高中数学构造函数解决导数问题专题复习
【知识框架】
【考点分类】
考点一、直接作差构造函数证明； 两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；
【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（） （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数. （Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点
处的切线平行，求实数的值；
（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.
()()()h
x f x g x =-2
1()ln 2
f x ax x x =
-+,0a R a ∈≠2a =()y f x =(1,(1))f [)1,+∞()f x y ax =a ()ln ,()(0)a
f x x
g x a x
==-
>1a =()y f x =00(,())M x f x ()y g x =00(,())P x g x 0x (0,]x e ∀∈3
()()2
f x
g x ≥+a
【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 【练1-2】已知函数是常数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【练1-3】已知曲线.
(Ⅰ)若曲线C 在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；
()ln a
f x x x
=-a ∈R 2a =()f x (1,(1))f (1,)x ∈+∞()2f x x >-+a ()=ln +1,f x x ax a R -∈=()y f x (1,(1))P f l =()(1)y f x x ≠l =()y f x :e ax
C y =(0,1)2y x m =+a m a C l y ax b =+b ()2
1ln 2
f x x x =
+()1,+∞()f x ()3
23
g x x =
分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有323
2
ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到06
1
)1(>=F
要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
【练1-5】.已知函数； （1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。 【练1-6】已知函数； （1）求的极小值；
（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围； 答案：
证明：设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2
132)(2
3--=
， 则x
x x x F 12)(2
--='=x x x x )
12)(1(2++-当1>x 时，
)(x F '=
x
x x x )
12)(1(2++-从而)(x F 在),1(∞+上为增函数， ∴06
1)1()(>=
>F x F ∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <，故在区间),1(∞+上，函数)
(x f 的图象在函数3
3
2)(x x g =
的图象的下方。 ()()()21ln ,f x a x x a R =-+∈1a =()f x []1,e ()1,+∞()f x 2y ax =a ()1x f x x e -=+-()f x 1y kx =-()f x k
（Ⅰ）函数的定义域为R ． 因为 ()1x
f x x e
-=+-，
所以 1
()x x
e f x e
-'=． 令()0f x '=，则0x =．
所以 当0x =时函数有极小值()=(0)0f x f =极小值． ………6分 （Ⅱ）函数1()1x f x x e
=-+
． 当0x =时0
1
()010f x e =-+
=，011y k =⋅-=-， 所以要使1y kx =-与()f x 无交点，等价于()1f x kx >-恒成立．
令1
()1(1)x g x x kx e
=-+
--，即()(1)x g x k x e -=-+， 所以 (1)1
()x x
k e g x e --'=．
①当1k =时，1
()0x g x e
=
>，满足1y kx =-与()f x 无交点； ②当1k >时，11
1111()(1)111k k
g k e e k k --=-+=---， 而101k
<-，1
11k e -<， 所以1
()01
g k <-，此时不满足1y kx =-与()f x 无交点．
③当1k <时，令(1)1
()0x x
k e g x e --'=
= ， 则ln(1)x k =--， 当(,ln(1))x k ∈-∞--时，()0g x '<，()g x 在(,ln(1))k -∞--上单调递减； 当(ln(1),)x k ∈--+∞时，()0g x '>，()g x 在(ln(1),)k --+∞上单调递增； 当ln(1)x k =--时，min ()(ln(1))(1)(1ln(1))g x g k k k =--=---． 由 (1)(1ln(1))0k k ---> 得11e k -<<，
