人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案 2.3.2 离散型随机变量的方差

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校对打印版 2.3.2 离散型随机变量的方差

学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．

知识点一 离散型随机变量的方差、标准差

甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：

X 0 1 2

P 610 110 310

Y 0 1 2

P 510 310 210

思考1 试求E(X)，E(Y)．

思考2 能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？

思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？

梳理 离散型随机变量的方差、标准差

(1)方差及标准差的定义

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.

①方差：D(X)＝_________________________________________________________________. 高中数学-打印版

校对打印版 ②标准差：________.

(2)意义：离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量的取值相对于______的平均波动大小．

(3)方差的运算性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．

知识点二 二点分布和二项分布的方差

(1)若X服从二点分布，则D(X)＝________.

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________.

类型一 求随机变量的方差与标准差

例1 已知X的分布列如下：

X －1 0 1

P 12 14 a

(1)求X2的分布列；

(2)计算X的方差；

(3)若Y＝4X＋3，求Y的数学期望和方差．

反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的数学期望比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．

跟踪训练1 已知η的分布列为

η 0 10 20 50 60

P 13 25 115 215 115

(1)求方差及标准差； 高中数学-打印版

校对打印版 (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．

类型二 二点分布与二项分布的方差

例2 某厂一批产品的合格率是98%.

(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；

(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．

反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从二点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．

跟踪训练2 (1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.

(2)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck513k235－k(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3ξ)＝________.

类型三 方差的实际应用

例3 有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资X1(元) 1 200 1 400 1 600 1 800

获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1

乙单位不同职位月工资X2(元) 1 000 1 400 1 800 2 200

获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

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反思与感悟 利用E(X)或D(X)可在实际问题中做决策，当E(X1)＝E(X2)时，再比较D(X1)与D(X2)的大小．

跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为

ξ 1 2 3

P a 0.1 0.6

η 1 2 3

P 0.3 b 0.3

(1)求a，b的值；

(2)计算ξ，η的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．

1．已知随机变量X的分布列为

X －1 0 1

P 12 13 16

则下列式子：①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X＝0)＝13.其中正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则( )

A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 高中数学-打印版

校对打印版 C．n＝8，p＝0.3

D．n＝24，p＝0.1

3．甲、乙两台自动车床各生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲车床生产的1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产的1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如下表所示．据此判定( )

ξ 0 1 2 3

P 0.7 0 0.2 0.1

η 0 1 2 3

P 0.6 0.2 0.1 0.1

A.甲比乙质量好

B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同

D．无法判定

4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.

X －1 0 1 2

P a b c 112

5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．

1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于数学期望的平均程度．方差D(X)或标准差DX越小，则随机变量X偏离数学期望的平均程度越小；方差D(X)或标准差DX越大，表明偏离的平均程度越大，高中数学-打印版

校对打印版 说明X的取值越分散．

2．求离散型随机变量X的数学期望、方差的步骤

(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；

(2)求X取每一个值的概率；

(3)写出随机变量X的分布列；

(4)由数学期望、方差的定义求E(X)，D(X)．

特别地，若随机变量服从二点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)． 高中数学-打印版

校对打印版 答案精析

问题导学

知识点一

思考1 E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝710，E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝710.

思考2 不能，因为E(X)＝E(Y)．

思考3 方差．

梳理 (1)①[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn ②DX (2)期望

知识点二

(1)p(1－p) (2)np(1－p)

题型探究

例1 解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故a＝14，从而X2的分布列为

X2 0 1

P 14 34

(2)方法一 由(1)知a＝14，所以X的数学期望E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.

故X的方差D(X)＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.

方法二 由(1)知a＝14，所以X的数学期望E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X2的数学期望E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.

(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.

跟踪训练1 解 (1)∵E(η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，

∴D(η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，

∴Dη＝86.

(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.

例2 解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.

ξ服从二点分布，且P(ξ＝0)＝0.02， 高中数学-打印版

校对打印版 P(ξ＝1)＝0.98，

所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.

(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差为DX≈0.44.

跟踪训练2 (1)13 (2)10

例3 解 根据月工资的分布列，可得

E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，

D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1

400)2×0.1＝40 000；

E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，

D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1

400)2×0.1＝160 000.

因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)

这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．

跟踪训练3 解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a＋0.1＋0.6＝1，所以a＝0.3.

同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4.

(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，

E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.

D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，

D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.

由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势．

当堂训练