高中人教A数学选修2-3学案：2.3.2 离散型随机变量的方差 含答案

晨鸟教育

Earlybird 2.3.2 离散型随机变量的方差

自主预习·探新知

情景引入

A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：

A机床

次品数X1 0 1 2 3

P 0.7 0.2 0.06 0.04

B机床

次品数X2 0 1 2

3

P 0.8 0.06 0.04

0.10

试问：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？

新知导学

1．随机变量的方差、标准差的定义：

设离散型随机变量的分布列如下表.

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则__(xi－E(X))2__描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1n xi－EX2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的__平均偏离程度__.我们称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的__标准差__．

2．离散型随机变量与样本相比较，随机变量的__数学期望__的含义相当于样本均值，随晨鸟教育

Earlybird 机变量取各个不同值，相当于各个不同样本点，随机变量取各个不同值的__概率__相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重．

3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于__均值__的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度__越小__．

4．方差的性质

若a、b为常数，则D(aX＋b)＝__a2D(X)__．

设离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

由Y＝aX＋b(a，b为常数)知Y也是离散型随机变量．Y的分布列为

Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b

P p1 p2 … pi … pn

由数学期望的线性性质得E(Y)＝aE(X)＋b，于是

D(aX＋b)＝D(Y)＝i＝1n (axi＋b－E(Y))2pi

＝i＝1n (axi＋b－aE(X)－b)2pi＝i＝1n (axi－aE(X))2pi

＝__a2i＝1n (xi－E(X))2pi__＝__a2D(X)__．

5．若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)＝__p(1－p)__．

设随机变量X～B(1，p)，则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E(X)＝p，于是D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)(p＋1－p)＝p(1－p)．

6．若X～B(n，p)，则D(X)＝__np(1－p)__．

预习自测

1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( B )

环数k 8 9 10

P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5

P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 晨鸟教育

Earlybird

A．甲 B．乙

C．一样 D．无法比较

[解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56

2．设随机变量X服从二项分布B4，13，则D(X)的值为( C )

A．43 B．83

C．89 D．19

[解析] D(X)＝4×13×(1－13)＝89．

3．(2020·哈师大附中高二检测)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck5(13)k(23)5－k，(k＝0、1、2、3、4、5)，则D(3ξ)＝( A )

A．10 B．30

C．15 D．5

[解析] 由ξ的分布列知ξ～B(5，13)，

∴D(ξ)＝5×13×(1－13)＝109，

∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10，故选A．

4．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝__13__．

[解析] 依题意可得E(X)＝np＝30且D(x)＝np(1－p)＝20，解得p＝13．

5．(2020·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下：

ξ －1 0

1

P a b c

其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)的最大值为( A )

A．23 B．59

C．29 D．34

[解析] ∵a，b，c成等差数列，

∴由随机变量ξ的分布列，得： 晨鸟教育

Earlybird 

0≤a≤10≤b≤10≤c≤1a＋b＋c＝12b＝a＋c，解得b＝13，a＝13－d，b＝13＋d，

E(ξ)＝－1×(13－d)＋0×13＋1×(13＋d)＝2d，

D(ξ)＝(－1－2d)2×(13－d)＋(0－2d)2×13＋(1－2d)2×(13＋d)＝23－4d2．

∴当d＝0时，D(ξ)取最大值为23.故选A．

互动探究·攻重难

互动探究解疑

命题方向❶

求离散型随机变量的方差

典例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．

(1)求X的分布列、均值和方差；

(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．

[思路分析] (1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．

(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b．

[解析] (1)X的分布列为：

X 0 1 2 3 4

P 12 120 110 320 15

∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5．

D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75．

(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2．

又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 晨鸟教育

Earlybird 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴ a＝2b＝－2或 a＝－2b＝4.即为所求．

『规律总结』 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：

理解X的意义，写出X可能取的全部值

↓

写出X取每个值的概率

↓

写出X的分布列

↓

由均值的定义求出EX

↓

利用公式DX＝i＝1n xi－EX2pi求值

2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．

┃┃跟踪练习1__■

(1)已知随机变量X的分布列为

X 1 2

3

P 0.5 x

y

若E(X)＝158，则D(X)等于( B )

A．3364

B．5564

C．732 D．932

[解析]

由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝158，所以2x＋3y＝118，解得x＝18，y＝38，所以D(X)＝1－1582×12＋2－1582×18＋3－1582×38＝5564．

(2)(2020·柳州高二检测)已知X的分布列如下：

X －1 0 1 晨鸟教育

Earlybird P

12

14

a

①求X2的分布列；

②计算X的方差；

③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．

[解析]

①由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故a＝14，从而X2的分布列为

X2 0

1

P 14 34

②方法一：由①知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X的方差D(X)＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116．

方法二：由①知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1116．

③因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．

命题方向❷

两点分布、二项分布的方差

典例2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13．

(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；

(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．

[解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B(6，13)，

∴E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×13×(1－13)＝43．

(2)由已知得Y＝30X，

∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200．

『规律总结』 1.如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．

2．如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．

┃┃跟踪练习2__■ 晨鸟教育

Earlybird 若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝23，则p＝__13或23__．

[解析] ∵X～B(3，p)，

∴D(X)＝3p(1－p)，

由3p(1－p)＝23，

得p＝13或p＝23．

命题方向3

方差的实际应用

典例3 (2020·日照高二检测)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：

ξ 1 2

3

P a 0.1 0.6

η 1 2 3

P 0.3 b 0.3

(1)求a，b的值；

(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．

[解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知

a＋0.1＋0.6＝1，

∴a＝0.3．

同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4．

(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，

E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，

D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，

D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3

＝0.6．

由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．

『规律总结』 1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点

(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．

(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平