回归课本-集合与简易逻辑教师版

高三数学第二轮复习专题——集合与简易逻辑一、本章知识结构：二、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

三、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A 是B 的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是（A ）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B ）方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2} （C ）0与{0}表示同一个集合 （D ）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D ），最小的质数是2，不是1，故（A ）错；由集合的定义可知（B ）（C ）都错。

高三数学回归课本(教师)整合版work Information Technology Company.2020YEAR2高三数学回归课本材料必修1：集合与函数1、(P14:10)对于集合,A B ，我们把集合{},x x A x B ∈∉且叫做集合A 与B 的差集，记做A B -，若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系是 .B A ⊆2、（P37：7）下列说法正确的是____________________(2)(3)（1）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R 上的增函数； （2）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R 上不是减函数；（3）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间[)+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数.（4）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间()+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数. 3、(P40: 4)对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是__________________(2) （1）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数；(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； （3）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)不是奇函数；4、(P29:10)已知集合A=R,B={-1,1},对应法则f ：当x 为有理数时，f(x)=－1；当x 为无理数时，f(x)=1.该对应 _______是___________(填是或不是)从集合A 到集合B 的函数5、(P32:6)已知A={1，2，3，4},B={1，3，5}则_____________是从集合A 到集合B 的函数答案不唯一，如0)(x x f =引申题：直线x a =和函数()y f x =的图像的公共点可能有 个. 0或1 6、(P55:11)对于任意的R x x ∈21,,若函数f(x)=x 2， 则)2(2)()(2121x x f x f x f ++与的大小关系为________；)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ 引申题：(P71:12)对于任意的),0(,21+∞∈x x ,若函数f(x)=lgx ，则 结论又如何呢？7、(P94：19)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是{}1,4，则函数的定义域为_____{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,2------------引申题(P33：13)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是[1,4]，则这样的函数有___________个. 无数8、(P94:22)如果f(x)=x+1，则(((())))n ff f f f x 个 ＝ . x+n3引申题：如果f(x)=2x+1，则(((())))n ff f f f x 个 ＝ 122222221n n n x --++++++9、(P94:18)已知函数x y a b =+的图像如图所示，则a,b 的取值范围是 ．1,1a b ><-，10、(P94：28)已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞ 上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，求x 的取值范围． 答1(0,)(10,)10x ∴∈+∞11、(P53:例5)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和（本金加上利息）为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为百分之二点二五，试计算5期后的本利和.变式题：若将“按复利计算利息”改为“按单利计算利息”呢？答：（1）*∈+=N x r a y x ,)1( （2）68.11170225.110005≈⨯元12、(P95:31)研究方程lg(x －1)+lg(3－x)=lg(a －x) )(R a ∈的实数解的个数.答：当4131>≤a a 或时，原方程没有实数根；当31≤<a 或413=a 时，原方程有一个实数根；当4133<<a 时，原方程有两个不相等的实数根；南菁中学课本基础知识回归(必修2，选修2—1)1．（必修2-- p52，5）用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒的高是；2．（必修2--p52, 6）一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm 和18cm ，侧棱长等于13cm ，则它的侧面积 ; 4682cm3．（必修2--p57, 5）钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积增加约 ；31000b44．（必修2--p87, 8）若三条直线10x y ++=，280x y -+=和350ax y +-=共有三个不同的交点，则a 满足的条件 ；1363a a a ≠≠≠-且且5．（必修2--p97，12）直线l 经过点（−2，3），且原点到直线l 的 距离是2，直线l 的 方程_________________________512260x y +-= 或2x =-6．（必修2--p97, 21的最小值为 ；57．(必修2--p117,13)求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在坐标轴上的截距相等的直线方程；50y x x y =++=或 8．(必修2--p117,19）设集合{}22(,)|4M x y x y =+≤，{}222(,)|(1)(1)(0)N x y x y r r =-+-≤> 当M N N ⋂=时，求实数r 的取值范围；02r <≤9．(必修2--p117,23）若直线y x b =+与曲线1x -b 的取值范围；220b=b b -<<≠±且或10.（必修2--p108, 6） 已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程 ．221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. (选修2—1 P41 3改编)若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_______.60°12. (必修2—p117, 15改编)已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l ：x+y －3=0的交点，则直线l 的方程为_________x －6y ＋11 = 0或x ＋2y －5 = 013、（必修2 p65, 15）P 、A 、B 、C 是球面O 上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA = PB= PC = 1，求球的体积和表面积。

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本文题目：高一数学教案：集合与简易逻辑教材：逻辑联结词(1)目的：要求学生了解复合命题的意义，并能指出一个复合命题是有哪些简单命题与逻辑联结词，并能由简单命题构成含有逻辑联结词的复合命题。

过程：一、提出课题：简单逻辑、逻辑联结词二、命题的概念：例：125 ① 3是12的约数② 0.5是整数③定义：可以判断真假的语句叫命题。

正确的叫真命题，错误的叫假命题。

如：①②是真命题，③是假命题反例：3是12的约数吗? x5 都不是命题不涉及真假(问题) 无法判断真假上述①②③是简单命题。

这种含有变量的语句叫开语句(条件命题)。

三、复合命题：1.定义：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

2.例：(1)10可以被2或5整除④ 10可以被2整除或10可以被5整除(2)菱形的对角线互相菱形的对角线互相垂直且菱形的垂直且平分⑤对角线互相平分(3)0.5非整数⑥非0.5是整数观察：形成概念：简单命题在加上或且非这些逻辑联结词成复合命题。

3.其实，有些概念前面已遇到过如：或：不等式x2x60的解集{ x | x2或x3 }且：不等式x2x60的解集{ x | 23 } 即{ x | x2且x3 }四、复合命题的构成形式如果用p, q, r, s表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：即：p或q (如④) 记作pqp且q (如⑤) 记作pq非p (命题的否定) (如⑥) 记作p小结：1.命题2.复合命题 3.复合命题的构成形式教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

本讲分两小节，分别为集合、简易逻辑，建议用时2.5课时．由于在二轮复习和三轮复习中都不会单独对集合进行系统复习，因此本讲侧重于集合部分，难度也略大．而对于简易逻辑，由于高考中对这部分知识的考查都是以其他数学知识为载体的，因此在本讲中不作为重点，只需要对基本概念与方法进行梳理即可．第一小节为集合，共4道例题．其中 例1主要讲解集合的各个知识点；例2是对集合的概念部分的加深与巩固；例3是对集合关于运算封闭性的题型，主要是对集合的性质特征描述法的加深与巩固； 例4是对集合与集合关系部分的加深与巩固． 第二小节为简易逻辑，共2道例题．其中 例5主要讲解命题的四种形式的转化； 例6主要讲解充分性与必要性的判断．一、集合的概念知识梳理知识结构图1.1集合第1讲 集合与简易逻辑1、元素与集合我们所感知的各种事物或符号，都可以称为对象．如果一些对象（可能是一个也可能是多个，亦有可能是无数个或零个）满足确定性、互异性及无序性，那么将这些对象组成的整体称为集合，每个对象都称为集合的元素．我们一般用大写字母（如A ）来表示集合，用小写字母表示集合中的元素（如a ）．对象x 是集合P 中的元素记为x P ∈（“∈”读作“属于”），对象y 不是集合P 中的元素记为y P ∉（“∉”读作“不属于”）．不含有任何元素的集合称为空集，记作∅．在中学数学阶段研究的集合以数集为主，常用数集有对应的符号表示：N （自然数集）、*N （正整数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、C （复数集）．另外，我们经常使用区间表示法来表示实数集的子集．【备注】注意角标“*”表示“非零”，如()(),00,*=-∞+∞R ；角标“2”表示“笛卡尔积”，如(){}2,|,x y x y =∈∈R R R ．2、集合的分类如果集合中的元素个数是有限的，则称之为有限集合；对应的，如果集合中的元素个数是无限的，则称之为无限集合．二、集合的表示法 1、列举法形如{},,,a b c d 的表示法．在使用列举法表示集合的时候需要注意集合元素的无序性及互异性．【备注】已知集合{,,M x xy =，{}0,,N x y =，若M N =，则x =1-；y =1-．2、特征性质描述法形如(){}|x p x 的表示法，其中x 称为代表元素，()p x 为集合的特征性质． 在使用特征性质描述法时要特别注意代表元素的形式．【备注】注意集合{}[)|,1,x y x y ∈=+∞R ；{}[)|,0,y y x y ∈=+∞R ；(){},|,x y y x y =∈R 表示函数y =三、集合与集合的关系 1、包含关系① 注意区分符号“∈”和“⊆”的含义； ② 空集∅是任何集合的子集；③ A B ⊆的等价形式：()(),,,,U UUUA B A A B B B A AB A B ==⊆=∅=R 痧痧；④ 注意子集、真子集、非空子集、非空真子集的概念及计数．n （n ∈N ）元集合（我们把空集看作0元集合）的子集数为2n ，真子集和非空子集数均为21n -，非空真子集数为22n -．【备注】集合本身作为明确的数学对象，也可以作为元素出现．如集合{}{},1,1∅中，集合∅、{}1都是该集合的元素，因此{}{},1,1∅∈∅同时{}{},1,1∅⊆∅．2、集合与集合的运算① 交、并、补运算都是两个集合间的运算；② 当出现多次运算时注意用括号保证运算顺序．【备注】事实上，我们还经常用到差集{}\|,A B x x A x B =∈∉，与对称差集()()\A B AB AB ∆=．3、数轴法与韦恩图示法用数轴法可以清晰的描述集合与集合的包含关系，也可以快捷的进行集合与集合的运算．【备注】一般我们将数轴法与韦恩图示法看作研究集合与集合关系的工具，而不作为集合的表示法．（2012年北京）已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，则A B =（ ）A ．(),1-∞-B ．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3,+∞ 【解析】 D1、已知()0,U =+∞，10,2P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则U P =ð（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞ D ．(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭2、 （2011年辽宁）已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若I N M =∅ð，则MN =（ ） A ．M B ．N C ．ID ．∅3、（2009年广东）已知全集U =R ，集合{}|212M x x =--≤≤和{}|21,1,2,N x x k k ==-=的关系的韦恩图如图所示，则区域I所示的集合的元素共有（ ）A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个4、集合{}|1281,,M u u m n m n==++∈Z ，{}|20163,,N u u p q p q ==+-∈Z 的关系为（ ）A ．M N ⊆且M N ≠B ．N M ⊆且M N ≠C ．M N =D ．以上都不对5、 已知{}|1M y y x ==+，(){}22,|1N x y x y =+=，则集合MN 的子集个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．46、已知集合{}2|3100A x x x =--≤，集合{}|121B x p x p =+-≤≤，若A B B =，则实数小题热身真题再现p 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[]2,3C ．(),3-∞D ．()2,3考点：集合的概念与基本运算【例1】 ⑴（2010年丰台一模文）若集合{}0,1,2P =，()10,|,,20x y Q x y x y P x y ⎧⎫-+>⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬--<⎪⎪⎩⎩⎭，则Q中的元素的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9 ⑵（2009年山东）集合{}0,2,A a =，{}21,B a =．若{}0,1,2,4,16AB =，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 ⑶（2010年天津理）设集合{}|1,A x x a x =-<∈R ，{}|2,B x x b x =->∈R ，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）A ．3a b +≤B ．3a b +≥C ．3a b -≤D ．3a b -≥ ⑷对任意两个集合M 、N ，定义{}|,M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ∆=--，设{}2|,M y y x x ==∈R ，{}|3sin ,N y y x x ==∈R ，则M N ∆= ．⑸（2011年安徽）设集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}4,5,6,7,8B =，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是（ ）A ．57B ．56C ．49D ．48【解析】 ⑴B ．⑵D ．⑶D ．⑷[)()3,03,-+∞．⑸B ．考点：新定义集合【例2】 ⑴设,,x y z 都是非零实数，试用列举法将x y z xy xyzx y z xy xyz++++的所有可能值构成的集合表示出来． ⑵定义集合运算：(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈．设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为（ ）A ．0B ．6C ．12D ．18 ⑶（2012年西城二模文）已知集合{}1220,,,A a a a =，0i a >（1,2,,20i =）．集合(){},|,,B a b a b a b A =-∈，则集合B 中的元素个数的最大值为（ ）A ．210B ．200C ．190D ．180 【追问】若将条件“0i a >”改为“0i a ≥”，应当如何考虑？经典精讲【解析】 ⑴{}3,1,1,5--．⑵D ．⑶C ．【追问】选A ．将集合A 改为{}0,1,,19即在原来的基础上增加对角线上的20个有序数对．【拓1】 设1S 、2S 、3S 是三个由实数组成的非空集合．对于1,2,3的任意一个排列,,i j k ，均有对任意i x S ∈，j y S ∈，均有k x y S -∈．求证：()1230S S S ∈．【解析】 只需要证明某个集合中含有元素0．设1x S ∈，2y S ∈，则1°若x y =，则30x y S -=∈，命题成立； 2°若x y ≠，则列表如下： 123S S S x y x y x yy x---- 从表中知每个集合中均有非负数． 若某个集合中有0，则命题得证；否则，考虑1S 、2S 、3S 中的最小正数1x 、2x 、3x ．若1x 、2x 、3x 中没有相等的数，不妨设123x x x <<，则考虑3S 中的元素21x x -，而2130x x x <-<，与3x 是3S 中的最小正数矛盾．因此1x 、2x 、3x 一定有相等的数，进而命题得证．【备注】列表分析是处理由若干已知集合得到新集合问题时的重要方法．考点：集合对运算的封闭性【例3】 设符号“”是数集A 中的一种运算，如果对于任意的,x y A ∈，都有x y A ∈，则称集合A 是封闭的． ⑴判断集合{}|,,A x x m m n ==∈Z 对实数的乘法是否封闭？⑵若集合{}22|,,,0B x x m n m n x ==+∈≠Q ，求证：集合B 对实数的乘法和除法均封闭．【解析】 ⑴设11x m A =∈，22y m A =+∈，1122,,,m n m n ∈Z ．则())121212212xy m m n n m n m n A =+++∈，因此命题得证． ⑵设2211x m n =+，2222y m n =+，,0x y ≠，1122,,,m n m n ∈Q ，则()()22222222221212121212121212xy m m m n n m n n m m n n n m m n =+++=++-且0xy ≠，于是xy B ∈；2212121212222222222m m n n n m m n x xy y y m n m n ⎛⎫⎛⎫+-==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且0x y ≠，于是x B y ∈； 因此原命题得证．【拓2】 （2007年北京）已知集合{}12,,,k A a a a =（2k ≥），其中i a ∈Z （1,2,,i k =），由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．⑴ 检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；⑵ 对任何具有性质P 的集合A ，证明：()12k k n -≤；⑶ 判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．【解析】 ⑴ 集合{}0,1,2,3不具有性质P ．集合{}1,2,3-具有性质P ，其相应的集合()(){}1,3,3,1S =--和()(){}2,1,2,3T =-． ⑵ 首先，由A 中元素构成的有序数对(),i j a a 共有2k 个． 因为0A ∉，所以(),i j a a T ∉（1,2,,i k =）； 又因为当a A ∈时，a A -∉，所以当(),i j a a T ∈时，(),j i a a T ∉（1,2,,i k =）． 从而，集合T 中元素的个数最多为()()21122k k k k --=，即()12k k n -≤． ⑶ m n =，证明如下：1°对于(),a b S ∈，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而(),a b b T +∈．如果(),a b 与(),c d 是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故(),a b b +与(),c d d +也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，2°对于(),a b T ∈，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而(),a b b S -∈．如果(),a b 与(),c d 是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也至少有一个不成立，故(),a b b -与(),c d d -也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 综合1°2°，m n =．考点：集合与集合的关系【例4】 设,a b ∈R ，函数()2f x x ax b =++，集合(){}|,A x x f x x ==∈R ，()(){}|,B x x f f x x ==∈R ． ⑴证明：A 是B 的子集； ⑵当{}1,3A =-时，求集合B ．【解析】 ⑴()()()()x f x f x f f x =⇒=，于是A 是B 的子集．⑵{1,3,B =-．【备注】教师可以借本题讲一下代数式的因式定理，该定理在解高次不等式时有重要作用．1.2简易逻辑一、命题的概念⑴命题：可以判断真假的语句叫做命题．⑵逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（⌝）”． ⑶复合命题的真值表命题p ⌝与命题p 一真一假；命题p q ∧只有当命题p 和命题q 同时为真时才为真，其他时候均为假； 命题p q ∨只有当命题p 和命题q 同时为假时才为假，其他时候均为真． ⑶含有逻辑联结词“或”、“且”的命题的否定⑷含有全称量词、存在性量词的命题的否定二、“若则”型命题的四种形式及其关系对于条件p 和结论q ，“若p 成立，则q 成立”是一个命题，这个命题的真假反映着这一推理过程的正确与否．我们在判断这类命题的真假时，只关心推理过程是否严谨正确，而不关心条件和结论的真假．【备注】人教B 版课本（选修2-1）的例子：原命题：,x y ∀∈R ，如果0xy =，则0x =．逆命题：,x y ∀∈R ，如果0x =，则0xy =． 否命题：,x y ∀∈R ，如果0xy ≠，则0x ≠． 逆否命题：,x y ∀∈R ，如果0x ≠，则0xy ≠．一般情况下，我们可以将“,x y ∀∈R ，”省略，而不会对命题的表述以及相关命题的书写造成困扰．但如果我们要写该命题的否定，则一定不能省略“,x y ∀∈R ，”，例如此命题的否定为“,x y ∃∈R ，满足0xy =，但0x ≠．” 下面再给一例：知识梳理知识结构图命题p ：若0a <，则关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负数根．该命题的否定为“a ∃∈R ，满足0a <，但关于x 的方程2210ax x ++=没有负数根．” 而并非“若0a <，则关于x 的方程2210ax x ++=没有负数根．”原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则p ⌝．原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假． 【备注】例如以下两个命题等价：大前提：已知平面上不同的n 个点（3n ≥）组成的点集命题p ：若过点集中任意两点的直线上均存在点集中的另外一个点，则点集中的n 个点共线．命题q ：若点集中的n 个点不同时在某条直线上，则存在仅通过点集中的两个点的直线．三、充分条件与必要条件如果推理过程“p q ⇒”（读作p 可以推出q ）是正确的，那么称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；反之，如果推理过程“p q ⇒”是错误的，那么称p 是q 的不充分条件，q 是p 的不必要条件．特别的，如果推理过程“p q ⇔”是正确的，那么称p 是q 的充分必要条件，同时q 也是p 的充分必要条件，此时也称p 与q 是等价的．（2012年北京）设,a b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 B1、（2011年福建）若a ∈R ，则“2a =” 是“()()120a a --=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、（2009年安徽）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．p ：a c b d +>+ q ：a b >且c d >B ．p ：1a >，1b > q ：()x f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图象不过第二象限C ．p ：1x = q ：2x x =D ．p ：1a > q ：()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在()0,+∞上为增函数3、（2011年山东）对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数的”（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、“0ab >且a b ≠”是“方程221x y a b+=表示椭圆”的（ ） 小题热身真题再现A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、（2011年江西）已知1α、2α、3α是三个相互平行的平面，平面1α、2α之间的距离为1d ，平面2α、3α之间的距离为2d ．直线l 与1α、2α、3α分别交于1P 、2P 、3P ，那么“1223PP P P =”是“12d d =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点：命题的否定与四种命题【例5】 ⑴（2009年天津）命题“0x ∃∈R ，020x ≤”的否定是； ⑵条件命题“2x =或3x =”的否定是； ⑶（2010年天津）命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是 ；⑶（2011年陕西改）设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的逆否命题是 ．【解析】 ⑴“0x ∀∈R ，020x >”；⑵“2x ≠且3x ≠”；⑶“若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数”． ⑷“若a b ≠，则a b ≠-”；考点：命题的充分性与必要性 【例6】 判断下面每个小题中命题p 是命题q 的什么条件？用“充要条件”，“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“既不充分也不必要条件”回答． ⑴前提：集合|01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}|03B x x =<<． 命题p ：“x A ∈”；命题q ：“x B ∈”．⑵命题p ：“tan 1x =”；命题q ：“π2π4x k =+（k ∈Z ）”． ⑶前提：已知α、β为两个不同的平面，a 、b 为α内两条不同的直线． 命题p ：“a β∥且b β∥”；命题q ：“αβ∥”． ⑷前提：,a b 为两个非零实数． 命题p ：“1a b <”；命题q ：“1ba>”． 经典精讲【解析】 ⑴ 充分不必要条件；⑵ 必要不充分条件； ⑶ 必要不充分条件；⑷ 必要不充分条件．【拓3】 ⑴前提：a 、b 为非零向量．命题p ：“a b ⊥”；命题q ：“()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”． ⑵前提：{}n a 为数列．命题p ：“n *∀∈N ，1n n a a +>”；命题q ：“数列{}n a 为递增数列”． ⑶前提：,a b 为实数．命题p ：0a b -=”；命题q ：“0a ≥，0b ≥且0ab =”． ⑷前提：记实数12,,,n x x x 中的最大数为()12max ,,,n x x x ，最小数为()12min ,,,n x x x ．ABC △的三边长为a 、b 、c （a b c ≤≤），定义倾斜度为max ,,min ,,a b c a b c l b c a b c a ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 命题p ：“1l =”；命题q ：“ABC △为等边三角形”．【解析】 ⑴ 必要不充分条件；⑵ 充分不必要条件； ⑶ 充要条件；⑷ 必要不充分条件．一、选择题 1、（2011年广东）已知集合(){}22,|1,,A x y x y x y =+=∈R ，(){},|,,B x y y x x y ==∈R ，则AB 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 C ． 2、（2010年全国课标）已知集合{}|2,A x x x =∈R ≤，{}4,B x x =∈Z ，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2【解析】 D 3、（2011年江西）若集合{}|1213A x x =-+≤≤，2|0x B x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤，则A B =（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|01x x <≤C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|01x x ≤≤【解析】 B4、集合{}|03,A x x x =<∈N ≤的真子集个数为（ ） A ．16 B ．15 C ．8 D ．7 【解析】 D5、若“()p q ⌝∧”为真命题，则（ ）A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题课后习题11【解析】 D6、命题“0x ∃∈R ，0sin 1x ≤”的否定为（ ）A ．0x ∃∈R ，0sin 1x ≥B ．0x ∀∈R ，0sin 1x ≤C ．0x ∃∈R ，0sin 1x >D ．0x ∀∈R ，0sin 1x >【解析】 D7、设a 、b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“a b a b +=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 B8、 设0abc ≠，“0ac >”是“方程22ax by c +=表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 B二、填空题9、 集合{}4,5,7,9A =，{}3,4,7,8,9B =，U A B =，则()U A B ð中的元素共有个．【解析】 3．{}4,7,9A B =，{}3,4,5,7,8,9A B =，(){}3,5,8U A B =ð．10、 已知集合{}2|1M x x ==，集合{}|1N x ax ==，若N M ⊆，那么a 的值是________． 【解析】 0,1±．11、 （2009年湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．【解析】 12．12、 （2009年北京）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．【解析】 6．13、 已知函数()ln 4y x =-的定义域为A ，集合{}|B x x a =<，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 ()4,+∞14、 下列命题中，真命题是 ．①n ∀∈R ，2n n ≥； ②2,n n n ∀∈<R ；③2,,n m m n ∀∈∃∈<R R ； ④,,n m mn m ∃∈∀∈=R R ．【解析】 ④三、解答题15、已知X是方程20x p x q++=的实数解集，{}1,3,5,7,9A=，{}1,4,7B=，且X A=∅，X B X=，求,p q的值．【解析】8p=-，16q=．16、已知集合{}2|320,A x ax x x=-+=∈R．⑴若A=∅，求实数a的取值范围；⑵若A是单元素集，求a的值及集合A；⑶求集合{}|,M a a A=∈≠∅R．【解析】⑴98 a>．⑵9|8M a a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤．17、判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：⑴对数函数都是单调函数；⑵至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．【解析】⑴全称命题，真命题；⑵特称命题，真命题．18、已知0a>，设命题p：函数xy a=在R上单调递增；命题q：不等式210ax ax-+>对任意实数x恒成立．若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围．【解析】(][)0,14,+∞12。

第三十八讲会合与简略逻辑§ 17．1 会合我观察某些事物的候，常常要考由些事物成的集体，我把个群体叫作会合．成某个会合的事物，叫作个会合的元素．往常用大写字母 A， B，C⋯等表示会合，小写字母 a， b， c，⋯等表示元素．假如 m是会合 A 的元素，就m属于 A，作 m∈ A．假如n(i) 你的家庭中全部成成一个会合，你和你的家庭中的其余各个成都是个会合中的元素．(ii)自然数全体 1， 2，3，⋯成一个会合 ( 往常把它叫作自然数集 ) ．(iii)假如 A，B是平面上两个不一样的点，那么 A，B 两点所确立的直上的点成一个会合，条直上每个点都是个会合的元素．之，会合是数学中一个最基本、最常用的观点，下边一步同学介一些对于会合的基本知．1．会合的描绘方法(1)列法当一个会合所含元素个数少，一个最的描绘方法就是把它所含的每个元素都列出来，叫列法．用列法表示会合，往常是将个会合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之用逗点分开．填写会合的元素，与元素的摆列序次没关．比如：(i)由 a， b， c， d， e 五个小写字母成的会合 A，作A=｛ a， b，c， d， e｝，也可作A=｛ b， a， c， d， e) ．(ii)由小于 40 的数成的会合 B，作B=｛ 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19，23， 29， 31， 37｝．(iii)平方等于 1 的有理数会合 C，作C=｛ 1， -1 ｝．(iv)三条直线 l 1， l 2， l 3构成的会合 D，记作D=｛ l1 ， l2 ， l3 ｝．(2)特点性质描绘法当一个会合所含元素许多时，用列举法描绘很麻烦，这就要用到特点性质描绘法．所谓特点性质是指会合中元素的特点性质，即：(i) 这个会合中每个元素都拥有这些性质； (ii) 拥有这些性质的事物都是这个会合的元素．比如，会合 =｛1,-1 ｝用特点性质描绘法表示就是A=｛ x│ x2=1｝，或许A=｛ x││ x│ =1｝．全体偶数构成的会合B，用特点性质描绘法表示就是B=｛ x│ x 是能被 2 整除的整数｝，或许B=｛ 2n│n 是整数｝．全体奇数构成的会合C，用特点性质描绘法表示就是C=｛ x│ x 是不可以被 2 整除的整数｝，或许C=｛ 2n＋ 1│ n 是整数｝，C=｛ 2n-1 │n 是整数｝．一般地，用特点性质α表示会合 A 的形式是：A=｛ x│ x 拥有性质α｝．2．会合之间的关系和运算(1)包括与子集(i)你班上的同学的会合和你学校的同学的会合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包括前者．(ii)设会合例 1 设 A=｛ 1， 2， 3， 4｝，试写出 A 的全部子集．｛1，3｝，｛ 1，4｝，｛ 2，3｝，｛ 2，4｝，｛ 3， 4｝，｛ 1，2，3｝，｛ 1， 2，4｝，｛ 2，3， 4｝，｛ 1，3， 4｝，｛ 1， 2， 3， 4｝．(2) 交集运算对于给定的会合A，B，由它们的公共元素所构成的会合叫作会合A与 B的交集．我们用 A∩ B表示 A， B 的交集 ( 图 2-88) ．比如(i)如图2-89，设A=｛ x│ x 是 12 的正因数｝，B=｛ x│ 5＜ x＜13， x 是整数｝，则A=｛ 1， 2， 3，4， 6，12｝， B=｛6， 7， 8， 9， 10，11， 12｝．所以 A∩ B=｛ 6， 12｝．(ii) 设 l ， l2是平面上两条不一样的直线，则l ∩ l2就是由它们的交点构成的集11合．假如 l 1与 l 2订交于一点P，则 l 1∩ l 2=｛ P｝( 图 2-90) ；(3)并集运算对于给定的两个会合 A， B，把它们所含的元素归并起来所构成的会合，叫作会合 A， B 的并集，我们用符号 A∪ B 表示 A， B 的并集 ( 图 2-92) ．比如(i)设M，N分别表示你班上男生、女生的会合，那么M∪N 就是你班上同学的集合．(ii)设A=｛1， 3， 5， 7， 9｝， B=｛ 2，3， 4， 5，6｝，则 A ∪B=｛ 1，2， 3，4， 5， 6， 7， 9｝．注意在求上述会合A，B 的并集时，固然在A， B 中都有 3 和 5，但在 A∪B 中，3， 5 只取一次．(iii)设 E=｛ x│ x 是实数，且 x≥4｝，F={x │x 是实数，且x≤ -4} ， G={x│ x2≥ 16} ．则 E ∪F=G．一般地说，假如α ，β 分别是会合A， B 的特点性质，即A={x │x 拥有性质α } ，B=｛ x│ x 拥有性质β｝，则 A∪B 就是那些拥有性质α或性质β 的元素构成的会合，也就是A∪ B=｛ x│ x 拥有性质α或β｝，或许A∪ B={x │ x∈ A 或 x∈ B} ．例 2 设A={x │x 是 12 的正因数 } ， B={x │ x 是 18 的正因数 } ，C={x │ 0≤ x≤ 5，且 x∈ Z} ．求： (1)A ∩ B∩C； (2)A ∪ B∪ C．解依据已知条件，用填文氏图各地区的元素的方法来解决( 如图 2-93(a) ，(b)).(1)A ∩B∩ C=｛1， 2，3｝；(2)A ∪B∪ C=｛0， 1，2， 3， 4， 5， 6， 9，12， 18｝．例 3 设 A={1 ，a， a2}，B={1，a，b)，假设A，B中的元素都是整数，而且A ∩B=｛ 1，3｝， A∪B=｛ 1， a， 2a， 3a｝，求 a， b 的值．解因为 A=｛ 1，a， a2｝， B=｛ 1， a，b｝，所以A∩ B＝｛ 1， a｝．已知 A∩ B=｛ 1， 3｝．所以 a=3．又因为A∪ B=｛ 1， a，b， a2｝ =｛ 1， a， 2a， 3a｝ =｛1， 3， 6， 9｝，所以b=6．§ 17． 2 简略逻辑逻辑一词是 LOGIC的音译，它是研究思想法例的一门学科．数学和逻辑的关系特别亲密，在此，对逻辑知识做一些初步介绍．1．推出关系假如设 A={x │ x 是 4 的倍数 } ， B={x │ x 是 2 的倍数 } ，则 A 中元素拥有性质α—— 4 的倍数； B 中元素拥有性质β ——2的倍数．我们知道：假如某元素x 是 4 的倍数，那么x 必定是 2 的倍数，即拥有性质一般地说，假如拥有性质α 的元素也拥有性质β ，我们便说由α 推下边再举一个例子．2．命题和证明(1)命题和抗命题人们在思想活动中，常常要对客观事物做出判断．比如：(i)雪是白的；(ii)假如∠ 1 和∠ 2 是对顶角，那么∠ 1=∠2；(iii)3+4=6；上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的状况做出判断可能是正确的 ( 真 ) ，也可能是错误的( 假 ) ．我们把必定或否认的判断语句叫作命题．上述语句 (i) ， (ii)，(iii)，(iv)都是命题．对于命题的真假性，有些简单判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii)是假命题．但对 (iv)的真假性就不是明显可判断的．可经过设x=1， y=0(x ＞ y) ，那么所以，命题 (iv)为假命题(注意：证明一个命题为真命题，一定经过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可) ．数学命题拥有多种形式，常常采纳的命题形式是“若α ，则β”，“假如α ，那么β ”．命题“若α ，则β ”或是真命题，或是假命题，两者必居其一．“若当由α不行能推出β 时，“若α ，则β ”即是假命题．在命题“若α，则β”中，α 叫作这个命题的条件，β 叫作这个命题的结论．如果将命题“若α ，则β ”的条件和结论交换，就获取一个新命题“若β ，则α ”，这两个命题之间拥有互连关系，此中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的抗命题．当“假如α ，则β ”为真命题时，它的抗命题“假如β ，则α”不必定是真命题．比如：(i)“假如 2×3=6，那么 6÷3=2”是真命题．它的抗命题“假如6÷ 3=2，那么2× 3=6”也是真命题．(ii) “若 a=0 而且 b=0，则 ab=0”是真命题，但它的抗命题“若ab=0，则 a=0而且 b=0”就不是真命题．(iii)“假如∠ 1，∠ 2 是对顶角，那么∠ 1=∠2”是真命题，但它的抗命题“∠1=∠ 2，那么∠ 1，∠ 2 是对顶角”就是假命题．(2)证明我们要说明“若α ，则β”是真命题时，以什么方式来推证呢？最常用的基本格式就是推出关系的传达性，即：假如那么比如， (i)若∠1 和∠ 2 是对顶角，①对顶角相等，②则∠1=∠ 2．③(ii)张三是人，①凡人必有死，②所以张三必有死．③上述推理格式叫作三段论式，推理中的①，②是两个前提条件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的结论．实质上，三段论式和推出关系的传达性是一致的．比如“对顶角相等”的证明过程，能够像下边这样来理解．已知：∠ 1 是∠ 2 的对顶角 ( 图 2-98) ，求证：∠ 1=∠ 2．证从上述证明过程可知，要证明“若α ，则β”，我们先想法找出一应用已经被确认的正确命题和已知条件作依据，经过推演，导出某一命题建立，这类方法就叫作演绎推理法( 简称演绎法 ) ．演绎法是证明数学识题的重要方法．＝a2＋b2＋c2(a+b-c) 2=a2+b2+c2.例 2 某校数学比赛， A，B，C，D，E，F，G，H 八位同学获取了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名． A 说：“或许 F，或许 H 是第一名．”B 说：“我是第一名．”C 说：“ G是第一名．”D 说：“B 不是第一名．”E 说：“ A 说的不对．”F 说：“我不是第一名．” G说：“ C 不是第一名．” H 说：“我赞同 A 的建议．”老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？分解与解由已知条件可知： A 与 H 同真假， E与 F 同真假， B 与 D必然一真一假．(i)假如 A 与 H猜对了，那么 D 与 G也都猜对了．这样就有四人猜对，不合题意，所以， A 与 H 必然都猜错了．(ii)假如 E 与 F 猜对了，即 F 与 H都不是第一名，这时若 B 猜对了，那么 D 就猜错了，C也猜错了，G猜对了，这样，就有E，F，B，G四人猜对，也与题意不符．所以B 猜的不对， D 猜对了，这时已有 E， F， D 三人猜对，所以 G， C都必然猜错了，所以 C是第一名．练习十七1．已知 A={1， 2， 3， 4， 5} ， B={1，3， 5， 7} ， C={2， 3，5， 8}，写出会合：(1)A ∩B∩ C； (2)A ∪B∪ C；(3)A ∩(B ∪ C)； (4)A ∪ (B∩ C)．3．有某种产品100 个，经过两种检查，第一种检查合格品有90 个，第二种检查合格品有 78 个，两种检查都合格的有 72 个．试问这 100 个产品中，经过两种检查都不合格的产品有多少个？(1)a ＞0□│ a│＞ 0；(2)a ＝0 且 b=0□ a2＋ b2=0；(3)(x-a)(x-b)=0□ x=a或x=b；(4)假如α＞ 1，β＞ 2，γ＞ 3，那么，α□ γ，β□ α，β□ γ ．5．写出以下命题的抗命题，并指出其真假．(1)若 a=b，则 (a-b) 2 =0 ；(2)若 a=b，则 a2-b 2=0；(3)若 a≠ b，则 a2＋ b2＞ 2ab；22226．已知 3(a ＋ b ＋c )=(a+b+c)，求证：a=b=c．。

1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。

高中数学 《集合与简易逻辑》教案（高考回归课本系列）新人教A 版第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

岳阳县一中·2012届高三◆文科数学 第1页 共2页新课标——回归教材集合与常用逻辑用语前言:基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能,为此务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点,还应了解一些常用结论,最后还要掌握一些的应试技巧.本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点,按章节进行了系统的整理,最后阐述了考试中的一些常用技巧.1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性.典例:(1)设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈,若{0,2,5}P = ,{1,2,6}Q =,则P+Q 中元素的有 8 个.(2)设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈,{(,)|20}A x y x y m =-+>,{(,)|B x y x y n =+-0}≤,那么点(2,3)()u P A C B ∈ 的充要条件是1,5m n >-<(3)非空集合{1,2,3,4,5}S ⊆,且满足“若a S ∈,则6a S -∈”,这样的S 共有 7 个. 2.遇到A B =∅ 时,你是否注意到“极端”情况:A =∅或B =∅同样当A B ⊆时,你是否忘记A =∅的情形?要注意到∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.典例:集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B = ,则实数a ＝120,1,.3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ，21n -， 21n -， 2 2.n -典例:满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂≠⊆集合M 有 7 个. 4.集合的运算性质:(1)A B A B A =⇔⊆ ;(2)A B B B A =⇔⊆ (3)A B ⊆⇔u u A B ⊇痧(4)u u A B A B =∅⇔⊆ 痧;(5)u A B U A B =⇔⊆ ð;⑹()U C A B U U C A C B = ;⑺()U U U C A B C A C B = .典例:设全集{1,2,3,4,5}U =,若{2}A B = ,(){4}U C A B = ,()(){1,5}U U C A C B = ,则A ＝{2,3}, B ＝{2,4}.5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义—抓住集合的代表元素.如{}|lg x y x =表示函数的定义域,{}|lg y y x =表示函数的值域,{}(,)|lg x y y x =表示函数图象上的点集.典例: (1)设集合{|M x y =,集合N ＝{}2|,y y x x M =∈,则M N = [4,)+∞.(2)设{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ,{|(2,3)(4,5),}N a a R λλ==+∈ ,则M N = {(2,2)}--.6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.典例:已知函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上至少存在一个实数c ,使()0f c >,求实数p 的取值范围（答:32(3,)-）7.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”“非命题”的真假特点是“真假相反”.典例:在下列说法中:⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件;⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件岳阳县一中·2012届高三◆回归教材 第2页 共2页⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件.其中正确的是 ⑴⑶ .8.四种命题及其相互关系.若原命题是“若p 则q ”,则逆命题为“若q 则p ”否命题为“若﹁p 则﹁q ” 逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”.提醒:（1）互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假,这也是反证法的理论依据.（5）哪些命题宜用反证法?典例: (1)“在△ABC 中,若∠C=900,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为（答:在ABC ∆中,若90C ∠≠ ,则,A B ∠∠不都是锐角）(2)已知函数2(),11x x f x a a x -=+>+,证明方程()0f x =没有负数根. 9.充要条件.关键是分清条件和结论（划主谓宾）,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件.从集合角度解释,若A B ⊆,则A 是B 的充分条件;若B A ⊆,则A 是B 的必要条件;若A=B,则A 是B 的充要条件.典例: (1)给出下列命题:①实数0a =是直线21ax y -=与223ax y -=平行的充要条件; ②若,,0a b R ab ∈=是a b a b +=+成立的充要条件;③已知,x y R ∈,“若0xy =,则0x =或0y =”的逆否命题是“若0x ≠或0y ≠则0xy ≠” ④“若a 和b 都是偶数,则a b +是偶数”的否命题是假命题 .其中正确命题的序号是 ①④ .(2)设命题p:|43|1x -≤命题q:2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件,则实数a 的取值范围是12[0,].10.简单的逻辑联结词(1)“或”在数学中的含义是“至少有一个…”,有生活中“和”的意思,但后者只是前者的一层含义.“且”在数学中的含义是“同时…”,相当于“和”的意思.非p 记作:p ⌝,与p 真假互反.典例:判断命题真假:①3≥-1.(真命题);②224sin 4sin x x+≥.(真命题) (3)全称量词与存在量词.全称量词:“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”等短语;存在量词:“存在一个”、“至少一个”、“有些”、“有一个”等短语;全称命题:,(),p x M p x ∀∈则00:()p x p x ⌝⌝∃∈M,.特称命题00:,(),p x M p x ∃∈则:()p x p x ⌝⌝∀∈M,.典例:已知命题“[1,2]x ∃∈,使220x x a ++≥”为真命题,则实数a 取值范围是[8,)-+∞.(2)命题:p 方程2210x mx ++=有两个不等正根;:q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根,则使p q ∨为真命题,p q ∧为假命题的实数m 取值范围是(,2][1,3]m ∈-∞-- .。