下载文档原格式
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数本节介绍用含参广义积分表达的两个专门函数 , 即)(s Γ和),(q p B . 它们统称为 Euler 积分. 在积分运算等方面, 它们是专门有用的两个专门函数.一. Gamma 函数 )(s Γ 考虑无穷限含参积分⎰+∞--01 dx e x x s , ) 0 (>s当1 0<<s 时, 点0=x 依旧该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 ⎰⎰+∞+110来讨论其敛散性 .⎰1: 1 ≥s 时为正常积分 .1 0<<s 时, 01>--x s e x .利用非负函数积的Cauchy 判别法, 注意到 , 11, 1) (lim 110⇒<-=---+→s e x x x s s x 1 0<<s 时积分⎰1收敛 . (易见 0=s 时, 仍用Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 0 >s 时积分⎰1收敛 .⎰+∞1: ) ( , 0112+∞→→=⋅-+--x e x e x x x s x s 对∈∀s R 成立,.因此积分⎰+∞1对∈∀s R 收敛.综上 , 0 >s 时积分⎰+∞--01 dx e x x s 收敛 . 称该积分为Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了) , 0 (∞+∈s 内的一个函数, 称该函数为Gamma 函数, 记为)(s Γ, 即)(s Γ=⎰+∞--01 dx e x x s , ) 0 (>s .-Γ函数是一个专门有用的专门函数 .2. -Γ函数的连续性和可导性:)(s Γ在区间) , 0 (∞+内非一致收敛 . 这是因为0=s 时积分发散. 那个地点利用了下面的结果: 若含参广义积分在] , (b a y ∈内收敛, 但在点a y =发散, 则积分在] , (b a 内非一致收敛 .但)(s Γ在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛 .即在任何⊂],[b a ) , 0 (∞+上 , )(s Γ一致收敛 . 因为b a <<0时, 对积分⎰10, 有x a x s e x e x ----≤11, 而积分⎰--11 dx e x x a 收敛.对积分⎰+∞1, xb xs e xex ----≤11, 而积分⎰+∞--11 dx e x x b 收敛. 由M —判法, 它们都一致收敛, ⇒ 积分⎰+∞--01 dx e x x s 在区间],[b a 上一致收敛 .作类似地讨论, 可得积分dx e x s x s )(10'--+∞⎰也在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛. 因此可得如下结论:)(s Γ的连续性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内连续 . )(s Γ的可导性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内可导, 且⎰⎰∞+∞+----=∂∂=Γ'0011ln )()(dx x e x dx e x ss x s xs .同理可得: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内任意阶可导, 且 ⎰+∞--=Γ01)() ln ()(dx x e x s n x s n .3. )(s Γ函数的凸性与极值:0) ln ()(201>=Γ''⎰+∞--dx x e x s x s , ⇒ )(s Γ在区间) , 0 (∞+内严格下凸.1)2()1(=Γ=Γ ( 参下段 ), ⇒ )(s Γ在区间) , 0 (∞+内唯独的极限小值点( 亦为最小值点 ) 介于1与2 之间 .4. )(s Γ的递推公式 -Γ函数表:)(s Γ的递推公式 : ) 0 (),()1(>Γ=+Γs s s s . 证 ⎰⎰+∞+∞--='-==+Γ0)()1(dx e x dx e x s x s xs⎰⎰+∞+∞----∞+-Γ==+-=0110)(s s dx e x s dx e x s ex x s xs x s.⎰⎰+∞+∞---===Γ0111)1(dx e dx e x x x .因此, 利用递推公式得:1)1(1)11()2(=Γ=+Γ=Γ , ! 212)2(2)12()3(=⋅=Γ=+Γ=Γ,! 3! 23)3(3)13()4(=⋅=Γ=+Γ=Γ , …………, , 一样地有 ! )1()1()()1(n n n n n n n ==-Γ-=Γ=+Γ .可见 , 在+Z 上, )(s Γ正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 )1(! +Γ=s s , 易见对1->s ,该定义是有意义的. 因此, 可视)1(+Γs 为) , 1 (∞+-内实数的阶乘. 如此一来, 我们专门自然地把正整数的阶乘延拓到了) , 1 (∞+-内的所有实数上, 因此, 自然就有1)1()10(!0=Γ=+Γ=, 可见在初等数学中规定 1!0=是专门合理的.-Γ函数表: 专门多纷杂的积分运算问题可化为-Γ函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了-Γ函数表供查. 由-Γ函数的递推公式可见, 有了-Γ函数在10<<s 内的值, 即可对0>∀s , 求得)(s Γ的值. 通常把00.200.1≤≤s 内-Γ函数的某些近似值制成表, 称如此的表为-Γ函数表 .5. -Γ函数的延拓:0 >s 时, ),()1(s s s Γ=+Γ⇒ .)1()(ss s +Γ=Γ 该式右端在01<<-s 时也有 意义 . 用其作为01<<-s 时)(s Γ的定义, 即把)(s Γ延拓到了) , 0 () 0 , 1(∞+⋃-内.12-<<-s 时, 依式 ss s )1()(+Γ=Γ, 利用延拓后的)(s Γ, 又可把)(s Γ延拓到 ⋃--) 1 , 2 () , 0 () 0 , 1(∞+⋃-内 .依此 , 可把)(s Γ延拓到) , (∞+∞-内除去) , 2 , 1 , 0 ( =-=n n x 的所有点. 通过如此延拓后的)(s Γ的图象如[1] P347图表21— 4.例1 求) 85.4 (Γ, ) 85.0 (Γ, ) 15.2 (-Γ. ( 查表得) 85.1 (Γ94561.0=.) 解 ) 85.4 (Γ=Γ⨯⨯=Γ⨯=Γ=)85.1(85.185.285.3)85.2(85.285.3)85.3(85.3 19506.1994561.085.185.285.3=⨯⨯⨯=. 85.0(85.0) 85.1 (Γ=Γ), ⇒ 11248.185.094561.085.0)85.1() 85.0 (==Γ=Γ.=-Γ⨯=--Γ⋅-=--Γ=-Γ15.0)85.0(15.115.2115.1)15.0(15.2115.2)15.1() 15.2 (54967.215.015.115.294561.0-=⨯⨯-=.6. -Γ函数的其他形式和一个专门值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为-Γ函数 . 倘能如此, 可查-Γ函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ> 令)0( >=p pt x , 有 )(s Γ=⎰+∞--01 dx e x xs ⎰+∞--=01dt e t ppt s s,因此, ⎰+∞---Γ=01)(s p dx e x s px s , ) 0 , 0 (>>s p .ⅱ> 令,2t x = ⇒ ⎰+∞--=Γ01222)(dt e t s t s .注意到[1] P277 E7的结果⎰∞+-=22πdx e x , 得)(s Γ的一个专门值221=⎪⎭⎫⎝⎛Γ772454.12202≈=⋅=⎰∞+-ππdt e t .ⅲ> 令)0( ln >-=λλt x , 得 )(s Γ⎰--⎪⎭⎫⎝⎛=1111ln dt t t s s λλ. 取1=λ, 得)(s Γ⎰⎰---=⎪⎭⎫⎝⎛=1111)ln (1ln dt t dt t s s .例2 运算积分 ⎰+∞-022dx e x x n , 其中 +∈Z n .解 I ⎰∞++--=-=Γ-⋅=+Γ=====01212!)!12()21(2!)!12(21)21(21212πn n t n x t n n n dt e t .二. Beta 函数),(q p B ——Euler 第一型积分： 1． Beta 函数及其连续性：称( 含有两个参数的 )含参积分⎰---111)1(dx x x q p ) 0 , 0 (>>q p 为Euler 第一型积分. 当p 和q 中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对 0 , 0 >>q p , 该 积分收敛. 由于1 , <q p 时点0=x 和1=x 均为瑕点. 故把积分⎰1分成⎰210和⎰121考虑.⎰210: 1≥p 时为正常积分; 10<<p 时, 点0=x 为瑕点. 由被积函数非负,) 0 ( , 1)1(111+---→→-x x x x q p p 和 11<-p , ( 由Cauchy 判法) ⇒ 积分⎰210收敛 . ( 易见0=p 时积分⎰210发散 ).⎰121: 1≥q 时为正常积分; 10<<p 时, 点1=x 为瑕点. 由被积函数非负,) 1 ( , 1)1()1(111----→→--x x x x p q q 和 11<-q ,( 由Cauchy 判法) ⇒ 积分⎰121收敛 . ( 易见0=q 时积分⎰121发散 ).综上, 0 , 0 >>q p 时积分⎰1收敛. 设D }0 , 0 |),( {+∞<<+∞<<=q p q p ,因此, 积分⎰10定义了D 内的一个二元函数. 称该函数为Beta 函数, 记为),(q p B , 即),(q p B =⎰---111)1(dx x x q p ) 0 , 0 (>>q p不难验证, -B 函数在D 内闭一致收敛. 又被积函数在D 内连续, 因此 , -B 函数是D 内的二元连续函数.2. -B 函数的对称性: ),(q p B ),(p q B =.证 ),(q p B =⎰---1011)1(dx x xq p ⎰=--=====---=01111)1(dt t t q p tx⎰=-=--1011),()1(p q B dt t t p q .由于-B 函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有.3. 递推公式: ) , 1 (1) 1 , 1 (q p B q p qq p B +++=++.证 ⎰⎰=-+=-=+++1101)()1(11)1() 1 , 1(p q q p x d x p dx x x q p B dx x x p q dx x x p q x x p q p q p p q ⎰⎰-+-++-+=-++-+=10111011101)1(1)1(1)1(11, )* 而 ⎰⎰=---=---+111011)1)](1([)1(dx x x x x dx x xq p p q p⎰⎰++-+=---=-10101)1 , 1() , 1()1()1(q p B q p B dx x x dx x x q p q p , 代入)*式, 有 ) 1 , 1 (1) , 1 (1) 1 , 1 (+++-++=++q p B p qq p B p q q p B , 解得 ) , 1 (1) 1 , 1 (q p B q p qq p B +++=++.由对称性, 又有) 1 , (1) 1 , 1 (+++=++q p B q p pq p B .4. -B 函数的其他形式:ⅰ> 令αx y =, 有 ⎰⎰=-=--1111)1(1)1(dy y y y dx x x αβαγβαγα⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=-+-+111111 , 11)1(1βαγααβαγB dy y y, 因此得 ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=-11 , 11)1(βαγαβαγB dx x x , 1 , 01->>+βαγ. ⅱ> 令x y cos =, 可得⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2021 , 2121cos sin πβαβαB xdx x , 1 , 1->->βα. 专门地 , ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2021 , 2121sin πn B xdx n , +∈Z n . ⅲ> 令t t x +=1, 有),(q p B =⎰---1011)1(dx x x q p =⎰∞++-+01)1(dt t t q p p ,即 ⎰∞++-=+01),()1(q p B dt t t qp p , ) 0 , 0 (>>q p ⅳ> 令ab aa b x t ---=, 可得 ⎰-+---=--ban m n m n m B a b dx x b a x ),,()()()(111 0 , 0>>n m .ⅴ> ⎰+=+-+--111),()1(1)()1(n m B a a dx x a x x nn n m n m , 0 , 0 ; 1 , 0>>-≠n m a . 三. -Γ函数和-B 函数的关系: -Γ函数和-B 函数之间有关系式 )()()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ=, ) 0 , 0 (>>q p以下只就p 和q 取正整数值的情形给予证明. p 和q 取正实数值时, 证明用到-Γ函数的变形和二重无穷积分的换序. 参阅[1] P349.证 反复应用-B 函数的递推公式, 有 )1 , (112211)1,(11),(m B m n m n n m n n m B n m n n m B +⋅⋅-+-⋅-+-=--+-=,而 ⎰⇒==-101 , 1)1 , (mdx x m B m =--⋅⋅+⋅⋅-+-⋅-+-=)!1()!1(1112211),(m m m m n m n n m n n m B)()()()!1()!1()!1(m n m n n m m n +ΓΓΓ=-+--=.专门地, 0 , 0>>q p 且1=+q p 或2=+q p 时, 由于1)2()1(=Γ=Γ, 就有)()(),(q p q p B ΓΓ=.余元公式——-Γ函数与三角函数的关系： 对10<<p ，有 ππp p p sin )1()(=-ΓΓ.该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第3分册, 或参阅余家荣编《复变函数》P118—119 例1（ 利用留数理论证明 ）.利用余元公式, 只要编制出210≤<s 时)(s Γ的函数表, 再利用三角函数表, 即可对0>∀s , 查表求得)(s Γ的近似值.四.利用Euler 积分运算积分:例3 利用余元公式运算⎪⎭⎫⎝⎛Γ21.解 πππ==⎪⎭⎫⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2sin 21121212, ⇒ π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21. 例4 求积分⎰∞++061x dx. 解 令6x t =, 有 I ⎰⎰∞+∞++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=0065611616565 , 6161)1(61161B dt t tdt t t 36sin 616116161πππ=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=.例5 运算积分 ⎰-1441x dx.解 ,2111lim 4441=---→x x x 141<=p , ⇒ 该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛 , 把该积分化为-B 函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . )I ⎰⎰⎰=-====-⋅=-⋅=--=104143104434104433)1(411)(4114dt t t x x x d xx dxx x t==⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎰--4sin 4143414143 , 4141)1(4110143141ππB dt t t 42π. 例6 x x x f 67cos sin )(=, 求积分 ⎰⎰⎰Vdxdydz z f y f x f )()()(,其中 V : x z x y x ≤≤≤≤≤≤0 , 0 , 20π.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛==Vx xxdx dt t f x f dz z f dy y f dx x f 20220)()()()()(ππ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=23202320)(31)(31)()(πππxx xdx x f dt t f dt t f d dt t f . 而 ⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==2206727 , 421216 , 21721cos sin )(ππB B xdx x dx x f 5633)5.0(5.05.15.25.35.45.55.6)5.0(5.05.15.2 !321) 215 () 27()4(21.=Γ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯Γ⨯⨯⨯⨯⋅=ΓΓΓ⋅=. 因此 , 33.)563(9563331=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰V.。
含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。
在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。
含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。
含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。
如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。
对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。
例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。
含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。
在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。
总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
- 1 -。
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
第十八章 含参变量的广义积分1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰； (2) 20cos() ()1xy dy x y +∞-∞<<+∞+⎰； (3)1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x+∞≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0xy xe dy +∞-⎰，（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2()x e dx α+∞---∞⎰，（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞-+<<+∞⎰.3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。
求证：0()t f t dt λ+∞⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 220()x F x dy x y +∞=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y+∞=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x xy F x dy y y ππ-=-⎰，(0,2)x ∈.5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()n n dx I a x a +∞+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x--+∞-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰（0,0a b >>）； (2) 0sin ax bxe e mxdx x --+∞-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx xα+∞=+⎰ 和120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰. 11． 20(0)xy e dy x +∞-=>计算傅伦涅尔积分2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和21001cos 2F x dx +∞+∞==⎰⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x+∞⎰； (2) 02sin cos y yx dy yπ+∞⎰； (3)220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t+∞-⎰； (2) 220ln(1)1x dx x +∞++⎰. 14． 证明：(1) 10ln()xy dy ⎰在1[,]b b(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：(1) 10⎰；(2) ⎰；(3)⎰;(4)0a x ⎰ (0)a >； (5)6420sin cos x xdx π⎰； (6)401dx x +∞+⎰； (7)220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；(8) 0π⎰； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x-+∞+⎰；(2) 1⎰(3) 20tan n xdx π⎰； (4) 101ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰(0)α>. 17． 证明： (1) 11()nx e dx n n +∞--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1nx n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：1110(,)(1)b a bx x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞--Γ=⎰ (0)s >.。
含参量积分一致收敛及其应用1 引言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分, 又名反常积分. 在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件. 因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分, 这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛. 但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了. 在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序. 于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.1. 含参量的广义积分和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。
从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。
1.1无穷限广义积分的定义定义1：设f (x , y ) 为定义在D =[a , +∞)⨯I （I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如⎰+∞af (x , y ) dx 的积分称为含参变量y 的广义积分。
从定义形式决定研究内容：广义积分是否存在-----收敛性问题与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。
