共边三角形定理

A ECBD【学习目标】1、掌握共边定理的特征及性质；2、会运用共边定理分析底、高及面积关系。

【知识与方法】【经典例题】【例1】在△ABC 中，AD=DC ，2AE=EB ，△ABC 的面积是△AED 的几倍？【例2】△ABC 面积是30cm ²，D 是BC 的中点AE=2ED ，阴影部分的面积是多少？【例3】三角形ABC 中，如图，D ，E 为两个三等分点，F 为AB 中点，若△EDF 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。

练一练：图中三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE=EF=FC ，已知三角形ABC 的面积是120平方厘米，三角形DFC 的面积是多少？AEDCFB【例4】如图，长方形ABCD的长为8厘米，宽为6厘米，E、F分别为所在边的中点。

阴影部分的面积是多少平方厘米？【例5】在边长是12厘米的正方形内取一点P，将P点和边AD，BC的三等分点及AB，CD的中点连接起来（如图）。

求阴影部分的面积。

【例6】下图中，O是平行四边形ABCD内的一点，AD=3BE。

已知三个空白三角形面积分别是19，20，35平方厘米，三角形BOC的面积是多少平方厘米？【例7】如图，已知S△ABC=1，AE=ED，BD=32BC，求阴影部分的面积。

【例8】如下图，已知BO=2×DO，CO=5×AO，阴影部分面积的和是11平方厘米，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【例9】梯形ABCD中，AE与DC平行，S△ABE=15，S△BCF等于多少？练一练：如图所示，将△ABC的三条边三、四、五等分，得E、F、G点，已知△AEF的面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。

第九讲三共定理之共边定理第九讲三共定理之共边定理共边定理是三共定理中的一个重要定理，它与三角形的边长和内角之间的关系密切相关。

在本文档中，我们将详细介绍共边定理的定义、性质和应用。

1. 定义共边定理是指在一个三角形中，两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。

也就是说，对于三角形ABC，有以下条件成立：- AB + BC > AC- AB - BC < AC2. 性质共边定理具有以下主要性质：- 共边定理可以用于判断三角形是否存在。

如果三边的和大于任意一边，且任意两边的差小于第三边，则该三角形存在；否则，该三角形不存在。

- 共边定理可以用于判断是否可以构成锐角三角形、钝角三角形或直角三角形。

如果三边的和平方小于等于两边的平方和，则构成锐角三角形；如果三边的和平方大于两边的平方和，则构成钝角三角形；如果三边的和平方等于两边的平方和，则构成直角三角形。

- 共边定理可以用于计算三角形的边长。

已知两边和夹角的情况下，可以通过共边定理计算第三边的长度。

3. 应用共边定理在实际问题中具有广泛应用，主要包括以下方面：- 地理测量学：共边定理可以用于测量不便直接测量的距离，例如测量两座山峰之间的距离。

- 建筑设计：共边定理可以用于设计和检测各种角度的房屋、桥梁和其他结构的稳定性。

- 金融领域：共边定理可以用于计算投资回报率和风险与收益的平衡。

在实际应用中，我们需要充分理解共边定理的定义和性质，并善于运用它来解决实际问题。

以上就是第九讲三共定理之共边定理的内容。

通过学习共边定理，我们可以更好地理解三角形的边长和内角之间的关系，以及如何应用共边定理解决实际问题。

深入掌握共边定理对我们的学习和工作都具有重要意义。

共边定理及其应用与推广几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶 点的连线被公共边所截得的线段比.定理 如图1，设直线AB 与CD 交于M ，则有ABC ABD S CM S DM∆∆= (共有四种情形).这个定理的证明基于一个基本的事实:共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下. 证明 ABC ABC ACM ADM ABD ACM ADM ABDS S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆= AB CM AM CM AM DM AB DM ==. 由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应用.二、共边定理的应用1.有关线段的问题例1 凸四边形ABCD 的两边,AD BC 延长后交于点K ；两边,AB CD 延长交于L ，对角线,BD AC 延长后分别与直线KL 交于,F G ，如图2.求证:KF KG LF LG=.该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线的线段比.此题是数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题》前言中提到的有趣的几何题.题目的证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件.但此题倘若利用共边定理来解决会变得很简单，具体证法如下.证明 KBD KBD KBL LBD KBL LBD S S S KF LF S S S ∆∆∆∆∆∆== =ACD ACK ACL ACD S S CD AK CL AD S S ∆∆∆∆= =ACK ACL S KG S LG ∆∆= 注 该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比.2.有关面积的问题例 2 在ABC ∆的三边,,BC CA AB 上，分别取点,,X Y Z ，使13CX BC =，13AY AC =，13BZ AB =.连,,AX BY CZ 三条线，围成LMN ∆，如图3.问LMN ∆的面积是ABC ∆面积的几分之几?解由于LMN ∆与ABC ∆不是公边三角形，为计算LMN ∆，将其转化为与ABC ∆公边的三角形MBC ∆，NCA ∆，LMN ∆来计算.先求MBC S ∆.ABC ABM BCM ACM MBC MBCS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=712AY AZ CY BZ =++=.又27NCA ABC S S ∆∆=， ∴27MBC ABC S S ∆∆=. 同理，27LAB ABC S S ∆∆=， ∴17LMN ABC S S ∆∆=. 3.有关平行的问题现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线AB 与CD 交于一点M ，但是如果AB 与CD 不相交呢，会有什么情况?首先会不会有AB 与CD 不相交的情况呢?当然会.当ABC ABD S S ∆∆=，且CD 与AB 同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图4:通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了.这个几何事实描述为:若点,C D 在AB 的同侧，//CD AB 的充要条件为ABC ABD S S ∆∆=.有了这一定理就可以不用平行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法”.下面我们通过一个例题来说明其应甩例3 已知线段AB 与一条平行于AB 的直线l ，取不在AB 上也不在l 上的一点P ，作,PA PB 分别与直线l 交于点,M N ，连结,AN BM 交于O ，连PO 交直线AB 于Q ，如图5.求证:AQ BQ =.证明：AOP AOP AOB POB AOB PPOBS S S AQ BQ S S S ∆∆∆∆∆∆==PMN AMN BMN MNP S S PN AM NB PM S S ∆∆∆∆== 1AMN BMN S S ∆∆==. 注在证明最后一步中运用了//AB l ，推导出了AMN BMN S S ∆∆=.实际上此题还解决了在平面内给定两点,A B 和平行于AB 的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB 的中点的操作方法.类似的方法还可以证明出PQ 平分l .如此一来，便得到了梯形中常见的一个结论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底.此外，在这个过程中还有一个结论1PN AM NB PM=，实际上得到了平行线分线段成比例定理.共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明. 三、共边定理的推广下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理.共面定理：设直线PQ 与平面ABC交于一点S ，如图6，则有P ABC Q ABC V PS V QS--=.该定理可用于立体几何的计算与证明.此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题.那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢?(1)可接受性共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一(2)通用性平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了.为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性.(3)对等性利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程.在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共边定理的作用不容小觑，掌握好这个定理，对初中几何学习是大有帮助的.。

首先是从三角形面积公式开始，12S =⨯底高 于是出现两种等面积模型：（1） （2）两个图中均有面积ABD ACD S S ∆∆=，这是最基本的模型，由它延伸出来的有：（1）推论：ABD ACD S a S b∆∆= ABE ACE S a S b∆∆=（也叫风筝模型） ABF ACF S a S b∆∆=（也叫燕尾模型）注意此模型的应用！ ABH ABC S b S ∆∆=，AGH ABHS a S ∆∆=，故AGH ABC S ab S ∆∆=（也叫共角模型） BD :CD=1 : 1B m ∥nnmBD :CD=a : bB BD :CD=a : bBBD :CD=a : bB AH :AC=b : 1AG :AB=a : 1B举例 连结CE （题目中第一空所求应为阴影面积之和） 由2BD CD =知23ABD ABC S S ∆∆=，13ACD ABC S S ∆∆= 又AE ED =，故13ABE DBE ABC S S S ∆∆∆==， 16CDE ACE ABC S S S ∆∆∆==， 23ABE ABE BCE BDE CDE S S AF FC S S S ∆∆∆∆∆===+ 15AEF ACD S AE AF S AD AC ∆∆=⋅=，即115AEF ABC S S ∆∆=一半模型：ABCD 中，12ABE ABD ABCD S S S ∆∆== E 为梯形ABCD 腰上中点，1122ADE ADF ABCD S S S ∆∆== E 、G 为中点，12ABCD S S =阴影 共边定理（ （2）的重要推论 ）：ABD BDE S AC S CE ∆∆=E AAB。

三角形中的模型（一）知识点详解1“燕尾模型”：面积比转化为边之比D 是BC 上任意一点，1423:::S S S S BD DC==证明：法一：S 1与S 4共边ED,则S 1与S 4同高，令S 1：S 4=BD:DC=ma:mb ，同理，令S △ABD ：S △ADC ＝BD:DC=na:nb 则S2:S3=(na-ma):(nb-mb)=a:b=BD:DC法二：△BED 与△CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；△ABE 与△EBD 同高，12::S S ED EA =；△ACE 与△CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.2题目类型(1)基础类型可直接利用三角形三条边上的燕尾模型，由“底边之比决定面积之比”来解题。

往往题目会只给出两条由定点出发的分先，需自己添加第三条分线为辅助线，即形成“”形状。

(2)拓展类型利用“多于两条分先围成的面积不可直接求”先判断哪些部分可利用燕尾模型直接求解，然后制定求解策略、逐一求解。

例题详解例1分析：份为令△1BDF S 53231:1::62:1::31:1::22:1:+⇒==⇒==⇒==⇒=份均为、份为份为份为△△△△△△△△△△△S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD EFC AEF EFC AEF AFC AFC ABF ABF BFC ABF DFC例2分析：1:8:1:8:8)31(21:2::33:1:1=∴==+×⇒==⇒=OE BO S S S DC BD S S S EC AE S AOE ABO AOB AOC AOB EOC AEO △△△△△△△∵份为份为份为令例3分析：16:27::16:124:3::27:129:4::==∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S SBOC AOC BOC AOB AOC AOB△△△△△△例5分析：2296321232222112221121:1::21:1::11:1::1cm S ABCD AGCD S EB AE S S S FB CF S S S EB AE S S SAGCD GCB GCB AGC AGC AGB AGC GEB GEB AGE AEG=×==×+++++++∴∴==∴==∴==）（的占正方形四边形份为，∵份为，∵份为，∵份为令△△△△△△△△△△例6分析：135144135144648381262)216(45120)45(80)216(40408021645::408045216::==∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=−⎩⎨⎧+=+=+++=⇒==++⇒===AOE BOF BOC ABO COE AOE AOC ABO ODC OBD AOE BOF S S y x x y x y x y y x xy S S S S y x S S S S yS x S △△△△△△△△△△△△，解得整理得即∵∵，例4分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGCABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成1份，则AGC S △=1×2=2份，AGB S △=2×2=4份713721724212=×−==++=∴GHI AGC S S S S △△，则家庭作业1分析：72216,218,722142,21186421182443121:2::12262:1::62)21(1:2::22:1::33:2:,1====+==++++=∴=×==÷=⇒===×⇒===×+⇒==⇒==⇒=ABF BFD EFDC AE FDC FDC FDC BFD BFC BFC ABF ABF AFC ABF EFC EFC AEF DFC AEF S S S S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S △△△△△△△△△△△△△△△△△△份份，份为份为份为份为份为令2分析：731733311733734:3:::11:3::31:1::31:3:,1 ,CE =∴==++++⇒===⇒==⇒==⇒=阴影△△△△△△△△△△△△△△∵面积的阴影部分占△份为份为份为份为份为令S S ABC S FC AF S S S S S DC BD S S S DE AE S S S DC BD S ABC AEF BEC ABE EFC AEF AEC AEC ABE BED BED ABE BDECED 3分析：2:56:15::6:103:5::15:103:2::===∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S S BGC AGC BGC ABC AGC ABG △△△△△△4分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGCABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成9份，则AGC S △为9÷3×4=12份，AGB S △为12÷3×4=16份23717437133712137129161212=×=∴=×−==++=∴GHI ABC GHI ABC AGC S S S S S △△△△△，则5分析：2DFE 5522452)21333(2332:1::31:1::3211:1:::22:1:: 1 S cm S ABCD S S EC DE S S S FC BF S S S FG DF S S S S S EC DE S S BFG BDF GHD BGH BHD BFC DFB FGC BFG DFB CFG DFC EFC EFC DEF =×=∴=×+++++∴==∴===+∴===∴==阴影△△△△△△△△△△△△△△△△面积的阴影部分占长方形份为、，∵份为，∵份为，∵份为，∵E D B6分析：设yS x S EOC AOF ==△△，24646422*********262::4262::=+++++=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=−++=⇒==++⇒=ABC BOC AOC BOF AOF AOC ABO ODC OBD S y x y x y x yx S S S S y x S S S S △△△△△△△△△解得整理得∵∵超常挑战N M GA BCD EF分析：若知道△AMN 占ABC △的面积的比即可只ABC △的面积，△AMN 是由3条等分线围成的不可直接用燕尾求面积。

共边共角相似三角形及其应用一、基本概念：1.定义：如图，△ABC与△ACD有一条公共边AC和一个公共角∠ A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形.这样的两个三角形若又有一个角对应相等，则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角相似三角形.2.性质定理：共边共角的两个相似三角形的公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项.如图1，在△ABC中，∠ACD=∠B，则△ACD∽△A BC，那么可得：AC2= AD·AB .特别地，当△ABC是直角三角形，且CD⊥AB时(如图2)，AC2 =AD·AB，即为射影定理.二、应用举例：例1.如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B 两点，OP与AB相交于M，C是上一点. 求证：∠OPC=∠OCM .分析：若∠OPC=∠OCM，又∠O=∠O，所以必有△OCM∽△OPC，显然，这一结论只有通过“两边对应成比例，夹角相等”来实现.为此，应当设法证明= ，即OC2= OM·OP.这由OA2= OM·OP, OA= OP 即得.评析：图中△OCM与△OPC 为共边共角相似三角形.例2. 已知⊙C的半径为R，⊙O 过点C，且与⊙C相交于A、B 两点. D为⊙O上一点，弦AB、CD 相交于点E. 求证：CE·CD为定值（云南中考）分析：如图4，由于CE是线段CD的一部分，可构造以C为公共顶点的共边共角三角形.由于⊙C的半径已知为R，所以，只要能与R建立联系，即可得证. 为此，连结AC、AD 由∠ACE是公共角，及∠CAE =∠D，即得△ACE ∽△DCA，从而，CE·CD = R2为定值.评析：图中，△ACE与△D CA 是共边共角相似三角形.例3. 在圆内接四边形ABCD中，BC= CD= 4cm, AC交BD于E，AE=6 cm, 设BE=xcm ,DE = ycm , x、y 均为整数，求x、y 的值（河南省初三数学竞赛试题）解：如图5, 由相交弦定理: x·y = AE·CE = 6CE ,故要求x、y的值，必须先求CE的长. 注意到∠3 =∠1，联想到△CBE与△CAB是共边共角的相似三角形，可得：BC2 = CE·CA∴ 42= CE·（CE + 6），可得CE=2 或CE=－8（舍去），从而，x·y = 6×2 =12 ，∴x=3, y =4 或x=4, y=3 .评析：△CBE与△CAB是共边共角相似三角形例4.已知AC、AB是⊙O 的弦, AB＞AC.⑴如图6, 能否在AB 上确定一点E,使AC2 = AE·AB, 为什么?⑵如图7, 在条件⑴的结论下延长EC到P, 连结PB.如果PB=PE, 试判断PB和⊙O 的位置关系, 并说明理由.⑶在条件⑵的情况下, 如果E 是PD的中点, 那么C是PE的中点吗?为什么?(重庆中考题)分析：⑴观察图6，联想共边共角相似三角形的特征，那么只要AB上的点满足：∠ACE=∠B即可.为此连结并延长CE交⊙O于点C ' （如图6），所以只要=.故，满足题目要求的点E是存在的.作法：在优弧上取=.连CC’ ,交AB于点E,即可. 且AC2 = AE·AB.这里，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形⑵由⑴及PB =PE 可得∠3 =∠A，过B⊙O的直径，那么可证PB是⊙O的切线( 如图7);⑶连结BD，即可证明△PBC与△PBD是共边共角的相似三角形，那么PB2 = PC·PD，又PD=2PE, PE=PB, 可得C是PE的中点 .评析：⑴中，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形；⑶中，△PBC与△PBD是共边共角相似三角形.参考习题1. 如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD，D 是的中点，BC、AD的延长图5线相交于点 E ，DH 切⊙O 于D ，交EB 于点H.⑴ 求证：DH 平分∠CDE ；⑵ 在图中的已知线段中找出两条线段，使它们的积等于DE 2，并加以证明.（平顶山市模拟试题）2.已知如图，在△ABC 中, AB=AC, 过点A的直线与△ABC 的外接圆O 交于D, 与BC 的延长 线交 于 点F , DE 是BD 的延长线,连接CD.求证: ⑴ DF 平分∠EDC; ⑵ AB 2=AD·AF;⑶ AF 2－AB 2=AF·DF .(四川中招)——————备 用 习 题——————1.如图，PA 切⊙O 于A ， 割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点, AD 的延长线交 ⊙O 于E ，又BE 2 =DE·AE ， 求证： ⑴ PA =PD⑵ 2PB 2 = AD ·DE[ 提示: 由切割线定理证PA =2PB , ∴ B 是PD 的中点)2.如图，ΔABC 内接于⊙O ，AB = AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于点E ，（1）求证：ΔABE ≌ΔACD ；（2）若AB = 6cm,BC = 4 cm,求AE 的长.（吉林）3. 如图,在⊙O 中, PAB 是经过圆心的割线, PC 切⊙O于C, 若∠PAC = 120°, PA = 2cm,则PC =________cm;解：由PC 是切线，∠PAC = 120°,及AB 是直径 可得： ∠PCA=30°， 从而， AC=PA = 2cm, AB = 4cm , 再由PC 2=PA·PB ， 可得：PC=2 ；评析： 图中△PAC 与△PCB 是共边共角相似三角形 ；4 .如图，PA 为⊙O 的切线，从PA 的中点B 做割线BCD ，交圆于点C 、D ，连结PC 、PD 分别交圆于点E 、F . 求证：∠APD = ∠EFD.(河南省 中考题）（图8）（图9）5.已知如图，A 是⊙O上一点，割线PC交⊙O于B、C两点，PD是PB和PC 的比例中项，PA=PD，连结AD并延长交⊙O于E,求证：BE= CE. (四川）6.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A、B为切点，AP的延长线交⊙O2于D，BP的延长线交⊙O1于C. 求证：⑴ AP·AD= BP·BC；⑵ AB2= AC·BD；⑶ PA·PB = PC·PD.7.如图，已知⊙O1 和⊙O2 外切于点A，直线BC切⊙O1于B，切⊙O2 于C，交O1O2于P.求证：⑴ PA2= PC·PB; ⑵. 若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x+ 3 = 0的两根，求△ABC的周长及PD的长.。

勾股定理（Pythagorean Theorem）是数学中一个重要的定理，在共边直角三角形中也有广泛的应用。

共边直角三角形是指三角形中有两边相等的三角形，通常称作等腰直角三角形。

勾股定理告诉我们，在等腰直角三角录中，斜边的平方等于其他两边的平方之和。

具体来说，如果三角形的两条相等的边长分别为a，b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。

在共边直角三角形中，我们可以通过勾股定理来求解各种问题。

例如，我们可以通过勾股定理来求出斜边的长度，也可以通过勾股定理来求出其他两边的长度。

例如，假设我们已知等腰直角三角形的两条边长分别为5和12，则我们可以通过勾股定理来求出斜边的长度。

根据勾股定理，我们可以得到：5^2 + 12^2 = c^2。

将5^2和12^2带入可得：25 + 144 = c^2。

将两边相加得到169，因此c^2 = 169。

取平方根得到c = 13。

因此，斜边的长度为13。

勾股定理在共边直角三角形中的应在共边直角三角形中，勾股定理可以被用来求解各种问题。

例如，如果我们知道两条直角边的长度，我们可以使用勾股定理来求解斜边的长度。

另外，我们还可以使用勾股定理来求解三角形的面积，以及其他各种角度的大小。

因此，勾股定理在共边直角三角形中是一种非常有用的工具，可以帮助我们快速求解各种数学问题。

此外，勾股定理也可以用来证明共边直角三角形的各种性质。

例如，我们可以使用勾股定理来证明直角边互相垂直，以及斜边是正方形的对角线。

这些性质对于我们进行几何推理和计算都非常重要。

总之，勾股定理在共边直角三角形中是一种非常有用的工具，可以帮助我们快速求解各种数学问题，同时还可以用来证明三角形的各种性质。

如果你想要更好地掌握勾股定理的应用，建议你多做一些练习题，加深对勾股定理的理解。

共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则SPM PABSQM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB 知识框架【例 1】 如图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA例题精讲【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.EFB A【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA【例 4】 如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE F【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？M N【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE O【例 6】 如图，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

共边比例定理
（实用版）
目录
1.共边定理的概念
2.共边定理的证明
3.共边定理的应用
4.结论
正文
一、共边定理的概念
共边定理是指在两个相交线段组成的两个三角形中，如果这两个三角形有一个公共边，那么这两个三角形的面积之比等于这个公共边的长度与它到另一个公共顶点的距离之比。

这个定理在解决一些几何问题时非常有用，尤其是在求解一些比例问题时。

二、共边定理的证明
为了证明共边定理，我们可以将问题分为四种情况进行讨论：
1.当两个三角形的高相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的底边长度之比。

2.当两个三角形的底边相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的高之比。

3.当两个三角形的高和底边都不相等时，我们可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。

4.当两个三角形的高和底边都不相等，且它们的顶点也不在同一条直线上时，我们同样可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。

三、共边定理的应用
共边定理在实际应用中非常广泛，它可以用来求解一些比例问题，例如在求解三角形的面积比例时，我们可以通过共边定理来求解。

另外，共边定理还可以用来证明一些几何问题，例如证明两个三角形的面积之和等于另一个三角形的面积等。

四、结论
共边定理是几何学中的一个基本定理，它对于解决一些比例问题和几何问题非常有用。

共边三角形定理的证明及应用
共边三角形定理是一种广泛的几何定理，它可以提供重要的指导，以便快速准确地推断某些几何特性。

共边三角形定理可以用数学语言来描述：当三条直线相交时，任一直线上的两条内角的和等于另外一直线上的那一内角的度数。

这个定理的证明是将这一性质抽象成一种普遍类型的三角形：三角形ABC，其中AB和BC是它的共边（这也就是定理的名字提示：共边三角形定理）。

证明这个定理需要使用平行线定理：如果线段AB平行线段CD，则一边平行一边垂直的角相等。

可以证明：如果AB平行CD，那么∠A=∠C，∠ B=∠D。

这就意味着三角形ABC 和三角形ADC具有同样的三边，因此它们有相同的两个内角，例如∠A=∠C和
∠B=∠D，所以这可以用来证明共边三角形定理。

这个定理还有很多实用的应用，比如在工程设计中分析和计算不同几何形状的尺寸大小和形状。

在三角形上应用这个定理可以计算出未知边长，从而准确计算出每个角的度数。

这可以节省大量的时间和精力，使工程绘图获得更大的准确性。

另外，它还可以用来解决棘手的几何问题。

比如，当某些边增加时，需要计算出某个三角形中某个角的度数，可以使用这个定理，在增加的一边的时候，轻松准确地得出角的度数。

总之，共边三角形定理是一种实用的几何定理，它可以用来证明和计算许多几何变换，而不需要耗费大量精力。

结论：共边三角形定理是一种广泛而有价值的几何学定理，它可以用来证明和计算几何变换，以及解决复杂几何问题。

共边定理和共角定理
共边定理（SSS定理）：
三角形三条边RM,RS,SM所对应的角（依次称为&alpha;角、&beta;角、&gamma;角），若满足以下等式：RM/RS=&alpha;角/&beta;角=SM/RS=&alpha;角/&gamma;角，则这三条边
所构成的是相等三角形。

共边定理又称为SSS定理，其来源于古希腊几何大师欧几里得的几何论文《几何》（Element）。

欧几里得提出的这一定理指出，若一个三角形的三条边的比值相等，则这
个三角形是等边三角形。

从解决问题的角度来看，欧几里得SSS定理可以帮助人们确定给
定三角形是否为等边三角形；从物理原理的角度来看，SSS定理可以帮助用户理解和抽象
三角形的概念；从数学应用的角度来看，欧几里得的SSS定理可以帮助人解决几何相关的
大多数问题。

HL定理，又称为共角定理，是由古希腊几何大师黑格尔提出的结论。

黑格尔利用直角三角形的特性推出的定理，认为若三角形的边满足某种比例关系，则它们的角也满足一定
比例关系，以此定理可以判断一个三角形是否是等腰三角形。

黑格尔的HL定理也可以用
来解决三角形面积和外接圆相关的问题，从而获得更多的几何理论。

同时，它也给出了比
例关系在几何学中的应用，是这个应用最经典的例子。

三角形共边定理三角形共边定理，也称为两边之和大于第三边定理，是几何学中一个基本的定理。

它指出：三角形的任意两边之和大于第三边。

这个定理对于我们研究和解决三角形问题非常重要。

它提供了一个判断三条线段是否可以构成三角形的条件，也帮助我们理解三角形的性质和特点。

让我们来看一下这个定理的几何证明。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB、BC、AC分别为三边。

我们要证明，AB + BC > AC。

我们可以通过画一条平行于AC的直线段DE，使得DE与BC相交于F点，与AB相交于G点。

这样，我们就得到了两个三角形，即三角形ABF和三角形CBF。

根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应边是平行的，即AB和CF平行，BF和AF平行。

根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应角是相等的，即∠ABF = ∠CBF。

根据三角形内角和定理，我们知道∠ABF + ∠BAC + ∠CBF = 180°。

将上述两个结论代入上式，得到∠BAC + ∠ABF + ∠CBF = 180°。

由于∠ABF = ∠CBF，所以可以得到∠BAC + 2∠ABF = 180°。

根据三角形内角和定理，我们知道三角形ABC的内角和为180°。

因此，我们可以得到∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。

将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - 2∠ABF = 0。

化简后得到∠ABC + ∠ACB = 2∠ABF。

根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。

因此，我们可以得到∠ABF + ∠BFC + ∠CFB = 180°。

将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - (∠BFC + ∠CFB) = 0。

化简后得到∠ABC + ∠ACB = ∠BFC + ∠CFB。

根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。

三角形共边定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，我们常常会遇到一种特殊情况，即三角形的两条边相等。

这种情况下，我们可以利用三角形共边定理来推导出三角形的其他性质。

三角形共边定理是指：如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边相等，且这两个三角形的夹角分别相等或互补，那么这两个三角形全等。

根据三角形共边定理，我们可以推导出三个重要的性质。

如果一个三角形的两边相等，那么它的两个夹角也相等。

这是因为如果两边相等，而夹角不相等，那么根据三角形内角和定理，三角形的三个角之和将大于180度，与三角形的性质相悖。

如果一个三角形的两边相等，那么它的两个夹角的补角也相等。

这是因为如果两边相等，而夹角的补角不相等，那么根据三角形内角和定理，三角形的三个角之和将小于180度，同样与三角形的性质相悖。

如果一个三角形的两个夹角相等，那么它的两边也相等。

这是因为如果两个夹角相等，而两边不相等，那么根据三角形内角和定理，三角形的三个角之和将不等于180度，同样与三角形的性质相悖。

三角形共边定理的应用非常广泛。

在实际问题中，我们常常需要利用这个定理来解决各种几何问题。

例如，当我们已知一个三角形的两边相等时，可以利用三角形共边定理推导出该三角形的其他性质，如角的大小、面积等。

又例如，在测量角度时，如果我们已知两条边的长度相等，那么可以利用三角形共边定理得出这两个角度相等的结论。

在设计建筑、制作模型等领域，三角形共边定理也有着重要的应用。

通过利用三角形共边定理，可以保证设计的建筑物或模型的稳定性和均衡性。

三角形共边定理是研究三角形性质的重要定理之一。

它通过描述三角形两边相等的情况，推导出了三角形的其他性质。

在实际问题中，我们可以利用这个定理来解决各种几何问题，应用范围广泛。

通过深入理解和应用三角形共边定理，我们可以更好地理解和掌握三角形的性质，为解决实际问题提供有力的工具和方法。

∆APB 面积︰∆AQB 面积＝PM ︰QM1如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝12BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴ DE ∥BC∴∠DBC ＝∠ADE 由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·DE/AB·BC ＝1/4∵AD ＝12AB ∴DE ＝12BC ． 这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（ ） A ．４C ．５D ．６B．3Ｅ．不确定解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC 的面积为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ． 这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目． 例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OB ＝OC·OD ＝1 即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥CDAABBPPMM共边定理图：四种位置关系QQABCDO问：共边定理怎么证线段相等？答：常常是共边与共角两个定理都会用到。

1共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S△PAB÷S△QAB=PM÷QM证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证证法2：S△PAB=(S△PAM+S△PMB)=(S△PAM÷S△PMB+1)×S△PMB=(AM/BM+1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM÷BM+1)×S△QMB÷S△QMB所以，S△PAB÷S△QAB=S△PMB÷S△QMB=PM÷QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=△QAB，则PQ∥AB2燕尾定理：因此图类似燕尾而得名。

是五大模型之一，是一个关于三角形的定理。

如图：△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O。

S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。

3蝴蝶定理证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。

∵OS⊥DA∴∠OSD=90°∵M为PQ中点蝴蝶定理的证明∴∠OMP=90°∴∠OSD=∠OMP=90°∴O，S，X，M四点共圆同理，O，T，Y，M四点共圆∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ，∵OM⊥PQ∴∠OMX=∠OMY=90°又OM=OM∴△OMX≌△OMY∴XM=YM。

共边三角形定理的证明及应用作者：施梅兰来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期定理在公共边长是a的两个三角形中，若以公共边的同一个端点为顶点的两个角都为锐角α，且这两个角的对边都是b，在两个三角形中若公共边所对的两个角互补，则另外两边的和为2acosα，积为a2-b2.已知：在△BDC和△BDA中，BD=a，BC=AB=b，∠BDC=∠BDA=α，且∠A+∠C=180°.求证：CD+AD=2acosα，CD·AD=a2-b2.证明（1）当∠A=90°时，结论显然成立.（2）当∠A≠90°时：证明1：①当A、C在BD的两侧时，如图1，在△BDC中，有余弦定理得：CD2-2a·cosα·CD+a2-b2=0.在△BDA中，有余弦定理得：AD2-2a·cosα·AD+a2-b2=0.因为∠A+∠C=180°，∠A≠90°，所以∠A≠∠C，所以CD≠AD.所以CD、AD是一元二次方程x2-2acosαx+a2-b2=0的两个不相等的实数根，从而CD+AD=2acosα，CD·AD=a2-b2.②当A、C在BD的一侧时，同理可得结论成立.证明2：①当A、C在BD的两侧时，如图2，以B为圆心，a长为半径作⊙B交AD于G，作BE⊥AD于E，过D作直线DF切⊙B于F，连结FB，则DF⊥BF，E是AG的中点，显然DG+AD=2DE=2acosα，DG·AD=DF2=a2-b2.连接BG，因为∠BCD，∠BGD都是∠A的补角，所以∠BCD=∠BGD，所以CD=DG，从而CD+AD=2acosα，CD·AD=a2-b2.②当A、C在BD的一侧时，同理可得结论成立.下面举例说明它的应用.例1 如图3，P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点.求证：（1）PA+PC=2PB；（2）PA·PC=PB2-AB2.证明如图3，连结PA、PB、PC，则在△APB和△BPC中∠APB=∠CPB=45°=α，公共边BP=a， AB=BC=b，∠PAB+∠PCB=180°则有上述定理得：PA+PC=2acosα=2PB，PA·PC=a2-b2=PB2-AB2.例2 如图4，△ABC中，∠C为定角，AC为定长，过三顶点作圆，D为该圆上一点，且AD=AB，连结CD，则BC+CD为定值.证明在△ACB和△ACD中，因为AD=AB=b，所以∠ACB=∠ACD=α（定值），公共边AC=a（定长），∠ABC+∠ADC=180°，则有上述定理得：BC+CD=2acosα=2ACcosα（为定值）.练习1：设P是等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，求证：①PB+PC=PA；②PB·PC=PA2-AB2.练习2：在△ABC中.D是AB上一点，且CD=BC，求证：AB·AD=AC2-BC2.说明这种题型也可仿照定理的两种证法，通过构造一元二次方程和构造圆来证明，进而培养学生思维的创造性.发展创造性思维，切实提高能力.作者简介施梅兰，女，1963年3月生，甘肃兰州人，中学高级教师.。