视频2--2 利用极限定义证明极限等式

基本极限公式推导要推导基本极限公式，我们需要先了解一些基本的数学概念和性质。

在这之后，我们将通过数学归纳法推导出基本极限公式。

首先，我们需要了解极限的定义。

设有数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，an-A，<ε，其中A为常数，那么我们说数列{an}的极限为A，记作lim(n->∞)an=A。

这意味着数列中的元素在无穷大的情况下趋近于常数A。

其次，我们需要了解些基本的极限性质：1. 常数项：lim(n->∞)c=c，其中c为常数；2. 加法性：lim(n->∞)(a+b)=lim(n->∞)a+lim(n->∞)b，其中a和b是两个数列；3. 数乘性：lim(n->∞)ca=c*lim(n->∞)a，其中c为常数；4. 乘法性：lim(n->∞)(ab)=lim(n->∞)a*lim(n->∞)b，其中a和b是两个数列；5. 除法性：lim(n->∞)(a/b)=lim(n->∞)a/lim(n->∞)b，其中a和b是两个数列，且lim(n->∞)b≠0。

现在，我们开始推导基本极限公式。

1. 极限公式1：lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn。

证明：对于任意给定的正实数ε，由于lim(n->∞)an=A，lim(n->∞)bn=B，根据加法性质，我们有：(an+bn)-(A+B)，=，an-A+bn-B，≤，an-A，+，bn-B，<ε/2+ε/2=因此，lim(n->∞)(an+bn)=A+B。

2. 极限公式2：lim(n->∞)(an-bn)=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn。

证明：使用与上述证明类似的方法，我们可以得到：(an-bn)-(A-B)，=，(an-A)-(bn-B)，≤，an-A，+，bn-B，<ε/2+ε/2=因此，lim(n->∞)(an-bn)=A-B。

用定义证明函数极限方法总结函数极限的定义是：对于函数 $f(x)$，如果存在实数 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，总存在实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to a}f(x)=L$。

函数极限的证明方法有以下几种：1. ε-δ极限法：根据函数极限的定义，选择合适的 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，找到与之对应的正实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$。

通过构造一个适当的 $\delta$-$\varepsilon$ 语句，利用数学推理的方法来证明函数极限。

这种方法主要适用于一些简单的函数，如多项式函数、三角函数等。

证明过程中需要灵活运用基本不等式、三角不等式、极限的性质等。

2. 夹逼定理：夹逼定理是计算极限的常用方法。

当一个函数$g(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，另一个函数 $h(x)$ 在 $x=a$ 处极限也为 $L$，且对于 $x$ 的取值范围，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的极限也为 $L$。

通过构造一对函数，使得它们分别从两个方向逼近待求的极限，再利用夹逼定理来证明函数的极限。

3.无穷小定理：无穷小定理是计算极限的一种重要方法。

当$x$趋于一些确定的数值时，如果函数$f(x)$具有性质：无论$x$多么接近这个确定的数值，$f(x)$与它的极限差不多可以忽略不计，就称$f(x)$为无穷小。

使用无穷小定理可以将函数的极限转化为无穷小的极限计算。

常用的无穷小定理有：常数乘以无穷小还是无穷小、无穷小的加减还是无穷小、无穷小的有界函数与无穷小相乘还是无穷小。

用定义证明极限的方法极限是数学中重要的概念，用来描述函数在某一点附近的表现。

证明极限的方法一般分为数列极限与函数极限两种情况。

数列极限的定义是：设数列{An}在无穷区间（或是去除有限项之后的无穷区间）上有定义，则有：若存在常量a，使得对于任意给定的正数ε（ε> 0），都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε，那么我们称数列{An}以a 为极限，记为lim(An) = a。

要证明数列的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据数列的极限定义，对于任意给定的正数ε，都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε。

我们可以根据定义的表达式，推导出n 和a 之间的关系式，进而找到N 的表达式，以此来证明数列的极限。

2. 利用数列的性质进行证明：根据数列的性质，如单调性、有界性等，可以借助这些性质推导出数列的极限。

例如，如果数列是单调递增且有上界，则根据确界性质可以推出数列的极限存在且有上确界。

3. 利用比较定理进行证明：比较定理是常用的判定数列极限的方法。

如果数列{An}和数列{Bn}满足一定的条件（比如当n>N 时，有0 ≤An ≤Bn），且已知数列{Bn}的极限为a，则可根据比较定理推导出数列{An}的极限也为a。

函数极限的定义是：设函数f(x) 在点a 的某个去心领域内有定义，如果存在常数L使对于任何ε> 0，存在着一个对应于ε的δ> 0 使得当0 < x - a < δ时，有f(x) - L < ε，那么我们称函数f(x) 在x = a 处的极限为L，记为lim f(x) = L 或x→a f(x) = L。

要证明函数的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据函数的极限定义，我们可以推导出给定ε时的δ，进而得到函数的极限。

通常需要利用函数的性质和定义对符号进行推导和运算。

基本极限公式推导首先，我们对两个非常重要的极限进行推导。

这两个极限是:1. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2. $\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$对于第一个极限，我们可以通过泰勒展开来进行推导。

根据泰勒展开公式，我们可以写出$\sin x$的展开式为：$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} + \ldots$将这个展开式代入$\frac{\sin x}{x}$的定义中，我们可以得到：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots}{x}$进一步简化得到：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}1 -\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots$由于$x$趋于0时，$x^2,x^4,x^6$等项相对于$x$来说非常小，所以我们可以将它们忽略不计，于是上式可以近似为：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \approx \lim_{x\to 0}1$即：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$接下来，我们来推导第二个极限。

同样地，我们可以使用泰勒展开来进行推导。

根据泰勒展开公式，我们可以写出$(1+x)^{\frac{1}{x}}$的展开式为：$(1+x)^{\frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{-1}{2}\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3}\frac{-1}{2}\frac{1}{x^3} +\ldots$将这个展开式代入$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$的定义中，我们可以得到：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0}(1 +\frac{1}{x} + \frac{-1}{2}\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3}\frac{-1}{2}\frac{1}{x^3} + \ldots)$进一步简化得到：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0}(1 +\frac{1}{x} + \frac{-1}{2}\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3}\frac{-1}{2}\frac{1}{x^3} + \ldots)$由于$x$趋于0时，$\frac{1}{x}, \frac{1}{x^2},\frac{1}{x^3}$等项趋于无穷大，所以我们可以将它们忽略不计，于是上式可以近似为：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} \approx \lim_{x\to 0}(1 + \frac{1}{x})$即：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0}(1 +\frac{1}{x})$然后，我们可以将这个极限继续化简：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0}(1 +\frac{1}{x}) = 1 + \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$显然，当$x$趋于0时，$\frac{1}{x}$趋于无穷大，所以上式可以进一步化简为：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = 1 + \lim_{x\to0}\frac{1}{x} = 1 + \infty = \infty$因此，我们得到了第二个极限的结果：$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = \infty$综上所述，我们通过泰勒展开的方法推导出了基本极限公式中的两个重要极限：1. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2. $\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\infty$这些极限在求解极限问题时非常有用，并且在数学中有广泛的应用。

用定义证明极限等式一、用定义证明数列极限等式1、数列极限的定义：给定数列{}n x ，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n ＞时，不等式ε＜a x n -都成立，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，或()∞→→n a x n 。

上述定义的几何解释：将常数a 及数列1x ，2x ，3x ，…，n x ，…在数轴上用它们相应的点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域()εε+-a a ,。

因不等式ε＜a x n -与不等式εε+-a x a n ＜＜等价，所以当N n ＞时，所有的点都落在开区间()εε+-a a ,内，而只有有限个（至多只有N 个）在这区间之外。

ε-a ε2 ε+a上述定义可表达为：.0lim εε＜时，有＞，当正整数，＞a x N n N a x n n n -∃∀⇔=∞→ 2、常用方法：①直接解不等式ε＜a x n -，得()εf n ＞②先放大n n y a x ≤-，n y 比较简单（以0为极限）；然后解不等式ε＜n y ，得()εf n ＞ 3、例题 ①证明01lim2=∞→n n证：因为要使ε＜22101n n =-，只要ε1＞n ，所以0＞ε∀，取11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ， 则当N n ＞时，就有ε＜012-n，即01lim 2=∞→n n 。

②证明：0!lim=∞→n n n n证：先将n n n !放大：nn n n n n n n n 1321!≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=；然后0＞ε∀，解不等式ε＜n 1，得ε1＞n . a x N +1 x N +2 x N +3x 1 x 2 x 3x因此，0＞ε∀，取11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，当N n ＞时，就有ε＜n n n n 10!≤-，即0!lim =∞→n n n n 。

③证明：231213lim =++∞→n n n证：因为()n n n n 411221231213＜+=-++，要使ε＜231213-++n n ，只要ε＜n 41，即ε41＞n ，所以0＞ε∀，取141+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当N n ＞时，就有ε＜231213-++n n ，即231213lim =++∞→n n n 。

第二个重要极限证明引言在数学分析中，极限是一个重要的概念，用来描述数列或函数在自变量趋近于某个值的情况。

在实际问题中，极限的概念具有广泛的应用。

本文将介绍第二个重要的极限证明，展示其推导过程和应用。

极限的定义首先，让我们回顾一下极限的定义。

设有函数f(f)和一个实数f，如果对于任意给定的正数 $\\epsilon$，都存在一个正数 $\\delta$，使得当 $0 < |x-a| < \\delta$ 时，有 $|f(x)-L| < \\epsilon$ 成立，则称当f趋近于f时，函数f(f)的极限为f，表示为 $\\lim_{x\\to a} f(x) = L$。

第二个重要极限的表述第二个重要极限是指当f趋近于0时，函数$\\frac{\\sin(x)}{x}$ 的极限。

该极限被称为正弦函数极限，是数学中的一个重要结果。

其表述为：$$ \\lim_{x\\to 0} \\frac{\\sin(x)}{x} = 1 $$证明过程现在我们开始证明这个极限。

根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的正数 $\\epsilon$，存在一个正数$\\delta$，使得当 $0 < |x-0| < \\delta$ 时，有$\\left|\\frac{\\sin(x)}{x}-1\\right| < \\epsilon$ 成立。

首先，我们观察到当f非常接近0时，正弦函数$\\sin(x)$ 接近于f。

这是由于 $\\sin(x)$ 的Maclaurin级数展开为 $x-\\frac{x^3}{3!}+\\frac{x^5}{5!}-\\ldots$，可以看出随着f的逐渐减小，剩余项越来越小，因此可以近似认为$\\sin(x) \\approx x$。

基于这个近似，我们可以将 $\\frac{\\sin(x)}{x}$ 改写为$\\frac{x}{x} = 1$。

现在，我们可以将证明问题转化为证明当f非常接近0时，有 $|1-1| = 0 < \\epsilon$。

重要极限公式推导摘要：1.极限公式的概述2.极限公式的推导过程3.极限公式的应用示例4.极限公式的结论正文：【1】极限公式的概述在数学分析中，极限公式是一种用于描述函数在某一点附近行为的工具，它可以帮助我们更好地理解函数的性质。

极限公式的重要性体现在它能够帮助我们在实际问题中找到函数的临界点，从而解决实际问题。

【2】极限公式的推导过程极限公式的推导过程主要分为以下几个步骤：步骤一：首先，我们需要明确极限公式的定义。

极限公式定义为：当自变量趋近于某一值时，函数的极限等于函数在该点处的极限值。

步骤二：然后，我们需要根据极限的定义，使用数学符号来表示极限公式。

通常，我们用lim(x->a)f(x) 来表示函数f(x) 在x 趋近于a 时的极限。

步骤三：接下来，我们需要根据函数的性质，使用数学方法来推导极限公式。

常用的方法有：泰勒级数展开法、洛必达法则等。

【3】极限公式的应用示例极限公式在实际问题中的应用非常广泛，下面我们通过一个具体的例子来说明极限公式的应用。

例：求函数f(x)=(sinx-x) 在x 趋近于0 时的极限。

解：根据极限公式的定义，我们可以得到：lim(x->0) (sinx-x)通过泰勒级数展开法，我们可以将sinx 展开为x 的一阶无穷小量，从而得到：lim(x->0) (x-x^3/3!)继续展开，我们可以得到：lim(x->0) (x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...)通过洛必达法则，我们可以将上述式子化简为：lim(x->0) (1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...)最后，我们可以得到函数f(x) 在x 趋近于0 时的极限为1。

【4】极限公式的结论通过上述推导和应用示例，我们可以得出结论：极限公式是数学分析中一种非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。

用极限定义证明例题极限定义是一种基于序列或函数逼近的方法来证明极限存在或不存在的工具。

下面我将给出一个极限的例题，并使用极限定义来证明。

例题：证明极限\[ \lim_{x \to 2}(2x+1) = 5 \]证明：根据极限定义，我们需要证明对于任意给定的正实数ε，总存在一个正实数δ，使得当0 < |x - 2| < δ 时，有|2x + 1 - 5| < ε。

首先，我们需要确定一个δ的取值。

考虑函数2x + 1 - 5，我们可以将其重写为2(x-2)。

现在我们需要寻找一个δ，使得当|x - 2| < δ时，有|2(x-2)| < ε。

我们可以通过以下方式确定δ的取值：|2(x-2)| < ε可得：2|x-2| < ε由于我们需要证明的是对于任意给定的正实数ε，总存在一个正实数δ，所以我们可以假设ε > 0。

然后，我们尝试推导出一个关于δ的不等式，使得当0 < |x - 2| < δ 时，有2|x - 2| < ε。

通过简单的变换，我们得到：|x - 2| < ε/2因此，我们可以选择δ的取值为δ = ε/2。

这样，当0 < |x - 2| < δ时，有2|x - 2| < 2(ε/2) = ε。

因此，通过极限定义，我们可以证明对于任意给定的正实数ε，总存在一个正实数δ = ε/2，使得当0 < |x - 2| < δ 时，有|2x + 1 - 5| < ε。

因此，根据极限定义，我们可以得出结论：\[ \lim_{x \to 2}(2x+1) = 5 \]。

递推不等式证明极限在数学中，递推不等式是一种通过递推的方式证明极限的常见方法。

递推不等式的基本思想是从一个基本不等式开始，然后利用递推关系不断推导出更强的不等式，最终证明所求极限。

这种方法通常用于证明一些复杂的极限问题，特别是涉及到递归或递推关系的情况。

首先，我们先来了解一下递推不等式的基本原理。

设有一个递推序列 {an}，如果我们能够证明一个基本不等式an ≤ f(an-1) 对所有的n都成立，同时满足lim⁡(n→∞) f(an-1) = L，那么我们就可以利用递推关系不断推导出更强的不等式 an ≤ f(f(⋯f(L)⋯))，最终证明 lim⁡(n→∞) an = L。

接下来，我们通过一个具体的例子来演示递推不等式证明极限的过程。

考虑递推序列 {an}，其中an+1 = √(n+1+an) 且 a1 = 1。

我们的目标是证明 lim⁡(n→∞) an= 2。

首先，我们可以通过递推关系得到一个基本不等式an ≤ √(n+1+an-1)。

接下来，我们尝试证明这个不等式对所有的n都成立。

假设对于某个n，an ≤ √(n+1+an-1)成立，我们来证明对于 n+1 也成立。

通过递推关系，我们有an+1 = √(n+2+an)。

由于an ≤ √(n+1+an-1)，所以√(n+2+an) ≤ √(n+2+√(n+1+an-1))。

将这个不等式代回an+1 = √(n+2+an)中，我们得到an+1 ≤ √(n+2+√(n+1+an-1))，即an+1 ≤ √(n+1+an)。

因此，基本不等式an ≤ √(n+1+an-1) 对所有的n成立。

接着，我们来证明 lim⁡(n→∞) √(n+1+an-1) = 2。

考虑函数f(x) = √(n+1+x)，我们有 lim⁡(n→∞) f(an-1) = lim⁡(n→∞) √(n+1+an-1) = 2。

因此，我们可以利用递推关系不断推导出更强的不等式an ≤ f(f(⋯f(2)⋯))，最终证明 lim⁡(n→∞) an = 2。