专题26 构造函数法解决导数问题一、多选题 1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（ ） A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >【答案】ABC 【分析】由()0f x =，可得出()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，0x >，利用导数得出函数()u x 在()0,∞+上为增函数，再令()ln g t t t =-，其中0t >，利用导数分析函数()g t 在()0,∞+上的单调性，可求得1k =，可判断ACD 选项的正误，再结合函数()u x 的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】由()0f x =，可得()ln 0xxe x x k -+-=，即()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，其中0x >，则()()10xu x x e '=+>，所以，函数()xu x xe =在区间()0,∞+上单调递增，则()()00u x u >=，令()ln g t t t =-，其中0t >，()111t g t t t'-=-=. 当01t <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减； 当1t >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()()min 11g t g ==.若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ，则1k =. 所以，()0001x u x x e==，由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增，1122u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()11u e =>，即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0112x ∴<<，所以，ABC 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()x f x g x e=，下列结论正确的是（ ） A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点 C ．函数()g x 必有2个零点 D ．2()(2)e e f e e f >【答案】BD 【分析】对函数()g x 求导，求出单调区间和极值，可判断选项A ，B ；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C ；利用()g x 在()1,-+∞上为增函数，比较()2g 与()g e 的大小关系，判断出选项D ． 【详解】函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确； 若()10g -<，则()y g x =有两个零点， 若()10g -=，则()y g x =有一个零点，若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22ef f e e e<，化简得2()(2)ee f e e f >，D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B C ．2e D【答案】BCD 【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可． 【详解】 解：令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得ea，a ∴的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<【答案】BD 【分析】 先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增， 则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<.【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（ ） A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值 C ．()011f << D ．()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD 【分析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可. 【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x xx x-=∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭∵()ln f x xx x '⎛⎫=⎪⎝⎭∵可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数） ∵()21ln 2f x x x bx =+ ∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b = ∵()211ln 22f x x x x =+ ∵()112f =，满足()011f <<∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵B 错误，A 、D 正确 故选：ACD 【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-. 【答案】ABD 【分析】令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，得到A 正确；设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，根据隔离直线定义可得不等式组22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立；分别在0k =和k 0<两种情况下讨论b 满足的条件，进而求得,k b 的范围，得到B 正确，C 错误；根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为y kx e =-；分别讨论0k =、k 0<和0k >时，是否满足()()e 0f x kx x ≥->恒成立，从而确定k =再令()()e G x h x =--，利用导数可证得()0G x ≥恒成立，由此可确定隔离直线，则D 正确.对于A ，()()()21m x f x g x x x=-=-，()212m x x x '∴=+，()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x ''>，()m x '∴单调递增， ()2233220m x m ⎛'∴>=+=-+= ⎝，()m x ∴在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，A 正确；对于,B C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立.由210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立得：0k ≤. ∵若0k =，则有0b =符合题意；∵若k 0<则有20x kx b --≥对任意(),0x ∈-∞恒成立，2y x kx b =--的对称轴为02kx =<，2140k b ∆+∴=≤，0b ∴≤； 又21y kx bx =+-的对称轴为02b x k=-≤，2240b k ∴∆=+≤； 即2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩，421664k b k ∴≤≤-，40k ∴-≤<； 同理可得：421664b k b ≤≤-，40b ∴-≤<；综上所述：40k -≤≤，40b -≤≤，B 正确，C 错误； 对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-， 则()()e 0f x kx x ≥->恒成立，若0k =，则()2e 00x x -≥>不恒成立.若k 0<，令()()20u x x kx e x =-+>，对称轴为02kx =< ()2u x x kx e ∴=-+在(上单调递增，又0ue e =-=，故k 0<时，()()e 0f x kx x ≥->不恒成立.若0k >，()u x 对称轴为02kx =>， 若()0u x ≥恒成立，则()(22340k e k ∆=-=-≤，解得：k =.此时直线方程为：y e =-， 下面证明()h x e ≤-，令()()2ln G x e h x e e x =--=--，则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()min 0G x G==，()()0G x e h x ∴=--≥，即()h x e ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线y e =-，D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题. 7．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【分析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（ ）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1- CD ．e【答案】D 【分析】先由已知判断出1n n a a +≤，再根据11n n a a λ++≥得到11ln(11)n n a a λ++≤++，构造函数()ln tf t t=，利用单调性求出最小值大于0，从而得到答案. 【详解】由()1ln 1n n a a +=+得()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+， 设()ln(1),1f x x x x =-+>-，()1xf x x '=+，()f x 在(1,0)-单调递减，在(0,+∞）单调递增， 故min ()(0)0f x f ==，则10n n a a +->， 所以1n n a a +≤， 1n a ≥，由11n n a a λ++≥得111ln(1)n n a a λ++++≥易得11ln(11)n n a a λ++≤++，记110n t a ++=>，所以111ln(1ln )n n a t a t ++=++，记()ln t f t t=，()2ln 1()ln t f t t -'=，当ln 10t ->即()0f t '>得t e >时()f t 单调递增，当ln 10t -<即()0f t '<得0t e <<时()f t 单调递减， 所以min ()()f t f e e ==，得e λ≤， 故选：D. 【点睛】本题考查了数列和导数的综合应用，考查学生的推理能力，计算能力，构造函数解题是关键.9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 【答案】A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】 不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-， 而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e==， 所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞【答案】D 【分析】 根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数， 所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（ ） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1-C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】D 【分析】根据题意，构造新函数()()2g x x f x =⋅，0x >，通过导数研究函数单调性得出()g x 在()0,∞+上单调递增，再根据函数的奇偶性的定义得出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，最后由()10f -=，得出()10g -=，所以()10g =，从而可求出()0g x <的解集，即()0f x <的解集. 【详解】解：由题可知，当0x >时()()20xf x f x '+>， 令()()2g x x f x =⋅，0x >，则()()()()()2220g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-， 所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-， 得()g x 也是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， 所以()g x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，又()10f -=，则()()()21110g f -=-⋅-=，所以()10g =，所以可知()0g x <时，解得：1x <-或01x <<， 则()0f x <，即()()20g x f x x=<，即()0g x <， 所以()0g x <的解集为：()(),10,1-∞-⋃， 即()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选∵D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式和函数的奇偶性的应用，通过构造新函数()()2g x x f x =⋅，0x >是解题的关键.12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<【答案】D 【解析】 试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以()3()63f f ππ<,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ． a c b << D ．c a b <<【答案】C 【分析】令()()g x xf x =，求导可得()g x 单调递增，再结合奇函数的性质即可得解. 【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 单调递增， 因为11e e>>，所以()()11g e g g e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭即()()111ef e f f e e ⎛⎫>>⎪⎝⎭， 又() f x 为奇函数，所以()()ef e ef e --=， 所以b c a >>. 故选：C. 【点睛】解决本题的关键是构造合理的新函数，利用导数确定函数的单调性即可得解.14．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0+∞， B ．()2019+∞， C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，【答案】C 【分析】根据条件构造函数()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，分析()g x 的单调性并计算()g 0的值，将()22019x xe f x e >+转化为()2019g x >，由此求解出不等式的解集. 【详解】设()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，所以()()()2xg x e f x f x ''=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()'2f x f x +<，所以()()()20xg x e f x f x ''=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递减，且()()()01022019g f =⨯-=， 又因为()22019xxe f x e >+等价于()2019g x >，所以解集为(),0-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：（1）若出现()()f x f x '+形式，可考虑构造()()xg x e f x =；（2）若出现()()f x f x '-，可考虑构造()()x f x g x e=；（3）若出现()()f x xf x +'，可考虑构造()()g x xf x =；（4）若出现()()f x xf x '-，可考虑构造()()f x g x x=. 15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)x e C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（ ）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到22m n =-，则144nn e a-=有解．再利用导数进一步求得a 的取值范围． 【详解】2yx 在点2(,)m m 的切线斜率为2m ，(0)xe y a a=>在点1(,)n n e a 的切线斜率为1n e a ， 如果两个曲线存在公共切线，那么：12nm e a=． 又由斜率公式得到，212nm e a m m n-=-， 由此得到22m n =-， 则144nn e a-=有解，由44y x =-，1xy e a=的图象有公共点即可．当直线44y x =-与曲线1xy e a=相切时，设切点为(,)s t ，则 14s e a =，且144s t s e a=-=，可得4,2t s == 即有切点(2,4)，24e a =，故a 的取值范围是：24ea ．故选:D . 【点睛】本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln x f x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（ ）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞【答案】C 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】()2ln x f x e x x px =--， ()ln 12x f x e x px '∴=---，()12x f x e p x''∴=--，()2ln x f x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，()120x f x e p x ''∴=--<在()1,4上恒成立，即12xp e x >-在()1,4上恒成立，令()1xg x e x=-，()1,4x ∈，()210x g x e x '∴=+>， ()1x g x e x∴=-在()1,4上单调递增，()()4144g x g e ∴<=-，4124p e ∴≥-，即41,28e p ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C . 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-【答案】A 【分析】本题为含导函数的抽象函数的构造问题，由()()1f x f x '-<联想到构造()()1xf x F x e+=，对其求导，从而判断出该函数的单调性.又由()01f =得出()02F =，不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥，将其转化为()()0F x F ≥，利用单调性就可得出不等式的解集. 【详解】 设()()1x f x F x e +=，则()()()1xf x f x F x e'--'=. ∵()()1f x f x '-<，∵()0F x '<，即函数()F x 在定义域R 上单调递减.∵()01f =，∵()02F =， ∵不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥， 即()()0F x F ≥，解得0x ≤. 故不等式的解集为(],0-∞. 故选A. 【点睛】本题考查了含导函数的抽象函数的构造问题，常见的构造法如下： （1）关系式为“加”型，常构造为乘法∵()()0f x f x '+≥，构造()()x F x e f x =，()()()[]xF x e f x f x ''=+，∵()()0xf x f x '+≥，构造()()F x xf x =，()()()F x xf x f x ''=+， ∵()()0xf x nf x '+≥，构造()()nF x x f x =，()()()1[]n F x xxf x nf x -''=+；（2）关系式为“减”型，常构造为除法 ∵()()0f x f x '-≥，构造()()x f x F x e =，()()()x f x f x F x e '-'=， ∵()()0xf x f x '-≥，构造()()f x F x x =，()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵()()0xf x nf x '-≥，构造()()n f x F x x =，()()()1n xf x nf x F x x+'-'=. 18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 【分析】结合已知条件分析，需要构造函数()()3h x f x x =-,通过条件可得到''2()()30h x f x x =->,()h x 在R 上为增函数，利用单调性比较，即可得出答案． 【详解】设()()3h x f x x =-，则()()''230h x fx x =->，∵()h x 在R 上为增函数，3(1)(1)12020h f =-=，而33()2020()(1)f x x f x x h <+⇔-<，即()()1h x h <，∵1x <.故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式，构造函数是解决本题的关键，运用导函数提出所构造函数的单调性，属于较难题.19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（ ） A ．(-∞，0] B ．(-∞，1] C ．[0，)+∞ D ．[1，)+∞【答案】C 【分析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围．【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立， 令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >． 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥．故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∵x ∵R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∵(0，1) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∵(1，＋∞)【答案】D 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数， 由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续. ∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∵()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∵()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∵()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∵2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ． 【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200xxf x e -≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]【答案】A 【分析】 构造函数()()xxf x g x e=，利用导数可得()g x 为单调递增函数，将原不等式化为()(1)g x g ≥，根据单调性可解得结果. 【详解】 构造()()xxf x g x e =， 则[]()2()()()()x xxxf x f x e xf x e g x e '+-'=[]()()()xxf x f x xf x e '+-=[]()()()xx f x f x f x e '-+=0>，所以()g x 为单调递增函数， 又(1)(1)2020f g e ==，所以不等式()20200x xf x e -≥等价于()2020x xf x e≥等价于()(1)g x g ≥，所以1≥x ，故原不等式的解集为[1,)+∞，故选：A ． 【点睛】本题考查了构造函数并利用导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化归思想，属于中档题.23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()()202020200f ef < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <- D ．()()10f ef >，()()202020200f ef >【答案】C 【分析】构造新函数()()x f x g x e=，求导后易证得()g x 在R 上单调递减，从而有(1)(0)g g <，(2020)(0)g g <，(1)(1)g g <-，故而得解．【详解】 设()()x f x g x e=， 则()()()xf x f xg x e''-=， ()()f x f x '<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，∴(1)(0)g g <，即0(1)(0)f f e e<， 即(1)e (0)f f <，故选项A 不正确；(2020)(0)g g <，即20200(2020)(0)f f e e<， 即2020(2020)(0)f e f <，故选项D 不正确；(1)(1)g g <-，即1(1)(1)f f e e--<，即2(1)(1)f e f <-． 故选项B 不正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（ ）A．(),e -∞ B ．(),e +∞ C ．(),2-∞D ．2,【答案】D 【分析】先构造函数()()xxf x g x e=，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】 原不等式等价于()2x xf x e >，令()()xxf x g x e=， 则()()()()0xf x xf x xf xg x e'+-'=>恒成立，()g x ∴在R 上是增函数， 又()22f e =，()22g ∴=，∴原不等式为()()2g x g >，解得2x >，故选D . 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<- C ．{}2018x x >- D ．{}20200x x -<<【答案】B 【分析】构造新函数()()2g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩，解之即可.【详解】令()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦， ∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+等价于()()20202+<g x g ，2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩， 解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∵R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（ ） A ．(-1，+∞) B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)【答案】A 【分析】首先设函数()()36g x f x x =--，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性和函数的零点解不等式. 【详解】设函数()()36g x f x x =--，()()3g x f x ''=-，()3f x '>，()0g x '∴>，∴函数()g x 是单调递增函数，且()()()113160g f -=--⨯--=，1x ∴>-，()36f x x ∴>+的解集是()1,-+∞.故选：A 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解抽象不等式，重点考查构造函数，推理能力，属于基础题型. 27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．ππ4（，） B ．ππππ44（，）（，）-⋃ C ．ππ0044-⋃（，）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）【答案】D 【解析】 令()()sin f x F x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x-''=<，函数()()sin f x F x x =是定义域当(0,)π内的单调递减函数，由于关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4F x F π<，则4x ππ>>；而当0x π-<<时，0x π<-<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫<⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4sin()sin 4f f x x ππ-<-，也即()()4F x F π-<可得4x π>-，即04x π-<<．所以原不等式的解集(,0)(,)44πππ-，应选答案D ． 点睛：解答本题的关键在于如何将不等式进行等价转化，这不仅需要有一定的知识作支撑，同时还要具有较高思维能力和观察能力．求解时，先通过观察构造函数()()sin f x F x x=，再对其进行求导，运用题设确定其单调递减，然后将原不等式进行等价转化，从而使得问题巧妙获解．28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．23e-B ．22e-C ．21e-D ．1e- 【答案】A 【分析】将不等式122112x x x e x e a x x -<-转化为121122x x e a e a x x x x +>+，构造函数()x e af x x x=+，只需使()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x a f x x--'=≤在[)2,0-恒成立，只需()1xe x a -≤恒成立，然后求解a 的取值范围. 【详解】因为12x x <，所以120x x -<，则122112x x x e x e a x x -<-可化为()122112x x x e x e a x x ->-， 整理得122211x x x e ax x e ax +>+，因为120x x >，所以121122x x e a e a x x x x +>+， 令()x e af x x x=+，则函数()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x af x x--'=≤在[)2,0-上恒成立， 所以()1xex a -≤在[)2,0-上恒成立，令()()1xg x e x =-，则()()10x x x g x e x e xe '=-+=<在[)2,0-上恒成立， 则()()1xg x ex =-在[)2,0-上递减，所以()()232g x g e ≤-=-， 故只需满足：23a e ≥-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键.29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（ ） A ．()()2,01,2-B ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞【答案】A 【分析】 构造函数()()f x h x x=，则根据题目条件可知()0h x '<在()0,∞+上成立，则()h x 在()0,∞+上单调递减，又可证得()()f x h x x=为偶函数，所以()h x 在(),0-∞递增. 根据()20f =可得，当20x -<<或2x >时，()0f x <；当2x <-或02x <<时，()0f x >，利用不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩求解. 【详解】 设()()f x h x x =，则()()2()xf x f x h x x'-'=， ∵当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，即()()0xf x f x '-<，∵()0h x '<，即()h x 在()0,∞+上单调递减. 又函数()f x 是奇函数，∵()()()()()f x f x f x h x h x x x x---====--， ∵函数()h x 为偶函数，()h x 在(),0-∞上单调递增. ∵()20f =，∵()()()22202f h h -===. ∵当20x -<<或2x >时，()0f x <； 当2x <-或02x <<时，()0f x >.不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩， ∵12x <<或20x -<<. ∵不等式的解集为()()2,01,2-.故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根据函数的奇偶性与单调性的综合求解不等式问题，难度一般,解答时，构造新函数是解题的关键.30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围. 【详解】()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->，则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，∵ 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞. 由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，∵联立∵∵得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用三次函数的零点个数求代数式的取值范围，将代数式转化为函数是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于难题.31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+ D ．(3)2(2)2f e ef +>+【答案】A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果. 【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞。
