2018年秋人教B版数学选修2-3练习：2.3.2 离散型随机变量的方差
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1 2.3.2 离散型随机变量的方差
课时过关·能力提升
1.D(X-D(X))的值为( )
A.不确定 B.0
C.D(X)
D.2D(X)
答案:C
2.如果随机变量X服从二项分布X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为( )
A.64 B.256 C.259 D.320
解析:由题意知,D(X)=100×0.2×(1-0.2)=16,
所以D(4X+3)=42×D(X)=16×16=256.
答案:B
3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( )
A.3·2-2 B.2-4
C.3·2-10 D.2-8
解析:∵X~B(n,p),
∴E(X)=np,D(X)=np(1-p).
∴P(X=1)==3·2-10.
答案:C
4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)kp1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是( )
A.0和1
B.p和p2
C.p和1-p
D.1-p和p(1-p)
解析:随机变量X的概率分布为P(X=k) =(1-p)kp1-k(k=0,1),则P(X=0)=p,P(X=1)=1-p,所以E(X)=0×p+1×(1-p)=1-p,D(X)=[0-(1-p)]2×p+[1-(1-p)]2×(1-p)=p(1-p).
答案:D
5.已知随机变量ξ的分布列为:
ξ -1 0 1
P
则在下列式子①E(ξ)=-,②D(ξ)=,③P(ξ=0) =中,正确的有( )
2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:由分布列可知P(ξ=0)=,根据公式可求得E(ξ)=-,D(ξ)=,所以①③正确.
答案:C
6.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)= .(结果用数字表示)
解析:由已知条件可求得n=5,p=0.8,
故P(X=2)=p2(1-p)3=
答案:
7.随机变量ξ的分布列为:
ξ -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)的值是 .
解析:由已知得
解得所以D (ξ)=
答案:
★8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0 解析:随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为 X 0 1 P 1-p p ,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2. 3 D(X)=p-p2=-=- 因为0 =2- 因为0 答案: 2-2 9.设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差最大?并求其最大值. 分析根据题意,可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式,所以解决本题的关键就是找出几个变量之间的关系. 解:设成功次数为随机变量X,由题意可知X~B(100,p). 那么 因为D(X)=100p(1-p)=100p-100p2, 所以把上式看作一个以p为自变量的二次函数,易知当p=时,D(X)有最大值为25, 所以的最大值为5,即当p=时,成功次数的标准差的最大值为5. 10.从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选2人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望; (3)求X的方差. 分析X的可能取值有0,1,2,求出相应概率再由公式求期望、方差. 解:(1)X的可能取值为0,1,2. P(X=0)=,P(X=1)=, 4 P(X=2)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (2)X的数学期望E(X)=0+1+2 (3)D(X)=
