微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧

两个重要极限的推广及应用极限在微积分中占有重要的地位，是微积分的基石。

两个重要极限是极限内容中的重点和难点。

因此本文结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广应用。

标签：重要极限；推广；应用0 引言极限概念是微积分学的理论基础，极限方法是微积分学的基本分析方法，掌握和运用好极限方法是学好微积分学的关键。

在极限这部分内容的教学中，两个重要极限是重点、也是难点。

在极限计算、导数公式推导过程中，两个重要极限占有极其重要的地位。

两个重要极限能够简化复杂的极限运算，使我们更容易深刻理解并記忆导数公式；进而体现了两个重要极限的“重要性”。

1 两个重要极限的基本形式及其推广形式极限贯穿了微积分的全部内容，是微分和积分的基石。

利用两个重要极限求极限是极限内容中的重点和难点。

本文将通过实例对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳。

1.1 第一个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）分数线上面与下面的x要保持一致；（2）x→0当时，分子、分母都趋于0，即型未定式；（3）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：如当时，有。

因此，这一重要极限可以推广为，其中Δ代表一个未知量。

1.2 第二个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：（2）括号内1后面的部分与括号外的幂次互为倒数，这个重要极限可以转化为1∞这种未定式。

因此，这一重要极限可以推广为或，其中Δ代表一个未知量。

2 两个重要极限在微分学中的应用极限在微分学中应用非常广泛，其中导数定义就是由极限来定义的；而两个重要极限则是推导一些重要极限的有力工具，比如三角函数和对数函数导数的推导。

以上实例说明运用两个重要极限可以推导一些导数公式，而且有些时候必须用两个重要极限求导数，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很难求出。

由此可见，在推导基本初等函数的求导公式的过程中，尤其是有关三角函数的求导过程中，两个重要极限起到了非常关键的作用。

两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。

特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。

2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。

利用无穷小的性质求极限。

利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

也谈两个重要极限的变形作者：杨松林来源：《数学学习与研究》2019年第19期【摘要】本文总结了重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e多种变形，结合实例讨论了这些变形在求极限中的应用，希望有助于提高学生求极限的能力.【关键词】极限;重要极限;无穷小量一、引言函数的极限是微积分学习的重要组成部分，在微积分的体系起着必不可少的纽带作用，也是微积分入门的主要障碍之一.重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e[1]是极限运算的重要组成部分，是高等数学竞赛和研究生入学考试的重要考点.文献[2][3]等给出了重要极限Ⅱ的变形.[2]中给出重要极限Ⅱ的一种变形，这一变形是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对一般的学生掌握有一定的难度.本文从便于学生学习和掌握的角度总结出重要极限的几种变形，一方面，学生在学完第一章[1]极限知识后，就可以直接使用这些变形来求具有一定难度的函数极限;另一方面，可以不用Taylor展开式来处理一类1∞型幂指函数的极限.本文通过多个实例来说明重要极限及其变形的应用和重要极限在微积分学习中的重要性，希望对学生学习和应用重要极限具有指导意义，以提高学生求极限的能力.二、重要极限的变形以下讨论仅给出x→x0的情形，如没特别注明对x→∞的情形，结论也成立.记o（α（x））为α（x）当x→x0时的高阶无穷小.重要极限Ⅰ limx→0sinxx=1[1].重要极限Ⅰ主要用来处理00型的极限.形式一：设limx→x0α（x）=0，则limx→x0sinα（x）α（x）=1.形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且limx→x0β（x）α（x）=k≠0，则limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=k.证明对极限进行变形，limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x）），设g（x）=β（x）+o（β（x）），由limx→x0g（x）=0及形式一得limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））=limx→x0sing（x）g（x）=1，limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0β（x）α（x）+β（x）α（x）·o（β（x））β（x）1+o（α（x））α（x）=k，因此，limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=1·k=k.文[4]给出重要极限Ⅰ的一个关于多元函数的变形.形式三[4] 设n为正整数，ai（i=1，2，…，n）为常数，则limxi→0i=1，2，…，na1sinx1+a2sinx2+…+ansinxna1x1+a2x2+…+anxn=1.重要极限Ⅱ limx→0（1+x）1x=e或limn→∞1+1nn=e[1].重要极限Ⅱ主要用来处理1∞型幂指函数的极限，其应用比重要极限Ⅰ的应用更为广泛，题型多种多样.形式一：设α（x）是x→x0时的无穷小，则limx→x0（1+α（x））1α（x）=e.形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的等阶无穷小，则limx→x0（1+α（x））1β（x）=e.形式三：设limn→∞xn=0，limn→∞yn=0且limn→∞xnyn=k≠0，则limn→∞（1+xn）1yn=ek.形式四：设limx→x0α（x）=1，limx→x0β（x）=0且limx→x0α（x）-1β（x）=k≠0，则limx→x0（α（x））1β（x）=ek.证明 limx→x0（α（x））1β（x）=limx→x0（1+（α（x）-1））1β（x），其中limx→x0α（x）-1β（x）=k，因此，由形式二得limx→x0（α（x））1β（x）=ek.形式五[2]：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且limx→x0α（x）β（x）=k≠0，则limx→x0（1+α（x）+o（α（x）））1β（x）+o（β（x））=ek.形式五是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对学生的要求比较高，学生应用起来有一定的难度，不便于对微积分中等要求的学生掌握.三、应用实例例1 求极限limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3.解这是一个00型的极限，通常可以用洛必達法则求其极限.我们利用重要极限Ⅰ的形式二，不需要导数的概念，只要利用等价无穷小.因为，当x→0时，sinx2～x2=o（x），tanx3～x3=o（x），所以，x+sinx2=x+o（x），sin3x+tanx3=sin3x+o（x），因此，limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3=limx→0sinxsin3x=13.例2 求极限limn→∞12+n（n+1-n）n+1+n+1n+1-n.解这是一个幂指函数型的数列极限，通常可以转化为函数的极限，然后用洛必达法则来求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式三，可不用导数的概念直接计算.原式=limn→∞1+n-n+12（n+1+n）n+1+n+1n+1-n，其中limn→∞n-n+12（n+1+n）=0，因为limn→∞n-n+12（n+1+n）1n+1+n+1n+1-n=-12，所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=e-12.例3 求极限limx→01+sinxcosax1+sinxcosbxcot3x（a≠b）.解这是一个1∞型的极限，通常可以用洛必达法则求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式四，只要计算下列极限：l imx→01+sinxcosax1+sinxcosbx-1tan3x=limx→0sinxcosax-sinxcosbxtan3x（1+sinxcosbx）=limx→0cosax-cosbxsin2x=limx→0-2sina+b2xsina-b2xsin2x=12（b2-a2）.因此，原式=e12（b2-a2）.例4 设函数f（x）在x=a处二阶可导，且f（a）≠0，求limn→∞f（a+1n）f（a）n.解这是一个1∞型的数列极限，我们用重要极限Ⅱ的形式三来计算其极限.原式=limn→∞1+fa+1n-f（a）f（a）n，其中limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）=limn→∞f（a+1n）-f（a）1n·1nf（a）=0，因为limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=ef′（a）f（a）.该题也可以重要极限Ⅱ的形式五来计算其极限.因為函数f（x）在x=a处二阶可导，所以由Taylor展开式得fa+1n=f（a）+f′（a）n+o1n2，即有，fa+1n-f（a）f（a）=f′（a）nf（a）+o1n2，因为limn→∞f′（a）nf（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要极限Ⅱ的形式五得，原式=ef′（a）f（a）.我们也可以用上述变形来处理二元函数的极限.例5 求极限limx→3y→∞1+yyx2x+y.解这是一个1∞型的二元函数极限，我们同样可以利用重要极限Ⅱ的形式四来计算，只要计算下列极限：limx→3y→∞1+yy-1x2x+y=limx→3y→∞x+yx2y=1，因此，原式=e1=e.本文总结了重要极限Ⅰ和Ⅱ的一些重要变形，通过实例探讨了这些变形的应用，希望能给学生在学习极限时有所帮助，提高学生学习微积分的兴趣，对后继知识的学习能起到一个很好的铺垫作用.【参考文献】[1]同济大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.[2]牛传择，桑波，颜红.第二重要极限的一种简易变形[J].大学数学，2016（5）：105-108.[3]潘花，仇海全，王颖.第二重要极限在函数极限计算中的应用[J].吉林工程技术师范学院学报，2016（32）：94-96.[4]杨东成.两个重要极限的新证法及推广[J].保山学院学报，2012（5）：57-59.。

第二类重要极限的简易算法作者：孙明岩来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。

关键词：第二类重要极限；系数；指数中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02一、第二类重要极限及其常规算法第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。

第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。

对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。

例1 求■（1+■）x解令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。

例2 求■（1+2x）■解令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。

第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算：例3 求■（1-■）2x+1解■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■二、第二类极限简易算法定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。

证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。

定理2：■（1+■）■=e■证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。

这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。

根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中的指数为x与■的系数乘积。

证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。

极限第二重要公式极限第二重要公式是微积分中的一条重要公式，它描述了函数在某一点的极限值的计算方法。

这个公式在微积分的学习中起到了至关重要的作用，为我们解决各种极限问题提供了有力的工具。

在微积分中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点无限接近于某个值的情况。

极限第二重要公式是计算函数在某一点的极限值的方法之一。

假设我们要计算函数f(x)在点x=a处的极限，那么极限第二重要公式的表达式为：lim(x→a) f(x) = f(a)这个公式的意义是，当x无限接近于a时，函数f(x)的取值趋近于f(a)。

也就是说，如果我们想知道函数在某一点的极限值，只需要将这个点的值代入函数中即可。

举个例子来说明极限第二重要公式的应用。

假设我们要计算函数f(x) = (x²+1)/(x+1) 在点x=2处的极限。

根据极限第二重要公式，我们只需要将x=2代入函数中即可得到极限值：lim(x→2) (x²+1)/(x+1) = (2²+1)/(2+1) = 5/3这样，我们就得到了函数在点x=2处的极限值为5/3。

极限第二重要公式在微积分的学习中有着广泛的应用。

它不仅能够帮助我们计算函数在某一点的极限值，还可以用于证明一些重要的定理和推导其他的极限公式。

它的应用涉及到函数的连续性、导数的计算以及曲线的切线斜率等方面。

除了极限第二重要公式，微积分中还有很多其他的重要公式，如极限第一重要公式、洛必达法则等。

这些公式共同构成了微积分的基础理论，为我们解决各种数学和物理问题提供了有力的工具。

极限第二重要公式是微积分中的一条重要公式，它描述了函数在某一点的极限值的计算方法。

通过这个公式，我们可以方便地计算函数在某一点的极限值，解决各种数学和物理问题。

同时，它也是微积分学习中的基础知识，为我们理解和应用微积分提供了重要的支持。

浅谈两个重要极限解题技巧【摘要】本文将讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。

首先解释了这两种技巧的基本原理和应用方法，然后进一步讨论了如何在实际问题中灵活运用这两种技巧。

通过具体例题的分析演示了这两个技巧在解决极限问题中的重要性和有效性。

同时提醒读者在使用这些技巧时需要注意的问题，避免在解题过程中出现错误或误解。

通过本文的介绍和讨论，读者将能够更好地掌握和运用这些重要的极限解题技巧，提高解题效率和准确性。

【关键词】极限解题技巧、夹逼准则、换元法、实例分析、注意事项、引言、结论1. 引言1.1 引言极限是高等数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析等领域中都有着广泛的应用。

在求解极限时，常常需要运用一些技巧和方法来辅助计算，提高求解的效率和准确性。

本文将重点讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。

在学习极限的过程中，我们经常会遇到一些难以直接计算的极限表达式，这时可以考虑利用夹逼准则来近似求解。

夹逼准则是一种常用的极限方法，通过构造一个夹在待求极限函数和已知函数之间的函数序列，来逼近待求极限的值。

这种方法常常可以简化复杂的极限计算，提高求解的效率。

使用换元法也是解决极限问题的重要技巧之一。

当遇到形式复杂的极限表达式时，可以尝试通过换元的方式将问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

换元法可以帮助我们找到一些隐含的规律和关联，为极限计算提供新的思路和方法。

通过深入学习和实践这两种极限解题技巧，我们可以更加灵活地处理各种复杂的极限计算问题，并提高解题的效率和准确性。

接下来，我们将详细讨论如何应用这两个技巧来解决不同类型的极限问题，并通过实例分析和具体例题演示技巧的运用。

我们也将介绍在使用这些技巧时需要注意的问题和注意事项。

希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握极限解题的方法和技巧，提升数学分析的能力和水平。

2. 正文2.1 技巧一：利用夹逼准则夹逼准则是解决极限问题时非常重要且常用的一种技巧。

两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟 指导教师：郭媛摘 要微积分中的两个重要极限是:①1sin lim 0=→x x x ; ②e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ,这两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 对∞1型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.关键词: 两个重要极限;推广;应用AbstractTwo important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally，the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospital's Rule.Key words：Two important limits; calculus; application;第1章 绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。

准则1（夹逼准则）：如果（1）当x ∈U （x 0，r ）或（｜x ｜>M ）时，()()()g x f x h x ≤≤ （2）()()A x h A x g x x x x ==→→0lim ,lim 或()()A x h A x g x x ==∞→∞→lim ,lim那么()x f x x 0lim →或()x f x ∞→lim 存在，且等于A.准则2：单调有界数列必有极限。

关于两个重要极限的认识陈乙德（河南大学 计算机与信息工程学院，开封 475001）摘要：本文重点讨论了微积分中的两个重要极限，一是它在概念引出中的重要作用，二是两个重要极限的一般形式和应用 关键词：两个重要极限；一般形式；应用 中途分类号：O172 文献标志码：A在微积分的众多常用极限中之所以要把limx→x 0sinxx=1, lim x→∞(1+1x)x=e 这两个极限称为重要极限是因为在由导数概念到建立初等函数求导公式这一过程以及求函数极限中，这两个重要极限起了必不可少的纽带作用。

1．两个重要极限在微分学中的重要性微分学的基础概念——导数是建立在极限概念基础上的。

即求一个函数f(x)在点x 的导数f ′（x ），就是计算极限limx→x 0f (x+△x )—f （x ）△x（1），如果求函数导数都计算极限（1）的话，显然是非常繁琐的，势必限制导数的广泛应用，事实上，在求函数导数时，只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。

下面来看看正弦函数sin x 的求导公式， (sin x )′=limx→x 0f (x+△x )—f （x ）△x=limx→x 02cos (x+△x2)sin△x 2△x=lim △x →0cos(x+△x 2)sin △x2△x 2=cos x ·1 =cos x其中应用第一个重要极限limx→x 0sinx x=1，即：lim△x →0sin△x2△x 2=limu→0sinuu=1(u=△x2,△x →0时，u →0)。

求得(sin x ) ′=cos x 后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可利用多个求导法则得到了。

其次，对数函数log a x 的求导公式。

由导数定义， （log a x ）′=lim△x →0log a （x+△x ）—log a x△x=lim △x →0log a （1+△x x）1△x=lim △x →0log a [（1+△x x ）x △x]1x =1x lim △x →0log a （1+△x x）x △x=1x log a e作者简介：陈乙德（1991-），男，河南信阳人，在校本科生。

极限的两个重要极限公式极限是数学中的一个重要概念，它描述了函数在无穷接近某一点时的趋势。

在微积分中，极限是一个基础概念，它被广泛应用于求导、积分和微分方程等数学领域。

在本文中，我们将介绍两个极限公式，它们是极限理论中的重要公式。

一、夹逼定理夹逼定理是极限理论中的一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。

更具体地说，夹逼定理可以用以下公式表示：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]上有定义，且对于该区间内的任意x，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。

如果lim g(x) = lim h(x) = L，那么lim f(x) = L。

这个定理的证明比较简单，我们可以通过使用不等式来证明。

具体来说，我们可以使用以下不等式：g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以当x趋近于某一点时，g(x)和h(x)都会趋近于L。

因此，我们可以把上述不等式两侧同时取极限，得到：lim g(x) ≤ lim f(x) ≤ lim h(x)由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以L ≤ lim f(x) ≤ L这意味着当x趋近于某一点时，f(x)的极限将趋近于L。

因此，我们可以得出结论：当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。

二、洛必达法则洛必达法则是极限理论中的另一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点上的极限不存在时，我们可以通过求导数的极限来确定该函数的极限。

更具体地说，洛必达法则可以用以下公式表示：设函数f(x)和g(x)在某一点x0的某个去心邻域内有定义，且在该点上f(x0) = g(x0) = 0。

如果lim f'(x)/g'(x)存在（其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)在点x处的导数），那么lim f(x)/g(x)也存在，且lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。

微积分两个重要极限第二个公式的变形,应用,技巧微积分中的极限是一个重要的概念，它是数学分析中最基本、最核心的概念。

本文将从定义、形式、应用、技巧等方面介绍极限的两个重要极限公式及其变形、应用和技巧。

首先，让我们来认识极限。

极限是指当一个变量接近某个值时，函数值的趋势。

在这里，极限可以表示为：当变量x接近某个值a时，函数f（x）的极限存在且为L，表示为：lim f (x) = L当x→a极限的两个重要公式是：（1）如果lim f (x) =L,lim g(x)=M，则lim [f (x)+g(x)] = L+M（2）如果lim f (x) =L,lim g(x)=M，则lim [f (x) g(x)] = LM这两个重要的极限公式，可以用来计算两个或多个函数的极限。

此外，这两个重要极限公式还可以进行变形，获得一系列与之对应的公式，如：（1）lim [f (x) c] = L c（2）lim [f (x) c] = c L（3） lim [f (x) / c] = L / c（4） lim [c / f (x)] = c / L其中，c是一个常量。

另外，衍生出来的公式也可以用来计算更复杂的函数的极限。

接下来，让我们来看一看这两个重要的极限公式的应用。

许多数学问题都可以用这两个重要公式来解决，如：（1）求极限：求函数f（x）的极限lim f (x),可以先把函数f （x）表示成f（x）=a+g(x)的形式，其中a是常数，g(x)是函数，然后根据公式求得lim g(x)，再根据公式lim [f (x) + g (x)] = a + lim g(x)变形，求出lim f (x)的值。

（2）求不定积分：当积分的上下限接近某个值时，可以根据极限公式来计算。

（3）求定积分：定积分的计算过程往往是用分割开来的小区间求和，这时就可以利用极限公式求出每个小区间的极限，再把这些极限值相加求出定积分的值。

最后，让我们来看一看这两个重要极限公式的技巧。

浅谈两个重要极限解题技巧极限是微积分中的一个重要概念，关于极限的解题技巧在微积分中起着重要作用。

本文将重点介绍两个重要的极限解题技巧。

第一个技巧是利用夹逼准则。

夹逼准则是指当极限函数存在时，如果能找到两个函数，它们的极限都等于这个极限，且它们的值分别小于或大于该极限函数，那么这个极限就等于这两个函数的极限。

我们可以用夹逼准则解决一些难以通过代数运算求得极限的问题，例如：$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$我们可以选取两个函数：$$y_1=x$$当$x$趋近于$0$时，$y_1$和$y_2$都趋近于$0$，此时：$$y_2 < \frac{\sin x}{x} < y_1$$第二个技巧是变量代换。

变量代换是说为了得到一个复杂的极限问题的答案，我们试图用一个新的变量来代换这个复杂的极限，将其变成一个简单的极限问题来求解。

例如：如果我们直接代入$x=1$，分母就是$0$，无法求解。

此时，我们可以用变量代换来简化这个问题，设$t=\sqrt{x}$，则：$$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{t\rightarrow 1}\frac{(t^2-1)}{(t-1)}$$这样，我们就能将问题简化成一个容易求解的极限，即：因此：变量代换技巧的优势在于，能将复杂的极限问题化简为简单的极限问题，但代换的变量需要合理选择，需要根据题目特点适当选择。

总结：夹逼准则和变量代换是解决极限问题的重要技巧，能够成功解决一些难以通过代数运算求解的问题。

同学们可以通过练习，掌握这两个技巧并灵活应用。

两个重要极限的应用探讨两个重要极限的应用探讨一、引言微积分学是现代数学的重要组成部分，而极限理论则是微积分学的理论基础。

在极限理论中，两个重要极限扮演着至关重要的角色。

它们不仅是微积分学的基础，而且在解决实际问题中也具有广泛的应用。

本文将对这两个重要极限的应用进行深入探讨。

二、两个重要极限的概述第一个重要极限是：当x趋近于0时，sinx/x的极限为1。

这个极限可以用几何解释和代数解释两种方法来理解。

几何解释是将sinx表示为一个三角形的斜边，x表示三角形的底边，当底边无限缩短时，斜边与底边的比值趋近于1。

代数解释则是利用泰勒级数展开sinx，得到sinx/x的极限为1。

第二个重要极限是：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限为e。

这个极限可以通过二项式定理和夹逼定理来证明。

二项式定理将(1+1/x)^x展开为多项式，夹逼定理则证明了当x趋近于无穷大时，多项式的极限为e。

三、两个重要极限的应用1.三角函数的应用第一个重要极限在三角函数中有广泛的应用。

例如，在求解三角函数的极限问题时，可以利用第一个重要极限将问题转化为求sinx或cosx的极限。

此外，在求解三角函数的导数时，也需要利用第一个重要极限。

例如，在求解sinx的导数时，可以将sinx表示为(sinx/x)x，然后利用第一个重要极限和导数的定义求解。

2.复利计算的应用第二个重要极限在复利计算中有广泛的应用。

例如，在求解连续复利的极限问题时，可以利用第二个重要极限将问题转化为求(1+r/n)^(nt)的极限，其中r为年利率，n为每年计息次数，t为投资时间。

此外，在求解连续复利的导数时，也需要利用第二个重要极限。

例如，在求解连续复利函数e^(rt)的导数时，可以利用第二个重要极限和导数的定义求解。

3.经济学中的应用两个重要极限在经济学中也有广泛的应用。

例如，在求解经济增长率和折现率的问题时，可以利用第二个重要极限将问题转化为求(1+r)^(-t)的极限，其中r为折现率，t为时间。