含参量积分与欧拉积分

欧拉积分及其简单应用引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8）含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。

它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。

但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。

欧拉积分包括：伽马（Gamma ）函数：Γ(s)=⎰+∞--01dx e x x s , s>0.-----------（1）贝塔（Beta ）函数：B(p ，q)= ⎰---1011)1(dx x x q p ， p>0, q>0-------------（2）下面我们分别讨论这两个函数的性质：一、B 函数…………………Euler 第一积分1、 定义域：B(p ，q)=⎰---1011)1(dx x x q p =⎰---21011)1(dx x x q p +⎰---12111)1(dx x x q p = 1I + 2I对1I = ⎰---21011)1(dx x x q p当x →0时.1I =⎰-2101dx x p = ⎰-21011dx x p 其收敛须p>0 对2I =⎰---12111)1(dx x x q p. 当x →1时 ， 2I =⎰--1211)1(dx x q ,令.1-x=t =⎰-2101dx tq = ⎰-21011dx t q 其收敛须.q>0. ∴B(p ，q) 定义域为p>0,q>0.2、 连续性 因为对∀p 。

>0，q 。

>0有11)1(---q p x x ≤1100)1(---q p x x p ≥p 。

,q ≥q 。

而⎰---101100)1(dx x x q p 收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法知B(p ，q)在p 。

欧拉积分及其应用摘 要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>⎰称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. B 函数及其相关性质1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰，当1p <时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，定义域为.0,0>>q p任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1110(1)p q x x ---⎰一致收敛，故B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质 性质1.2.1 (对称性)(,)(,)B p q B q p =.作变换y x -=1，),(q p B =1110(1)p q x x ---⎰=1110(1)p q y y dy ---⎰=),(p q B .性质1.2.2 （递推公式）(,)B p q =1(,1)1q B p q p q --+-,(1,0>>q p )， （1）1(,)(1,)1q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ， （2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+-，)1,1(>>q p . （3）当1,0>>q p 时，有(,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰=110(1)p q x x P --+1201(1)p q q x x dx P---⎰ =11121[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------⎰ =1112110011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------⎰⎰ =11(,1)(,)q q B p q B p q p p----，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ϕ=，则有(,)B p q =111(1)p q xx ---⎰=2121202sin cos q p d πϕϕϕ--⎰；(2) 令1y x y =+111x y -=+2(1)dydx y =+,则有 (,)B p q =1110(1)p q xx ---⎰=1(1)p p qy dy y -+∞++⎰；(3) 考察11(1)p p qy dy y -+∞++⎰.令1y t =，则有 =10(1)p p qy dy y -+∞++⎰=1110(1)p q p q y y dy y --+++⎰(,)B p q .2. Γ函数及其相关性质2.1 Γ函数的定义域()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰，1、积分区间为无穷；2、当10s -<时，0x =为瑕点；3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和：()1s xs xed x -+∞-Γ=⎰=1111s s xx x e dx x e dx --+∞--+⎰⎰)()(x J x I +=，其中110()s xI s x e dx --=⎰，11()s x J s x e dx -+∞-=⎰.当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛.所以，Γ函数()1s x s x e dx -+∞-Γ=⎰在0s >时收敛.2.2 Γ函数的性质性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=.性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明 有分部积分法得：(1)s Γ+=0sxx e dx +∞-⎰=0s x x e-+∞-+1s x s x e dx -+∞-⎰=()s s Γ.性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明 只要证明对[1,)p ∈+∞，11p q+=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ()s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21log ()s qΓ. 事实上，由Holder 不等式即得12()s s p qΓ+=12(1)0s s p q xxe dx +-+∞-⎰=12110()()s s x xpp q qx e xe dx ----+∞⎰1211110()()s s x x pqx e dx x e dx +∞+∞----≤⎰⎰=1211()()s s pqΓΓ，性质得证.出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像）设1+≤<n s n ，即10≤-<n s ，应用性质2可得到=-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s).()()1(n s n s s s -Γ--= （1）若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0n dx n n n n ex==Γ⋅+=+Γ⎰+∞- . （2）对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增.由于()s Γ=()s s sΓ=(1)s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s +→Γ+=Γ=，故有0(1)lim ()lim s s s s s++→→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得lim ()s s →+∞Γ=+∞.综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示.性质2.2.5 （延拓）改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为(1)()s s sΓ+Γ=. 当10s -<<时，(1)s sΓ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<.用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1)()s s sΓ+Γ=又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3s =以外），其图像如上图所示.性质2.2.6 （其他形式）在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=dx e x x s 2122--⎰ (0)s >；(2) 令py x =，可得=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=10ss py py e dy +∞--⎰(0,0)s p >>.3. B 函数与Γ函数的关系当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+.又由于1101(,1)m B m x dx m-==⎰，所以 1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+1n-2111m+n-2m+1mn m n -=⋅⋅⋅+-(1)!(1)!(1)!n m m n --=+-，即()()(,)()n m B m n n m ΓΓ=Γ+.对于任何实数0,0>>q p 也有关系式：()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分dx xk x x cos 11sin cos 10++⎰π，)10(<<k .分析 这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解 令2tan 112tanx k k t +-=，则有2tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得t k k t x cos 1cos cos --=，tk k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=.将其代入原式得dx x k x x cos 11sin cos 10++⎰πdt tk k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=⎰πdt t t k k 2cos 2sin)1()1(210214341⎰-+-=πtdt t k k 2120214341cos sin )1()1(2⎰-+-=π)43,41(21)1()1(24341B k k ⋅+-=)4341()411()41(21)1()1(24341+Γ-ΓΓ⋅+-=k k 4sin 21)1()1(24341ππ⋅+-=k k4341)1(2)1(k k +-=π.4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和. 分析 这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=111!!(1)!!(2)!(2)!n n n n n n n n n ∞∞==-=∑∑ =11()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞∞==ΓΓ+=+Γ+∑∑=1101(1)n n n t t dt ∞-=-∑⎰由于当01t ≤≤时，10(1)4t t ≤-≤，所以 1110(1)()4n n n t t --≤-≤因而级数11(1)n n n t t ∞-=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有201n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=110(1)n n t t dt --⎰=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑⎰ =101(1)tdt t t --⎰=1201t dt t t -+⎰=33π. 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用 例 3 设)(~2n X χ，求EX .分析 这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x=2，将其转化为欧拉积分.解 dxe x n x dx x xf EX xn n21220)2()21()(--∞+∞-∞+⋅⋅Γ⋅==⎰⎰ dt e t n t nn t-∞+=⋅⋅Γ=−−→−⎰0222x )2(2)2()21(令dt e t n t n n n -∞+-+⋅Γ⋅⋅=⎰011222)()2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2(2n n n Γ⋅⋅Γ==n .例 4 证明概率积分22π=⎰∞+-dx e x .分析 我们知道，著名的概率积分dx e x ⎰+∞-02及其推广形式dx e x x n ⎰+∞-022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解 令2x y =，则dy y dx y x 212121,-==，所以dy y edx eyx 21212-∞+-∞+-⎰⎰= 2)21(21π=Γ=. 结束语通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900.[3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986.[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998.[6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993.。

欧拉积分及其应用摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma 函数和Bate 函数的性质及其在求定积分时的应用。

对r 函数与B 函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1()r m的计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。

使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。

关键词：含参变量积分； Gamma 函数； Bate 函数； 余元公式1、 知识预备、(Bohr-Mollerup 定理)如果定义于（0，+ ∞）的函数f （x ）满足以下条件：（1）f(x)>0 x ∀∈（0，+ ∞） f(1)=1；（2）(1)()f x x f x +=⋅ x ∀∈（0，+ ∞）（3）ln ()f x 为凸函数，那么必有f(x)=r(x) x ∀∈（0，+ ∞）。

、对于p 不是整数时22112(1)sin n n p p p p n ππ∞==+--∑、对于0<p<1时，122112(1)1p n n y pdy y p p n -∞+∞==+-+-∑⎰ $、瓦里斯公式：n =、对于(0,1]x ∈，我们有 221sin (1)n x x x n ππ∞==⋅-∏2、欧拉积分、定义含参变量的广义积分+s-1-x 0()x e dx r s ∞=⎰s>0 (1)1p-1q-10(,)x (1-x)dx B p q =⎰ p>0,q>0 (2)它们统称欧拉积分，其中前者又称格马Gamma 函数（r 函数），后者称贝塔Bate 函数（B 函数）。

（即r 函数与B 函数实际上是含参变量非正常积分表示的两个特殊函数） 、性质2.2.1、r 函数的性质 ·（1）r(s)在定义域时连续，且具有各阶连续导数（2）递推公式(1)()r s s r s +=⋅ (s>0) 如果s 取整数n ，那么有(1)()!r n n r n n +=⋅=（3）延拓后r(s)的函数在0,1,2,3s ≠---……外均收敛 （4）根据()()sss 1+Γ=Γ及()s s Γ+→0lim =∞+， ()s s Γ+∞→lim =∞+ 可得到图像：（5）函数的其他形式ａ）当x py = (p>0),则有r(s)= +s-1-x 0x e dx ∞⎰=+s-1-0()e dx py py ∞⎰=+s-1-0e dx py py ∞⎰（s>0,p>0）ｂ）当2x y =,则有r(s)=+s-1-xx e dx ∞⎰= 22(-1)0dx s y ye+∞-⎰= 22-102dx s y y e +∞-⎰!2.2.2、B 函数的性质（1）(,)B p q 在p>0,q>0内连续 （2）对称性：(,)(,)B p q B q p = （3）1(,)(,1)1q B p q B p q p q -=-+- (p>0,q>1)1(,)(1,)1p B p q B p q p q -=-+- (p>1,q>0)(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+- (p>1,q>1)（4）B 函数的其他形式ａ）在（2）式中，令2cos x ϕ=，则有212120(,)2cos q p B p q sin d πϕϕϕ--=⎰ｂ）在（2）式中，令1yx y=+ (y>0)，于是有1(,)(1)p p qy B p q dy y -+∞+=+⎰|dy y y dy y y dy y y qp p q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1(再对第二个式子令1y t=，整理得：dt t t dy y y dy y y q p q q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1( 所以111(,)(1)p q p qy y B p q dy y --++=+⎰（p>0,q>0） 、B 函数与r 函数联系()()(,)()r p r q B p q r p q =+ p>0,q>0证明：对于任意取定的q>0，我们考察这样的一个函数()(,)()()r p q B p q f p r q +=，以下证明该函数满足预备知识中定理的三个条件：（1）显然有f(p)>0 p ∀∈（0，+ ∞），并且1()(1)(1,)(1)1()()qr q r q B q qf r q r q +===（2）()()(,)(1)(1,)(1)()()()pp q r p q B p q r p q B p q p qf p pf p r q r q +++++++===（3）对于任意的q>0，因为ln ()r p q +和ln (,)B p q )都是变元x的凸函数，所以ln ()ln ()ln (,)ln ()f p r p q B p q r q =++-也是变元x 的凸函数。

欧拉积分及其应用摘 要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>⎰称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. B 函数及其相关性质1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰，当1p <时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，定义域为.0,0>>q p任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1110(1)p q x x ---⎰一致收敛，故B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质 性质1.2.1 (对称性)(,)(,)B p q B q p =.作变换y x -=1，),(q p B =1110(1)p q x x ---⎰=1110(1)p q y y dy ---⎰=),(p q B .性质1.2.2 （递推公式）(,)B p q =1(,1)1q B p q p q --+-,(1,0>>q p )， （1）1(,)(1,)1q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ， （2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+-，)1,1(>>q p . （3）当1,0>>q p 时，有(,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰=110(1)p q x x P --+1201(1)p q q x x dx P---⎰ =11121[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------⎰ =1112110011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------⎰⎰ =11(,1)(,)q q B p q B p q p p----，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ϕ=，则有(,)B p q =111(1)p q xx ---⎰=2121202sin cos q p d πϕϕϕ--⎰；(2) 令1y x y =+111x y -=+2(1)dydx y =+,则有 (,)B p q =1110(1)p q xx ---⎰=1(1)p p qy dy y -+∞++⎰；(3) 考察11(1)p p qy dy y -+∞++⎰.令1y t =，则有 =10(1)p p qy dy y -+∞++⎰=1110(1)p q p q y y dy y --+++⎰(,)B p q .2. Γ函数及其相关性质2.1 Γ函数的定义域()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰，1、积分区间为无穷；2、当10s -<时，0x =为瑕点；3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和：()1s xs xed x -+∞-Γ=⎰=1111s s xx x e dx x e dx --+∞--+⎰⎰)()(x J x I +=，其中110()s xI s x e dx --=⎰，11()s x J s x e dx -+∞-=⎰.当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛.所以，Γ函数()1s x s x e dx -+∞-Γ=⎰在0s >时收敛.2.2 Γ函数的性质性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=.性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明 有分部积分法得：(1)s Γ+=0sxx e dx +∞-⎰=0s x x e-+∞-+1s x s x e dx -+∞-⎰=()s s Γ.性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明 只要证明对[1,)p ∈+∞，11p q+=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ()s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21log ()s qΓ. 事实上，由Holder 不等式即得12()s s p qΓ+=12(1)0s s p q xxe dx +-+∞-⎰=12110()()s s x xpp q qx e xe dx ----+∞⎰1211110()()s s x x pqx e dx x e dx +∞+∞----≤⎰⎰=1211()()s s pqΓΓ，性质得证.出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像）设1+≤<n s n ，即10≤-<n s ，应用性质2可得到=-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s).()()1(n s n s s s -Γ--= （1）若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0n dx n n n n ex==Γ⋅+=+Γ⎰+∞- . （2）对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增.由于()s Γ=()s s sΓ=(1)s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s +→Γ+=Γ=，故有0(1)lim ()lim s s s s s++→→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得lim ()s s →+∞Γ=+∞.综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示.性质2.2.5 （延拓）改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为(1)()s s sΓ+Γ=. 当10s -<<时，(1)s sΓ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<.用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1)()s s sΓ+Γ=又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3s =以外），其图像如上图所示.性质2.2.6 （其他形式）在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=dx e x x s 2122--⎰ (0)s >；(2) 令py x =，可得=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=10ss py py e dy +∞--⎰(0,0)s p >>.3. B 函数与Γ函数的关系当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+.又由于1101(,1)m B m x dx m-==⎰，所以 1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+1n-2111m+n-2m+1mn m n -=⋅⋅⋅+-(1)!(1)!(1)!n m m n --=+-，即()()(,)()n m B m n n m ΓΓ=Γ+.对于任何实数0,0>>q p 也有关系式：()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分dx xk x x cos 11sin cos 10++⎰π，)10(<<k .分析 这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解 令2tan 112tanx k k t +-=，则有2tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得t k k t x cos 1cos cos --=，tk k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=.将其代入原式得dx x k x x cos 11sin cos 10++⎰πdt tk k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=⎰πdt t t k k 2cos 2sin)1()1(210214341⎰-+-=πtdt t k k 2120214341cos sin )1()1(2⎰-+-=π)43,41(21)1()1(24341B k k ⋅+-=)4341()411()41(21)1()1(24341+Γ-ΓΓ⋅+-=k k 4sin 21)1()1(24341ππ⋅+-=k k4341)1(2)1(k k +-=π.4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和. 分析 这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=111!!(1)!!(2)!(2)!n n n n n n n n n ∞∞==-=∑∑ =11()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞∞==ΓΓ+=+Γ+∑∑=1101(1)n n n t t dt ∞-=-∑⎰由于当01t ≤≤时，10(1)4t t ≤-≤，所以 1110(1)()4n n n t t --≤-≤因而级数11(1)n n n t t ∞-=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有201n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=110(1)n n t t dt --⎰=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑⎰ =101(1)tdt t t --⎰=1201t dt t t -+⎰=33π. 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用 例 3 设)(~2n X χ，求EX .分析 这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x=2，将其转化为欧拉积分.解 dxe x n x dx x xf EX xn n21220)2()21()(--∞+∞-∞+⋅⋅Γ⋅==⎰⎰ dt e t n t nn t-∞+=⋅⋅Γ=−−→−⎰0222x )2(2)2()21(令dt e t n t n n n -∞+-+⋅Γ⋅⋅=⎰011222)()2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2(2n n n Γ⋅⋅Γ==n .例 4 证明概率积分22π=⎰∞+-dx e x .分析 我们知道，著名的概率积分dx e x ⎰+∞-02及其推广形式dx e x x n ⎰+∞-022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解 令2x y =，则dy y dx y x 212121,-==，所以dy y edx eyx 21212-∞+-∞+-⎰⎰= 2)21(21π=Γ=. 结束语通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900.[3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986.[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998.[6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993.。

第九章 含参变量积分Ⅰ 基本概念与主要结果一 含参量正常积分1 定义设(,)f x y 为矩形区域[,][,]R a b c d =⨯上的二元函数，若[,]y c d ∀∈，一元函数(,)f x y 在[,]a b 上可积，则其积分值是y 在[,]c d 上取值的函数，记为()y ϕ，即()(,),[,].bay f x y dx y c d ϕ=∈⎰称之为含参量的有限积分，y 称为参变量。

更一般地，我们有如下含参量积分：{}((,)()(),)f G x y a y x b y y αβ=≤≤≤≤在()()()(,),[,].b y a y y f x y dx y ϕαβ=∈⎰其中(),()a x b x 为[,]αβ上的连续函数。

2 分析性质 （1）连续性设二元函数(,)f x y 在区域{}(,)()(),G x y c x x d x ax b =≤≤≤≤上连续，其中(),()c x d x 为[,]a b 上连续函数，则函数()()()(,)d x a x F x f x y dy =⎰在],[b a 上连续。

（2）可微性 若函数f 与f x∂∂在[,][,]a b c d ⨯上连续，则 ()(,)dcI x f x y dy =⎰在[,]a b 上可微，且'()(,)dc I x f x y dy x∂=∂⎰（3）可积性 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则()I x 和()J y 分别在[,]a b 和[,]c d 上可积。

此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：(,)bd ac f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(,)d b c a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰与(,)d bcady f x y dx ⎰⎰统称为累次积分。

（4）若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰=(,)d bcady f x y dx ⎰⎰一、参量的常积分1、 一致收敛性及其判别法定义1 设函数定义在无界区域{}(,)()(),G x y c x x d x a x b =≤≤≤≤上，若对每一固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，记之为()I x ，则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰，[,]x a b ∈ （1）称（1）式为定义在[,]a b 上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。