中等职业教育直线与圆的位置关系教案

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容二、新知探究设直线的方程和圆的方程分别是：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0如果直线和圆有公共点，由于公共点同时在直线和圆上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解。

反之，如果这两个方程没有公共解，则说明直线和圆没有公共点。

有如下结论：教学内容三、例题讲解例1 判断直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=5的位置关系。

解法1：求出圆的半径r=5，圆心（0，0）到直线的距离为：22|30405|d153(4)⨯-⨯+==+-＜所以直线与圆相交。

解法2：解方程组：223x4y50x y5-+=⎧⎨+=⎩解得：11x=-x=15y=22y=-5⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩或所以，直线与圆有两个交点，即：直线与圆相交。

例2 已知圆（x+1）2+（y-2）2=a与直线3x+4y+5=0相切，求a的值。

（引导学生预习下节课内容）解：由题意得：圆心（-1，2）到直线的距离等于半径，所以：所以a=r2=4江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：§8.7.2直线与圆的位置关系(2)教学目标1理解并能判断直线与圆的位置关系；2学会解决直线与圆相切的问题；3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力；重点直线与圆相切的问题；难点直线与圆相切的问题；教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、复习直线与圆的位置关系的判断方法二、巩固练习：判断下列直线l与圆C的位置关系：（1）l：10x y+-=，C：229x y+=（2）l：4380x y--=，C：()2211x y++=江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容二例题讲解例5 已知圆C的方程为2210x y+=，求过圆上一点P（3，-1）和圆相切的直线l的方程。

《直线与圆的位置关系》教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解直线与圆的位置关系的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆的位置关系。

教学内容：1. 直线与圆的定义。

2. 直线与圆的位置关系的分类。

教学步骤：1. 引入直线和圆的定义，让学生回顾相关概念。

2. 提问：直线和圆有什么关系？它们可以相交、相切还是相离？3. 引导学生观察和思考直线与圆的位置关系，让学生举例说明。

练习题目：a) 直线x=2与圆x^2+y^2=4b) 直线y=3与圆x^2+y^2=9c) 直线x+y=4与圆x^2+y^2=8第二章：直线与圆的相交教学目标：1. 让学生了解直线与圆相交的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相交的性质。

教学内容：1. 直线与圆相交的定义。

2. 直线与圆相交的性质。

教学步骤：1. 引入直线与圆相交的概念，让学生了解相交的含义。

2. 提问：直线与圆相交时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相交的性质，让学生举例说明。

练习题目：a) 直线y=2x+3与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第三章：直线与圆的相切教学目标：1. 让学生了解直线与圆相切的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相切的性质。

教学内容：1. 直线与圆相切的定义。

2. 直线与圆相切的性质。

教学步骤：1. 引入直线与圆相切的概念，让学生了解相切的含义。

2. 提问：直线与圆相切时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相切的性质，让学生举例说明。

练习题目：a) 直线y=3x+2与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第四章：直线与圆的相离教学目标：1. 让学生了解直线与圆相离的概念。

2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相离的性质。

课题：直线与圆的位置关系执教教师：刘迪单位：广饶县职业中等专业学校时间：2014-1-3直线与圆的位置关系一、教学目标1、掌握直线与圆的位置关系，会判断一条直线与圆的位置关系2、能够利用直线与圆的位置关系解决有关弦长，切线等问题二、重点与难点1、重点：直线与圆的位置关系的判断与应用，及弦长与切线问题2、难点：弦长与切线问题三、12年、13年考察情况（1）（2012年山东春季高考）求圆上的点到直线的距离的最大值（2）（2013年山东春季高考）设直线与圆的两个交点为A，B，则线段AB的长度为________四、教学过程【一】基础知识回顾12、直线与圆相交形成的弦长问题（1）利用圆中的特征三角形求解：弦心距d，半径r及弦的一半l满足：_______________________（2）弦长公式：若斜率为k的直线与圆相交于11(,)A x y，22(,)B x y则||AB==3、过圆上一点的圆的切线方程（1）过圆222x y r+=上一点00(,)P x y的切线方程是_____________________（2）过圆222()()x a y b r-+-=上一点00(,)P x y的切线方程是_____________________ 【二】例题讲解（一）直线与圆的位置关系的判断与运用例题1、（1）判断直线10x y-+=与圆22(2)2x y++=的位置关系22(1)(1)4x y-++=34140x y+-=x y--=2225x y+=方案一：（几何法）解：圆心为（-2,0）所以直线与圆相交 方案二：（代数法）由得： 所以直线与圆相交例题2、已知直线y x m =+与圆222x y +=，分别求直线与圆相交，相切，相离时m 的取值范围 解：相交时：解得： 相切时：解得： 相离时：解得：总结：一般情况下我们尽量用d 与r的关系去判断和利用直线与圆的位置关系，判别式法计算较为复杂，但是方法要熟练，在直线与圆锥曲线的问题中判别式法较为常用（二）直线与圆相交形成的弦长问题例题1、（2）若直线10xy -+=与圆22(2)2x y ++=相交于A ，B 两点，求弦|AB|的长 答案：练习：2013年春季高考题设直线0x y --=与圆2225x y +=相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度 答案：8总结：圆的特征三角形是解决直线与圆相交形成的弦长问题的有力工具，它将圆的半径，弦心距及弦长的一半由勾股定理联系在了一起（三）圆的切线问题例题3、求满足下列条件的圆224x y +=的切线方程（1）过点A （2）过点(2,4)B （3）过点B （1,3） 解：（1）因为点A 在圆上，所以切线方程为（2）点(2,4)B 在圆外，切线有两条 d =2=<2210(2)2x y x y -+=⎧⎨++=⎩22630x x ++=3624120∆=-=>d =<22m -<<d ==2m =±d =>22m m <->或||2||AB AD ==40x +-=①当k 不存在时，x=2恰好与圆相切②当k 存在时，设直线方程为：4(2)y k x -=- 即420kx y k -+-=2=得34k = 所以直线方程为：34100x y -+=综上有圆的切线方程为：X=2或34100x y -+=（3）学生自己处理331)31)33y x y x ----=--=-或 总结：解决此问题的方法要先判断点是否在圆上，若在圆上则直接利用公式写出切线方程，有且只有一条，若点在圆外，则切线有两条，但要注意是直线方程时，切线斜率存在性的问题（四）相离中的问题例题4、求圆22(1)(1)4x y -++=上的点到直线34140x y +-=的距离的最大值和最小值 答案：最大值3+2=5，最小值3-2=1总结：圆上的点到直线的最近距离和最远距离一般用圆心到直线的距离和半径的“差与和”来解决，但是当直线与圆相交时，最小距离是0【三】小结 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩几何法相交：弦长问题代数法过点的切线，点是否在圆上直线与圆相切：切线问题设直线，斜率是否存在相离：最值问题【四】作业及课后练习学案：本节练习。

《直线和圆的位置关系（第三课时）》教案教学目标教学目标：1. 理解切线的性质定理；2.会运用切线的性质定理进行计算与证明.教学重点：用切线的性质定理进行计算与证明.教学难点：用反证法证明切线的性质定理.教学过程时间教学环节主要师生活动2min活动一：复习回顾1.圆的切线是如何定义的?如果直线和圆只有一个公共点，那么这条直线叫圆的切线.2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?切线的判定方法有三种：（1）当直线和圆只有唯一公共点的时候，这条直线是圆的切线；（2）当圆心到直线的的距离等于半径的时候，这条直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.文图式经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA为⊙O半径，直线l⊥OA于A，∴直线l与⊙O相切于A.（直线l是⊙O的切线.）3.今天我们一起探讨圆的切线有什么性质？9min 活动二：探索性质根据切线的定义我们可以得到切线的如下性质：(如图)（1）切线l和⊙O有且只有一个公共点A (这个公共点A就是切点)；（2）圆心O到切线l的距离等于圆的半径.切线的判定定理，实际上可以看成：①OA为⊙O的半径（点A在⊙O上），②直线l⊥OA于A.③直线l是⊙O的切线.（交换判定定理的条件和结论，如果已知直线l是⊙O的切线，下面又可分为“切点已知”和“切点未知”这两种情况分别研究，我们先看“切点已知”的情况）问1：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA,直线l⊥OA吗？从现有知识看，不具备直接证明垂直的条件，我们可以考虑用反证法. 已知：直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA.求证：l⊥OA.证明：假设OA与直线l不垂直，则过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短，得OM＜OA，即圆心O到直线l的距离OM＜半径OA.∴直线l与⊙O相交，这与直线l是⊙O的切线矛盾.∴假设不成立，即l⊥OA.这样，我们就得到了切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.结合图形分析切线性质定理的条件和结论：文图式圆的切线垂直于过切点的半径.∵直线l与⊙O相切于A，（直线l是⊙O的切线,点A 是切点，）∴直线l⊥OA.可以看成：①OA为⊙O的半径，③直线l是⊙O的切线,点A是切点.②直线l⊥OA于A.（我们再来看“切点未知”的情况）问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？我们过O作直线l的垂线，设垂足是T，也就是OT⊥l于T.假设切点是A,由切线的性质定理,过切点A的半径OA⊥l于A，由于“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以垂足T就是切点A.也就是说，过圆心作切线的垂线，垂足就是切点.由此得到结论1：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.文图式经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点. ∵直线l与⊙O相切（直线l 是⊙O的切线），l⊥OA于A，∴点A为切点.实际上可以看成：③直线l是⊙O的切线，②直线l⊥OA于A . ①OA为⊙O 的半径.问3：请同学们课后研究：结论2: 经过切点垂直于切线的直线一定经过圆心.9min 活动三：性质的应用例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而由切线的性质，OD是⊙O的半径，因此只需证明OD = OE.证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.又∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.∵OE为⊙O的半径，OE⊥AC于E，∴AC与⊙O相切.例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是⌒AC的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.（1）求证：AC∥ED；（2）若OA = AE = 4，求弦AC的长.分析：这里有三个条件：（1）AB为⊙O的直径；（2）D是⌒AC的中点；（3）ED切⊙O于D. 特别要关注D的作用：它即是弧的中点，又是切点.（1）证明：连接OC，OD.∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED.∴∠1 = 90°.∵D是⌒AC的中点，∴⌒AD= ⌒CD，∴∠2 = ∠3，又∵OA = OC，∴OD⊥AC，∴∠4 = 90° =∠1，∴AC∥ED.（2）连接AD.∵∠ODE = 90°，OA = AE = 4，∴142AD=EO=.又∵OA = OD = 4，∴△ADO为等边三角形.由（1）OD⊥AC，设垂足为F，∴12AF=AC，在Rt△ADF中，可得23AF=，∴243AC=AF=.2min 活动四：课堂小结课堂小结：1.切线的判定与性质的关系：(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.①OA为⊙O的半径（A在⊙O上），②直线l⊥OA于A.③直线l是⊙O的切线.(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.①OA为⊙O的半径，③直线l是⊙O的切线, 点A是切点. ②直线l⊥OA于A.(3)结论：结论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；③直线l是⊙O的切线，②直线l⊥OA于A.①OA为⊙O的半径.结论2: 经过切点垂直于切线的直线必过圆心.2.已知圆的切线，要利用切线的性质时常添的常用辅助线：切点的位置如果确定，常常是连接圆心和切点；切点位置如果不确定，可以过圆心作切线的垂线,垂足就是切点.1min 活动五：布置作业1.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过点C的切线PC与AB的延长线相交于点P,则∠P=_______°.2.如图，已知⊙O的半径为3，直线AB是⊙O的切线，OC交AB于点C，且∠OCA = 30°，则OC的长为_________.3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB = 2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.知能演练提升一、能力提升1.已知☉O的半径为R,直线l和☉O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是()A.d>RB.d<RC.d≥RD.d≤R2.若☉O的直径为5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离是d,则d的取值范围是()A.4<d<5B.d>5C.2.5<d<5D.0≤d<2.53.已知☉O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则☉O上到直线AB的距离为3的点的个数为()A.1B.2C.3D.44.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-x+√2和☉O的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能5.已知直线l与☉O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则☉O的半径是.6.如图,☉O的半径OC=10 cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16 cm,为使直线l与☉O相切,则需把直线l .7.如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.由此可知:(1)当d=3时,m= ;(2)当m=2时,d的取值范围是.8.如图,∠AOB=60°,M为OB上的一点,OM=5,若以M为圆心,2.5为半径画☉M,请通过计算说明OA和☉M不相切.★9.已知等边三角形ABC的面积为3√3,若以A为圆心的圆和BC所在的直线l:(1)没有公共点;(2)有唯一的公共点;(3)有两个公共点.求这三种情况下☉A的半径r的取值范围.二、创新应用★10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC所在的直线和☉O相离、相切、相交?知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.C4.C直线y=-x+√2与x轴的交点A的坐标为(√2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,√2),则AB=2,△ABO的面积为1.由等面积法得点O到直线y=-x+√2的距离为1.因此d=r,故相切.5.56.向左平移4 cm或向右平移16 cm连接OA,设CO的延长线交☉O于点D.因为l⊥OC,所以OC平分AB.所以AH=8 cm.在Rt△AHO中,OH=√AO2-AH2=√102-82=6(cm),所以CH=4 cm,DH=16 cm.所以把直线l向左平移4 cm或向右平移16 cm时可与圆相切.7.(1)1(2)1<d<3(1)当d=3时,由于圆的半径为2,故只有圆与OM的交点符合题意,所以m=1;(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,当d<1时,m=4,当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,当d>3时,m=0,故m=2时,1<d<3.8.解如图,过点M作MC⊥OA于点C.在Rt△OMC中,∠AOB=60°,∴∠OMC=30°.∴OC=12OM=2.5.∴MC=√52-2.52=5√32>2.5,即☉M和OA不相切.9.解在等边三角形ABC中,过点A作AD⊥BC,垂足为D(图略),得BD=12BC.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=√AB2-BD2=√BC2-(12BC)2=√32BC.由三角形面积公式,得12BC·AD=12BC·√32BC=3√3,所以BC=2√3.所以AD=√32BC=3.(1)当☉A和直线l没有公共点时,r<AD,即0<r<3(如图①);(2)当☉A和直线l有唯一公共点时,r=AD,即r=3(如图②);(3)当☉A和直线l有两个公共点时,r>AD,即r>3(如图③).二、创新应用10.分析由于直线和圆的位置关系取决于圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系,所以作OD⊥AC于点D,分别由AC和☉O相离、相切、相交可得相应的OD和☉O的半径r之间的关系式,从而求出x的范围.解如图,作OD⊥AC,垂足为点D,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,所以∠A=30°.所以OD=12AO=12x.当12x>1,即x>2时,AC和☉O相离;当12x=1,即x=2时,AC和☉O相切;当0≤12x<1,即0≤x<2时,AC和☉O相交.。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了]考什么怎么考1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，陕西T4等．2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津T8等.[归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(2012·重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.直线与圆、圆与圆的位置关系[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y－8.有关圆的弦长问题[例2] (1)(2012·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2； (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |＝21k ＋·|x 1－x 2|＝221212(1)[()4]k x x x x ＋＋－.3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22， 所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10圆的切线问题[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P( x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．[自主解答](1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程．解：将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝(2±6)x；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x ＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，直线l的方程为(2＋6)x－y＝0或(2－6)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.———————————————————求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.[名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数；(2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验．[变式训练]1．已知直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为()A.2＋1B．2C. 2D.2－1解析：选A直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线2ax＋by＝1的距离d＝12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，∴a2＝2－b22(－2≤b≤2)，则|PM|＝a2＋(b－1)2＝b22－2b＋2＝2|b－2|2，∴当b＝－2时，|PM|max＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c|122＋(－5)2<1，解得－13<c<13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33， 故直线l 的倾斜角为56π.3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos 2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点的斜率k OC＝ba＝－1，故b＝－a，则|OC|＝22，即a2＋b2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－2，b＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2，结合点C(a，b)位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a＝－2，b＝2.故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在Q(m，n)符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧(m－4)2＋n2＝42，m2＋n2≠0，(m＋2)2＋(n－2)2＝8，解得⎩⎨⎧m＝45，n＝125.故圆C上存在异于原点的点Q⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4B．4 2C．8 D．8 2解析：选C依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.2．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－3，1＋ 3 ]B．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) 解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32.答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，① x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，② 联立①②消去y 得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2， ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0， ∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l存在，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.。

《直线与圆的位置关系》教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生掌握直线与圆的位置关系，理解直线与圆相交、相切、相离的概念。

2. 学会运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

过程与方法：1. 通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆的位置关系。

2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点重点：1. 直线与圆的位置关系的判定。

2. 直线与圆相交、相切、相离的性质。

难点：1. 直线与圆的位置关系的推理论证。

2. 运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

三、教学准备教具：1. 直尺、圆规、铅笔。

2. 直线与圆的位置关系的图片或模型。

学具：1. 直尺、圆规、铅笔。

2. 直线与圆的位置关系的练习题。

四、教学过程1. 导入：1.1 教师出示一些直线与圆的位置关系的图片或模型，让学生观察。

1.2 学生分享观察到的直线与圆的位置关系。

2. 探究：2.1 教师引导学生通过画图、观察、分析、推理等方法，探索直线与圆的位置关系。

3. 讲解：3.1 教师根据学生的探究结果，讲解直线与圆的位置关系的判定方法和性质。

3.2 教师通过例题，讲解如何运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

4. 练习：4.1 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4.2 教师选取部分学生的练习题进行点评，解答学生的疑问。

五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对直线与圆的位置关系的理解和运用能力。

关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神。

六、教学拓展1. 教师引导学生思考：直线与圆的位置关系在实际生活中有哪些应用？2. 学生举例说明直线与圆的位置关系在实际生活中的应用，如自行车轮子与地面的关系、篮球筐与投篮线的关系等。

七、课堂小结八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固直线与圆的位置关系的知识。

中等专业学校2022-2023-2教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题：§6.5.1直线与圆的位置关系（第一课时）教学目标1理解并能判断直线与圆的位置关系2学会解决直线与圆相切的问题3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力重点学会解决直线与圆相切的问题难点学会解决直线与圆相切的问题教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境与问题在日落过程中,太阳和海平面有三种位置关系.如果把太阳看作一个圆,海平面看做一条直线,这三种位置关系是否可以通过直线和圆的方程表示？教学内容二、新课探究在平面几何中，我们已经知道直线与圆的三种位置关系，如图所示：当直线与圆没有公共点时,直线与圆相离;当直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交.观察上图可知,直线与圆的位置关系可以由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来判断.(1) 直线l 与圆C 相离™ > d r ；(2) 直线l 与圆C 相切™ = d r ；(3) 直线l 与圆C 相交™ < d r .三、例题讲解例1：判断直线052:=++yxl与圆10:22=-+xyxC的位置关系。

教学内容四、练习巩固1、填空：(1)直线l 与圆C 相交,则直线l 和圆C 有___个公共点;(2)直线l 与圆C 相切,则直线l 和圆C 有___个公共点.2、判断下列直线与圆的位置关系：(1)直线x+y=2，圆x2+y2=2；(2)直线y=3，圆(x-2)2+y2=4；(3)直线2x-y+3=0，圆x2+y2-2x+6y-3=0五、小结作业直线与圆的位置关系及判断方法；作业:P80T3板书设计教后札记中等专业学校2022-2023-2教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级高一主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题：§6.5.2 直线与圆的位置关系（第二课时）教学目标1理解并能判断直线与圆的位置关系2学会解决直线与圆相切、相交时有关切线方程、弦长的问题3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力重点直线与圆相切、相交时有关切线方程、弦长的问题难点直线与圆相切、相交时有关切线方程、弦长的问题教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、新课引入探究与发现在平面直角坐标系中,如果过点P 能作出圆的切线,那么,如何求这条切线的方程呢?教学内容可以看出:(1)点P 在圆C 上,过点P 只能作一条直线与圆C 相切；(2)点P 在圆C 外,过点P 可以作两条直线与圆C 相切；(3)点P 在圆C 内,过点P 不存在与圆C 相切的直线.二、例题讲解教学内容三、练习巩固1、.已知圆C:122=+yx, 点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1). (1)过点A(1,0)且与圆C: 122=+yx相切的直线有___条,切线斜率为____;(2) 过点B(1,1) 与圆C:122=+yx的直线有___条,切线斜率为_____；(3)过点C(0,1)与圆C.122=+yx相切的直线有___条,切线斜率为_____.教学内容四、小结作业1. 直线与圆的位置关系2. 如何判断直线与圆的位置关系3. 根据直线与圆的位置关系解决切线、弦长的问题作业P81 T2、4板书设计教后札记中等专业学校2022-2023-2教案2 22PR-2dr。

《直线和圆的位置关系（第一课时）》教案归纳：（1）直线和圆没有公共点，称这条直线和圆相离；（2）直线和圆有一个公共点，称这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；（3）直线和圆有两个公共点，称这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；思考：直线和圆会不会有三个公共点？例2 Rt△ABC，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2 cm；（2）r=2.4 cm；（3）r=3 cm．思考1：(1)当r满足时，⊙C与直线AB相离；(2)当r满足时，⊙C与直线AB相切；(3)当r满足时，⊙C与直线AB相交.思考2：若要使⊙C与线段AB只有一个公共点，这时⊙C的半径r要满足什么条件？知能演练提升一、能力提升1.已知☉O的半径为R,直线l和☉O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是()A.d>RB.d<RC.d≥RD.d≤R2.若☉O的直径为5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离是d,则d的取值范围是()A.4<d<5B.d>5C.2.5<d<5D.0≤d<2.53.已知☉O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则☉O上到直线AB的距离为3的点的个数为()A.1B.2C.3D.44.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-x+√2和☉O的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能5.已知直线l与☉O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则☉O的半径是.6.如图,☉O的半径OC=10 cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16 cm,为使直线l与☉O相切,则需把直线l .7.如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O 的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.由此可知:(1)当d=3时,m= ;(2)当m=2时,d的取值范围是.8.如图,∠AOB=60°,M为OB上的一点,OM=5,若以M为圆心,2.5为半径画☉M,请通过计算说明OA和☉M不相切.★9.已知等边三角形ABC的面积为3√3,若以A为圆心的圆和BC所在的直线l:(1)没有公共点;(2)有唯一的公共点;(3)有两个公共点.求这三种情况下☉A的半径r的取值范围.二、创新应用★10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC所在的直线和☉O相离、相切、相交?知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.C4.C直线y=-x+√2与x轴的交点A的坐标为(√2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,√2),则AB=2,△ABO的面积为1.由等面积法得点O到直线y=-x+√2的距离为1.因此d=r,故相切.5.56.向左平移4 cm或向右平移16 cm连接OA,设CO的延长线交☉O于点D.因为l⊥OC,所以OC平分AB.所以AH=8 cm.在Rt△AHO中,OH=√AO2-AH2=√102-82=6(cm),所以CH=4 cm,DH=16 cm.所以把直线l向左平移4 cm或向右平移16 cm时可与圆相切.7.(1)1(2)1<d<3(1)当d=3时,由于圆的半径为2,故只有圆与OM的交点符合题意,所以m=1;(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,当d<1时,m=4,当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,当d>3时,m=0,故m=2时,1<d<3.8.解如图,过点M作MC⊥OA于点C.在Rt △OMC 中,∠AOB=60°,∴∠OMC=30°. ∴OC=12OM=2.5. ∴MC=√52-2.52=5√32>2.5,即☉M 和OA 不相切.9.解 在等边三角形ABC 中,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D (图略),得BD=12BC. 在Rt △ABD 中, 由勾股定理,得AD=√AB 2-BD 2=√BC 2-(12BC)2=√32BC.由三角形面积公式,得12BC ·AD=12BC ·√32BC=3√3, 所以BC=2√3. 所以AD=√32BC=3.(1)当☉A 和直线l 没有公共点时,r<AD ,即0<r<3(如图①); (2)当☉A 和直线l 有唯一公共点时,r=AD ,即r=3(如图②); (3)当☉A 和直线l 有两个公共点时,r>AD ,即r>3(如图③).二、创新应用10.分析 由于直线和圆的位置关系取决于圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系,所以作OD ⊥AC 于点D ,分别由AC 和☉O 相离、相切、相交可得相应的OD 和☉O 的半径r 之间的关系式,从而求出x 的范围.解 如图,作OD ⊥AC ,垂足为点D ,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=60°, 所以∠A=30°. 所以OD=12AO=12x.当12x>1,即x>2时,AC 和☉O 相离; 当12x=1,即x=2时,AC 和☉O 相切; 当0≤12x<1,即0≤x<2时,AC 和☉O 相交.。

中职直线与圆的位置关系教学设计中职的同学们啊，咱们来聊聊直线与圆的位置关系这一有趣的数学知识。

这就好比人和家的关系呢，圆就像是一个家，而直线就像是一个在外漂泊的人。

那直线与圆到底能有啥样的关系呢？第一种啊，直线和圆相离。

这就像是一个人啊，离家特别远，跟家没啥联系。

从数学上来说呢，就是直线和圆没有交点。

咱们可以想象一下，圆在那安安稳稳地待着，直线离它老远了，就像两条平行的轨道，永远不会交汇。

这时候啊，我们可以通过计算圆心到直线的距离来判断，如果这个距离大于圆的半径，那就说明直线和圆相离。

这就好比说啊，家在村东头，这个人都跑到村西头外面好远的地方了，根本就不在家的范围之内。

再有一种关系呢，就是相切。

这就好比这个人刚好走到家门口，跟家就挨着了，但是只有一个接触点。

在数学里呀，直线和圆只有一个交点的时候就是相切啦。

这时候圆心到直线的距离啊，就正好等于圆的半径。

就好像你站在家门口，一只脚在门里，一只脚在门外，就这么一个临界的状态。

同学们能理解这个感觉不？还有一种关系就是相交啦。

这就像是人已经走进家里了，直线穿过了圆，有两个交点。

从数学角度讲呢，就是圆心到直线的距离小于圆的半径。

这就好比你已经走进家门，在屋里走来走去，这时候你就和家有很多联系啦，直线和圆也有两个地方是交汇的。

在教学的时候呢，咱们不能光讲理论啊。

可以让同学们自己动手画画看。

拿个圆规画个圆，再用直尺画直线，让他们自己去探索不同的情况。

这就像让他们自己去探索家周围的路一样。

有的同学可能一开始画得不太对，没关系啊，就像刚开始走路会摔跤一样。

多画几次，他们就会发现规律。

然后呢，还可以出一些实际的例子来考同学们。

比如说有个圆形的花园，有一条小路，问小路和花园是啥关系。

这就把数学知识和实际生活联系起来了。

同学们就会想啊，这小路要是在花园外面老远，那就是相离；要是正好挨着花园边，就是相切；要是穿过花园了，那就是相交。

这样学起来多有意思啊。

从作业布置上来说呢，不能只让同学们做那些枯燥的计算题。