专题 07导数有关
的构造函数方法一．知识点
基本初等函数的导数公式
(1) 常用函数的导数
① (C) ′＝ ________(C 为常数 ); ② (x) ′＝ ________；
③ ( x2) ′＝ ________；④
1
′＝ ________；x
⑤ (x) ′＝ ________．
(2) 初等函数的导数公式
①( x n) ′＝ ________；② (sin x) ′＝ __________ ；
③ (cos x) ′＝ ________；④ (e x) ′＝ ________；
⑤ ( a x) ′＝ ___________；⑥ (ln x) ′＝ ________；
⑦(log a x) ′＝ __________ ．
5．导数的运算法则
(1)[ f(x) ±g(x)] ＝′______ __________________ ；
(2)[ f(x) ·g(x)] ＝′_________________________；
f（ x）
(3)g（x）′＝ ____________________________ ．
6．复合函数的导数
(1) 对于两个函数 y＝ f(u)和 u＝ g( x)，如果通过变量u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数 y＝
f (u)和 u＝ g(x)) 的复合函数为 y＝ f(g(x))．
(2) 复合函数 y＝ f(g(x))的导数和函数 y＝ f(u)，u ＝g( x)的导数间的关系为 ___________________ ，即 y 对 x 的导数等于y 对 u 的导数与u 对 x 的导数的乘积．
二．题型分析
1.构造多项式函数
2.构造三角函数型
3.构造e x形式的函数
4.构造成积的形式
5.与ln x有关的构造
6.构造成商的形式
7.对称问题
（一）构造多项式函数
例 1．已知函数 f x x R 满足 f l 1 ，且 f x 的导函数f ' x 1 ，则 f x x 1 的解集为（
）
2 2 2
A. B. x | x 1
C. D. x | x 1
【答案】 D
考点：函数的单调性与导数的关系.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数
的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题
的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数 F x ，利用新函数的性质
是解答问题的关键，属于中档试题.
练习 1.设函数 f ( x) 在R上存在导函数 f '( x) ，对于任意的实数x ，都有，当x ( ,0) 时，.若，则实数 m 的取值范围是（）
A ．[ 1
, ) B ．[
3
, ) C．[ 1, ) D．[ 2, ) 2 2
【答案】 A
【解析】∵，设，则，∴ g( x) 为奇函数，又，∴g (x)在(,0) 上是减函数，从而在 R 上是减函数，又
等价于，即，
∴ m 1 m ，解得m 1 ．2
考点：导数在函数单调性中的应用.
【思路点睛】因为，设，则，可得g( x) 为奇函数，又，得 g( x) 在 ( ,0) 上是减函数，从而在R 上是减函数，在根据函
数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.
练习 2.设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】 B
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数
研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，
以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.
练习 3.设函数 f ( x) 在R上存在导函数 f ( x) ，对任意x R ，都有，且x(0,) 时，f (x) x ，若，则实数a的取值范围是（）
A．1,B．,1C．,2D．2,
【答案】 B
【解析】令，则，则，得 g(x) 为 R 上的奇函数．∵x0 时，，故g( x)在(0,) 单调递增，再结合g(0)0
及 g(x) 为奇函数，知g( x) 在 ( ,) 为增函数，又
则，即a,1 ．故选B．
考点：函数的单调性及导数的应用.
【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化
为关于 a 的不等式来求解. f (x) x
进行联想，构造出新函数本题解答的关键是由已知条件
，然后结合来研究函数 g x 的奇偶性和单调性，再通过要解的不
等式构造，最终得到关于 a 的不等式，解得答案.
（二）构造三角函数型
例 2．已知函数 f x 的定义域为R, f ' x 为函数 f x 的导函数，当x 0,时，
且x R ，.则下列说法一定正确的是（）A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】令，则.因为当x0,时，
，即，所以，所以
在 x 0,上单调递增.又x R ，，所以
，所以，故为奇函数，所以在 R 上单调递增，所以
.即，故选 B.
练习 1．已知函数y f (x) 对任意的满足（其中 f ' ( x) 是函数
f ( x) 的导函数），则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】 A
【解析】构造函数，
则，即函数g（ x）在单调递增，
则，，即，
故A正确．，即
练习 2．定义在(0,) 上的函数 f ( x) ，f ' x是它的导函数，且恒有成立，则（）2
A. B.
C． D.
【答案】 D
【解析】在区间0,上，有，即令2
，则，故 F x 在区间0,上单调递增.
2
令，则有，D选项正确.
【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到tan x，往往转化为
sin x
cos x 来思考；第二个要点是构造函数法，题目中，可以化简为
，这样我们就可以构造一个除法的函数，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.
（三）构造e x形式的函数
例 3．已知函数 f x 的导数为f′x ，且对 x R 恒成立，则下列函数在实数
集内一定是增函数的为（）
A. f x
B. xf x
C. e x f x
D. xe x f x
【答案】 D
【解析】设，则.
对 x R 恒成立，且e x 0 . 在 R 上递增，故选 D.
练习 1. 设函数 f ( x) 是函数的导函数， f (0) 1，且，则的解集为（）
A. (ln 4
, ) B. (
ln 2
, ) 3 3
C.(3
, ) D. (
e
, ) 2 3
【答案】 B
【 解析】 依题意
，构造函数 ，
由
，得
， x
ln 2 3
【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数
的运算及对数函数的单调性 .
构造函数法是在导数题目中一个常用的解法
.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，
转化为求函数的值域问题处理
. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，
转化为求函数最值处理．学科网
练习 2.已知 f x 定义在 R 上的函数， f x 是 f x 的导函数，若
，且 f 0 2 ，
则不等式
（其中 e 为自然对数的底数）的解集是（ ）
A ．
B ． 1,
C ． 0,
D ．
【答案】 C
【解析】 设
，则
，
∵
，∴ ，∴ g x ，∴ y g x 在定义域上单调递增，∵
，∴ g x
1 ，又∵
，∴ g x g 0 ，∴ x
0，∴不等式的解集为
0,
故选： C.
考点：利用导数研究函数的单调性
.
【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调
性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的
以及所求结论 可知应
构造函数 ，利用导数研究
y g x 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即
可求解 .
练习 3．定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f
x ，若对任意实数 x ，有
，且 f x 1
为奇函数，则不等式 的解集是（
）
A ．,0
B ． 0,
C ．
,
1
D ． 1
,
e
e
【答案】 B
【解析】设．由，得，故函
数g x
在
R
上单调递减．由
f x 1 f 01
，所以．不等式
为奇函数
等价于
f
x 1，即，结合函数 g x 的单调性可得 x 0 ，从而不等式
e x
的解集为0, ，故答案为 B.
【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，
属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中
令，（ x R ），从而求导 g x 0 ，从而可判断 y g x 单调递减，从而可得到不等式的解集．
练习 4.已知定义在R上的可导函数 f x 的导函数 f ' x ，满足，且 f x 2 为偶函数，f 4 1 ，则不等式 f x e x的解集为（）
A ．2, B．4, C．1, D．0,
【答案】 D
【解析】设，则
∴函数（g x）是R上的减函数，
∵函数 f x 2 是偶函数，
∴函数
∴函数关于x 2 对称，
∴
原不等式等价为（g x）＜，1
∴不等式 f x e x等价（g x）＜，1即
∵（g x）是R上的减函数，
∴x＞0 ．
∴不等式 f x e x式的解集为0, ．选 D
练习 5．设函数f ( x)是函数的导函数， f (0) 1，且，则的解集是（）
ln 4
, ln 2
, C.
3
D.
e
A. B. , ,
3 3 2 3
【答案】 B
【解析】设，则，所以
（ c 为常数），则，由
，c 2 ，所以，又由，所以
即 f (x) 3，即 2e3 x 1 3 ，解得 x ln 2 ．故选 B．
3
（四）构造成积的形式
例 4．已知定义在R上的函数 y f x 满足：函数 y f x 1 的图象关于直线 x 1 对称，且当 x,0
时，（ f x 是函数 f x的导函数）成立．若，，，则 a ，b， c 的大小关系是（）
A ． a＞ b＞ c C ． c＞ a＞ b B． b＞ a＞ c D． a＞ c＞ b
【答案】 A
【解析】易知 f x 关于y 轴对称,设,当x ,0 时, , F x 在,0 上为递减函数,且F x 为奇函数, F x 在R 上是递减函数.
,即
a b c ,故选A.
【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较a,b,c的大小关系 ,需要构造新函数,通过已知函数 f x 的奇偶性,对称性和单调性,判断F x的各种性质,可得F x
在 R 上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值0,1作比较,判断出三者的关
系 ,即可得到函数值得大小关系 .
练习 1.设函数f ( x) 是定义在 ( ,0) 上的可导函数，其导函数为 f ' ( x) ，且有，则不等式的解集为（）
A ．
B ．
C ．( 2018,0)
D ．( 2016,0)
【答案】 B
考点：函数导数与不等式，构造函数．
【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件
，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，
由此可以求出 F x 的单调性，即函数 F x 为减函数.注意到原不等式可以看成，利用函数的单调性就可以解出来.
练习2．设函数 f x 是定义在0,上的可导函数，其导函数为 f x ，且有，则不等式的解集为（）
A ．2012,B．0,2012C．0,2016 D ．2016,
【答案】 D
【解析】试题分析：∵函数 f x 是定义在0, 上的可导函数，，
∴函数y x2（f x）在0, 上是增函数，
∴不等式的解集为2016,．
【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题．解题时正确确定函数
y x （f x）0,
上是增函数是解题的关键
2
在
练习 3. 函数 f x 是定义在区间 0, 上可导函数，其导函数为 f ' x ，且满足，则不等式的解集为（）
A ．C ．B．D ．
【答案】 C
（五）与 ln x 有关的构造
例 5.已知定义在实数集
f
3 ，则不等式R 的函数f ( x)满足（ 1）=4,且f ( x)导函数f ( x)
的解集为（）
A. (1, )
B. (e, )
C. (0,1)
D. (0, e) 【答案】 D
【解析】设 t=lnx, 则不等式化为f (t ) 3t 1
，设 g(x)=f(x)-3x-1, 则。
因为 f ( x) 3
，所以<0,此时函数 g(x)单调递减。因为f(1)=4 ，所以g(1)=f(1)-3-1=0, 所以
当 x>1 时， g(x)
t<1. 由 lnx<1 得 0 练习 1.设为自然对数的底数.若，则（） A．B． C．D． 【答案】 B 【解析】由不等式启发，可构造函数，则，又由，得，即F x 在 0,上为单调递增函数，因为 2 e e2，所以，即，又，整理可得 ，.故正确答案选 B. 【方法点晴】此题主要考查导数在研究函数单调性的应用等方面的知识，属于中高档题.首先根据条件 ，构造函数，对函数 F x 求导，则有，可知F x 在 0,上为单调递增函数，又 2 e e2，即，化简整理即得正确答案. （六）构造成商的形式 例 6.已知f x 在 0,上非负可导，且满足，对于任意正数m, n ，若m n ，则必有（） A．B． C．D． 【答案】 D 【解析】构造函数,则由可知函数是单调递减函数, 因为 m n ,所以,即,也即,因此应选D． 考点：导数的运算和灵活运用． 【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答本题的难点是不清楚函数的解析式也无法弄清楚,所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象概 括 ,先构造一个新的函数,然后再带该函数进行求导,借助题设中的条件,判断出函数是单调递减函数.从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解. 练习 1.已知函数y f x 是 R 上的可导函数，当x 0 时，有，则函数 的零点个数是（） A ．0B．1C．2D．3 【答案】 B 【解析】令. x 0 时，，为增函数，当 x 0 时，，为减函数，函数 1 y x ，即当 在区间 上为增函数，故在区间,0 上有一个交点.即 1 的零点个数是 . 考点： 1.函数与导数； 2.零点 . 【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以 转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数y 1 在区间上为增x 函数，通过已知条件分析,即当x0 时，，为增函数，当x 0 时，，为减函数，由此判断这两个函数在区间,0 上有一个交点. 练习 2.．已知定义在R 上的函数 f ( x) 满足，当时，下面选项中最大的一项是（） f (m n ) B ．C．f (n m ) D． A ． n m m n 【答案】 B 【解析】令，则，又，所以最 大的一项是，选 B. 考点：利用导数研究函数单调性 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 练习 3.已知f x 是定义在R上的减函数，而满足，其中 f ' x 为 f x 的导数，则（）A ．对任意的B．对任意的 C ．当且仅当 D ．当且仅当 【答案】 B 【解析】由题意 f '( x) 0 恒成立，由得．令x 1 得f (1)0 ，又 f ( x) 为减函数，所以当 x 1时，，而当 x 1时，由得 f ( x) 0 ，从而 f ( x) 0 ， f '( x) 综上有当 x R时， f ( x) 0 ．故选B． 考点：导数与单调性． 【名师点睛】本题考查导数的应用，在解题时，关键是导导数与单调性的关系得出 f '( x)0 恒成立，然后 对已知不等式进行分析，首先可得 f (1) 0 ，从而有得到部分 f ( x) 的正负，即x 1时，，实际上这个结果就排除了 A ，C 的正确性，也说明 D 是错误的，只有 B 是正确的．这是利用了选择题的特征． 练习 4.若定义在R 上的函数f（ x）满足 f （ 0） =﹣ 1，其导函数 f ′（x）满足 f ′（ x）＞ k ＞ 1，则下列结论中一定错误的是（） A．B． C．D． 【答案】 C 【解析】根据导数的概念得出 可判断答案． 解；∵ f （′ x） = f′（ x）＞ k＞ 1， ∴＞k＞ 1， 即＞ k＞ 1， 当 x=时，f（）+1＞×k= 即 f（）﹣1= 故 f（）＞， 所以 f（）＜，一定出错， 故选： C． 练习 5.已知奇函数 f x 定义域为 时 , ；② f 1 1 ；③ 2 ＞ k＞ 1，用 x=代入可判断出f（）＞，即， 为其导函数 ,且满足以下条件①x0 ,则不等式 f x 2 x2的解集为. 4 x 【答案】 【解析】x 0 时，令，又 f x 为奇函数，所以g x 为偶函数，因为，所以，，从而 解集为 考点：利用导数解不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造造 辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造 .构 ，构造，构造等 （七）对称问题 例7．设函数A．B． 是 ，则 C． 的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数 都有对称中心，其中满足．已知函数 （） D． 【答案】 D 【解析】 对称中心为，设 ，解得 是函数的图象上关于中心对称的两点，则 ，所以函数的 ， ，故选 D． 考点： 1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题．【方法点睛】 本题通过“三次函数都有对称中心”这一探索性结论考查转化与划 归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题．遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析 新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题的解答就是根据新结论性质求出的对称中心后再利用对称性和的． 练习 1.对于三次函数，给出定义：设 f ' x 是函数 y f x 的导数， f '' x 是f ' x 的导数，若方程 f '' x 0 有实数解x0，则称点x0, f x0为函数 y f x 的“拐点”某.同学经过 探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，请 你根据这一发现，则函数的对称中心为（） A. 1 ,1 B. 1 ,1 C. 1 , 1 D. 1 , 1 2 2 2 2 【答案】 A 【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F n x x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()() F n f x x x = ；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()() F nx f x x e = ． 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造 常用构造形式有()xf x ， ()f x x ；这类形式是对u v ?，u v 型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ?，u v 的导函数观察可得知，u v ?型导函数中体现的是“+”法，u v 型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ?型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造 u v ． 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数，若当 时， ，则函数 的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A 【解析】 设 ，因为函数 为偶函数，所以 也是上的偶函数，所以 ．由已知， 时， ，可得当 时， ， 故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在 上单调递增．所以 ，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A． 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数 在上单调递减，从而求出函数的零点的个数． 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则 A．B． C．当时，取得极大值D．当时， 【答案】C 【解析】 设，则 则 又得 即，所以 即 ， 由得，得，此时函数为增函数 由得，得，此时函数为减函数 则，即，则，故错误 ，即，则，故错误 当时，取得极小值 即当，，即，即，故错误 当时，取得极小值 此时，则取得极大值 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。 导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 （1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ （注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型 （1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[ ]'f x xf x f x x x -= ！ （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121 ()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论） 小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题： 例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集 变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集. 例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈???? 的前n 项和等于3132，则n 等于 . 变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 构造函数利用导数解决函数问题 构造函数解决不等式问题 例：[2011·辽宁卷]函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2， 则f (x )＞2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞) 【解析】构造函数G (x )＝f (x )－2x －4，所以G ′(x )＝f ′(x )－2，由于对任意x ∈R ，f ’(x )>2， 所以G ′(x )＝f ′(x )－2>0恒成立，所以G (x )＝f (x )－2x －4是R 上的增函数， 又由于G (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，所以G (x )＝f (x )－2x －4>0， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B. 训练： 1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当 (,0),()'()0 x f x xf x ∈-∞+<成 立0.2 0.22 (2) a f =g ，log 3(log 3) b f π π=g ，3 3log 9(log 9) c f =g ,则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >> 解： 因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为 奇函数.因为 [()]'()'() xf x f x xf x =+,所以当 (,0) x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数 () y xf x =单调递减,当 (0,) x ∈+∞时,函数() y xf x =单调递减.因为 0.2122 <<,0131og π <<,3192 og =,所以0.23013219 og og π <<<,所以 专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立． 构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧． 技法一：“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜e x． [解] (1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a． 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x． 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x． [方法点拨] 在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的 结论求解． [对点演练] 已知函数f (x )＝x e x ，直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0(x 0＜1) 处的切线，求证：f (x )≤g (x )． 证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)． 令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝ 1－x e x － 1－x 0 e 0 x ＝ ?1－x ?e 0 x －?1－x 0?e x e 0 ＋x x ． 设φ(x )＝(1－x )e 0 x －(1－x 0)e x ， 则φ′(x )＝－e 0 x －(1－x 0)e x ， ∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0， ∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0， ∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )． 技法二：“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )＝ae x ln x ＋be x －1 x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1)) 处的切线为y ＝e (x －1)＋2． (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1． [解] (1)f ′(x )＝ae x ? ?? ??ln x ＋1x ＋be x －1 ?x －1? x 2 (x ＞0)， 由于直线y ＝e (x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)， 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析，高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。在内容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题） 已知函数()()ax x x ax x f --++=2 3 1ln . (1) 若 3 2 为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()x b x x f = ---3 11有实根，求实数b 的取值范围。 解：（1）因为3 2= x 是函数的一个极值点，所以0)32 (='f ，进而解得：0=a ，经检验是 符合的，所以.0=a （2）显然(),2312a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31 导数选择题之构造函数法解不等式的一类题 一、单选题 1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 A．B．C．D． 2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（） A．B． C．D． 3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（） A．B．C．D． 4．已知函数定义在数集，，上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为() A．，，B．，， C．，，D．，， 5．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（） A．B．C．D． 6．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则、、的大小关系是（） A．B． C．D． 7．已知偶函数满足，且，则的解集为 A．或B． C．或D． 8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集为( ) 9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（） A．B．C．D． 10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A．B．C．D． 11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若 ，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． 12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（） A．e2017f(－2017) 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 高考导数题的解题技巧 绝版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 导数题的解题技巧 导数命题趋势： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是31 ()213 f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+= 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 综上可得M P 时, 1.a ∴> 考点2 曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3.（2007年湖南文）已知函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各 有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值； （II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点 A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一 个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是 2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-， 23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16． 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 (高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩 高中数学构造函数解决导数问题专题复习 【知识框架】 【考点分类】 考点一、直接作差构造函数证明； 两个函数，一个变量，直接构造函数求最值； 【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（） （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数. （Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，求实数的值； （Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围. ()()()h x f x g x =-2 1()ln 2 f x ax x x = -+,0a R a ∈≠2a =()y f x =(1,(1))f [)1,+∞()f x y ax =a ()ln ,()(0)a f x x g x a x ==- >1a =()y f x =00(,())M x f x ()y g x =00(,())P x g x 0x (0,]x e ?∈3 ()()2 f x g x ≥+a 【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 【练1-2】已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【练1-3】已知曲线. (Ⅰ)若曲线C 在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方； ()ln a f x x x =-a ∈R 2a =()f x (1,(1))f (1,)x ∈+∞()2f x x >-+a ()=ln +1,f x x ax a R -∈=()y f x (1,(1))P f l =()(1)y f x x ≠l =()y f x :e ax C y =(0,1)2y x m =+a m a C l y ax b =+b ()2 1ln 2 f x x x = +()1,+∞()f x ()3 23 g x x = 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。 . 导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 xx)](x'(x)?fx[ef()]'?e[f0f'(x)?f(x)? 1）构造（)(x'(x)?f)?0[xf(x)]'?xfxf'(x)?f(x 2（）构造n?1nn?1n[xf'(x)?(xx)]'?xf'(x)?nx)?xnf(x)]fx[f(0nf(x)?xf'(x)?）构造3（x（注意对的符号进行讨论）关系式为“减”型xx f'(x)?f(x?f(x)e)f(x)f'(x)e?[]'?0(x)?f'(x)?f（1）构造 xx2x ee(e)f(x)xf'(x)?f(x)]'?[0?f(x)xf'(x)?构造（2） 2xx nn?1f(x)xf'(x)?nff(x)x(f'(x)?nxx)?[]'?0x)?'(x)?nf(xf 3）构造 （n2nn?1xx(x)x的符号进行讨论）（注意对小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题： f(x)、g(x)f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0g(?3)?0R，求不是，例1.设上的可导函数，f(x)g(x)?0的解集等式 f(x)、g(x)x?0R时，函数当变式：设，上的奇函数、偶分别是定义在 f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0g(?3)?0f(x)g(x)?0的解集. ，求不等式， f(x)2.例R)x(x)、g(f x满足已知定义在上的函数a?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)，，且 g(x)??5(f(1)f?1)31)nf(*??nn(n?N). 的前项和等于，则等于若有穷数列，?? 2?(1)gg(1)32g(n)??f(x)x a?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)f(x)、g(x)R满足上的函数，，且变式：已知定义在)g(xf(1)f(?1)5??logx?1x的解集. 若若，求关于的不等式a g(1)g(?1)2 1 / 2 . )(xf3.例R0?x)f'(x)f(x时，的奇函数的导函数为，已知定义域为当0??)f'(x， x111)ln2?lnf(f(?2)c,f(),b?a??2c,,ba，则关于若的大小关系是222 4.例RR?x?x)f'(x)f()(xf上的可导奇函数，且已知函数对于任意恒成为定义在)xf(f（3）=e，则/e^x<1的解集为立，且 1?f(2))xf((1))f(0)?1f(f'(x)??fx R. ，求是，变式：设上的可导函数，且的值. 2e2x2f(x?'(x))?xf)xf()xf'(R上的导函数为，例5.设函数在，且)xf(1?f(1)?xf'(x)2f'(x)f(x)0x?，若存在，且时，，当的导函数为变式：已知2?x)?f(xRx?x. ，使，求的值: 巩固练习??????''x31xff?x2?f)xf(R的不，且，则关于定义在1.满足上的函数，其导函数??1xx??f．等式的解集为▲//)(xy?f)(x)?ff(x)f(x R，且2.已知定义在 的导函数为上的可导函数，满足x1?1)f(2)y?f(x?ex()?f为偶函数，▲，则不等式的解集为 ????0?xx)g)))f(x)g(xf(f)(xg((xI上恒成立，的导函数，若3.设分别是和在区间和 132))g(xf(xax??2xf(x)?2bxx)?xg(I在若函数在区间和与则称上单调性相反.3(a,b)b?a0a?的最 专题09 解析几何 第二十四讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2 =2px （p >0）的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标. 3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条 切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 2015-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：2 4y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y = k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ． 12 B ．1 C ．3 2 D ．2 3．（2015陕西）已知抛物线2 2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐 标为 A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 4．（2015四川）设直线l 与抛物线2 4y x =相交于,A B 两点，与圆2 2 2 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 二、填空题 5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_________． 6．（2015陕西）若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线2 2 1x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题 7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2 4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与 C 交于A ，B 两点，||8=AB ． (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2 4y x =上存在 不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．专题6.1 导数中的构造函数 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
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