两个重要极限学习资料

存在, 那末 lim f (x) 存在, 且等于A .
x→x0 (x→∞)
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例1 求 lim (
n→∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+⋯+
1 <
1 n +n
2
).
解
∵
n n +n
2
<
1 n +1
2
+⋯+
= 1,
n n +1
2
n +n
2
,
又 lim
n n2 + n
n→∞
n→ ∞
lim
由夹逼定理得
A 2 = 3 + A,
解得 A = 1 + 13 . 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 + 13 1 − 13 , A= 2 2
(舍去) 舍去)
∴ lim xn =
n→∞
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二、两个重要极限
sin x =1 (1) lim x→0 x
π 设单位圆 O, 圆心角 ∠AOB = x, ( 0 < x < ) 2
C B
o
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1 x lim 可以证明 (1+ ) = e. x→∞ x
lim 同时还有 (1+ x) = e.
x→0
1 1 1t x 证明 令 t = , lim(1+ x) = lim(1+ ) = e. t →∞ t x x→0
1 x
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当 x 0 时, u 0
arcsin x u lim lim 1 x 0 x 0 sin u x
x( x 4) ex4.计算 lim . x 2 sin x
2
Solution.
x ( x 2 4) x ( x 2)( x 2) lim lim x 2 sinx x2 sinx
此两公式，第 七节要 用上
1 ln( 1 x) x 解: (1) lim lim ln( 1 x ) ln lim ( 1 x ) x 0 x 0 x x 0
x0
u(x)0
1 x
lim 1 u ( x)
v( x)
e
limu(x).v( x)
第2个条件可 . 以不满足
推广：
u ( x ) 0
lim 1 u ( x)
v( x)
e
limu(x).v( x)
u(x)0
.
证明此公式要用 lim f ( x) g ( x ) lim f ( x)limg ( x ) 到运算法则： 例1 求极限
于是有sin x BD,
x 弧 AB,
tan x AC ,
利用三角形OAB面积<扇形OAB面积<三角形面积OAC
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2
两倍同除以sinx
再利用夹逼定理证之
二、两个重要极限
sin x 重要极限一 lim 1. x 0 x
（证明不做要求）
（要什么凑什么） tan ax 思考：求 lim （公式） x 0 bx
小结：
结论1 sin nx n si n x lim lim 1 x 0 mx x 0 x m 结论2

n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
二、两个重要极限
证:
当
x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 12时31 分20.1 2.1000: 31Dece mber 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日 星期四 12时31 分35秒 00:31:3 510 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 12时31 分35秒 上午12 时31分 00:31:3 520.12. 10
x0 x
(2) lim sin 5x x0 sin 8x
(4) lim
x0
1
cos x2
x
arcsin x
(5) lim
x0
x
(3) lim tan x x0 x
(6) lim sin x x x
说明：1. 以下结论也可直接作为公式使用
lim tan u 1 u0 u lim arcsin u 1 u0 u
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 12:31:35 AM00:31:352020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 12:31 AM12/10/2020 12:31 AM20.12.1020.12.10

1
1
x
e
.
x x
当 x 0时, 设 x y , y 0, 则
1
1 x
x
1
1 y y
1
1 y . y 1
因为当 x 时，y , 所以
lim 1 x
1 x
x
lim
y
1
1 y11 y 1
1 y 1
e
.
这就证明了
lim 1 x
1 x
x
e
.
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1 n2
e.
n 1
再由迫敛性,
求得 lim 1 n
1 n
1 n2
n
e.
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例7 (复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利
率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回
t 1, 本利和： t 2, 本利和： t 3, 本利和：
A0 A0r A0 1 r
来值是复利问题:
At A0e rt
与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴 现问题。这时利率r称为贴现率。
由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:
A0 At (1 r)t
A0
At (1
r )mt m
连续的贴现公式为：
A0 At e rt
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例8 设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资 多少元，16年之末可得1200元？
求
lim
n
1
1 n
1 n2
n
.
解
因为
1
1 n
1 n2
n
1
1 n
n

两个重要极限的证明嘿，小伙伴们！咱们今天来聊聊两个超级重要的极限。

这两个极限在数学里可有着举足轻重的地位呢！第一个重要极限是：当 x 趋近于 0 时，lim(sin x / x) = 1 。

第二个重要极限是：当 x 趋近于无穷大时，lim(1 + 1/x)^x =e 。

第一个重要极限的证明咱们先来看第一个重要极限的证明哈。

我们知道，单位圆中，角 x 对应的弧长是 x ，而对应的弦长是2sin(x/2) 。

因为弧长大于弦长，所以 x > 2sin(x/2) ，即 sin(x/2) x/2 。

同时，根据三角形的面积关系，扇形的面积是 1/2 x ，三角形OAB 的面积是 1/2 tan x ，而扇形的面积大于三角形的面积，所以1/2 x > 1/2 tan x ，即 x tan x 。

所以 cos x sin x / x 1 ，当 x 趋近于 0 时，cos x 和 1的极限都是 1 ，根据夹逼准则，就可以证明 lim(sin x / x) = 1啦！第二个重要极限的证明看看第二个重要极限。

我们设 y = (1 + 1/x)^x ，对其取对数，得到 ln y = x ln(1 +1/x) 。

然后令 t = 1/x ，则 x = 1/t ，ln y = (1/t) ln(1 + t) 。

根据洛必达法则，对 (ln(1 + t))/t 求极限，当 t 趋近于 0 时，其极限为 1 。

所以当 x 趋近于无穷大时，ln y 的极限是 1 ，那么 y 的极限就是 e ，就证明了 lim(1 + 1/x)^x = e 。

怎么样，这两个重要极限的证明是不是很有趣呀！。

两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。

其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。

其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。

柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。

而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。

这两个定理的应用范围和方法略有不同。

除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。

无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。

无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。

222 xxx222
xx 22
22

11
1122
111llliiimm 222xxx00
1 。
ssiinn222 xx 22

xx 22
22
22xx00
xx 22

22
2
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例53． 求lim x0
1 cos x x2
。
解解：：解解：l：imlliimm1 x0xx00
11coccsooxss x 2xx22
xx
11lliimmssiinn
222ssisniinn222xxx
limlliimm
xxx000
lim sin x lim 1 1 。 x0 x x0 cos x
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
x
3
2
x2 3

3

lim1 x
x
3
2
2


e3.
解法2
1 1 x lim1 1 x
原式
lim
x
1
x 2 x


x lim1
x 2
x
x
x x
其中
lim1

两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。

在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。

2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。

3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。

（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。

（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。

（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。

（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。

4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。

（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。

上述两条准则统称为夹逼准则。

（2）单调有界数列必有极限。

（3）柯西极限存在准则。

x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
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第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1

(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n

n
1
)n 1

lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e

则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x

1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn

11
1 2!
1 n!

11
1 2

1 2n1

3

1 2n1

3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an

bn

cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1

a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x x0 x x0
lim P ( x )
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
一、 极限的四则运算法则
定理 （1）若lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
（ 2） （ 3）
其中B 0.
如果 lim f ( x ) 存在 , 而 c 为常数 , 则 推论1 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
的图形的铅直渐近线 .
无穷小与无穷大的关系
定理5 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
1 设 lim f ( x ) . 当x x0时, 为无穷小. x x0 f ( x) 反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
商的极限存在，必须
1 a 0
解得
ab 2 a 1 ， b 3
，
.
例6
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
2
, 而商的极限存在 . 解 x 1时, 分母的极限是零
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0.

两个重要极限（整理）.pdf第一个重要极限的公式：limsinx/x=1(x->0)当x→0时，sin/x 的极限等于1。

特别注意的是x→∞时，1/x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。

第二个重要极限的公式：lim(1+1/x)^x=e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x→0时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

两个重要极限公式作用（1）sinx/x的极限，在中国国内的教学环境中，经常被歪解成等价无穷小。

而在国际的微积分教学中，依旧是中规中矩，没有像国内这么疯狂炒作等价无穷小代换。

sinx经过麦克劳林级数展开后，x是最低价的无穷小，sinx跟x只有在比值时，当x趋向于0时，极限才是1。

用我们一贯的，并不是十分妥当的说法，是“以直代曲”。

这一特性在计算、推导其他极限公式、导数公式、积分公式时，会反反复复地用到。

sinx、x、tanx也给夹挤定理提供了最原始的实例，也给复变函数中sinx/x的定积分提供形象理解。

（2）关于e的重要性，更是登峰造极。

表面上它起了两个作用：A、一个上升、有阶级数，跟一个下降的有阶级数，具有一个共同极限；B、破灭了我们原来的一些固有概念：大于1的数开无限次幂的.结果会越来越小，直到1为止；小于1的正数开无限次幂的结果会越来越大，直到1为止。

整体而言，e的重要极限，有这么几个意义：A、将代数函数、对数函数、三角函数，整合为一个整体理论，再结合复数理论，它们成为一个严密的互通互化互补的、相辅相成、交相印证的完整理论体系.B、使得整个微积分理论，包括微分方程理论，简洁明了。

没有了e^x这一函数，就没有了lnx，也就没有一切理论，所有的公式将十分复杂。

所以 un+1 > un. 因此{un }是
单调递增数列.
此外，由 un 的展开式可得
un

1
1 n ≤
n
2 1 1 1
2! 3!
n!
≤
11 1 2
1 22

1 2n1

1

1

1 2n
1 1

3

1 2n1
≤
3.
2
所以 {un} 是有界数列.
综上所述，{un} 是单调有界数列，因此极 限存在.
这个结果可以作为公式使用
tan x
lim
1
x0 x
例2 解
计算
lim
x0
1

cos x2
x
.
1 cos x
lim
x0
x2

2 sin2
lim
x0
x2
x 2

lim
1


sin
x 2
2
x0 2 x
2

1
lim
sin
x 2
2

1
1

x
例 5 计 算 lim1 1 2 .
x
x
解 因为
1
x
1 2

1
1
1

x

2
，且
lim

1

1 x
e，
x x
x x
所以，有
lim 1
x
1 2

lim1

1.6两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件: (1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N1>0, 当n >N 1时, 有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即|x n -a |<ε .这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε ,即有a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即|x n -a |<ε .这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) g (x )≤f (x )≤h (x );(2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数xx sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然sin x =CB , x =⋂AB , tan x =AD . 因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x .不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ',1sin lim 0=→xx x . 简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ).显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x , 从而 1sin cos <<xx x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→xx x .应注意的问题:在极限)()(sin lim x x αα中, 只要α(x )是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u =α(x ), 则u →0, 于是)()(sin lim x x αα1sin lim 0==→uu u .1sin lim 0=→x x x , 1)()(sin lim =x x αα(α(x )→0). 例1. 求xx x tan lim 0→.解: xx x tan lim 0→x xx x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→xx x x x .例2. 求2cos 1lim xxx -→. 解: 2cos 1lim xx x -→=22022)2(2sinlim 212sin 2lim x x x x x x →→=2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→x x x . 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→xxx . 准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列{x n }满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n +1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调增加的; 如果数列{x n }满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n +1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列.如果数列{x n }满足条件x n ≤x n +1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛. 准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II , 可以证明极限n n n)11(lim +∞→存在.设n n nx )11(+=, 现证明数列{x n }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n . 比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于xn +1的对应项,并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此x n < x n +1 ,这就是说数列{x n }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为x n 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x .根据准则II , 数列{x n }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nn n =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e xx x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y =e x 以及对数函数y =ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要α(x )是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e xx x =+∞→)11(lim , e x x =+)(1)](1lim[αα(α(x )→0).例3. 求x x x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x )11(lim -∞→t t t -∞→+=)11(lim e tt t 1)11(1lim =+=∞→. 或)1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x xx11])11(lim [---∞→=-+=e xx x .。