利用函数极限定义证明11

习题2-2

1. 利用函数极限定义证明:

(3). 01sin lim 0=→x x x ;

证明: 对于任意给定的正数 0>ε, 取 εδ=, 因为 1|1

sin

|≤x ，则当 δ<<||0x 时, 有 ε<≤=||1sin ||1

sin x x x x x ， 所以01sin lim 0=→x x x .

2．利用无穷大量定义证明：

（1）1lim 4x x

→∞+=∞；

证明：对于任意给定的正数 0>G , 取 41M G =+, 则当 ||x M > 时, 有 1|

|4x

G +>， 所以 1lim 4x x

→∞

+=∞. 5．证明：若A x f x x =→)(lim 0，则|||)(|lim 0A x f x x =→. 证明：对于任意给定的正数 0>ε, 由于A x f x x =→)(l i m 0

，存在0>δ，使得当

δ<-<||00x x 时, 都有ε<-|)(|A x f ，而

εε<-≤-≤--<-|||||||)(|A f A f A x f ， 即ε<-||||)(||A x f ，所以|||)(|lim 0A x f x x =→.