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两个重要极限的证明嘿，小伙伴们！咱们今天来聊聊两个超级重要的极限。
这两个极限在数学里可有着举足轻重的地位呢！第一个重要极限是：当 x 趋近于 0 时，lim(sin x / x) = 1 。
第二个重要极限是：当 x 趋近于无穷大时，lim(1 + 1/x)^x =e 。
第一个重要极限的证明咱们先来看第一个重要极限的证明哈。
我们知道，单位圆中，角 x 对应的弧长是 x ，而对应的弦长是2sin(x/2) 。
因为弧长大于弦长，所以 x > 2sin(x/2) ，即 sin(x/2) x/2 。
同时，根据三角形的面积关系，扇形的面积是 1/2 x ，三角形OAB 的面积是 1/2 tan x ，而扇形的面积大于三角形的面积，所以1/2 x > 1/2 tan x ，即 x tan x 。
所以 cos x sin x / x 1 ，当 x 趋近于 0 时，cos x 和 1的极限都是 1 ，根据夹逼准则，就可以证明 lim(sin x / x) = 1啦！第二个重要极限的证明看看第二个重要极限。
我们设 y = (1 + 1/x)^x ，对其取对数，得到 ln y = x ln(1 +1/x) 。
然后令 t = 1/x ，则 x = 1/t ，ln y = (1/t) ln(1 + t) 。
根据洛必达法则，对 (ln(1 + t))/t 求极限，当 t 趋近于 0 时，其极限为 1 。
所以当 x 趋近于无穷大时，ln y 的极限是 1 ，那么 y 的极限就是 e ，就证明了 lim(1 + 1/x)^x = e 。
怎么样，这两个重要极限的证明是不是很有趣呀！。
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。
在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。
（3）柯西极限存在准则。
2.5.1两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入
（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=-
+→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1
x x x f →→
（3）极限的四则运算：
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅
)(lim )
(lim )()(lim x g x f
x g x f = ()()0lim ≠x g
（4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论）
（5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）
（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1
lim sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∞→∞→x x x x x x
那么，？=→x
x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x
x x 公式的特征：（1）0
0型极限； （2）分子是正弦函数；
（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题
【例1】 求 kx
x x sin lim
0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k
k x x k x 111sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim
0=→x
x x ） 【例3】 求 x
x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习
（1）x x x 3sin lim
0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x
x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3
1131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000
=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业:
（1）x x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x
x x 3tan lim 0→
2.5.2两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1)()n n n b a b =a
(2) m n m n a a a ⋅=+
(3) ()m
n nm a a = 2、掌握重要极限公式
e x
x x =+∞→)11(lim 3、典型例题
【例1】 x x x
)21(lim +∞
→ 解：22222])2
11(lim [])211[(lim )21(lim e x x x
x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x x x 10)1(lim +→
解：e z
x z z x z x x =+=+∞
→=→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：e x x x =+→10)1(lim ） 【例3】 x x x )11(lim -∞
→ 解：e e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+=----∞→--∞
→∞→（构造法） 【例4】 x x x x )1
(lim +∞→ 解：e x x x x x x x x x x 1111lim )111(lim )1(lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 4、强化练习
（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2
0)1(lim +→（3）x x x
)21(lim -∞→ (4) x x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5
11(lim [])511[(lim )51(lim e x x x
x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）2221021020)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z z x x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])211(lim [])211[(lim )21(lim e e x x x x
x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)
e e e e x e x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22222])211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
而求得极限。
五、布置作业:
（1）x x x )31(lim +∞→（2）x x x 1
0)21(lim +→（3）x x x 2)11(lim -∞→ (4) x x x x )1
3(lim ++∞→。
