2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.3.2 离散型随机变量的方差

2．3.2 离散型随机变量的方差

[对应学生用书P37]

A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：

A机床

次品数X1 0 1 2 3

P 0.7 0.2 0.06 0.04

B机床

次品数X2 0 1 2 3

P 0.8 0.06 0.04 0.10

问题1：试求E(X1)，E(X2)．

提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.

E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.

问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？

提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．

问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？

提示：样本方差．

1．离散型随机变量的方差

(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的算术平方根DX叫做离散型随机变量X的标准差．

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．

2．二点分布和二项分布的方差

条件 X服从二点分布 X～B(n，p)

方差 p(1－p) np(1－p)

1．离散型随机变量的方差的意义：

随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中

和离散程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．

2．随机变量的方差和样本方差之间的关系：

(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在；

(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．

对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．

[对应学生用书P37]

求离散型随机变量的方差

[例1] 已知X的分布列为

X 0 10 20 50 60

P

13 25 115

215 115

求随机变量的均值和方差．

[思路点拨] 利用方差公式求解，首先求出均值E(X)，然后利用D(X)的定义求方差．

[精解详析] E(X)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，

D(X)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.

[一点通]

已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．

1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是( )

A．n＝100，p＝0.08 B．n＝20，p＝0.4

C．n＝10，p＝0.2 D．n＝10，p＝0.8

解析：由于X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6.

所以np＝8，np(1－p)＝1.6，解之得n＝10，p＝0.8.

答案：D

2．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是( )

A．0和1 B．p和p2

C．p和1－p D．1－p和p(1－p)

解析：随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)k·p1－k(k＝0,1)，则P(X＝0)＝p，P(X＝1)＝1－p，所以E(X)＝0×p＋1×(1－p)＝1－p，所以D(X)＝[0－(1－p)]2×p＋[1－(1－p)]2×(1－p)＝p(1－p)．

答案：D

求实际问题中的均值和方差

[例2] 袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．

[思路点拨] 确定随机变量X的取值，列出其分布列，再计算均值和方差．

[精解详析]

由题意可知，X＝5,4,3.

P(X＝5)＝C22C14C36＝15；P(X＝4)＝C12C24C36＝35；

P(X＝3)＝C34C36＝15.

故X的分布列为

X 5 4

3

P 15 35 15

E(X)＝5×15＋4×35＋3×15＝4.

D(X)＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25.

[一点通]

1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．

2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．

3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．

(1)求X的分布列；

(2)求X的均值和方差．

解：(1)X的可能的取值为0,1,2，

P(X＝k)＝Ck2C3－k4C36，k＝0,1,2.

X的分布列为

X 0 1

2

P 15 35 15

(2)由(1)得，X的均值与方差为

E(X)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.

D(X)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.

4．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 14 15 16 17 18 19 20

频数 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．

解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80；

当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.

所以y关于n的函数解析式为

y＝ 10n－80，n＜16，80，n≥16.(n∈N)．

(2)X可能的取值为60,70,80，并且

P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.

X的分布列为

X 60

70 80

P

0.1 0.2 0.7

X的数学期望为

E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.

X的方差为

D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.

均值和方差的实际应用

[例3] (10分)从甲、乙两运动员中选一人参加2012年伦敦夏季奥运会，以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：

X1(甲得分) 0 1 2

P(X1＝xi) 0.2 0.5 0.3

X2(乙得分) 0 1 2

P(X2＝xi) 0.3 0.3

0.4

欲从甲、乙两运动员中选一人参加2012年伦敦夏季奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？

[思路点拨] 可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁．

[精解详析] 由题意，

E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，

E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.(4分)

∴E(X1)＝E(X2)．

D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，

D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，(8分)

∴D(X1)

所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．(10分)

[一点通]

离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．

5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．

解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．

答案：乙

6．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数变量为X，乙射击时射中的环数变量为Y.

(1)求X，Y的分布列．

(2)求X，Y的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

解：(1)依据题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.

因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.

所以X，Y的分布列分别为

X 10 9 8 7

P 0.5 0.3 0.1 0.1

Y 10 9 8 7

P 0.3 0.3 0.2 0.2

(2)结合(1)中X，Y的分布列可得：

E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，

E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，

D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，

D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.

由于E(X)＞E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D(X)＜D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．

1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．

2．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．

[对应课时跟踪训练十六]

1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于( )

A．6

B．9

C．3 D．4

解析：E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.

D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.

答案：A

2．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m.令随机变量Z＝ 1，A发生，0，A发生，则Z的方差D(Z)等于( )