导数合理构造函数妙解导数问题 专题训练

合理构造函数解导数压轴题构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题） 已知函数()()ax x x ax x f --++=231ln .(1) 若32为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()xbx x f =---311有实根，求实数b 的取值范围。

解：（1）因为32=x 是函数的一个极值点，所以0)32(='f ，进而解得：0=a ，经检验是符合的，所以.0=a（2）显然(),2312a x x ax ax f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。

同时a x x --232此函数是31<x 时递减，31>x 时递增，故此我们只需要保证()02311≥--++='a a af ，解得：.2510+≤≤a （3）方法一、变量分离直接构造函数 解：由于0>x ，所以：()2ln xx x x b -+=32ln x xx x -+=()2321ln x x x x g -++=' ()xx x x x x g 1266212---=-+=''当6710+<<x 时，(),0>''x g 所以()x g '在6710+<<x 上递增； 当671+>x 时，(),0<''x g 所以()x g '在671+>x 上递减； 又(),01='g ().6710,000+<<='∴x x g 当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减； 当10<<x x 时，(),0>'x g 所以10<<x x 上递增；当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减； 又当+∞→x 时，(),-∞→x g()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g当0→x 时，,041ln <+x 则(),0<x g 且()01=g ∴b 的取值范围为(].0,∞-()xx x x x x g 1266212---=-+=''，()2321ln x x x x g -++='，()32ln x x x x x g -+=方法二、构造：()2ln x x x x G -+=()()()xx x x x x x x x x x x G 112121221122-+-=---=++-=-+=' 0>x 10<<∴x ()0>'x G 从而()x G 在()1,0上为增函数；(),0,1<'>x G x 从而()x G 在()+∞,1上为减函数()()01=≤∴G x G 而0>x ()0≤⋅=∴x G x b 0≤∴b分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。

专题26构造函数法解决导数问题一、多选题1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（）A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e ef e e f >3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．(2)(1)2f f >B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（）A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值C ．()011f <<D ．()f x 在()0,∞+单调递增6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.7．已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则()A ．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1-C D ．e9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（）A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()()1,00,1-UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ-<B ．()(34f ππ-<-C ．(0)(4f π>-D ．()(63f ππ<13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a cb <<D ．c a b<<14．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞ ，，15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)xe C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（）A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()10f ef >，()()202020200f ef <B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+¥25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<-C ．{}2018x x >-D ．{}20200x x -<<26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（）A ．(-1，+∞)B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ4（）B ．ππππ44（，，）-⋃C ．ππ0044-⋃（）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（）A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（）A ．()()2,01,2-UB ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞ 30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（）A ．(3)2(2)2ef f e +<+B ．(3)2(2)2ef f e +>+C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞33．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞ 三、解答题34．已知函数()()ln af x x a R x=-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e +>.35．已知函数()()()ln 1,f x a x bx a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为212ln 20x y ++-=.（1）求实数a ，b 的值﹔（2）若函数()2()()12t g x f x x t =+≥，试讨论函数()g x 的零点个数.36．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.37．设函数()2ln af x x x=+，()323g x x x =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.38．已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.39．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1a g x x x -=++，且对任意1x ，2(0,1]x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--.（1）若命题p ⌝为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.40．已知函数()212ln 2f x x ax x =-+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，求()()212f x f x -的取值范围.41．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈= .（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+.42．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >.（1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由43．已知函数()ln 2f x x kx =++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g xf x >.44．已知函数()e xf x x =.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()0,x ∀∈+∞，()32f x x ax x >-++恒成立，求实数a 的取值范围.45．已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xx f x f x e e+-=+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.。

精选构造函数五十题1已知()'f x 是函数()()0f x x R x ∈≠且的导函数，当0x >时 ，()()'0xf x f x -<成立，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<()0.22a F =，()20.2b F =，()2log 5c F =，c a b <<，选C2已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ． 构造()()F x xf x =，且()F x 为偶函数，()()()F x xf xf x ''=+，由3R ()y f x =()'y f x =0x ≠()()'0f x f x x+>1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()22b f =--11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，，a b c <<b c a <<c a b <<a c b <<定义在(0,)2π上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >成立.则有（ ）A()()63f ππ<B ()2cos1(1)6f f π>C ．2()()46f ππ<D ()()43f ππ< 构造()()cos F x xf x =,()()()cos sin F x xf x xf x ''=-，由()()tan f x f x x '>4函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f 且有'3()()0f x xf x +<，则不等式3(2016)(2016)8(2)0x f x f +++-<的解集为（ ）A ．()2018,2016--B ．(),2018-∞-C ．()2016,2015--D ．(),2012-∞-构造()()3F x x f x =，()()()()()322330F x x f x x f x x f x xf x '''⎡⎤=+=+<⎣⎦，()F x ∴在)0,(-∞上单调递减，3(2016)(2016)8(2)0x f x f +++-<⇔()()20162F x F +<-2016020162x x +<⎧⇔⎨+>-⎩20182016x ⇔-<<-，选A定义域为R的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e <的解集为（）A ．(),0-∞B ．(),2-∞C ．()0,+∞D ．()2,+∞6设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）＝0，当x>0时，有2xf x -f x x '（）（）<0恒成立，则不等式x 2f （x ）>0的解集是（ ）A ．（－2,0）∪（2，＋∞）B ．（－2,0）∪（0,2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－2）∪（0,2）即0,x >()F x 单调递减，0,x <()F x 单调递增，当02x <<，()0f x >()20x f x >()0f x ⇔>，所以选D7设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x ->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞即0,x >()F x 单调递增，0,x <()F x 单调递减，当1x >，时，()0f x >，选B8定义在[]0,+∞的函数()f x 的导函数为()'f x ,对于任意的0x ≥,恒有()()()()32',2,3f x f x a e f b e f >==,则,a b 的大小关系是（ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无法确定递增，9．已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足4)1(=f ，且)(x f 的导函数满足3)(<'x f ，则不等1ln 3)(ln +>x x f 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．),(+∞e C ．)1,0( D ．),0(e 构造()()3F x f x x=-，()()30F x f x ''=-<，()F x ∴是减函数，1ln 3)(ln +>x x f ()()l n 1F x F ⇔>l n 1x ⇔<0x e ⇔<<，选D10设ln 24a =，ln 39b =，ln 525c =，则（ ）A ．b a c >>B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a b c >>a b c >>,选 D已知()f x 在()0,+∞上非负可导，且满足0)()(/≤-x f x xf ，对于任意正数,m n ，若m n <，则必有（ ）A ．()()nf m mf n ≤B ．()()mf m f n ≤C ．()()nf n f m ≤D ．()()mf n nf m ≤12已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则下列结论正确的是（）A. (1)e (0)f f >B. (1)e (0)f f <C.(1)(0)f f >D.(1)(0)f f <13定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中e 为自然对数的底数）的解集为．构造函数()()x x F x e f x e =-，()()()10x F x e f x f x ''⎡⎤=+->⎣⎦，已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠时其导函数()'f x 满足()()''2xf x f x >，若24a <<，则（ ）A. ()()()223log a f f f a <<B. ()()()23log 2a f f a f <<C. ()()()2log 32a f a f f <<D.()()()2log 23a f a f f <<有()()4f x f x =-可知函数关于2x =对称，()()2x f x f x''>()()20x f x '⇔->2x >，()0f x '>，()f x 单调递增，2x <，()0f x '<，()f x 单调递减，()()()221log 21log 2a f f a f <<⇔>>()()()22log 3f f a f ⇔<>()()()42164216a a f f f <<⇔<<()()()2log 32a f a f f ∴<<，选C15已知()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '>对于x R ∈恒成立（e 为自然对数的底），则（）A ．()()2015201620162015e f e f ⋅>⋅B ．()()2016201620162015e f e f ⋅=⋅C ．()()2015201620162015e f e f ⋅<⋅D ．()20152016e f ⋅与()20162015e f ⋅大小不确定；16．()233x f x <+的解集为（ ）A ．{}11x x -<< B.{}1x x > C ．{}1x x <- D ．{}11x x x <->或17已知在实数集R 上的可导函数)(x f ，满足)2(+x f 是奇函数，且12'()f x >，则不等式121(x)＞-x f 的解集是（ ）A.（-∞，2）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（-∞，1）()0F x '<，函数()F x 是减函数，由)2(+x f 是奇函数得到()20f =，18．A ．2121ln ln x x e e x x -<- B ．2121ln ln xx e e x x ->-C ．1221x x x e x e <D ．2112x xe x e x >减函数19设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ） A 、 ]2,2[- B 、 ),2[+∞C 、),0[+∞D 、(,2][2,)-∞-+∞()F x ∴为R 上的奇函数，再结合R 上的可导性()F x ∴在为R 上的连续单减奇函数(4)()84f m f m m --≥-()()442F m F m m m m ⇔-≥⇔-≤⇔≥，所以选B20x f x e f x f x )0(22)1(')(222-+⋅=-，且0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A ．)2017()2015()2(g g f <B ．)2017()2015()2(g g f >C ．)2017()2()2015(g f g <D ．)2017()2()2015(g f g >)2212x e x -+)022e f +-()2212x e -⋅+()222x f x e x x ∴=+-，()42e =，构造()()2x F x e g x =，()()()222x x F x e g x e g x ''=+()()220x e g x g x '⎡⎤+<⎣⎦，()F x ∴为R 上的减函数()()20152017F F >()()4030403420152017e g e g ⇒>()()220152017g e g ⇒>所以选D21设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0,f -=当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A.(1,0)(1,)-⋃+∞ B.(,1)(0,1)-∞-⋃ C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞即0,x >()F x 单调递减，0,x <()F x 单调递增，当01x <<，()0f x >，选B22定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()'f x ()x f x ⋅<，且()20f =，则()0f x x>的解集为（ ）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞C ()2,+∞．D ．()()0,33,+∞23设函数在R 上的导函数为，在上，)(x f )(x f ')0(∞+，x x f 2sin )(<'且，有，则以下大小关系一定正确的是（ ） A. B. C.D.构造函数()()2sin F x f x x =-，()()sin 20F x f x x ''∴=-<()()()()()2222sin sin sin 0f x f x x f x x f x x -+=⇔---+-=()()0F x F x ⇔-+=，再结合R 上的可导性()F x ∴在为R 上的连续单减奇函数选C24已知()'f x 是函数()f x (x R x ∈≠且)的导函数，当x >时，()()'0xf x f x -<，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<()0.22a F =，()20.2b F =，()2log 5c F =，c a b <<，选C25已知定义在R 上的可导函数()f x 满足'()1f x <，若R x ∈∀x x f x f 2s i n 2)()(=+-)34()65(π<πf f )()4(π<πf f )34()65(π-<π-f f ()()4f f ππ->-(1)()12f m f m m -->-，则实数m 的取值范围是__________．构造()()F x f x x =-，()()10F x f x ''=-<，()F x ∴为R 上的减函数，已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<x f x e 的解集为（ ）A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e(1)y f x =+为偶函数(1)(1)f x f x ⇔+=-+，()()201f f ∴==27．定义在),0(+∞上的单调递减函数)(x f ，若)(x f 的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）A ．)3(2)2(3f f < B ．)3(4)4(3f f < C ．)4(3)3(2f f <D ．)1(2)2(f f <()f x 是R上的减函数 ()0f x '∴≤，再由3(2)2(3)f f <，选A28x x f x f >')()(已知函数()f x 的导数为()f x '，且()()()10x f x xf x '++>对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ） A ．()f x B ．()xf x C ．()x e f x D ．()x xe f x()()()()()()()xx x x x xe f x e xf x e xf x e f x xf x e xf x ''''⎡⎤=+=++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=()()()10x e x f x xf x '++>⎡⎤⎣⎦，所以选D29已知()f x 是R 上的减函数，其导函数'()f x 满足()1'()f x x f x +<，那么下列结论中正确的是（ ） A ．x R ∀∈，()0f x <B ．当且仅当(,1)x ∀∈-∞，()0f x <C ．x R ∀∈，()0f x >D ．当且仅当(1+)x ∀∈∞，，()0f x >所以()()()10f x x f x '+->，构造()()()1F x x f x =-，()0F x '>，()F x ∴为R 上的增函数，()10F =，1x ∴>，()()10x f x ->()0f x ⇒>；1x <，()()10x f x -<()0f x ⇒>，选C30设12x <<，则ln x x ，2ln ()x x，22ln x x 的大小关系是（ ）A ．222ln ln ln ()x x x x x x<< B ．222ln ln ln ()x x x x x x<<C ．222ln ln ln ()x x xx x x <<D ．222ln ln ln ()x x xx x x<<31设奇函数()f x 在R 上存在导数()'f x ,且在()0,+∞上()2'f x x <,若()()()331113f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦,则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭奇函数，所以()F x 在R 上单调递减，所以选B32设)(x f '为函数)(x f 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是( )A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 在(0,)+∞单调递减C ．()f x 在(0,)+∞上有极大值D ．()f x 在(0,)+∞上有极小值33已知定义在),0(+∞上的函数)(x f ，满足)()1(＞x f ；)(2)()()2(x f x f x f ＜＜'(其中)(x f '是)(x f 的导函数，e 是自然对数的底数)，则)2()1(f f 的范围为( )A.)1,21(2ee B.)1,1(2eeC.)2,(e eD.),(3e e所以选B34若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，'()()0f x xf x +<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．(4,0)(4,)-+∞B ．(4,0)(0,4)-C ．(,4)(4,)-∞-+∞D ．(,4)(0,4)-∞-构造()()F x x f x =，()F x 为奇函数，当0x <时，()()()0F x f x xf x ''=+<， 所以函数在(),0-∞单调递减，在()0,+∞也单调递减，当04x <<时()()440xf x f >>，当4x <-时，()()440xf x f >-->，所以选D35已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f 的大小关系是（ ）A ．122)(+--m m em m f >)1(f B ．122)(+--m m em m f <)1(fC ．122)(+--m m em m f =)1(f D ． 不确定构造()()x F x e f x =，()()()0x F x e f x f x ''=+<⎡⎤⎣⎦，()F x ∴为R 上的减函数，()()()222221011(1)m m m m m m F F m m ef e f m m --+>⇒>-⇒<-⇒<-，所以选A36已知函数()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且有(1)0g =，当0x >时，有''()()()()0f x g x f x g x +>，则()()0f x g x >的解集为 .因()()()()0f x g x f x g x ''+>，即()()0f x g x '>⎡⎤⎣⎦，()()f x g x 在0x >时递增，又∵()f x ， ()g x 分别是定义R 上的奇函数和偶函数， ∴()()f x g x 为奇函数，关于原点对称， ∴()()f x g x 在0x <时也是增函数． ∵()()110f g =， ∴()()110f g --=∴()()0f x g x >的解集为：1x >或10x -<<37函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． 对于，可构造 B38.已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，()f x R ()12f -=R x ∈()2f x '>()24f x x >+()1,1-()1-+∞，()1-∞-，()-∞+∞，()()'0f x a a >≠()()h x f x ax =-()y f x =y (),0x ∈-∞()()0f x xf x '+<()0.20.222a f =()log3log 3b f ππ=()33log 9log 9c f =则，，的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．对于，构造；对于，构造39．已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，对于，构造；对于或，40已知函数对任意的满足，则a b c a b c >>a cb>>c ba>>b a c >>()()'0xf x f x +>()()h x x f x =()()'0xf x f x ->()f x R R x ∀∈()()f x f x '>2016e (2016)(0)f f -<2016(2016)e (0)f f >2016e (2016)(0)f f -<2016(2016)e (0)f f <2016e (2016)(0)f f ->2016(2016)e (0)f f >2016e (2016)(0)f f ->2016(2016)e (0)f f <'()()0f xf x +>()()e x h x f x ='()()f xf x >'()()0f xf x ->()y f x =,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭()()c o s s i n 0f x x f x x '+>（ ） A ．B ． CD与，构造D41()()()()()()()()()()()0,0,',22'30,,_________.3f x f x f x f x f f x xf x f x x f +∞><<∈+∞定义在上的函数满足为的导函数且对恒成立则的取值范围是42()()()()()()()()()',,',2017,2017011.,0.0,.,.,x R f x f x x f x f x f x f x e A B C D e e >++<⎛⎫⎛⎫-∞+∞-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭定义在上的函数的导函数为若对任意有且为奇函数则不等式的解集是()04f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x sin x cos x1,,0,,______.aa n m n n m a a m<<<>对任意的实数当成立则实数的最小值为45()()()()()()()()',',1=1,21,_________.xR y f x f x f x f x f x f x f f x e =<-+=<已知定义在上的可导函数的导函数满足且若则不等式的解集为46若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）1111111....11111k A f B f C f D f k kk k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<><> ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭47设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且满足()()'xf x f x x +>，则不等式()()()2018'2018220x f x f ---<的解集为：_________.()()()()()()()()()()()()()()()()(),''0,,','02018'2018220,2018'20182202018220182020:2018,202:0.g x xf x g x xf x f x x xf x f x x g x g x R x f x f x f x f x x ==+∈+∞+>>∴--⎡⎤⎣⎦-<--<∴<-<<<∴令得由及得函数在上单调递增又则即原不等式的为解解集析48已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()2f x +为偶函数，()41f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ）()()()().2,.0,.1,.4,A B C D -+∞+∞+∞+∞49已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()()'f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且()1f e =，则()x f x e <的解集为_________.50已知定义在R上的奇函数()x<时，'f x，当0f x的导函数为()()f x满足()()()2'+<，则()f x在R上的零点个数为（）f x xf x xf x或A B C D.5.3.13.1。

专题练：构造函数解决导数问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）．A ．RB ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()1,-+∞2．设函数()f x 是定义在()0-∞，上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有22()()f x x f x x '+⋅>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +⋅+-⋅->的解集为（ ）A ．(2023)-∞-，B ．()2-∞-，C ．(20)-，D ．(20220)-，3．设()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-的奇函数，其导函数为()'f x ，当(0,)x π∈时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为（ ） A ．(,0)(0,)66ππ-⋃ B ．(,0)(,)66πππ-C ．(,)(,)66ππππ--⋃D ．()(0,)66πππ--，4．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()f x f x '>，(2)1008f =，则不等式21e ( 1) 1008e 0xf x ++->的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞5．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1-C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃6．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，7．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12x f x e +≥的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（ ）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]10．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ4（，）B ．ππππ44（，）（，）-⋃ C ．ππ0044-⋃（，）（，） D ．ππ0π44-⋃（，）（，）11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（ ） A ．()()2,01,2- B ．()()2,00,1-⋃ C ．()()1,2,2⋃-∞- D ．()()2,02,-+∞12．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞二．填空题13．定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．14．设(),()(()0)f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x >的解集为____ 15．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()1xf x '<，且(1)1f =，则不等式(31)ln(31)1f x x ->-+的解集是________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'fx ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为___三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数()()()2ln 10,0f x a x x a x =++≠>（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对于任意[)1,x ∈+∞均有()20x f x a-≤恒成立，求a 的取值范围.18．已知函数()()ln af x x a R x=-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e+>.19．设函数()2ln a f x x x=+，()323g x x x =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围. 20．已知函数()()21ln 2f x x mx x m =-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x 且12154x x -≤，求()()12f x f x -的最大值.21．已知函数()ln 2f x x kx =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g xf x >.22．已知函数22()3ln (0)f x x ax a x a =+->． （1）若()f x 的极小值为22a ，求实数a 的值； （2）若2a =，求证：()(6)ln 8f x x x >--．《构造函数解决导数问题》专练解析1.【解析】令()()(24)g x f x x =-+，所以()()20g x f x ''=->，故()g x 在R 上单调递增，又(1)(1)20g f -=--=，所以当1x >-时，()0>g x ，即()24f x x >+， 所以()24f x x >+的解集为：()1,-+∞，故选：D ． 2.【解析】令2()()g x x f x =⋅，则2()()2()[()2()]g x x f x x f x x x f x f x '''=⋅+⋅=⋅+，∵22()()0f x x f x x '⋅+⋅>>，0x <，∴[()2()]0x x f x f x '⋅+<，即()0g x '<，∴2()()g x x f x =⋅在(,0)-∞上是减函数，∴2(2021)(2021)4(2)0x f x f +⋅+-⋅->可化为： 22(2021)(2021)4(2)(2)(2)x f x f f +⋅+>⋅-=-⋅-， ∴(2021)(2)g x g +>-，即20212x +<-，解得2023x <-，所以不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +⋅+-⋅->的解集为(2023)-∞-，.故选：A 3.【解析】令()()sin f x g x x=，x ∈(,0)(0,)ππ-， 当(0,)x π∈时，2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'='-0<， 所以()()sin f x g x x=在(0,)π上为单调递减函数，又()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-的奇函数，所以()()sin f x g x x=为偶函数， 在(,0)π-上为单调递增函数，当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以()2()sin 6f x f x π<等价于()()6sin sin 6f f x x ππ<，即()()6g x g π<，因为()()sin f x g x x =在(0,)π上为单调递减函数，所以6x ππ<<，当(,0)x π∈-时，sin 0x <，所以()2()sin 6f x f x π<等价于()()()()666sin sin sin()sin()666f f f f x x ππππππ--->==---，即()()6g x g π>-，因为()()sin f x g x x =在(,0)π-上为单调递增函数，所以06x π-<<，综上所述：关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为,0,66πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B4.【解析】令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>， 所以()g x 在R 上单调递增．因为21008(2)e g =，所以不等式21e (1)1008e 0x f x ++->，可变形得12(1)(2)e ex f x f ++>，即()()12g x g +>，所以12x +>，解得1x >．故选：D5.【解析】由题可知，当0x >时()()20xf x f x '+>， 令()()2g x x f x =⋅，0x >，则()()()()()2220g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-， 所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-， 得()g x 也是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， 所以()g x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，又()10f -=，则()()()21110g f -=-⋅-=，所以()10g =，所以可知()0g x <时，解得：1x <-或01x <<， 则()0f x <，即()()20g x f x x =<，即()0g x <， 所以()0g x <的解集为：()(),10,1-∞-⋃， 即()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃.故选：D.6.【解析】设()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，所以()()()2xg x e f x f x ''=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()'2f x f x +<，所以()()()20xg x e f x f x ''=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递减，且()()()01022019g f =⨯-=， 又因为()22019xxe f x e >+等价于()2019g x >，所以解集为(),0-∞，故选：C. 7.【解析】设()()1x f x F x e +=，则()()()1xf x f x F x e'--'=. ∵()()1f x f x '-<，∴()0F x '<，即函数()F x 在定义域R 上单调递减. ∵()01f =，∴()02F =， ∴不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥， 即()()0F x F ≥，解得0x ≤.故不等式的解集为(],0-∞.故选A. 8.【解析】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2F x F x π⎛⎫≥-⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．9.【解析】构造()()xxf x g x e =，则[]()2()()()()x x xxf x f x e xf x e g x e '+-'=[]()()()xxf x f x xf x e'+-=[]()()()xx f x f x f x e'-+=0>，所以()g x 为单调递增函数，又(1)(1)2020f g e==，所以不等式()20200x xf x e -≥等价于()2020xxf x e≥等价于()(1)g x g ≥，所以1≥x ，故原不等式的解集为[1,)+∞， 故选：A ．10.【解析】令()()sin f x F x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x-''=<，函数()()sin f x F x x=是定义域当(0,)π内的单调递减函数，由于关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4F x F π<，则4x ππ>>；而当0x π-<<时，0x π<-<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫<⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4sin()sin 4f f x x ππ-<-，也即()()4F x F π-<可得4x π>-，即04x π-<<．所以原不等式的解集(,0)(,)44πππ-，应选答案D ．11.【解析】设()()f x h x x =，则()()2()xf x f x h x x'-'=， ∵当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，即()()0xf x f x '-<，∴()0h x '<，即()h x 在()0,∞+上单调递减. 又函数()f x 是奇函数，∴()()()()()f x f x f x h x h x x x x---====--， ∴函数()h x 为偶函数，()h x 在(),0-∞上单调递增. ∵()20f =，∴()()()22202f h h -===. ∴当20x -<<或2x >时，()0f x <；当2x <-或02x <<时，()0f x >.不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩，∴12x <<或20x -<<. ∴不等式的解集为()()2,01,2-.故选：A.12.【解析】∵对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，∴不等式等价为()()1212f x a f x a x x ++<恒成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，()()12h x h x <恒成立，即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数；3()x e ax a h x x +-+=，则23()0x x xe e ah x x-+-'=≥在[1,)+∞上恒成立；∴30x x xe e a -+-≥；即3x x a xe e -≤-恒成立，令()x x g x xe e =-，∴()0xg x xe '=>；∴()g x 在[1,)+∞上为增函数；∴()(1)0g x g >=；∴30a -≥；∴3a ≤. ∴a 的取值范围是(,3]-∞.故选：C. 13.【解析】因为()()22f x f x x -+=，所以()()()220f x x f x x ---+-=，令()()2g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数．又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，所以()g x 在(],0-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减．而不等式()()()()()()()2225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+⇔-≥---⇔≥-，所以5x x ≤-，所以52x ≤．故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 14.【解析】()f x 和()()()0g x g x ≠，分别是定义在R 上的奇函数和偶函数()()f x f x ∴-=- ()()g x g x -=，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x '-'<当0x <时，2()()()()()[]0()()f x f xg x f x g x g x g x '-''=<， 令()()g()f x h x x =，则()h x 在(,0)-∞上单调递减 ()()()()()()f x f x h x h xg x g x --==-=--，()h x ∴为奇函数， 根据奇函数的性质可得函数()h x 在(0,)+∞单调递增， (2)f f -=-（2）()()0202h h h ==∴-=-，，（2）0=()h x 图象如图，由图可知，()()0()f x h xg x =>的范围为(,2)(0,2)-∞-⋃15.【解析】构造函数()()ln 1(0)g x f x x x =-->，则1()1()()xf x g x f x x x'-''=-=，依题意知()0g x '<，即()()ln 1g x f x x =--在0,上是减函数.又因为(1)1f =，所以(1)(1)ln110g f =--=，所以()(1)g x g >的解为01x <<，即()ln 10f x x -->即()ln 1f x x >+的解为01x <<，所以(31)ln(31)1f x x ->-+的解为0311x <-<，即1233x <<，即解集是12,33⎛⎫⎪⎝⎭. 16.【解析】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019xxe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0x g x e f x f x =+->， 所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+17.【解析】（1）()()2'2221a x x af x x x x++=++=，0a ≥时，()'>0f x ，所以()f x 的单调增区间是()0,∞+；0a <时，令'0fx，解得x =舍去），所以0,21x ⎛∈ ⎝⎭-时，()'0f x <，12x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎝-⎭⎪时，()'>0f x ， 所以()f x的单调减区间是⎛ ⎝⎭，单调增区间是⎫+∞⎪⎝⎭⎪； （2）由()110f a -≤可得104a <≤， 只需证明当104a <≤时，()20x f x a -≤恒成立，等价于()22210x x lnx a a+--≥，令1t a=，则4t ≥，设()()2221g t x t x t lnx =-+-， 对称轴()2221111222x t x x ⎛⎫⎪⎝⎭+==+≤， 故有()()()2241641g t g x x lnx ≥=-+-. 记()()221641h x x x lnx =-+-，()()'1113281248241801h x x x x x x =-+-=--≥⨯-->， 所以()h x 在[)1,+∞单调递增，且()10h =.故有()0h x ≥，于是()0g t ≥恒成立. 由此104a <≤. 18.【解析】（1）解：因为()ln a f x x x =-，所以()221a a x f x x x x+'=--=-. ①当0a ≥时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减. ②当0a <时，由()0f x '>得0x a <<-；由()0f x '<得x a >-. 即()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减， 综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减.（2）证明：因为()()122f x f x ==，所以11ln 20a x x --=，22ln 20ax x --=， 即111222ln 2ln 20x x x a x x x a +-=+-=. 设()ln 2g x x x x a =+-，则()ln 3g x x '=+， 故()g x 在310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.由题意不妨设12310e x x <<<，欲证1232e x x +>，只需证2132e x x >-. 又2x ，13321,e e x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，()g x 在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 故只需证()2132e g x g x ⎛⎫>-⎪⎝⎭. 因为()()12g x g x =，所以只需证()1132e g x g x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭对任意的1310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即可，即111111333222ln 2ln 2e e e x x x a x x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+->--+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 整理得111111333224ln 2ln 2e e ex x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11111333224ln ln 40e e e x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设()333224ln ln 4e e e h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()23322ln ln 6ln 6e e x h x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为310e x <<，所以236210e e x x <-<，所以()232ln 60e x h x x ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，所以()h x 在310,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()310e h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.所以1232e x x +>成立.19.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，23312(),a x af x x x x'-=-+= 当0a ≤ 时，()0f x '≥，所以函数 ()f x 在 (0,)+∞上单调递增；当 0a >时，当 x ≥时， 则()0f x '≥ ，函数()f x 单调递增，当0x <<时， ()0f x '< ，函数()f x 单调递减，所以0a >时，函数()f x 在 单调递减，在)+∞上递增； （2）由已知得221()323(),,233g x x x x x x '⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，所以函数()g x 在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，所以函数()g x 在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 又183()(2)1327g g =-<=，所以函数()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，依题意得，只需在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1xf x ≥恒成立，即ln 1ax x x+≥，也即是2ln a x x x ≥-在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令21()ln (,2)3h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()12ln h x x x x '=--，有(1)0h '=，当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，10x ->，ln 0x x <，()0h x '>，即()h x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当(]1,2x ∈时，10,ln 0x x x -<>，()0h x '<，所以()h x 在(]1,2上单调递减， 所以，当1x =时，函数()h x 取得最大值(1)1h =， 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.20.【解析】（1）由题意，211()x mx f x x m x x-+'=-+=，0x >，设21(0)y x mx x =-+>，24m ∆=-，①当0∆≤，即22m -≤≤时，0y ≥，()0f x '≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；②当0∆>，即2m <-或2m >时，i ）当2m <-时，0y ≥，()0f x '≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；ii ）当2m >时，令()0f x '=，则12m x -=或22m x +=，令()0f x '<，则12x x x <<；令()0f x '>，则1x x <或2x x >；()f x ∴在()12,x x 上递减，在()10,x 和()2,x +∞上递增，综上所述，当2m ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增；当2m >时，()f x在⎝⎭上递减，在0,2m ⎛- ⎪⎝⎭和,2m ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增； （2）由（1）得当2m ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，不合题意；2m ∴>，不妨设120x x <<，则()f x 在()12,x x 上递减，1x ，2x 是方程210x mx -+=的两个不相等实数根，12x x m ∴+=，121=x x ，因为1221154x x x x -=-≤，所以1114x ≤<或14x ≤-（舍去）， 则()()()()()()2211212121221ln 2x f x f x f x f x x x m x x x -=-=---+ 22112111ln 2x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1114x ≤<，令211,116t x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭=，则11()ln 2g t t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1116t ≤<，所以22(1)()02t g t t -'=-<，()g t ∴在1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，1255()4ln 21632g t g ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭， ∴当114x =时，()()12f x f x -取最大值2554ln 232-． 21.【解析】（1）函数()ln 2f x x kx =++. 函数定义域为()0,∞+，()1+1kx f x k x x='=+ 当0k ≥时，可知()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增； 当0k <时，令()0f x '=，解得1x k=-， 所以当10x k <<-时，()0f x '>；当1x k>-时()0f x '<； 故此时()f x 单调增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；单调减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；综上所述：当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增； 当0k <时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）证明：将1k =-代入函数解析式可得()ln 2f x x x =-+，()2xe g x x ax=-+，定义域为()0,∞+，要证()()g x f x >，即证ln x e ax x >，①当01x <≤时，1x e >，ln 0ax x ≤，不等式显然成立， ②当1x >时，ln 0x x >，结合已知2102a e <≤可得，210ln ln 2ax x e x x <≤， 于是转化为21ln 2xe e x >，即证22ln 0x e x x-->，令()22ln x e h x x x -=-，则()()2221x e x x h x x-'--=， 令()()221x x e x x -Φ=--，则()221x x xe -'Φ=-，且在()0,∞+上单调递增，∵()2110e'Φ=-<，()230'Φ=>，存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即02021x x e -=，∴()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()110Φ=-<，()20Φ=，故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()()21ln 20h x h ≥=->，故()0h x >，得证()()g x f x >.22.【解析】（1）由题意，22()3ln f x x ax a x =+-的定义域为(0,)+∞，且2221323()(23)()2(0)a x ax a x a x a f x x a x x x x+--+'=+-==>，，由()0f x '<得0x a <<，由()0f x '>得x a >，∴()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),+∞a 上单调递增，∴()f x 的极小值为22222()3ln 23ln f a a a a a a a a =+-=-，令22223ln 2a a a a -=，得23ln 0a a =， ∵0a >，∴ln 0a =，解得1a =．（2）当2a =时，2()212ln f x x x x =+-，设()()(6)ln g x f x x x =--，则22()212ln (6)ln 26ln ln g x x x x x x x x x x x =+---=+--，则262ln 6()22ln 1(0)x x x x g x x x x x x+--'=+---=>，设2()2ln 6(0)h x x x x x x =+-->， 则()41(ln 1)4ln h x x x x x '=+-+=-，设()4ln m x x x =-，则141()4(0)x m x x x x-'=-=>， 由()0m x '<可得104x <<，由()0m x '>可得14x >，即()m x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， ∴11()1ln 12ln 2044m x m ⎛⎫≥=-=+>⎪⎝⎭，即()0h x '>， ∴()h x 在()0,+∞上单调递增．∵(1)30h =-<，(2)42ln 20h =->，∴()h x 存在唯一的零点0x ，且0(1,2)x ∈． 由()2000002ln 60h x x x x x =+--=，得0006ln 21x x x =-+， 当()00,x x ∈时，()0h x < ，即()0g x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x > ，即()0g x '>， ∴()2000000()26ln ln g x g x x x x x x ≥=+--()20000062621x x x x x ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭20003611x x x =--+，易得()g x 在区间1,2上单调递减，故()2036211282g x >--⨯+=-， ∴()()(6)ln 8g x f x x x =-->-，即()(6)ln 8f x x x >--．。

合理构造函数妙解导数问题构造法是解决导数问题的重要方法之一，许多导数问题的解决需要巧妙的构造函数，如何构造函数显得非常重要在解决问题中，下面剖析几例。

一．特征构造例1（2018•银川二模）f （x ）是定义在非零实数集上的函数，f ′（x ）为其导函数，且x＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，记a=0.20.2(2)2f ，b=22(0.2)0.2f ，c=22(log 5)log 5f ，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a【分析】令g （x ）=()f x x，通过求导得到g （x ）的单调性，从而解决问题． 解：令g （x ）=()f x x，则g '（x ）=2()()xf x f x x -'， ∵x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，∴g （x ）在（0，+∞）递减，又2log 5＞2log 42=，1＜0.22＜2，20.2=0.04，∴2log 5＞0.22＞20.2，∴g （2log 5）＜g （20.2）＜g （0.22），∴c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查了指数，对数的性质，解决本题的关键是根据所比较的三个数，合理构造函数，利用函数的单调性比较大小即可。

二．变形后构造函数例2. （2018•合肥二模）定义在R 上的偶函数f （x ）的导函数为f '（x ），若对任意的实数x ，都有2f （x ）+xf '（x ）＜2恒成立，则使x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．{x|x ≠±1}B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x ＜0的取值范围．解：当x ＞0时，由2f （x ）+xf ′（x ）﹣2＜0可知：两边同乘以x 得：2xf （x ）﹣x 2f ′（x ）﹣2x ＜0设：g （x ）=x 2f （x ）﹣x 2，则g '（x ）=2xf （x ）+x 2f '（x ）﹣2x ＜0，恒成立：∴g （x ）在（0，+∞）单调递减，由x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1∴x 2f （x ）﹣x 2＜f （1）﹣1，即g （x ）＜g （1），即x ＞1；当x ＜0时，函数是偶函数，同理得：x ＜﹣1综上可知：实数x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B【点评】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，解决本题需要注意对x 的讨论。

第7讲 导数构造函数13类【题型一】 利用x nf （x ）构造型【典例分析】函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+的解集为A ．{}2011x x -B ．{}|2011x x <-C ．{}|20110x x -<<D ．{}|20162011x x -<<-【答案】D 【详解】设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，解得20162011x -<<-．点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()()f x g x x=，()()x g x e f x =，()()xf xg x e =，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析：构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性． 详解：设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+，∵()'()0f x f x x +>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>，∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．2.已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,【答案】B 【分析】根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<， 所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.又因为()()()2111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.故选：B.3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（ ） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤ C ．(x)x f ≥ D ．()f x x ≤【答案】A 【分析】根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【详解】依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+， 因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>， 从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0， 所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】 利用f （x ）/x n构造型【典例分析】 函数()f x 在定义域0,内恒满足：①()0f x >，①()()()23f x xf x f x '<<，其中f x 为()f x 的导函数，则A ．()()111422f f << B ．()()1111628f f << C ．()()111322f f << D ．()()111824f f << 【答案】D 【详解】令()()2f xg x x =，()0,x ∈+∞，()()()32xf x f x g x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，∵()0f x >，0g x，∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，()()1124f f <， 令()()3f x h x x =，()0,x ∈+∞，()()()43xf x f x h x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<， ∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218f f >，()()1182f f <，故选D.【变式演练】1.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x =为偶函数，所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）;()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A2.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（ ） A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.【详解】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型三】 利用e nx f （x ）构造型【典例分析】已知函数()f x 在R 上 可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦>0，()()222x f x e f x -=-，则下列判断一定正确的是A ．()()10f f <B ．()()440e f f <C ．()()20ef f >D ．()()330e f f >【答案】D 【分析】构造函数()()xg x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的对称轴,对选项判断即可. 【详解】构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'g x =()()xe f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而()()()()()2x 2x x 22xf xg 2x f 2x e e f x e g x e----=-=⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,故选:D.【变式演练】1.已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121xef x f x -->-的解集为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】B【分析】构造函数2()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可． 【详解】由题意：不等式()()121xef x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，两边同乘以2(1)x e -得：22(1)(1)()x x e f x e f x -->，令2()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数， 因为[]2()()2()xh x e f x xf x ''=+， ()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数，故22(1)x x ->，解得：12x <．故选：B ． 2.设函数()f x 的定义域为R ，()'f x 是其导函数，若()()e ()x f x f x f x '-'+>-，()01f =，则不等式()f x >21x e +的解集是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)【答案】A 【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，通过求导判断函数()g x 的单调性,利用函数()g x 的单调性解不等式即可.【详解】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()x x g x e f x e f x ''=++，因为()()e ()x f x f x f x '-'+>-，所以()()1e ()0x f x f x -'++>，化简可得()e ()e 1()0x x f x f x '++>，即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()f x >21xe +，化简得()1()2xe f x +>， 因为()()0202g f ==，()()1()xg x e f x =+，所以()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式2()1xf x e >+的解集是(0,)+∞.故选：A 3.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（ ） A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．[)1,+∞ D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.【详解】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型四】 用f （x ）/e nx 构造型【典例分析】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有 A ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f -B ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -<< C ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f ->>D ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -><【答案】D 【分析】通过构造函数()()x f x g x e =，研究()()xf xg x e =函数的单调性进而判断出大小关系．【详解】因为()()'f x f x >。

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f (x )±g (x )，f (x )g (x )，f (x )g (x )”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f ′(x )，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f (x )本身的单调性，而是包含f (x )的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f ′(x )的形式，则我们要构造的则是一个包含f (x )的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f ′(x )，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数．构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．考点一 构造F (x )＝x n f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；(2)若F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝f ′(x )x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1． 由此得到结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )xn ． 【例题选讲】[例1](1)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)(2)已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且满足xf ′(x )＋2f (x )＞0，则不等式(x ＋2 021)f (x ＋2 021)5＜5f (5)x ＋2 021的解集为( ) A ．{x |x ＞－2 016} B ．{x |x ＜－2 016} C ．{x |－2 016＜x ＜0} D ．{x |－2 021＜x ＜－2 016}(3)(2015·全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(4)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )＋xf ′(x )＜0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )＞0的解集为________．(5)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )＜2f (x )恒成立，则( )A ．4f (1)＜f (2)B ．4f (1)＞f (2)C ．f (1)＜4f (2)D ．f (1)＞4f ′(2)(6)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (－3)－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b【对点训练】1．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 021)2f (x＋2 021)－4f (－2)>0的解集为( )A ．(－∞，－2 021)B ．(－∞，－2 023)C ．(－2 023，0)D ．(－2 021，0)2．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x的取值范围是________．3．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x ＞0时，2f (x )＞xf ′(x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x ＜0时，有xf ′(x )－f (x )＞0恒成立，则不等式f (x )＞0的解集为________．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集 是________________．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式f (x )x>0的解集 为( )A ．(－2，0)∪(2，＋∞)B ．(－2，0)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )＜0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )＜bf (a )B ．bf (a )＜af (b )C ．af (a )＜bf (b )D ．bf (b )＜af (a )8．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有xf ′(x )<f (x )成立，则( )A ．3f (2)>2f (3)B ．3f (2)＝2f (3)C ．3f (2)<2f (3)D ．3f (2)与2f (3)大小不确定9．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3 考点二 构造F (x )＝e nx f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝e nx f (x )，则F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；(2)若F (x )＝f (x )e nx ，则F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx． 由此得到结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )enx ． 【例题选讲】[例1](1)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )＋2f (x )>0，且f (0)＝1，则不等式f (x )>1e 2x的解集为 ． (2)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )ex <1的解集为________．(3)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )＞0，f (0)＝1，则不等式f (x )＞e 2x 的解集为________．(4)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为________．(5)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(6)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 021为奇函数，则不等式f (x )＋2 021e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1eD ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ (7)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0，e 3f (2 021)＝1，若f (x )>f ′(－x )，则关于x 的不等式f (x ＋2)>1ex 的解集为( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)(8)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若对于任意实数x ，有f (x )－f ′(x )＞0，则( )A ．e f (2 021)＞f (2 022)B ．e f (2 021)＜f (2 022)C ．e f (2 021)＝f (2 022)D ．e f (2 021)与f (2 022)大小不能确定(9)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)(10)已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]＞0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( )A ．f (1)＜f (0)B ．f (2)＞e 2f (0)C ．f (3)＞e 3f (0)D ．f (4)＜e 4f (0)【对点训练】1．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x <0的 解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0) 2．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数x ，都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<e x －2的 解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)3．已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，若f ′(x )－2f (x )＜0，且f (－1)＝0，则f (x )＞0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞)4．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )>f (x )，且f (x ＋3)为偶函数，f (6)＝1，则不等式f (x )>e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)5．已知函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1，或x >1|D ．{x |x <－1，或0<x <1}6．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＋1<f ′(x )，f (0)＝2，则不等式f (x )＋1>3e x 的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)7．定义在R 上的可导函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )<0，则下列各式一定成立的是( )A ．e 2f (2021)<f (2019)B ．e 2f (2021)>f (2019)C ．f (2021)<f (2019)D ．f (2021)>f (2019)8．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则1e x f (x 2)与2e xf (x 1)的大小关系为( )A ．1e x f (x 2)>2e x f (x 1)B ．1e x f (x 2)<2e x f (x 1)C ．1e x f (x 2)＝2e x f (x 1)D ．1e x f (x 2)与2e x f (x 1)的大小关系不确定9．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f (x )＞f ′(x )成立，则( )A ．3f (ln2)＜2f (ln3)B ．3f (ln2)＝2f (ln3)C ．3f (ln2)＞2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定10．已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( )A ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)>e 2022f (0)B ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)<e 2022f (0)C ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)>e 2022f (0)D ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)<e 2022f (0)考点三 构造F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x ) cos x ，F (x )＝f (x )cos x类型的辅助函数 【方法总结】(1)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x． 由此得到结论：(1)出现f ′(x )sin x ＋f (x )cos x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(2)出现f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x； (3)出现f ′(x )cos x －f (x )sin x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x ；(4)出现f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x． 【例题选讲】[例1](1)已知函数f (x )是定义在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的奇函数．当x ∈[0，π2)时，f (x )＋f ′(x )tan x >0，则不等式cos xf (x ＋π2)＋sin xf (－x )>0的解集为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 B ．⎝⎛⎭⎫－π4，π2 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，－π4 (2)对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式f (x )tan x <f ′(x )恒成立，则下列不等式错误的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f (1)cos 1 C ．2f (1)cos1>2f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π4<3f ⎝⎛⎭⎫π6 (3)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，函数f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )tan x 成立，则( ) A ．3f ⎝⎛⎭⎫π4＞2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝⎛⎭⎫π2sin 1 C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3 (4)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( )A ．2 f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2 f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4C ．f (0)<2 f ⎝⎛⎭⎫π4D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 (5)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )<0成立，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4(6)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2满足f ′(x )·cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＜f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π4C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4D ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π6。

导剧-深度•兹龙系列锦义第M篇构造晶数解决晶导及抽小墨（内附：万能积分法+不定积分详解）目录一、技能储备 (2)情境一.常规构造 (2)题型①：指幕型 (2)题型②：三角型 (3)题型③：对数型 (3)情境二.非常规构造 (4)题型1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于/（x）和/'（X）之外的项心） (4)题型2：若干常规构造模型组合（附：万能积分法） (6)二、拓展：不定积分 (8)一、原函数与不定积分 (8)二、基本积分表 (8)三、不定积分的性质 (9)四、计算方法 (9)NO.1第一类换元积分法（凑微分法） (9)NO.2第二类换元法 (10)N0.3分部积分法（凑微分法） (11)三、典型例题 (12)一、技能储备【引例】已知函数丁= /(工)的图象关于y轴对称,且当x£ (-oo,0),/(x) + xf\x) < 0成立，。

=2%/(2°2), b = log,3./(lo g;r3), c = k)g3 9・7(k)g3 9),则的大小关系是()A.a >h>cB.a >c>hC.c>b>aD.h>a>c类似于引例，在已知/(x) + 0"(x)<O这种导数相关式(等式或不等式)的前提下，让我们解与/(X)相关的不等式或比较大小的题目，这种问题的难点是如何通过旻数担差式构造出与/(X)相关的单调性可推算的新函数(有时也直接求出/(X)的解析式)进而求解问题构造新函数是解决这类问题的通法也是难点，下面我们就以曼效也去式的种类为依据进行分类，分别介绍不同类型下如何构造新函数.情境一.常规构造【解题模型】1. 若/(X)+.尸(X)> 0，则可构造函数G(x)=若• /(%)；2. 若/(x)—r(x)>。

，则可构造函数G(x) = /区;e x3. ①若/(x) + 2/”(x) > 0 , 则可构造函数G(x)=「1/(x)；\_则可构造函数G(x) = /' • /(x)， (nsN* ).4. ①若/。