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【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布【知识讲解】1．若离散型随机变量ξ的分布列为X x 1x 2 … x i… x n Pp 1 p 2 … p i…p n(1)则称E ξ＝ 为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的 。
(2)把 叫做随机变量方差，D ξ的算术平方根D ξ叫做随机变量ξ的 ，记作 。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 偏离于均值的平均程度 。
其中标准差与随机变量本身有 相同单位 。
2．均值与方差的计算公式(1)若η＝a ξ+b (a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b )=______________；D η＝D(a ξ+b )=____________； (2)若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ；(3)若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。
3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。
因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：(1)曲线在 ；(2)曲线关于直线 对称； (3)曲线在x μ=时 ；(4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
【巩固练习】离散型随机变量的均值与方差 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知随机变量X 的分布列为X －2 －10 1 2 3 P 112 m n 112 16 112其中m ，n ∈[0,1)，且E (X )＝16，则m ，n 的值分别为( )A.112，12B.16，16C.14，13D.13，14 3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4004．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10 D．2－85．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6二、填空题(每小题6分，共24分)6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝______. 7．(2009·上海)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝__________(结果用最简分数表示)．8．(袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.9．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.三、解答题(共41分)10．(13分)袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．11．(14分)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．12．(14分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物 化学 物理 数学 周一 14 14 14 14 12 周三 12 12 12 12 23 周五1313131323(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【巩固练习】均值与方差、正态分布基础热身1．下面说法正确的是( )A ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值2．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (2X ＋1)等于( )A.54B.52C ．3D.72 3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X ，则X 的数学期望是( )A.15B.310C.45D.654．某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖．某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X ，则X 的数学期望是( ) A.14 B.12 C.316 D.34能力提升5．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )等于( ) A ．5B ．10C ．15D ．206．[2010·课标全国卷] 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．已知离散型随机变量X的概率分布列为X 13 5P 0.5m 0.2则其方差D(X)等于()A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.48．[2010·广东卷] 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.15859．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8 B．8 C．16 D．15.610．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________.11．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮的命中的概率为23，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________.12．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．14．(10分)[2011·泰兴模拟] 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．15．(13分)[2011·南漳一中月考] 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望E(X)．难点突破16．(12分)[2011·衡阳联考] 低碳生活成为人们未来生活的主流，某市为此制作了两则公益广告：(1)80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放……(2)人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气……活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机从10～60岁的人群中抽查了n 人，统计结果如图K63－1表示抽查的n 人中，各年龄段的人数的频率分布直方图，下表表示抽查的n 人中回答正确情况的统计表．图K63－1广告一 广告二 回答正确 的人数 占本组人 数的频率 回答正确 的人数 占本组人数 的频率 [10,20) 90 0.5 45 a [20,30) 225 0.75 240 0.5 [30,40) 378 0.9 252 0.6 [40,50) 160 b 120 0.5 [50,60)150.2560.1(1)分别写出n ，a ，b 的值；(2)若上表中的频率近似值看作各年龄组正确回答广告内容的频率，规定正确回答广告一的内容得20元，正确回答广告二的内容得30元，组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁，孩子17岁)回答两广告内容，求该家庭获得资金的期望(各人之间，两广告之间相互独立)．基础知识参考答案：1.【提示】1122n n x P x P x P +++ ,平均水平,21()nii i D xE P ξξ==-∑,标准差,σξ,偏离于均值的平均程度,相同单位2.【提示】AE ξ+b ，a 2D ξ，P ，P （1－P ），nP ，nP(1－P)3.【提示】22()21,2x e x R μσπσ--∈4.【提示】,()bax d x μσϕ⎰，μ和σ，2(,)N μσ，2~(,)X N μσ5.【提示】位于x 轴上方，与x 轴不相交，x μ=，达到峰值12πσ，1，越“矮胖”，分散巩固练习参考答案：10. 解 (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4，P (ξ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (ξ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310； P (ξ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量ξ的概率分布列为：ξ 23 4 P35310110(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝2·35＋3·310＋4·110＝52；随机变量ξ的方差 D (ξ)＝(2－52)2·35＋(3－52)2·310＋(4－52)2·110＝920.P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫252＝425， 故ξ的分布列为ξ 23 4 P9251225425故ξ的数学期望E (ξ)＝2×925＋3×1225＋4×425＝145.P (ξ＝1)＝C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－124×23＝18； P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×23＝724；P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×23＝13； P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫124×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×23＝316； P (ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫124×23＝124.所以，随机变量ξ的分布列如下：ξ 01 2 3 4 5 P1481872413316124故E (ξ)＝0×148＋1×18＋2×724＋3×13＋4×316＋5×124＝83.【基础热身】1．C [解析] 离散型随机变量X 的期望E(X)反映了X 取值的平均水平，它的方差反映X 取值的离散程度．2．D [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，所以E(X)＝54，所以E(2X ＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72. 3．D [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝C 22C 25＝110，P(X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P(X ＝2)＝C 23C 25＝310.所以E(X)＝65.4．D [解析] 根据乘法原理，基本事件的总数是4×4＝16，其中随机事件“两次编号之和大于6”含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸奖中奖的概率为316.4次摸奖中奖的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫316，4，根据二项分布的数学期望公式，则E(X)＝4×316＝34.【能力提升】5．B [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E(X)＝n2，又E(X)＝15，则n ＝30. 所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E(Y)＝30×13＝10. 6．B [解析] X 的数学期望概率符合(n ，p)分布；n ＝1 000，p ＝0.1，∴E(X)＝2×1 000×0.1＝200. 7．C [解析] 因为0.5＋m ＋0.2＝1，所以m ＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.8．B [解析] 通过正态分布对称性及已知条件得P(X ＞4)＝1－P 2≤X ≤42＝1－0.68262＝0.1587，故选B .9．A [解析] X 的取值为6,9,12，相应的概率P(X ＝6)＝C 38C 310＝715，P(X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．1.4 [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X ＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X ＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4.11.139 [解析] 试验次数X 的可能取值为1,2,3，且P(X ＝1)＝23， P(X ＝2)＝13×23＝29，P(X ＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19. 随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P232919所以E(X)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.12．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫12，8，故D(X)＝8×12×12＝2.13．(1 000,20 000) [解析] X 表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布为X 100 100－a P0.9950.005E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－a200.若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，所以a ∈(1 000,20 000)．14．[解答] (1)记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)＝C 23C 26＝15.(2)X 可取1,2,3,4.P(X ＝1)＝C 13C 16＝12，P(X ＝2)＝C 13C 16·C 13C 15＝310，P(X ＝3)＝C 13C 16·C 12C 15·C 13C 14＝320，P(X ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120；故X 的分布列为X 1 2 3 4 P12310320120E(X)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.答：X 的数学期望为74.15．[解答] (1)由题意知随机变量X 的取值为2,3,4,5,6.P(X ＝2)＝210×210＝125，P(X ＝3)＝210×310＋310×210＝325，P(X ＝4)＝210×510＋510×210＋310×310＝29100，P(X ＝5)＝310×510＋510×310＝310，P(X ＝6)＝510×510＝14.所以随机变量X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P1253252910031014(2)随机变量X 的期望为E(X)＝2×125＋3×325＋4×29100＋5×310＋6×14＝235.【难点突破】16．[解答] (1)根据频率分布表，可知年龄在[10,20)岁的人数为900.5＝180.根据频率分布直方图可得180n ＝0.015×10，得n ＝1200，∴a ＝45180＝14，160b ＝1200×0.02×10，b ＝23.∴n ＝1200，a ＝14，b ＝23.(2)依题意：孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别是P 1＝12，P 2＝14.大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P 3＝23，P 4＝12.设随机变量X 表示该家庭获得的资金数，则X 的可能取值是：0,20,30,40,50,60,70,80,100. 其分布列为X 020 30 40 50 60 70 80 100 P116316112181414816116124∴E(X)＝0×116＋20×316＋30×112＋40×18＋50×14＋60×148＋70×16＋80×116＋100×124＝4556.。
