河北省定州中学高一数学下学期第一次月考试题(承智班)
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- 1 - 河北省定州中学2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题（承智班）
一、单选题
1．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.
下列结论中正确的个数有 ( )
①直线MN与A1C相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱锥N-A1BC的体积为1NABCV=16a3.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2．如图，在ABC中， ABBC 6， 90ABC，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（ ）
A. B. 3 C. 5 D. 7
3．如图，已知四边形ABCD是正方形， ABP， BCQ， CDR， DAS都是等边三角形， E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：
①EF与GH为异面直线； ②直线EF与直线PB所成的角为60 - 2 - ③EF平面PBC； ④平面EFGH平面ABCD；
其中正确结论的个数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）
A. B. C. D.
5．如图，将边长为2的正方体ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥1ABCD，则下列命题中，错误的为（ ）
A. 直线BD平面1AOC
B. 三棱锥1ABCD的外接球的半径为2
C. 1ABCD
D. 若E为CD的中点，则//BC平面1AOE
6．在正方体1111ABCDABCD中， ,MN分别是1,ABBB的中点，则直线MN与平面11ABC所成角的余弦值为（ ） - 3 - A. 32 B. 22 C. 33 D. 13
7．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是
A. 恒有DE⊥AF
B. 异面直线AE与BD不可能垂直
C. 恒有平面AGF⊥平面BCDE
D. 动点A在平面ABC上的射影在线段AF上
8．下列结论中：
(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；
(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；
(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．
正确的序号为( )
A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(3) D. (2)(4)
9．直角梯形ABCD，满足,,222ABADCDADABADCD,现将其沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC体积取最大值时其表面积为
A. 12322 B. 1422
C. 1522 D. 13322
10．如图，在正方体1111ABCDABCD中， E是AB的中点， F在1CC上，且12CFFC，点P是侧面11AADD（包括边界）上一动点，且1//PB平面DEF，则tanABP的取值范围是（ ） - 4 -
A. 13,22 B. 0,1 C. 110,33 D. 113,33
11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（ ）
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等
12．在正方体1111ABCDABCD中， E是棱1CC的中点， F是侧面11BCCB内的动点，且1//AF平面1DAE， 记1AF与平面11BCCB所成的角为， 下列说法正确的是个数是（ ）
①点F的轨迹是一条线段
②1AF与1DE不可能平行 - 5 - ③1AF与BE是异面直线
④tan22
⑤当F与1C不重合时，平面11AFC不可能与平面1AED平行
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
13．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABCABC，其中ACBC，若12AAAB，当“阳马”即四棱锥11BAACC体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABCABC外接球的体积为__________．
14．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为__________．
15．设mn、是两条不重合的直线， 、、是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若,//mn，则mn ②若//,//,m，则m
③若//,//mn则//mn ④若,，则//
其中正确命题的序号是 __________．（把你认为正确命题的序号都填上）
16．如图，长方体1111ABCDABCD中， 12,1AAABAD，点EFG、、分别是- 6 - 11DDABCC、、的中点，则异面直线1AE与GF所成的角是__________．
三、解答题
17．如图，在三棱柱111ABCABC中，底面ABC是等边三角形，且1AA 平面ABC, D为AB的中点，
(Ⅰ) 求证：直线1//BC平面1ACD；
(Ⅱ) 若12,ABBBE是1BB的中点，求三棱锥1ACDE的体积；
18．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01).AEAFACAD
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ - 7 - 参考答案
BDDCC CBCDD
11．D
12．C
13．823
14．
15．①②
16．90°
17．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）32
（Ⅰ）连接AC1，交A1C于点F，
则F为AC1的中点，又D为AB的中点，
所以1BC∥DF，
又1BC平面A1CD，又DF平面A1CD，
所以1BC∥平面A1CD．
（Ⅱ）三棱锥1ACDE的体积
11113ACDECADEADEVVSh．
其中三棱锥1ACDE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知3hCD． 9分
又11113221211122222ADES．
所以111113333322ACDECADEADEVVSh． - 8 - 18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）67
(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵AEAFACAD＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.
∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF.
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6.
∴AC＝22ABBC＋＝7.
由AB2＝AE·AC，得AE＝67.∴λ＝AEAC＝67.
故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD
