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第8课 欣赏分形图

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数学之美美丽的分形几何图形课件市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学之美美丽的分形几何图形课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
第7页
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
注意：k1与 k2顺序！
图一
α1 α2
0
x
L2 图二
第6页
已知两条相交直线L1：y=k1x+b1， L2： y =k2x+b2。求 直线L1到L2角为θ。
当 k1k2= －1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1
α1 α2
O
X

图一
图二
设L1，L2倾斜角分别是α1和α2， 则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1
来表示
C．与两条坐标轴都相交直P线1 (一x1,定y1能) 够P2 用(x2 , y2 )表示
D．经过点Q（0，(by）直y1线)(方x2程都x1能) 够(表x 示x为1 )y(=yk2x+by1 ) x y 1 ab
2．直线m(x+y-1)+(3y-4x+5)=0不能化成截距式方程，则 m值为（ ）DA．5 B．-3或4 C．-3或4或5 D．m∈ （-∞，-3）∪（4，5）∪（5，+∞）
解：设L1，L2，L3斜率分别为k1 k2、k3，L1到L2角是θ1，L2
L2
Y
L3
到L3角是θ2 ，则
θ2 L1
k1
1 2
,
k2
1
O
X

信息技术目录(下册)

信息技术目录(下册)

3年级信息技术目录
用键盘符号构图；击同一个键，输不同的字母；看图片，输文字；看图片，输字符；认识文件；认识文件夹；管理文件；欣赏与构思；菁菁校园；温馨挂牌提示牌；鱼儿悠悠；荷塘美景；太空之旅；快乐小熊；亲亲家乡。

4年级信息技术目录
制作简单表格；制作通讯录；制作课程表；制作月历；设计电子板报；制作电子板报；赏析电子作品；拍摄数码相片；整理数码相片；修补数码相片；让相片更清晰；让相片更靓丽；制作摄影作品；装饰摄影作品；赏析摄影作品。

5年级信息技术目录
电脑病毒与危害；系统安全与防范；认识多媒体；播放视频；录制声音；网页元素；建立网页；美化网页；动感网页；链接网页；规划网页布局；设计框架网页；设计个人网站；设计班级网站；评价网页。

6年级信息技术目录
认识Loɡo语言；海龟画小旗；海龟画粮仓；海龟画冰箱；海龟太阳系；海龟作动画；海龟搭积木；欣赏分形图；认识机器人；机器人发展过程；认识传感器；机器人的“大脑”；机器人家族；自动识别技术；机器智能翻译。

初中数学分形课件

初中数学分形课件

混沌一开， 乾坤乃定。 历经无数分叉路， 柳暗花明见新村。 教育立国， 科技兴邦， 两个强劲吸引子， 交织出一幅美丽分形。 万众协同， 应变持恒。 依凭超循环作用， 借助蝴蝶效应， 向着同宿点， 奋起马蹄奔前程。
(付新楚(1961- )《混沌寄情》)
现科学之美， 探复杂之谜， 映射突变， 分形遇与混沌帝。 马蹄迭代驱寂寞， 落霞覆涟漪， 斑图指进临境， 连络廿一世纪。 (刘华杰）
谢 谢 欣 赏 ！
分形的应用领域
数学中的动力系统等;
物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等;
生物中细胞的生长等;
地质学中的地质构造等;
天文学中土星光环的模拟等;
其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
随机Koch曲线 ——对海岸线的模拟
分形树叶
分形树叶(续1)分形树Fra bibliotek(续2)分形树叶(续3)
花草树木(L 系统）的一个例子
一些分形图片:
（
Z n1 Z c
2 n
（
z 和 c 都是复数）
蝴蝶函数： 花函数：
洛伦兹吸引子
函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射
图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案
/
与分形有关的诗
幻境风云起，人间纷扰多。 醉弄光影躯，轻舞自婀娜。 (宋爽)
分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。 出有入无成妙道，分形露体共真源。 (摘自《慧命经· 化身图释词》)
第一步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第2步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第3步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第4步
Koch曲线

分形理论简介ppt

分形理论简介ppt



进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而 每条折线的长度为1/9； 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。



由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个 平面上的每一个点，因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数

盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r


自仿射性

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的， 那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体（连续、光 滑、规则、可微） 大自然创造的复杂 的真实物体（不连 续、粗糙、不规则、 不可微）


N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
14

线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r


相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似， 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为

分形几何 ppt课件

分形几何 ppt课件
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
10
分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
5
分形几何
6

第八章 分形几何

第八章 分形几何

Peano-Hilbert曲线的出现，曾令数学界大吃一惊： （1）它是一条曲线，但又是一个平面； （2）Peano-Hilbert曲线的方程只有一个参数，但它却 能确定了一个平面；而在欧几里德几何学中，确定一条 曲线需要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
“病态”原因：一维曲线却能充满二维平面。 分形维数：D=ln4/ln2=2.0。
对于典型的分形曲线，例如Koch曲线，构成方法 如下：取一段直线，将其三等分，保留两端的两段， 将中间一段拉起构造等边三角形的两条边。N=4，S=3， 分维D=ln4/ln3=1.26186。可以看出Koch曲线点点连 续，但点点不可导，属于病态曲线；Koch曲线局部与 整体相似，具有自相似性。因此可以使用Koch曲线来 模拟海岸线。根据Mandelbrot的计算，英国海岸线的 分维为D=1.25。
L0 ( P1 .x P0 .x) 2 ( P1 . y P0 . y ) 2
设递归n次后的最小线元长度为d，则
d L0 /(2(1 + cos ))
n
（8-4）
Koch 雪花
void CTestView::Koch(int n)//Koch函数 { if(0==n) { P1.x=P0.x+d*cos(Alpha); P1.y=P0.y+d*sin(Alpha); pDC->MoveTo(ROUND(P0.x),ROUND(P0.y)); pDC->LineTo(ROUND(P1.x),ROUND(P1.y)); P0=P1; return; } Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); Alpha-=2*Theta; Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); }

数学欣赏—分形


分形几何学
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal） 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal） 理论， 是现代数学的一个新分支， 理论 ， 是现代数学的一个新分支 ， 其本质是 一种新的世界观和方法论。 它承认， 一种新的世界观和方法论 。 它承认 ， 在一定 条件下、 一定过程中、 在某一方面（ 形态， 条件下 、 一定过程中 、 在某一方面 （ 形态 ， 结构， 信息， 功能， 时间， 能量等） 结构 ， 信息 ， 功能 ， 时间 ， 能量等 ） ， 世界 的局部可能表现出与整体的相似性；它承认， 的局部可能表现出与整体的相似性；它承认 ， 空间维数的变化既可以是离散的， 空间维数的变化既可以是离散的 ， 也可以是 连续的…… 连续的……
分形的特征
分形的特征，归纳起来有以下几点：
无限精细的结构 不能用传统的几何语言描述
自相似性
分数维数 可以由简单的方式生成
火百合
荷叶
食人花
黑蒲公英
星 系
云
团
闪电
山
峰
植物
分形的定义 分形的定义
曼德尔布罗特对分形的定义：
A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way 分形是其组成部分以某种方式与 整体相似的图形
分形的特征
分形作为一种全新的概念，使许多人 在第一次见到分形图形时都有新的感受， 不管你是从科学的观点看还是从美学的观 点看。 分形图可以体现出许多传统美学的标 准，如平衡、和谐、对称等等，但更多的 是超越这些标准的新的表现。
当我们严格地去分析欧几里得几何与自然的关系时我们会发现要想在自然界中找到真正的圆形球形正方形正方体等几乎是不可能的欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物

《分形几何学》课件


分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形

分形几何与混沌ppt


2 美色 图画软件流行天下
• 分形学最明显的应用，还是在艺术方面。上世纪80年代，以德国布来 梅大学的数学家和计算机专家佩欧根（H.Peotgen）与雷切特 （P.Richter）等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了 大量的分形图案；胡巴德（J. Hubbard）等人还完成了一部名为《混 沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片甚至T 恤衫纷纷出笼。“巴恩斯利蕨”就是分形学和艺术相结合的完美例子。 • 很多人喜欢“分形学”，是因为倾心于分形之美。数学上的审美很难 为一般人所理解：一大堆数字、公式、符号怎么体现出来呢？然而， 计算机能让数学的某些内在的美直观呈现出来，给出其形式化的表达。 而继科学家之后，越来越多的艺术家借助现成软件，漫步于分形图像 的领地。对于电脑动画来讲，无论是模拟海浪还是植物的生长，分形 都是不可缺少的工具。
分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具 有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无 限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维 数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如 此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在 大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产 生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.
3 哲学 和混沌学联手
• 分形学的“美色”不可阻挡，很快它又和同时代的一种特别有“才” 的物理学理论搭上了关系，这种理论就是混沌学。 1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一洛伦 兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为“蝴蝶效应”的论 文。在演讲中，他用一个比喻描述气象模型绘制出的蝴蝶形曲线：在 巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风。他以 此描述气候的长期预测难以精确实现。“蝴蝶效应”的含义并非强调 偶然性，而是强调一个多参数系统，一个参数的微小变化就会引起系 统的巨大变化。1975年，也就是曼德博提出“分形”一词的那年，美 国马里兰大学数学教授约克（James A. Yorke）和研究生李天岩正 式提出了“混沌学”这个名称。一般地，如果一个接近实际而没有内 在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系 统是“混沌”的。

闽教版信息技术六年级下册全册教案

备课本闽教版六年级下册信息技术全册教案班级______教师______日期______闽教版信息技术六年级下册全册教案教师_______日期_______第1课认识Logo语言教学目标：1、学会启动和退出Logo语言。

2、学会装载（调入）、运行Logo语言的外部过程（程序）。

3、掌握cs、bye命令的格式及其使用方法。

4、欣赏Logo语言作品，激发学生学习Logo语言的兴趣。

教学重点：激发学生学习Logo语言的兴趣；掌握清屏和退出命令的格式及其用法。

教学难点：学会装载（调入）、运行Logo语言的外部过程（程序）。

课时安排：1课时教学过程：一、导入1、创设情境：电脑绘画世界里有个神奇的绘画高手，它就是小海龟。

小海龟能听懂Logo语言，只要给它语言命令，它就会非常听话地画出神奇的图形。

你想见识它的魔力吗？2、演示：通过命令指挥小海龟画出“钻石”、“五角星”、“螺旋线”等图形。

3、引出课题：第1课认识Logo语言。

二、启动Logo语言系统，认识Logo界面1、演示或播放Logo语言软件的安装过程。

2、演示启动Logo系统的步骤。

3、引导学生启动Logo语言系统。

4、展示Logo系统界面，引导学生认识Logo窗口界面：让学生观察，Logo 窗口界面是由哪些部分组成？结合前面的“画图”软件界面，讨论Logo窗口界面与“画图”软件界面的异同点。

5、小结。

三、打开存放的Logo程序文件，欣赏海龟作画1、讲授：在Logo语言系统中，可以将别人编辑好的程序文件载入系统中进行运行，查看运行效果。

2、演示在Logo语言系统环境下，载入预存在电脑上的Logo语言程序文件（LIZI.LGO）。

3、送LIZI.LGO到学生机。

4、引导学生加载LIZI.LGO文件，依次运行教材P4图1-6里的过程名，欣赏海龟画图。

5、提出问题：ZUANSHI 40、HUA 70、WJX 50中的数值，对图形有什么影响？6、引导学生改变数值，再次执行过程，观察图形变化。

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海龟画“风吹树”
• “风吹树”过程“tree:b:f带有两个参数b和f。 其中，参数b表示树的高度，同时也与树的 粗细有关，树干和树枝的宽度为树的高度， 同时也与树的粗细有关，树干和树枝的宽 度为高度b的六分之一；参数f表示风的大小， f值为0表示无风，f值为正数时表示刮西风， f值为负数时表示刮东风
第8课 欣赏分形图
学习目标
• 欣赏分形图 • 学会用不用的参数值调用统一带参数的过 程
自然蕨类植 物羊齿舌
欣赏分形图
海龟 模拟
欣赏分形图
欣赏分形图
分形图
• 在自然界中，许多景物都在某种 程度上存在自相似特性， 即：它们中的一个部分和它的整体或者其 他部分都十分相似。
• 分形图的重要特性是：分形体的局部与整 体是相似的。分形体内任何一个相对独立 的部分，在一定程度上都不同的参数值 调用同一带参数的过程
体验用不用的参数值调用同一个带 参数的过程
• 加载Logo程序文件“第8课.lgo”,
位置
体验用不用的参数值调用同一个带 参数的过程
• 在命令窗口以“xbb 60 0”格式执行带参数 的过程“xbb :r :n”命令，并在P45图3中的 每个图像下方的下划线上填上相应的数值。 • 画完一个图形后，可用键盘输入命令ss并 按回车键，让命令窗口重新出现。
海龟画“风吹树”
• 加载Logo程序文件“第8课.lgo”,在命令窗 口中，依次执行如下命令：
draw tree draw tree draw tree draw tree 65 65 65 65 0 8 20 -20
创新活动
• 加载Logo程序文件“分形.lgo”,在命令窗口中执行 本课“开阔视野”中的每个图形下方的带参数过 程命令，体验分形之美