性回归法变换(2)式,并令x 0=ηm,可得到2个方程ln [-ln (1-F (x ))]=m ln (x -γ)-ln x 0(19)[-ln (1-F (x ))]1/m=1ηx -γη(20)可以证明上述2式线性无关,每个方程单独进行最小二乘估计,合并整理后得到[6]m =ln (x -γ)·ln [-ln (1-F (x ))]-ln (x -γ)·ln [-ln (1-F (x ))]ln 2(x -γ)-ln (x -γ)2(21)γ= x -[-ln (1-F (x ))]1/m ·(x 2-x 2)x ·[-ln (1-F (x ))]1/m- x ·[-ln (1-F (x ))]1/m(22)　ηm=exp [m ·ln (t -γ)-ln (-ln (1-F (x ))](23)任给m 的一个初始值,由式得(22)式得γ的一个初值,代入(21)式得m 的一个估计值m ′值,若m 和m ′差值足够小,则m ′即为所求的形状参数,否则用2m -m ′代替m ,继续用(22)式计算γ,再代入(21)式计算m ′,如此反复直至满足精度要求.最后用(22)式计算尺度参数^η.双线性回归法是一种精度较高的方法,但在迭代过程中,有些样本会出现负数取对数的现象,使得在M S EXCEL 上无法使用宏功能求解,这种情况下可使用其他方法代替.1.7　灰色模型法(2)式也可表示为x =γ+ηexpln [-ln (1-F (x ))]m(24)令t i =ln [-ln (1-F (x i ))],i =1,2,…,n,并记η=c ,1/m =-a ,γ=b,视(x i ,t i )为一时间序列,则(24)式可转化为x i =c exp (-a t i )+b(25)灰色模型G M (1,1)的微分方程为d ^x (t )d t+a^x (t )=u (t ∈R )(26)灰色模型G M (1,1)的时间响应模型为^x (t )=c exp (-a t )+ua(27)(25)式和(27)式具有相同的形式,因此可用灰色模型对参数a,u,c 进行估计,进而得到m ,γ,η的估计值.灰色模型的参数[11]为[a u ]T =(B T B )-1B TY N(28)式中:B =-(x 1+x 2)/21⁝⁝-(x n -1+x n )/21,Y N =x 2-x 1t 2-t 1…x n -x n -1t n -t n -1T[b c ]T=(D T D )-1D TX(29)式中:D =1…1exp (-a t 1)…exp (-a t n )T,408　河　南　农　业　大　学　学　报第43卷X=[x1,…,x n]T由(28)式得到a和u的估计值,对比(25)式和(27)式即知^m=-a-1,^γ=b=u/a.由(29)式得到c即得^η=c,(29)式算出的b可以作为γ的一个优化值.灰色模型法基于邓聚龙提出的灰色系统原理,是一种较新的参数估计方法.该法在数据量较小时就可获得较高的估计精度,在MS EXCEL上无需使用规划求解功能迭代求解,也无需使用宏命令,是一种较易实现的算法.2　实例对比分析产生50个服从形状参数m=2.5、尺度参数η=30、位置参数γ=20随机数:25.6,28.0,29.7,30.6, 31.5,32.7,33.4,34.5,35.3,36.0,36.7,37.3, 37.9,38.6,39.2,39.8,40.4,40.9,41.7,42.4, 43.2,43.7,44.3,44.9,45.4,45.9,46.5,47.1, 47.7,48.2,48.8,49.5,50.3,51.1,51.9,52.6, 53.4,54.2,55.0,55.7,56.4,57.4,58.5,59.6, 60.8,62.4,64.5,66.4,69.9,75.0.各种估计方法的估计结果如表1所示.实例中所有运算结果均在MS EXCE L上实现,主要使用规划求解、数据图表、宏和函数功能,这种表上计算方法免去了编程的麻烦,非常适于一般工程技术人员使用.从表1对比结果可以看出,本研究提出的求解极大似然估计的方法使对数似然表1　各种参数估计方法估计结果对比Table1　Co m par ison of results of var i ous esti m a tes算法A lgorithm 形状参数Shapepara meter尺度参数Scalepara meter位置参数Locati onpara meter相关系数Correlati oncoefficientTheil不等系数Theil unequalcoefficient对数似然函数值Log2likelihoodfuncti on value相关系数优化法Op ti m azati on ofcorrelati on coefficientesti m ati on2.352728.808120.98510.999840.003884-190.4288双线性回归法B ilinear regressi onesti m ati on2.326328.623121.16220.999830.003643-190.4223矩法Moment esti m ati on2.464729.466120.31450.999720.007423-190.4599灰色模型法Gray modelesti m ati on2.272728.036821.68830.999660.003732-190.3767概率权重矩法Pr obability weightedmoments esti m ati on2.319429.019320.73870.999820.005571-190.5469极大似然法Maxi m um likelihoodesti m ati on2.226326.635322.85460.998050.008941-190.2730函数不受尺度参数的影响.这种直接求解极大值的方法,求解精度比一般文献中的求解精度高[14].(6)式同时表明,对数似然函数值的大小只与形状参数和位置参数有关,而与尺度参数无关.相关系数优化法使得试验数据的拟合具有最好的线性度,在各种估计方法中,该法得到的相关系数最大,Theil不等系数也较小.(13)式和(14)式表明,相关系数的大小只与位置参数的估计值有关.因此,估计出位置参数后,形状参数和尺度参数的估计并不限于最小二乘法.相关系数优化法、灰色模型法、双线性回归法均使用了样本分布函数,其估计结果与样本分布函数的计算方法有关,表1中估计结果是按照中位秩算法计算样本分布函数得到的.3　结论1)研究的6种方法中,概率权重矩法计算最为简单,不需要迭代计算,但当样本容量较小时,该方法精度较差.灰色模型法也无需迭代计算,用最小二乘法即可获得3个参数的估计值,在各种样本容量下均可获得较好的精度.双线性回归法、相关系数优化法、矩法、极大似然法均需要迭代,在MS EXCE L求解时双线性回归法可用宏代码实现,其余可用“规划求解”功能实现.第4期史景钊等:3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究4092)研究的6种方法中极大似然估计、相关系数优化法、灰色模型法、双线性回归法均可适用于截尾试验数据.在各种估计方法中,矩法估计和概率权重矩法估计的位置参数较小,形状参数较大,且这2种方法仅适用于完全样本数据.3)双线性回归法在迭代时采用动态步长,与文献[6]采用的固定步长相比加快了收敛速度,减少了计算时间.在MS EXCE L中实现时,数行宏代码即可实现,与使用其他编程语言相比,大大简化了程序,提高了执行效率.4)不同容量的样本实例计算表明,随着样本容量的增加,各估计方法之间的差异越来越小,在样本容量较大时,各种估计方法均可使用;在样本容量较小时,各种估计方法的差异较大,灰色模型法具有较高的精度.使用者需根据实际情况选择合适的估计方法.参考文献:[1]　HALL I N AN A J.A revie w of the W eibull distributi on[J].Journal of Quality Technol ogy,1993,25(2):85-93.[2]　TI RY AKI O LU 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matlab 三参数威布尔随机数生成-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:随机数生成在统计学、概率论、机器学习等领域广泛应用。

而威布尔分布是一种描述可靠性或生命寿命的分布模型，常用于可靠性分析、寿命测试等领域。

在Matlab中，可以通过内置的随机数生成函数生成符合威布尔分布的随机数。

本文旨在介绍Matlab中如何生成符合三参数威布尔分布的随机数，并探讨其在实际应用中的意义和应用前景。

通过本文的阐述，读者可以了解到威布尔分布的特点、Matlab中随机数生成函数的使用方法，以及三参数威布尔分布的生成方法。

我们希望读者在阅读完本文后，能够更加深入地理解和应用威布尔分布，为实际问题的解决提供有力支持。

"1.2 文章结构"部分会介绍本文的章节安排和整体结构，帮助读者了解文章的布局和内容安排。

本文将分为引言、正文和结论三个主要部分。

在引言部分，首先会对matlab三参数威布尔随机数生成这一主题进行概述，介绍读者对该主题的背景和基本概念。

接着会介绍本文的结构和目的，让读者知道本文的组织架构和写作意图。

在正文部分，首先会介绍Matlab中的随机数生成函数，让读者了解Matlab中可用的随机数生成方法和工具。

然后会介绍威布尔分布的特点，帮助读者理解威布尔分布的基本概念和性质。

最后会详细介绍三参数威布尔分布的生成方法，包括生成算法和实现步骤。

在结论部分，将对全文进行总结，回顾本文的主要内容和讨论重点。

接着探讨matlab三参数威布尔随机数生成的应用前景，指出该方法的实际意义和潜在用途。

最后给出文章的结论，强调本文的主要观点和重要结论，为读者提供深入思考和继续研究的启示。

1.3 目的本文旨在介绍在Matlab中如何生成三参数威布尔随机数，首先将简要介绍Matlab中的随机数生成函数，然后深入探讨威布尔分布的特点，最后详细讨论三参数威布尔分布的生成方法。

通过本文的阐述，读者将能够掌握在Matlab中生成三参数威布尔随机数的技术要点，为进一步研究和应用威布尔分布提供有益的参考。