2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考二模考试数学试题(word原卷)

一、单选题二、多选题1. 已知复数，则（ ）A．B．C．D．2. 如图，双曲线以梯形ABCD 的顶点A ，D 为焦点，且经过点B ，C ．其中，，，则的离心率为A．B．C．D．3. 在中，角的对边分别为，若，，则A．B．C．D ．14. 已知点是抛物线上的一点，，是抛物线的焦点，且，则的值为（ ）A ．1B ．2C．D．5. 若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.已知集合，集合，则为A．B．C．D．7.已知奇函数满足，若当时，，且，则实数的值可以是A．B．C．D．8. 在中，所对的边分别为，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知动点P 在左、右焦点分别为、的双曲线C 上，下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的离心率为2B ．当P 在双曲线左支时，的最大值为C ．点P 到两渐近线距离之积为定值D ．双曲线C的渐近线方程为10. 如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E ，F （E ，F 是截口椭圆C 的焦点）．设图中球，湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期二模数学试题湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期二模数学试题三、填空题四、解答题球的半径分别为4和1，球心距，则（）A ．椭圆C 的中心不在直线上B．C ．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为D ．椭圆C的离心率为11. 已知是正项等差数列，其公差为，若存在常数，使得对任意正整数均有，则以下判断不正确的是（ ）A．B．C．D．12.如图，已知圆柱母线长为，底面圆半径为，梯形内接于下底面，是直径，//，，点在上底面的射影分别为，，，，点分别是线段，上的动点，点Q 为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）A ．若面交线段于点，则//B．若面过点，则直线过定点C ．的周长为定值D ．当点Q 在上底面圆周上运动时，记直线，与下底面圆所成角分别为，，则13.若函数，，则__________．14.双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，则双曲线的离心率__________；若点在双曲线右支上，则的取值范围是__________.15. 圆心为且过原点的圆的方程是__________．16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2．(1)求的方程；(2)若点A 、B在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值．17. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.18. 设分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且.（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若以为直径的圆经过点，证明：点在直线上.19. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足D落在直线上．（1）求证：；（2）若P是线段AB上一点，，，三棱锥的体积为，求的值．20. 已知的夹角为，当实数为何值时，(1)与共线；(2)与垂直．21. 如图，已知在直三棱柱中（侧棱垂直于底面），，，，点是的中点．(1)求证：；(2)求证：平面．。

一、单选题二、多选题1. 设全集U=R ，集合A={x |x2-2x -3＜0}，B={x |x-1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{x |x≤-1或x ≥3}B ．{x |x ＜1或x≥3}C ．{x |x≤1}D ．{x |x≤-1}2.（ ）A．B．C．D．3. 曲线在点处的切线方程为（ ）A．B．C．D．4. 已知直线与相交于A ，B 两点，且，则（ ）A ．1B．C．D．5. 已知函数若函数的所有零点从小到大依次成等差数列，则的零点一定不包含（ ）A．B ．2019C ．2020D．6. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．7.设，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．8. 命题“∃x ∈Z ，使x 2+2x+m≤0”的否定是A ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m≤0B ．∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞0C ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ＞0D ．不存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞09. 已知函数，且对任意均有在上单调递减，则下列说法正确的有（ ）A ．函数为偶函数B．函数的最小正周期为湖南省长沙市雅礼中学等十六校2022届高三下学期第二次联考数学试题(1)湖南省长沙市雅礼中学等十六校2022届高三下学期第二次联考数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．若的根为，2，，，则D ．若在上恒成立，则的最大值为10.若，分别为的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有（ ）A．B．C．D．11.已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若，，，，则D ．若，，，，则直线12. 数列依次为：1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为，接下来三项均为，再接下来五项均为，依此类推.记的前项和为，则（ ）A．B ．存在正整数，使得C．D ．数列是递减数列13. 如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，点A 关于坐标原点O 对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.14. 已知双曲线的右焦点为，过双曲线上一点（）的直线与直线相交于点，与直线相交于点，则______.15. 宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍， 建于清同治十一年（公元 1872 年）. 光绪二十五 （1899年） 增建钟楼， 整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成， 造型具有典型罗马哥特式风格. 其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体， 且正四棱锥的侧棱长为， 其底面边长与正方体的棱长均为， 则顶端部分的体积为__________.16. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上最小值.17. 某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．18. 在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：得分频213212524114数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额(单位：元)2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.19. 如图，在直棱柱中，底面为边长为2的菱形，与相交于点，侧面是正方形，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20. 设等比数列，，，的公比为，等差数列，，，的公差为，且，.记.（1）求证：数列，，不是等差数列；（2）设，.若数列，，是等比数列，求关于的函数关系式及其定义域；（3）数列，，，能否为等比数列？并说明理由.21. 有时候一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同品牌的一些食品所含热量的百分比记为和一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数记为：食品品牌12345678910所含热量的百分比25342019262019241914百分制口味评价分数88898078757165626052参考数据：，，，参考公式：，(1)已知这些品牌食品的所含热量的百分比与美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数具有相关关系.试求出回归方程（最后结果精确到）；(2)某人只能接受食品所含热量的百分比为及以下的食品.现在他想从这些食品中随机选取两种购买，求他所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数为分以上的概率.。

2022学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学中考二模数学测试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、测试卷卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，弦2CD .现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为()A．19B．29C．23D．132．方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2B．m=2 C．m=–2 D．m≠23．如图，点A，B在双曲线y=3x（x＞0）上，点C在双曲线y=1x（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A．2B．22C．4 D．324．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，所得直线的解析式为() A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－25．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．245B．125C．12 D．246．如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t ＝3时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④7．关于x 的不等式21x a --的解集如图所示，则a 的取值是( )A ．0B ．3-C ．2-D ．1-8．下列运算结果是无理数的是（ ）A ．32×2B ．32⨯C ．722÷D ．22135-9．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知直线2y kx =-与直线32y x =+的交点在第一象限，则k 的取值范围是（ ）A ．3k =B ．3k <-C ．3k >D ．33k -<<二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，BC ＝6，点A 为平面上一动点，且∠BAC ＝60°，点O 为△ABC 的外心，分别以AB 、AC 为腰向形外作等腰直角三角形△ABD 与△ACE ，连接BE 、CD 交于点P ，则OP 的最小值是_____12．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．13．如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y＝k x (k≠0，x ＞0)的图象经过顶点C 、D ，若点C 的横坐标为5，BE ＝3DE ，则k 的值为______．14．计算2(32)+的结果等于______________________.15．已知点P （1，2）关于x 轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．16．分解因式：32816a a a -+=__________.17．某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%，这款商品的标价为1000元，则进价为 ________元。

考前模拟卷二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中x 的系数为（）A.15B.10C.5D.1【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式5151C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令521r -=，则2r =，所以x 系数为25C 10=.故选：B2.已知实数a ，且复数2i2ia z +=+的实部与虚部互为相反数，则复数z 对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数z ，求得实部与虚部，依题求出a 的值，代入即得复数对应的点，判断即可.【详解】()()2i 2i 2i 224i2i 555a a a az +-++-===++，其实部为225+a ，虚部为45a -，依题有224055a a+-+=，解得6a =-，所以22i z =-+，其对应的点为()2,2-，位于第二象限.故选：B.3.在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4.双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂线交双曲线于,A B 两点，1F AB 为正三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长22b AB a=，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可.【详解】设()1,A c y ，代入双曲线方程可得22224221122221y x c a b y b a b a a --=⇒==，所以22b AB a =即正三角形的边长，所以正三角形的高为2222b a a⨯=，所以)222222322220c ac ac c a ac e a=⇒=⇒=-⇒-=⇒=，故选：C.5.已知四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 为PC 中点，则（）A.BE 平面PADB.PD ⊥平面ABCDC.平面PAB ⊥平面PADD.DE EB=【答案】C 【解析】【分析】由线面平行的性质判断A 错误；举反例判断B 错误；先证明PH AB ⊥，再由线面垂直得到AB ⊥平面PAD ，进而得到平面PAB ⊥平面PAD ，判断C 正确；由已知条件判断D 错误.【详解】A ：易知//BC 平面PAD ，因为BE BC B = ，且两条直线都在平面PBC 内，所以BE 不可能平行平面PAD ，故A 错误；B ：举反例，如图PH 垂直平面ABCD 时，由于PD PH P ⋂=，所以PD 不垂直，故B 错误；C ：作PH AD ⊥于点H ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PH AB ⊥，又AB AD ⊥，PH AD H ⋂=，且,PH AD 都在平面PAD 内，所以AB ⊥平面PAD ，因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故C 正确；D ：没有任何条件可以证明DE EB =，故D 错误；故选：C.6.已知圆22:(1)(2)16C x y -++=，过点()0,1D 的动直线l 与圆C 相交于,M N两点||MN =直线l 的方程为（）A.4330x y +-=B.3440x y -+=C.0x =或4330x y +-= D.4330x y +-=或3440x y -+=.【答案】C 【解析】【分析】考虑直线l 与x 轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【详解】当直线l 与x 轴垂直时，易知直线l 的方程为0x =，22:(1)(2)16C x y -++=中令0x =得2(2)15y +=，解得2y =，故此时()22MN y ==-=，符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，则圆心到直线的距离为d =MN ===，1d ∴==，解得43k =-，则直线l 的方程为413y x =-+，即4330x y +-=，综上可知直线l 的方程为0x =或4330x y +-=.故选：C.7.已知圆内接四边形ABCD 中，π2,,4AD ADB BD ∠==是圆的直径，2AC BD ⋅= ，则ADC ∠=（）A.5π12B.π2 C.7π12D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形ABCD 的几何性质，即可得所求.【详解】因为2AC BD ⋅=，所以()2AD DC BD +⋅= ，易知BD =，结合图形，2·242AD BD =⨯= ，90BCD ∠=︒，则242DC -= ，故DC = .所以在直角三角形BCD 中可得π3BDC ∠=，故7π12ADC ∠=.故选：C .8.若直线e 4eln40x y -+=是指数函数(0x y a a =>且1)a ≠图象的一条切线，则底数=a （）A.2或12 B.eC.D.e 【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为()()00,x f x ，根据导数的几何意义，列式运算求得a 的值.【详解】设切点坐标为()()00,x f x ，对函数x y a =，求导得ln x y a a '=，切线方程e 4eln40x y -+=化成斜截式为4e 44eln y x =+，由题设知000e ln 04e eln44x x a a x a ⎧=>⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，显然ln 0a >，即1a >，由0e 4ln x aa =，得04e eln4e4ln x a +=，即01ln4ln x a=+，即()00ln ln 01ln ln ln4ln ln4ln 4xx aa x a a a a =⋅+=+=⋅，即0ln ln ee 444ln xaa a a=⋅=⋅，化简得ln 44ln a a =，令ln 0a t =>，即44t t =，利用指数函数与一次函数的性质，可知1t =或12，即ln 1a =或12，解得e a =.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c 是空间中三条不同的直线，,αβ是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（）A.若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，则a α⊥B.若,a αβα⊥⊥，则aβC.若a ,b a ,c a α，则b α或c α.D.若,,a b a αβ⊥⊥ b ，则α β，【答案】ABC 【解析】【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.【详解】对A ，需要补上,b c 不平行才成立，否则a 可能与α相交或平行，故A 错误；对B ，若,a αβα⊥⊥，则a β∥或a β⊂，故B 错误；对C ，有可能b α⊂且c α⊂且b c P ，故C 错误；对D ，若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥，故D 正确.故选：ABC.10.对于事件A 与事件B ，若A B ⋃发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.()()2P BA P AB =∣∣C.事件A 发生的概率的范围为[]0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD 【解析】【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则()()()()30.72P A B P A P B P A ⋃=+==，所以()0.24,A P A =，故A 错误；对于B ，()()()()()()()()()1|,||22P AB P AB P AB P B A P A B P B A P A P B P A ====，故B 正确；对于C ，()()()()()()()()30.72,0.243P AB P A B P A P B P AB P A P AB P A ⋃=+-=-==+，若事件A 与事件B 互斥，则()0P AB =，此时()P A 取到最小值为0.24，若()()P A P B ⊆，此时()()(),P AB P A P A =取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，()0.3P A =，则()0.6P B =，由()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得()()()0.30.60.720.18P AB P A P B =+-==⋅，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域和值域均为{}0,x x x ≠∈R ∣，对于任意非零实数,,0x y x y +≠，函数()f x 满足：()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，且()f x 在(),0∞-上单调递减，()11f =，则下列结论错误的是（）A.122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2023202311222i i f =⎛⎫ ⎪⎝=⎭-∑C.()f x 在定义域内单调递减 D.()f x 为奇函数【答案】BC 【解析】【分析】赋值法可判断A ，根据等比数列求和公式判断B ，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C ，由函数的特例可判断D.【详解】对于A ，令12x y ==，则()21121()[()]22f f f =，因1()02f ≠，故得1()2(1)22f f ==，故A 正确；对于B,由()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，令y x =，则2[()]1(2)()2()2f x f x f x f x ==，则111111()(2)()2222i i i f f f ++=⨯=，即111(2()22i i f f +=，故1{(2i f 是以1(22f =为首项，2为公比的等比数列，于是()2023202320241212122212i i f =-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑，故B 错误；对于D ，由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，令2y x =-，则()()()()()22f x f x f x f x f x --=+-①，把,x y 都取成x -，可得()()()()()222f x f x f x f x f x ----==-②，将②式代入①式，可得()()()()()22f x f x f x f x f x --=-+，化简可得()(),f x f x -=-即()f x 为奇函数，故D 正确；对于C ，()f x 在(),0∞-上单调递减，函数为奇函数，可得()f x 在()0,∞+上单调递减，但是不能判断()f x 在定义域上的单调性，例如()1f x x=，故C 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出(),()f x f x -的关系式即可判断奇偶性等.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数()πsin 23f x x x ϕ⎛⎫=++-⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称，则ϕ可以为__________.（写出一个符合条件的ϕ即可）【答案】π6-.（答案不唯一）【解析】【分析】因为函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，只需根据三角函数图象让2x =也为πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴即可.【详解】函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，则只要πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称即可，所以()2πππ32k k ϕ+=+∈Z ，所以()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，如令0k =，可以取π6ϕ=-.故答案为：π6-13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为A ，过,A F 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，若直线l 的斜率为1，且83AB =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】22142x y +=【解析】【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.【详解】设(),0F c ，由题意知，,b c a ==，直线l 的方程为y x c =-，与椭圆C 的方程联立化简得x cx -=2340，所以40,3A B x x c ==，故833B A AB x x c =-==，解得c =所以2b a ==，椭圆C 的方程为22142x y +=.故答案为：22142x y +=14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m 个关卡，分别为：12,,,m G G G ，记挑战每一个关卡()1,2,,k G k m = 失败的概率为k a ，其中()110,1,3k a a ∈=.游戏规则如下：从第一个关卡1G 开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若2m =，设龙年在闯关结束时进行到了第X 关，X 的数学期望()E X =__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第1k +关的概率总等于闯到第k 关()1,2,,1k m =-L 的概率的一半，则数列{}n a 的通项公式n a =__________,1,2,,n m = .【答案】①.53②.1122n -+【解析】【分析】若2m =，则X 得可能取值为1,2，分别求解概率，再求解数学期望()E X 即可；根据题意求解游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-，于是根据递推关系式可得数列{}n a 的通项公式.【详解】若2m =，则X 得可能取值为1,2，又()()1121,21333P X P X ====-=，所以()12512333E X =⨯+⨯=；设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ；那么有()()()()()()121121111111k kk m a a a a P a a a ----=---- ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-；即121k k k a a a +=-，对两边同时取倒数，可得1122k k a a +=-，即111222k k a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又112321a -=-=，故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列，从而111122,,1,2,,22n n n n a n m a ---===+ .故答案为：53；1122n -+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.若抛物线Γ的方程为24y x =，焦点为F ，设,P Q 是抛物线Γ上两个不同的动点.（1）若3PF =，求直线PF 的斜率；（2）设PQ 中点为R ，若直线PQ斜率为2，证明R 在一条定直线上.【答案】（1）±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦半径公式得到2P x =，求出(2,P ±，从而求出斜率；（2）法一：:2PQ y x t =+，联立抛物线方程，设()()1122,,,P x y Q x y ，得到两根之和，两根之积，得到122R y y y +==，求出答案；法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，得到21211242y y x x y y -==-+，从而确定12y y +=，得到122R y y y +==，得到答案.【小问1详解】()1,0,13P F PF x =+=，2P x \=，将2x =代入24y x =得，y =±(2,P ∴±所以21PF k ±==±-；【小问2详解】法一：设()()1122,,,P x y Q x y，:2PQ y x t =+，即x =，代入24y x =，得20y -+=，由韦达定理，有12y y +=故122R y y y +==，R在定直线y =上.法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意，21212221211242244y y y y y y x x y y --===-+-，故12y y +=，故122R y y y +==，R在定直线y =上.16.如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD，,2,4,AB AD AB AD PB CD PD ⊥=====，点E 为PB 中点，DE PC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知点F 为线段AB 的中点，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）连接BD ，可证PD BD =，从而得到DE PB ⊥，即有DE ⊥平面PBC ，可得DE BC ⊥，由222BC BD CD +=，可得BC BD ⊥，即可证明BC ⊥平面PBD ，即BC PD ⊥，再由222PB PD BD =+，得PD BD ⊥，从而证明PD ⊥平面ABCD ；（2）以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量为(m = ，表示出(1,0,EF = ，代入向量夹角公式，可得直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【小问1详解】连接BD .因为AB AD =，且AB AD ⊥，所以BD D =，因为PD =，所以PD BD =.因为E 是棱PB 的中点，所以DE PB ⊥.因为,,DE PC PC PB ⊥⊂平面PBC ，且PC PB P = ，所以DE ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以DE BC ⊥.由题意可得BC BD ==，则222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥.因为,BD DE ⊂平面PBD ，且BD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD .因为PD ⊂平面PBD ，所以BC PD ⊥.因为,2PD BD PB AB ===，所以222PB PD BD =+，所以PD BD ⊥.因为,BD BC ⊂平面ABCD ，且BD BC B ⋂=，所以PD⊥平面ABCD .【小问2详解】以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,4,0C，(0,0,P，(E ，()2,1,0F从而(2,2,PB =- ，()2,2,0BC =-，(1,0,EF = 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得(m = ，设直线EF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,6m EF m EF m EF α⋅====，所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为6.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 2π13,,,3a A b c ABC ==> 的内切圆圆I 的面积为3π.（1）求b c 、的值及cos ABC ∠；（2）若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，试讨论在BC 边上是否存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ 若存在，求出点M 的位置，并求出DBM △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）8,7b c ==，11cos 13ABC ∠=；（2）存在，位置见解析，10.【解析】【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出bc 与b c +的关系，再由余弦定理得到它们的另一个关系式，联立解出,b c ，最后由余弦定理解出cos ABC ∠即可；（2）由题意BI BM CI CM ⋅=⋅ ，配合切线长定理可解出BM ，再设角θ结合正弦定理解出BD ，最后由面积公式求得即可.【小问1详解】因为ABC 内切圆圆I 的面积为3π，可得圆I的半径为r =，则)()112π13sin ,262223ABC S b c bc bc b c =++=∴=++ ，所以1132b c bc +=-，由余弦定理得222π2cos 1693b c bc +-=，得2()169b c bc +-=，将1132b c bc +=-代入整理得：2()560bc bc -=，解得56,15,,8,7bc b c b c b c =∴+=>∴== .∴由余弦定理得：222137811cos 213713ABC ∠+-==⨯⨯.【小问2详解】记圆I 与BC 边切于点E ，根据切线长定理可求得6,7BE CE ==，若BI BM CI CM ⋅=⋅ ，则BE BM CE CM ⋅=⋅，即()6713BM BM =-，解得7BM =，所以在BC 边上存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ .依题意可知I 为内心，则BD 平分ABC ∠，记ABD DBC θ∠=∠=，则11cos cos213ABC ∠θ==，故23913cos ,sin 1313θθ====，在ABD △中，2πππ33ADB ∠θθ=--=-，由正弦定理得2ππsin sin sin 33BD AB c ADB θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，又π31513sin cos sin 732226c θθθ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，7395BD ∴=，11sin 72251310DBM S BM BD θ=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .18.已知函数()e x x f x =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：()e 1xf x ≤-；（3）设()()()22e 2e 41x xg x f x a a a =-+-+∈R ，若存在实数0x 使得()00g x ≥，求a 的最大值.【答案】（1）增区间为(),1-∞，减区间为()1,+∞；（2）证明见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）求出()f x '，判断导数正负得到函数()f x 的单调区间；（2）利用分析法转化要证结论，要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，利用导数判断()h x 单调性，求出最大值即可得证；（3）()()22e2e 41x x g x f x a a =-+-+，分别讨论当102a ≤≤时和12a >时是否存在0x 使得()00g x ≥，即可求解.【小问1详解】()f x 的定义域为()1,ex x f x -='R ，所以当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),1∞-，减区间为()1,∞+.【小问2详解】要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，()21e e x xx h x -'-=，令()21e x m x x =--，则()212e 0x m x =--<'，所以()m x 在R 上单调递减，又()00m =，∴当0x <时，()()0,0m x h x '>>；当0x >时，()()0,0m x h x '<<.()h x ∴在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()00h x h ∴≤=，所以e 1e x x x ≤-，即()e 1xf x ≤-得证.【小问3详解】当102a ≤≤时，()()20242120g a a a a =-=-≥，即存在00x =满足题意；当12a >时，由（2）知，()()()2222e 2e 41e 1e 2e 41x x x x x g x f x a a a a =-+-+≤--+-+()()()()()2226112611221e 21e 4e 0244x x x a a a a a a a +-+-+⎛⎫=-++-=--+≤< ⎪⎝⎭，∴此时()0g x <恒成立，不满足题意；综上，所以a 的最大值为12.19.设数集S 满足：①任意x S ∈，有0x ≥；②任意x ，y S ∈，有x y S +∈或x y S -∈，则称数集S 具有性质P .（1）判断数集{}0,1,2,4A =和{}0,2,4B =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P .（i ）当5n =时，求证：1a ，2a ，…，n a 是等差数列；（ii ）当1a ，2a ，…，n a 不是等差数列时，求n 的最大值.【答案】（1）数集A 不具有性质P ，数集B 具有性质P ，证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义判断可得出结论(2)（i ）推导出10a =，再根据性质P 的定义推导出32532432a a a a a a a a -=--=-=从而证明（ii ）根据性质P 的定义得出12,,,n a a a ⋅⋅⋅在5n ≥均为等差数列，再令4n =进行验证，可以不是等差数列，所以得出n 的最大值.【小问1详解】证明：对于数集A ，41A +∉，41A -∉，所以数集A 不具有性质P ，对于数集B ，任意,x y B ∈，x y B -∈，所以数集B 具有性质P .【小问2详解】（i ）当5n =时，数集{}125,,,C a a a =⋅⋅⋅具有性质P ，55552a a a a +=>，所以55a a C +∉，即550a a C -=∈，因为123450a a a a a ≤<<<<，则10a =，又因为5453525a a a a a a a +>+>+>，所以5(2,3,4)i a a C i +∉=，则5(2,3,4)i a a C i -∈=，因为154535250a a a a a a a a =<-<-<-<，所以得542a a a -=，533a a a -=，524a a a -=，因为43425a a a a a +>+=，所以43a a C +∉，则43a a C -∈，又因为14340a a a a =<-<，所以432a a a -=或433a a a -=，因为533a a a -=，所以433a a a -=(舍去)，即432a a a -=，32532432a a a a a a a a -=--=-=，所以213243542a a a a a a a a a -=-=-=-=，即当5n =时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列.（ii ）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P ，按照(1)推导的方式得出5n ≥一般结论，具体如下：因为122n n n n n n a a a a a a a --+>+>>+> ，所以(2,3,,1)n i a a C i n +∉=- ，即(2,3,,1)n i a a C i n -∈=- ，因为11220n n n n n n a a a a a a a a --=<-<-<<-< ，所以1(2,3,,1)n i n i a a a i n +--==- ①，所以12n n a a a -=+，23n n a a a -=+，因为12131312n n n n n n n a a a a a a a a a ------+>+>>+>+= ，所以1(3,4,5,,2)n i a a C i n -+∉=- ，即1(3,4,5,,2)n i a a C i n --∈=- ，因为112131310n n n n n n a a a a a a a a ------=<-<-<<-< ，根据120n a a a ≤<<< ，分两种情况：第一种情况为122n n a a a ---=，133n n a a a ---=，…，133n n a a a ---=，第二种情况为12(3)n n k a a a k ---=≥，13(2)n i a a a i n --=≥-，先考虑第二种情况1223n n k n n a a a a a a ---=+≥+=，与题意矛盾，1332n i n n a a a a a a --=+≥+=，与题意矛盾，所以只能为第一种情况，可得1(3,4,,2)n i n i a a a i n ---==- ②，由①-②，得11(3,4,,2)n n n i n i a a a a i n -+---=-=- ，即12332221n n n n a a a a a a a a a ----=-==-==- ，即当5n ≥时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列，当4n =时，434a a a +>，所以43a a C +∉，即43a a C -∈，由前面得出1434240a a a a a a =<-<-<，所以432a a a -=，423a a a -=，当322a a a -≠成立时，1a ，2a ，3a ，4a 不是等差数列，所以n 的最大值为4.【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：定义法：1(N )n n a a d n *+-=∈(d 为常数)等差中项法：122(N )n n n a a a n *++=+∈通项公式法：(N )n a an b n *=+∈（a ，b 为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法进行证明.。

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

雅礼中学高三下学期二模数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合A =x |x 2-x -2<0 ，则∁R A =()A.{x ∣-1<x <2}B.x ∣-1≤x ≤2C.{x ∣x <-1或x >2}D.{x ∣x ≤-1或x ≥2}2.设z =-2+3i ，则在复平面内z 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中，在R 上为增函数的是()A.y =2-xB.y =x2C.y =2x ,x ≥0,x ,x <0D.y =lg x4.已知3cos2α-8cos α=5，则cos α=()A.-23B.23C.-53D.535.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax +by +czB.az +by +cxC.ay +bz +cxD.ay +bx +cz6.已知x ，y 是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：x 12345y4m9n11其回归直线y =b x +a过点3,7 的一个充要条件是()A.m =n =5B.m =n =6C.m +n =11D.m =5，n =67.已知函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ ≤π2的图象如图所示.则f φ =()A.0B.AC.A 2D.-A 28.函数f x 的定义域为R ，若f x +1 是奇函数，f x -1 是偶函数，则()A.f x 是奇函数B.f x +3 是偶函数C.f 3 =0D.f x =f x +3二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

长沙市2024届高考适应性演练（二）数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2log 1M x x =<，{}210N x x =-<，则M N = （）A ．{}2x x <B ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭C ．{}02x x <<D ．102x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭2．已知复数z 满足1z =，则34i z +-（i 为虚数单位）的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．73．已知π5sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-4．()422x x --的展开式中x 的系数是（）A ．8B ．8-C ．32D ．32-5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:14C x y -+=，若直线:0l x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（）A ．1B．C ．3D ．76．已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为（）A ．4B ．2C ．32D ．347．中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为13，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A ．19B ．527C ．481D ．82438．在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（含四条边），且tan 4tan APD EPB ∠=∠，则P 的轨迹长度为（）A ．π9B ．2π9C ．4π9D ．8π9二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，()()11f x f x +=-，()31f =，则（）A ．()11f -=B ．()()4f x f x =+C ．()()4f x f x =-D ．()1811k f k ==-∑10．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A 点走向B 点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论．设AB S =，这个人走的第n 段距离为n a ，这个人走的前n 段距离总和为n S ，则（）A ．*n ∀∈N ，使得()123n n S S a +-=B ．*n ∀∈N ，使得123n n a a +=C ．*n ∀∈N ，使得213nn S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．*n ∃∈N ，使得1nS S=11．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 的直线l 交抛物线E 于,A B 两点（点A 在第一象限），M 为线段AB 的中点．若24AF BF ==，则下列说法正确的是（）A ．抛物线E 的准线方程为83y =-B ．过,A B 两点作抛物线的切线，两切线交于点N ，则点N 在以AB 为直径的圆上C ．若O 为坐标原点，则2OM =D ．若过点F 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线于,C D 两点，则288AB CD ⋅=三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W （单位：克）与脉搏率f （单位：心跳次数/分钟）的对应数据()(),1,2,,8i i W f i =⋅⋅⋅，根据生物学常识和散点图得出f 与W 近似满足kf cW =（,c k 为参数）．令ln i i x W =，ln i i y f =，计算得8x =，5y =，821214ii y==∑．由最小二乘法得经验回归方程为ˆ7.4ˆbx y=+，则k 的值为______；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值()1,2,,ˆ8i y i =⋅⋅⋅，若残差平方和()8210.28iii y y =-≈∑，则决定系数2R ≈______．（参考公式：决定系数 ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑）14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为4，60ABC ∠=︒，以A为球心，与侧面11CDD C 的交线长为______．四、解答题（本题共5小题，共77分。

雅礼中学2022届模拟试卷（一）数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅱ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ，B 为全集U 的子集，若U U A B ⊆，则()U A B =（ ） A ．A B ．B C ．UD ．∅ 2．已知复数z 满足84i z z +=+，则z =（ ）A ．34i +B ．34i -C ．34i -+D ．34i --3．已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）A ．3B ．3C 3D ．334．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立冬的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长短5．已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若|OP|=|PF 2|，则ⅡPF 1F 2的面积为（ ）A ．32B ．62C ．92D ．1826．已知22ππβα-<-<，sin 2cos 1βα-=，2sin cos 2αβ+=，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．63±B ．33±C ．33D ．637．已知F 1、F 2是双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点M 是双曲线E 上的任意一点（不是顶点），过F 1作∠F 1MF 2角平分线的垂线，垂足为N ，O 是坐标原点，若124F F ON =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A ．33y x =± B ．22y x =± C ．2y x = D ．3y x =8．已知()3sin 2f x x =+，对于任意的20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()1223f x f x θ++=成立，则下列选项中，θ可能的值是（ ）A ．35πB ．45πC ．65πD ．75π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为P （A ）=0.3，P （B ）=0.6，下列说法正确的有（ ）A ．若P （AB ）=0.18，则A ，B 相互独立B ．若A ，B 相互独立，则P （B|A ）=0.6C ．若P （B|A ）=0.4，则P （AB ）=0.12D ．若A B ⊆，则P （A|B ）=0.310．已知向量a =2，1），b =（cos θ，sin θ）（0θπ≤≤），则下列命题正确的是（ ） A ．若⊥a b ，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为36，则向量a 与b 的夹角为23πC ．6333⎛ ⎝⎭是与a 共线的唯一的单位向量D ．存在θ，使得+=+a b a b11．设m ∈R ，过定点M 的直线l 1：310mx y m --+=与过定点N 的直线l 2：310x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且22AB =，则下列结论中正确的是（ ）A ．l 1一定垂直l 2B ．|PM|+|PN|的最大值为42C ．点P 的轨迹方程为()()22222x y -+-=D ．PA PB +的最小值为2212．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =AA 1=1，点D 是线段BC 1上的动点（不含端点），则以下说法正确的是（ ）A ．AC ∥平面A 1BDB ．CD 与AC 1不垂直C ．∠ADC 的取值范围为,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．AD+DC 3第 Ⅰ 卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）的图象关于y 轴对称，且与直线y=x 相切，写出满足上述条件的一个函数()f x =________．14．以抛物线22y px =（0p >）焦点F 为端点的一条射线交抛物线于点A ，交y 轴于点B ，若|AF|=2，|BF|=3，则p=________．15．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列可能有种________不同情况．（填数字）16．对于集合E ={a 1，a 2，…，a 100}的子集X={1i a ，2i a ，…，k i a }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中1i x =2i x =…=k i x =1，其余项均为0，例如子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0（1）子集{a 1，a 3，a 4，a 5}的“特征数列”的前四项和等于________；（2）若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1=1，11i i p p ++=，199i ≤≤，E 的子集Q 的“特征数列”为q 1，q 2，…，q 100，满足q 1=1，122j j j q q q ++++=，198j ≤≤，则P Q 的元素个数为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S na =-（n *∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列()1n n a ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求2n T 的表达式．18．（本小题满分12分）在梯形ABCD 中，ABⅡCD ，CD =3AB =3．（1）若CA =CD ，且cos ∠ABC =6，求ⅡABC 的面积S ； （2）若cos ∠DAC 2，cos ∠ACD =34，求BD 的长．如图，在四边形PDCB中，PDⅡBC，BA⊥PD，PA=AB=BC=1，AD=12．沿BA将ⅡPAB翻折到ⅡSBA的位置，使得SD=52．（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q−BD−C6求此时三棱锥Q−BCD的体积．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：g/m 3）与样本对原点的距离x （单位：m ）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中1i i u x =，9119i i u u ==∑）（1）利用样本相关系数的知识，判断y a bx =+与d y c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）样本对原点的距离x=20时，平均金属含量的预报值是多少？（3）已知该金属在距离原点x m 时的平均开采成本W （单位：元）与x ，y 关系为()1000ln W y x =-（1100x ≤≤），根据（2）的结果回答，x 为何值时，开采成本最大？ 附：对于一组数据（t 1，s 1），（t 2，s 2），…，（t n ，s n ），其线性相关系数()()()()12211ni ii n n i ii i t t s s r t t s s ===--=--∑∑∑， 其回归直线s t αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121n i i i n i i t t s s t t β==--=-∑∑，s t αβ=-．已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>） 的上顶点为B （0，1）2，0）且与x 轴垂直的直线被椭圆Γ23． （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线l 1交椭圆Γ于异于点B 的P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过点B ，线段PQ 的中垂线l 2与x 轴的交点为（0x ，0），求0x 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()sin x x f x e e a x -=--，0a >，其中e 是自然对数的底数．（1）当0x >时，()0f x >，求a 的取值范围；（2）当1x >时，求证：()1sin sin ln 2x x e e x x x x ---+>-．。

雅礼中学2023届模拟试卷(二)数 学命题人： 审题人：注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.1. 已知集合A={x x²—4x —5≤0},B={x|log ₂x<2},则 A∩B=A.(-1,4)B.[-1,4]C.[-1,5]D.(0,4) 2.已知数列{a,}, 若 a ₁+a2m-1=4n —6, 则 a ₇=A.9B.11C.13D.153.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数 运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指 数，称为数学史上的珍闻.若,lg 2≈0.3010,则 x 的值约为A.1.322B.1.410C.1.507D.1.6694.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分),成绩的频 率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是A. 频率分布直方图中a 的值为0.004B. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C. 估计这20名学生考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在(60,70)内的学生人数为150频率组距7a 6a3a 2a50 60708090100 成绩/分姓名 考生号 座位号5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社 会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.郑州某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的 A 、B 、C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援 的概率为 A.B.C.D.6.一条斜率为1的直线分别与曲线y=ln x+1和曲 线y=sinx (一 π< x<π) 相切于点A 和 点B, 则公切线段AB 的长为A.2B.√3C.1D.√27.若a=(1+tan 20°)(1+tan 21),b=(1+tan 24°)(1+tan 25°),则下列结论不正确的是 A.a<b B.ab=4 C.a+b>4 D.a²+b²=9 则xy=B.eC.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆E:的右焦点为F(3,0), 过 点F 的直线交椭圆E 于 A,B 两点 .若 AB 的中点坐标为 (1,—1),则 A.直 线AB 的方程为 B.a²=2b²C.椭圆的标准方程为D.椭圆的离心率为10.函数的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x) 的图象.若对于任意 ,都存在x ₂ ∈[0,1],使得f(x ₁+0) 十x ₂= 1,则θ的可能值为 A.π B. C.口11.下列说法正确的有A. 设直线系M:(x —2)cos θ+ysin θ=1(0≤0≤2π),则存在一个圆与M 中所有直线相交B. 设直线系M:(x —2)cos θ+ysin θ=1(0≤0≤2π),则存在一个圆与M 中所有直线相切C. 如果圆C:x²+y²-2√2ax—2√2ay+2a²+4=0 与圆O:x²+y²=4 有四条公切线，则实数a 的取值范围是a>√2D.过点(6,8)作圆O:x²+y²=a 的切线，切点为A,B, 若直线AB 的方程为3x+4y-2=0, 则a=28.若xe²=1 A.3D.1,12.已知函数f(x)=|sin x|+|cos x|—sin 2x—1,则下列说法正确的是A.f(x) 是以π为周期的函数B. 直线是曲线y=f(x) 的对称轴C. 函数f(x) 的最大值为√2,最小值为√2-2D. 若函数f(x) 在区间(0,Mπ)上恰有2023个零点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .设≈=3+4i,i为虚数单位，则复数z—|z|+(1—i) 在复平面内对应的点的坐标为14. 已知向量a=(1,2),b=(4,2), 若非零向量c与a,b 的夹角都相等，则c 的坐标为(写出一个符合要求的答案即可)15.如图，四边形ABCD 为平行四边形，AB=3,AD=2, ,现将△ABD 沿直线BD 翻折，得到三棱锥A'-BCD, 若A'℃=√7, 则三棱锥A'-BCD 的内切球表面积为16.已知数表如图，记第m 行，第n 列的数为a(m,n),如a(4,2)=8,记M=a(2023,1)+a(2023.2)十…十1 23 45 67 8 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 21 ... (30)四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知等差数列{an}满足a₂=4,2a₄—a₅=7, 公比不为一1的等比数列{6n}满足b₃=4,b₄+b₅=8(b₁+b₂).(1)求数列{an},{b,}的通项公式；(2)设,求数列{cn}的前n项和S数学试题(雅礼版)第3页(共5页)18. (本小题满分12分)已知△ABC 的 内 角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,△ABC 的面积 (1)求证：sin A=3sin B;(2)点D 在 边BC 上，若,求cos A.19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的菱形， ,PAlPB, 点 E 在线段PB 上 ，CD ⊥DE, 平 面PAB ⊥ 平面ABCD. (1)求四面体E-PAD 的体积；(2)求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值.20. (本小题满分12分)某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本 y (单位：元)与生产该产品的数量x (单位：千件)有关，经统计得到如下数据：C1 2 3 4 5 6 7 8 y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模111和指数函数模型y=cet 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的经验回归方程为y=96.54e-0.2r,In y 与 x 的相关系数r ₁=—0.94. 参考数据(其中uu²√0.61×6185.5e-²183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.40.135(1)用反比例函数模型求y 关 于x 的经验回归方程；(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01),并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出).根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8,签订10千件订单的概率为0.2;若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.参考公式：对于一组数据(u₁,v₁),(u₂,u2), …,(un,vn),其经验回归直线=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为,α=v—βu, 相关系数r =21. (本小题满分12分)已知P(2,0) 是椭圆C: )的右顶点，过点D(1,0) 且斜率为k(k<0) 的直线l与椭圆C 相交于A,B 两点(点A 在x 轴的上方),直线 PA,PB 分别与直线x=1 相交于M, N 两点. 当点A 为椭圆C 的上顶点时，k=—1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若 |MN|=λ,且λ∈[2,3],求实数k 的取值范围.22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=(2—x)e²—ax—2.(1)若f(x) 在R 上单调递减，求实数a的取值范围；(2)当0≤a<1 时，求证：f(x) 在区间(0,+○)上只有一个零点xo, 且。

一、单选题二、多选题1. “埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）A ．130B ．132C ．134D ．1412. 设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 某圆锥的三视图如图.圆锥表面上的点在正视图上的对应点为，圆锥表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．4. 已知为异面直线，为两个不同的平面，，直线满足，则A ．且B ．且C ．且D ．且5. 设函数的图象为，下列结论中正确的是（ ）．A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D ．函数在区间上是增函数6. 若复数（为虚数单位），则（ ）A ．1B ．2C ．0D．7. 已知向量，，则（ ）A．B．C．D．8. 设复平面上表示和的点分别为点A 和点B ，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线与的上支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．10. 已知sinα、cosα是方程5x 2﹣x ﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（ ）A．B．﹣C．D．﹣湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题三、填空题四、填空题五、解答题11. 已知函数和，若，则（ ）A．B．C．D．12.若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A．是函数图象的一个对称中心B．函数的图象关于直线对称C ．函数在区间上单调递增D．函数的图像可由的图象向左平移个单位得到13. 对于函数，如果存在实数，使得，那么称函数有不动点，也称是函数的一个不动点.下列命题中的真命题有（ ）A ．有1个不动点B ．有2个不动点C ．有3个不动点D ．没有不动点14. 已知抛物线E ：的焦点为F ，准线l 交x 轴于点C ，直线m 过C 且交E 于不同的A ，B 两点，B 在线段上，点P 为A 在l 上的射影．下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若P ，B ，F三点共线，则C ．若，则D ．对于任意直线m，都有15.已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．16. 已知函数存在反函数，则实数________17.已知向量=(4，-2)，=(-2，λ)，且与共线，则=___________.18. 已知，若，则_________，_________．19. 顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，是黄金三角形，，作的平分线交于点，易知也是黄金三角形.若，则______；借助黄金三角形可计算______.六、解答题七、解答题20.在中，，，．(1)求A 的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．21. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．22. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：（1）若甲单位数据的平均数是122，求；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望.23.已知抛物线（p为常数，）．(1)若直线与H 只有一个公共点，求k ；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：．24. 已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.(1)求双曲线的方程；八、解答题九、解答题(2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.25. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在由线：的附近，对投资金额做换元，令，则，且有，(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）；附：样本的最小乘估计公式为；参考数据：.26. 已知函数.(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围.。

湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期高考前压轴（三）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数2022i z =的模是（ ） A ．iB ．1-C ．0D ．12．已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（ ）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅3．函数sin()()e e x xx f x π-=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（ ）A ．11B ．13C ．15D ．175．已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．如图(1)，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若将正方体绕着体对角线1AC 旋转，则正方体所经过的区域构成如图(2)所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为（ ）A 23πB ．9π C 3π D ．3π 7．已知函数()3223a f x x bx x =+++．若a ，b 分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数()f x 有两个极值点的概率为（ ） A ．16B ．13C ．23D ．568．已知两条直线1:2320l x y -+=，2:3230l x y -+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与12,l l 都相交，并且12,l l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A ．()22165y x --= B ．()22165x y --= C ．()22165y x -+=D ．()22165x y +-=二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

长沙市雅礼中学2024届模拟试卷（二）数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()x f =的定义域是（ ）A. []22-,B. ()2,2-C. {}2,2x x x -或D. {}2,2-2. 已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.3. 中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. y =±54x B. y =±45xC. y =±43xD. y =±34x4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ） A. 2B. 2-C. 0D. 4-5. 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x π=对称，则φ的最小值为 A.34π B.2πC.8πD.38π 6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A 0.96B. 0.94C. 0.79D. 0.757. 在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD u u u r在BA上的投影向量为（）A. 3BA 2B. 3BA 4C.D.BA8. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论一定成立的是（ ）A. 三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B.1A P 与平面1ACD 相交C 平面1PDB ^平面11A BCD. 1AP D C ⊥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题的..目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ） A. 2c cd <B. a c b d -<-C. ac bd <D.0c da b-> 10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路11. 三棱锥A BCD -的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A BCD -的体积43A BCD V -=，则（ ） A. 三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形 B. 2CD =C. π2CDA ∠=D. 三棱锥A BCD -外接球的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复数范围内，方程210x x ++=的根为________.13. 已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 轨迹方程为_____________．14. 若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m ≥+，则22111222A A A C A A mm m n m n m n ----=++_____________．（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 的大小；（2）试求ABC 面积S 的最大值.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．的（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．17. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 的方程； （2）求PAB 的面积.18. 某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X ．（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数）19. 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数极值点；的（2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21e sin e axg x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()x f =的定义域是（ ）A. []22-,B. ()2,2-C. {}2,2x x x -或D. {}2,2-【答案】D 【解析】【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由()f x =224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得2x =±，即函数的定义域为{2,2}-. 故选：D.2. 已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B.3. 中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. y =±54x B. y =±45xC. y =±43xD. y =±34x【答案】D 【解析】【分析】根据离心率可求出43b a =，再根据焦点位置可得出渐近线方程. 详解】∵c a =53，∴222259a b a +=，∴43b a =. ∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y =±abx . ∴所求双曲线的渐近线方程为y =±34x . 故选：D.4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ） A. 2 B. 2-C. 0D. 4-【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数()f x 的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得()2023f 的值.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()()2f x f x =-，故()()()2f x f x f x -=+=-， ∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期为4的周期函数．【则()()()3(202350533)42f f f f =⨯+==--=． 故选：A ．5. 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x π=对称，则φ的最小值为 A.34π B.2πC.8πD.38π 【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得φ的表达式，进而求得φ的最小值．【详解】将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后解析式变为 ()2sin 424f x x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为图像关于直线4x π=对称所以42242x k ππφπ-+=+代入4x π=化简得38k πφπ=+，k ∈Z所以当k=0时，φ取得最小值为38π 所以选D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题．6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94C. 0.79D. 0.75【答案】B【解析】【分析】根据方差的计算公式求得正确答案. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200988.412008001200800⨯+⨯=++（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：()()228001200198.40.588.40.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦++.故选：B7. 在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD u u u r在BA上的投影向量为（）A. 3BA 2B. 3BA 4C.D.BA【答案】B 【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知2222cos1201113BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=++= ，BC ∴=，30ABC ∠= ，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，ABC 是等腰三角形，D ∴是BC中点，BD =，由图可知向量BD u u u r在BA 上的投影向量为BE3cos304BE BD ==34BE BA = ，34BE BA ∴= .故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.8. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论一定成立的是（ ）A. 三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B.1A P 与平面1ACD 相交C. 平面1PDB ^平面11A BCD. 1AP D C ⊥ 【答案】C 【解析】【分析】由11A A PD P AA D V V --=，结合正方体1111ABCD A B C D -的性质，可得判定A 不成立；由线面平行的判定定理，分别证得1//BC 平面1ACD 和1//BA 平面1ACD 得到平面11//BA C 平面1ACD ，可判断B 不成立；根据线面垂直的判定定理，证得1B D ⊥平而11A BC ，得到平面1PDB ^平面11A BC ，可判定C 成立；根据当B 与P 重合时，得到AP 与1D C 的夹角为4π，可判定D 不成立.【详解】对于A 中，由11A A PD P AA D V V --=，在正方体1111ABCD A B C D -中， 可得1//BC 平面1AA D ，所以P 到平面1AA D 的距离不变， 即三棱锥1P AA D -的高不变，又由1AA D △的面积不变， 因此三棱锥1P AA D -的体积不变，即三棱锥1A A PD -的体积与点P 的位置无关，故A 不成立.对于B 中，由于11//BC AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ，同理可证1//BA 平面1ACD ， 又由11BA BC B = ，所以平面11//BA C 平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1//A P 平面1ACD ，所以B 不成立.对于C 中，因为11A C BD ⊥，111A C BB ⊥，1BD BB B ⋂=， 所以11A C ⊥平面1BB D ，则111A C B D ⊥，同理11A B B D ⊥， 又因为1111A C A B A = ，所以1B D ⊥平而11A BC .又由1B D ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB ^平面11A BC ，所以C 成立. 对于D 中，当B 与P 重合时，可得AP 与1D C 的夹角为4π，所以D 不成立.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ）A. 2c cd <B. a c b d -<-C. ac bd <D.0c da b-> 【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A ，由0c d >>和不等式性质可得2c cd <，故A 正确； 对于B ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =-，2d =-， 则3a c -=，3b d -=，所以a c b d -=-，故B 错误；对于C ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =-，2d =-， 则2ac =-，2bd =-，所以ac bd =，故C 错误； 对于D ，因0a b >>，则110a b<<，又因0c d >>则0c d <-<-， 由不等式的同向皆正可乘性得，c d a b-<-，故0c da b ->，故D 正确．故选：AD ．10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路 【答案】ABD 【解析】【分析】设第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为12q =的等比数列，由S 6＝378求得首项，再逐一分析四个选项的答案．【详解】设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为12q =的等比数列， 由等比数列前n 项和公式得：1661(1)2378112a S -==-，解得a 1＝192，A ：21192962a =⨯=，故此人第二天走了九十六里路，正确； 为B ：后五天所走的路程为378192186-=里，则第一天比后五天多走1921866-=里，正确；C ：31192484a =⨯=，而4813788>，错误； D ：456111192()4281632a a a ++=⨯++=，正确．故选：ABD11. 三棱锥A BCD -的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A BCD -的体积43A BCD V -=，则（ ） A. 三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形 B. 2CD =C. π2CDA ∠=D. 三棱锥A BCD -外接球的体积【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设条件构造长方体，计算分析推得正方体，判断其外接球直径即该正方体的体对角线长，推理计算即可一一判断各选项正误.【详解】因AB ⊥平面BCD ，则,AB BC AB CD ⊥⊥,又BC CD ⊥ 则可构造如图所示的长方体，则AD 为三棱锥A BCD -的外接球的直径．对于A ，因AB ⊥平面BCD ，因,,BC CD BD ⊂平面BCD ,则,AB BC AB CD ⊥⊥，AB BD ⊥， 因AB CD ⊥，BC CD ⊥，且AB BC B ⋂=,可得CD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，故CD AC ⊥,即三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，故A 正确； 对于B ，由11422323A BCD V CD -=⨯⨯⨯⨯=解得2CD =，即B 正确； 对于C ，由A 项分析得CD AC ⊥，故在Rt ACD △中，CDA ∠是锐角，故C 错误； 对于D ，设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，由2AB BC CD ===,知该长方体为正方体，则22AD R ===,解得R =，故其外接球体积为34π3V R ==，即D 正确. 故选:ABD ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查三棱锥的相关性质的应用及外接球问题,属于难题.解此题的关键在于弄清题中,,AB BC CD 三条直线的两两垂直关系，构造长方体，从而将对三棱锥的性质探究转化为对长方体的探究，给解题带来了较大的方便.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复数范围内，方程210x x ++=的根为________.【解析】【分析】根据复数范围求根公式求解【详解】因为1430D =-=-<，所以方程210x x ++=【点睛】本题考查复数范围解实系数一元二次方程，考查基本分析求解能力，属基础题.13. 已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 的轨迹方程为_____________． 【答案】212x y = 【解析】【分析】设动圆的半径为r ，则点M 到l ＇：=3y -与点M 到点N 的距离相等，都是2r +，再利用抛物线的定义求解.【详解】由题意得，直线l ：1y =-，且圆N ：()2234x y +-=，设圆M 半径为r ，则点M 到l ＇：=3y -与点M 到点N 的距离相等，都是2r +， 故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l ＇为准线的抛物线，故方程为212x y =． 故答案为：212x y =14. 若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m ≥+，则22111222A A A C A A m m m n m n m n ----=++_____________．（请用一个排列数来表示） 【答案】2A mn - 【解析】【分析】根据排列的意义及分类加法计数原理，对其中两个指定的元素,a b 分类求解即可. 【详解】从n 个元素中选取m 个元素排列到m 个位置上去，对于两个指定的元素,a b 进行分类，,a b 都被选出来，有222A A m m n --种排法，,a b 中有一个被选出来，有11122C A A m m n --种排法，,a b 都没有被选出来，有2A mn -种排法，所以221112222A A A C A A A mm m mn m n m n n -----=++． 故答案为：2A mn -.四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 大小；（2）试求ABC 面积S 的最大值. 【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得到关于cos C 的方程，解出cos C ，进而得到C ；（2）根据正弦定理求得c ，根据余弦定理，结合基本不等式可得12ab ≤，代入三角形面积公式求得面积的最大值.的【详解】（1）由22sincos 212A BC ++=得：()2cos 212sin cos cos 2A B C A B C +=-=+=- 即22cos cos 10C C +-= 解得：1cos 2C =或cos 1C =-（舍） 3C π∴=（2）由正弦定理得：2sin 4sin3c R C π===由余弦定理得2221122cos 222c a b ab C ab ab ab ==+-≥-⋅=当且仅当a b ==ab 取得最大值1211sin 1222S ab C ∴=≤⨯=，即ABC ∆面积S 的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积的最值问题，关键是能够利用余弦定理构造出基本不等式的形式，从而得到积的最大值.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可；（2）以D 为坐标原点，,,DA DB DP 为,,x y z 轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】因为60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，所以在ABD △中，由余弦定理得2222cos DB AD AB AD AB DAB =+-⨯⨯∠，解得DB =，所以在ABD △中222AD DB AB +=，所以BD AD ⊥，又因为PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 因为AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面PAD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂平面PAD ， 所以PA BD ⊥.小问2详解】因为PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 结合（1）可知,,DP DA DB 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DB DP 为,,x y z 轴建立如图所示坐标系，所以()0,0,1P ，()1,0,0A，()B，()C -，所以()1PB =- ，()1,0,1PA =-，()1PC =-- ，设平面APB 的法向量()111,,x n y z =，则11110PB n z PA n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得n = ， 设平面CPB 的法向量()222,,m x y z =，则222220PB m z PC m x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得(m = ，所以cos ,n m n m n m⋅===，所以结合图像可得二面角A PB C --的余弦值为. 17. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交【于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 方程； （2）求PAB 的面积.【答案】（1）221.124x y +=（2）92【解析】【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知a =，又2224b a c =-=，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线y x m =+，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出AB 中点为00(,)E x y 的坐标，再根据△PAB 为等腰三角形知PE AB ⊥，从而得PE 的斜率为241334mk m -==--+，求出2m =，写出AB ：20x y -+=，并计算||AB =，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．【详解】（1）由已知得c =c a =a =，又2224b ac =-=， 所以椭圆G 的方程为221124x y +=．（2）设直线l 的方程为y x m =+，由22,{1124y x m x y ，=++=得22463120x mx m ++-=，① 设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y （12x x <），AB 中点为00(,)E x y ， 则120324x x m x +==-，004my x m =+=， 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE AB ⊥．所以PE 的斜率为241334mk m -==--+，解得2m =，此时方程①为24120x x +=．解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以||AB =， 此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离d ， 的所以△PAB 的面积1922S AB d =⋅=． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．18. 某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X ．（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数） 【答案】（1）14（2）（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）19 【解析】【分析】（1）先设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，事件A 包括两种情况，分别算出概率即可. （2）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21，由（1）可得2X =，3，…，19的概率，因为19次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖，所以求20X =的概率时，可以包括前18次没中第19次中了积分奖第20次一定中现金奖或前19次没中奖第20次中现金奖两种情况，分别写出概率列出分布列求期望即可.【小问1详解】设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，则事件A 包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，其中中了积分奖的概率为111224⨯=， 则()1111111222244P A =⨯⨯+⨯⨯=，所以直到第3次才抽到现金奖的概率为14． 【小问2详解】（ⅰ）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21．()112P X p ==， ()()()()()21211111121222i i i P X i p p p p p p p ---==-⋅⋅+-⋅=--，2i =，3，…，19， ()()()()18191811120111222P X p p p p ==-⋅+-⋅=-，()()()1919112111122P X p p ==-⋅⨯=-，所以X 的分布列为 X 12…i…2021P12p ()122p p - … ()()21212i p p p --- … ()18112p - ()19112p - 其中2i =，3，…，19． （ⅱ）()()()()()()12111112232121192222i E X p p p p p p i p p p -=⨯+⨯-+⨯--++⨯--++⨯ ()()()1719181112120(1)211222p p p p p --+⨯-+⨯- ()()()()()()217181911212231411911011222p p p p p p p p ⎡⎤=+-+-+-++-+-+-⎣⎦ ，令()()()21723141191S p p p =+-+-++- ，则()()()()()23181213141191p S p p p p -=-+-+-++- ， 作差得()()()()()23171821111191pS p p p p p =+-+-+-++--- ，则()()()17181112191p p pS p p⎡⎤---⎣⎦=+--，所以()()()()()18182111192221222p p p p p S p p p p ⎡⎤----⎣⎦-=-+---，()()()()()()()181818192111192122110112222p p p E X p p p p p p p⎡⎤----⎣⎦=+-+---+-+-，()()()()()()()1818181921219212110112222p p p E X p p p p p p --+=----+-+-，()()()()()18221921121012222p p E X p p p p p ⎡⎤-+=+----++-⎢⎥⎣⎦()18111122p p pp ⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭，代入0.01p =，因为180.990.8345≈，所以得()19E X ≈， 所以X 的数学期望()E X 约为19.19. 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点； （2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21e sin e axg x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）y x =，说明见解析（2）（ⅰ）切线方程为0y =，（ⅱ）1ea ≥ 【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数y x =的左导数和右导数，即可说明； （2）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线； （ⅱ）()()221e sin e axf x xx x +=--，通过利用导数研究函数()g x 的性质，解决()f x 的极小值问题，从而求a 的取值范围.【小问1详解】y x =，0x =为该函数的极值点，当0x ∆>，()()000000lim lim lim 1x x x x f x f x x x x∆→∆→∆→∆-+∆-∆===∆∆∆， 当0x ∆<，()()000000lim lim lim 1x x x x f x f x x x x ∆→∆→∆→∆-+∆--∆===-∆∆∆，则该函数在0x =处的左导数为1-，右导数为1，所以该函数在0x =处不可导.【小问2详解】（ⅰ）根据题意，(0)0g =，则切点()0,0，又()212e sin cos ax g ax x x x x +'=--，则(0)0k g '==，所以切线方程为0y =；（ⅱ）()()22213221e sin e e sin e ax ax f x x x x x x x x ++=--=--， 因为当0x ≠时，20x >，故()f x 与()g x 同号，()21e sin e ax g x x x +=--，先考察()g x 的性质，由于()g x 为偶函数，只需分析其在()0,∞+上的性质即可，()212e sin cos ax g ax x x x x +'=--，()0,0g '=，设()()212e sin cos ,0,ax m ax x x x x x ∞+=--∈+，则()()222124e 2cos sin ax a a x x x x m x +=+-+'，()2e 20m a =-'，则必有()2002e a m =-'≥，即1ea ≥. ①否则，若()2002e a m =-<'，即1e a <， 则必存在一个区间()0,m ，使得()0m x '<，则()g x '在()0,m 单调递减，又()00g '=，则()g x '在区间()0,m 内小于0，则()g x 在()0,m 单调递减，又()00g =，故()g x 在区间()0,m 内小于0，故()f x 在区间()0,m 内小于0，则0x =不可能为()f x 的极小值点.②当1ea ≥时，()22111e e sin e e sin e x ax g x x x x x ++=----≥， 令()211e e sin e x h x x x +=--，()2112e sin cos ee x x h x x x x +'=--， 令()2112e sin cos ex e x x x x s x +=--， 则()2112e 224e 2cos sin e e x x x x x s x +'⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 易知2112e 224e e e x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上单调递增， 对2cos sin y x x x =-+，2sin sin cos 3sin cos y x x x x x x x '=++=+，则3sin cos y x x x '=+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上大于0， 故2cos sin y x x x =-+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()2112e 224e 2cos sin e e x x x x x s x +'⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()00s '=，故()0s x '≥，故()h x '在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()00h '=，故()0h x '≥，故()h x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()00h =，故()0h x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()21e sin e 0ax x x x g x h +=-->≥，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，由偶函数知π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x >， 故0x =为()f x 的极小值点，所以a 的取值范围为1ea ≥. 【点睛】关键点点睛：最后一问中由()()221e sin e ax f x x x x +=--，通过利用导数研究函数()g x 的性质，解决()f x 的极小值问题，从而求a 的取值范围.。

2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．322．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-4．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D5．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．在等腰直角三角形ABC中，,2C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5π BC ．12πD ．20π8．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦ B．⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎣⎭10．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4CD．11．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.12．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 已知，若的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则=（ ）A ．32B ．64C ．128D ．2562. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T 近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（ ）A ．3.6天B ．3.0天C ．2.4天D ．1.8天3. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 若实数，，满足，则（ ）A．B．C．D．5.已知，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．6. 若，则等于（　）A ．-1B ．2C ．3D ．67. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 与平面AB 1D 1的交点为M ，O 为线段B 1D 1的中点，则下列结论错误的是（ ）A ．A ，M ，O 三点共线B ．M ，O ，A 1，A 四点共面C ．B ，B 1，O ，M 四点共面D ．A ，O ，C ，M 四点共面8. 已知a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）A．B ．的图象关于点对称C．D ．（）10. a ，b 为两条直线，，为两个平面，则以下命题的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，，，则D ．若，，则不正确11.已知函数，则（ ）A．有两个极值点B．有两个零点C ．恒成立D ．恒成立12. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期高考前压轴(三)数学试题(1)湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期高考前压轴(三)数学试题(1)三、填空题四、解答题下列说法中正确的是（）A．成绩在内的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000C ．考生竞赛成绩的平均分约为分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分13.设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是_______．14.在四面体中，，，，则其外接球的表面积为___________.15. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．16.设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像，若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．(1)已知，证明：点是的0度点；(2)求函数的全体2度点构成的集合．17. 随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程，其中18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为(1)证明：；(2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值.19. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式（2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围.20. 将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点．（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．21. 如图，设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量.(1)求的概率；(2)求的分布列及数学期望.。