抛物线(难点突破,教师版)

专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质知识点一抛物线的定义我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．注意：①“p ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0；②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．知识点二抛物线的标准方程及简单几何性质标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->图象性质范围0x y ≥∈R，0x y ≤∈R ，0x y ∈≥R ，0x y ∈≤R ，对称轴x 轴y 轴顶点()0,0O 焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线2p x =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =知识点三通径与焦半径1．通径过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p ．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点00(),A x y ,则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->焦半径AF0||2p AF x =+0||2p AF x =-0||2p AF y =+0||2p AF y =-重难点1抛物线定义及应用1．已知抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A ．2y x=B ．22y x=C ．24y x=D ．28y x=2．若抛物线22x py =（0p >）上一点(),3M m 到焦点的距离是5p ，则p =（）A ．34B ．32C ．43D ．233．已知抛物线C ：()220y px p =>的顶点为O ，经过点()0,2A x ，且F 为抛物线C 的焦点，若3AF OF =，则p ＝（）A ．12B ．1C D ．24．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的延长线交C 于点B ，若||||6AF FB ==，则p =．5．已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p =．6．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p =．重难点2抛物线的标准方程与焦点、准线7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（）A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,0D ．()2,08．圆22420x x y y -+-=的圆心在抛物线22y px =上，则该抛物线的焦点坐标为（）A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,09．在同一坐标系中，方程22221x y a b+=与()200ax by a b +=>>的曲线大致是（）A ．B ．C ．D ．10．焦点坐标为()1,0-的抛物线的标准方程是（）A ．22y x=-B ．22x y=C ．24x y=-D ．24y x=-11．已知抛物线的焦点在y 轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（）A ．22x y =B ．22x y =或22x y =-C ．24x y=D ．24x y =或24x y=-12．抛物线21:4C y x =-绕其顶点顺时针旋转90︒后得到抛物线2C ，则2C 的准线方程为．13．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别为()12,0F ，()20,2F ，求经过它们的交点的直线方程.重难点3根据抛物线的方程求参数14．设第四象限的点(),P m n 为抛物线28y x =上一点，F 为焦点，若6PF =，则n =（）A ．-4B ．-C ．-D ．-3215．已知O 为坐标原点，P 是焦点为F 的抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，2PF =，π3PFO ∠=，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．316．已知点(),2A m 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，过点A 作C 准线的垂线，垂足为B ．若AOB （O为坐标原点）的面积为2，则p =）A ．12B ．1C ．2D ．417．已知抛物线22(0)x py p =>上一点0(,3)A x ，F 为焦点，直线AF 交抛物线的准线于点B ，满足2AB AF =，则0x =（）A ．3±B ．±C ．±D ．±18．已知抛物线C ：22y px =()2p >上一点(,P m 到其焦点F 的距离为3，则p =（）A ．3B ．72C ．4D ．519．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，曲线()0ky k x=>与C 交于点M ，MF x ⊥轴，则k =.20．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上一点(),2P m -到焦点F 的距离等于4，则m =．重难点4抛物线的对称性21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:8,C y x P =为x 轴正半轴上一点，线段OP 的垂直平分线l 交C 于,A B 两点，若120OAP ∠=︒，则四边形OAPB 的周长为（）A ．B ．64C ．D ．8022．已知O 为坐标原点，垂直抛物线()2:20C y px p =>的轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，0OA OB ⋅= ，则AB 4=，则p =（）A ．4B ．3C ．2D ．123．已知圆221x y +=与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则p 等于（）A B ．5C ．2D 24．抛物线22(0)x py p =>与椭圆221122x y +=交于A ，B 两点，若AOB (其中O 为坐标原点)，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．625．抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是．26．已知点00(,)P x y 关于x 轴的对称点在曲线:C y =上，且过点P 的直线2y x =-与曲线C 相交于点Q ，则PQ =.重难点5抛物线的焦半径公式27．已知ABC 的顶点在抛物线22y x =上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC 的重心，则||||||FA FB FC ++的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．628．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A ．27π8B ．64π27C ．9π4D ．25π1629．O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A ．B ．C ．D ．830．已知抛物线2:20C y pxp =>（）的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则AB MN的最小值为（）A ．1B C ．2D ．231．（多选）设抛物线28y x =的顶点为O ，焦点为F .点M 是抛物线上异于O 的一动点，直线OM 交抛物线的准线于点N ，下列结论正确的是（）A ．若4MF =，则OM =B ．若4MF =，则O 为线段MN 的中点C ．若8MF =，则OM =D ．若8MF =，则3OM ON=32．（多选）已知抛物线2:4E y x =的焦点为,F A 为E 上一点，则下列命题或结论正确的是（）A ．若AF 与x 轴垂直，则2AF =B ．若点A 的横坐标为2，则3AF =C ．以AF 为直径的圆与y 轴相切D ．AF 的最小值为233．如图，M 是抛物线210y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角π3xFM ∠=，则MF =.重难点6抛物线的轨迹问题34．已知动点(),M x y 的坐标满足方程3412x y =+-，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上都不对35．动点(),M x y 满足方程3412x y =++，则点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线36．已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，若圆心分别为1C ､2C ，则1C 的轨迹方程为；若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为.37．若动点(),M x y 到点()4,0F 的距离比它到直线30x +=的距离大1，则M 的轨迹方程是．38．已知直线l 平行于y 轴，且l 与x 轴的交点为(4,0)，点A 在直线l 上，动点P 的纵坐标与A 的纵坐标相同，且OA OP ⊥，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．39．一圆经过点()0,3F ，且和直线30y +=相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形.重难点7抛物线的距离最值问题40．抛物线C 的顶点为原点，焦点为(2,0)F ，则点(5,0)B 到抛物线C 上动点M 的距离最小值为（）A ．B ．C ．5D ．41．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点P 在C 上，若点()6,3Q ，则PQF △周长的最小值为（）．A ．13B ．12C ．10D ．842．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，点()3,1B ，则PB PF +的最小值为.43．已知点M 为拋物线22y x =上的动点，点N 为圆22(4)5x y +-=上的动点，则点M 到y 轴的距离与点M 到点N 的距离之和最小值为.44．已知()3,2A ，若点P 是抛物线28y x =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y -+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为.45．设动点P 在抛物线214y x =上，点P 在 x 轴上的射影为点 M ，点A 的坐标是()2,0，则PA PM +的最小值是．46．已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ的最小值.重难点8抛物线的实际应用47．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A ．27cm 4B ．9cm2C ．27cm 8D ．23cm 648．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度30m AB =，拱高5m OP =，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱11A B 的长度为m .（精确到0.01m ）49．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A ．200p =B ．Γ的准线方程为100y =C ．Γ的焦点坐标为()0,50-D ．弹道CE 上的点到直线AC 50．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为0.5m.(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m ，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.51．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm ，灯的深度为40cm.(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm ，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.52．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B 离地面5m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为4m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以9m 为半径的圆上，求管柱OA 的高度.53．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，OP ，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一城镇P位于点O的北偏东30°处，10km条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．。

抛物线难题集锦本文提供了一系列抛物线难题的解答，旨在帮助读者更好地理解抛物线的性质和特点。

以下是一些常见的抛物线难题及其解决方法。

问题1: 确定抛物线的顶点和焦点坐标解答:抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。

1.要确定抛物线的顶点坐标，可以使用公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 和 $y = c-\frac{b^2}{4a}$。

2.要确定抛物线的焦点坐标，可以使用公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 和 $y = c-\frac{1}{4a}$。

问题2: 确定抛物线的对称轴方程解答:抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。

1.要确定抛物线的对称轴方程，可以使用公式 $x = -\frac{b}{2a}$。

问题3: 计算抛物线与 x 轴的交点解答:抛物线与 x 轴的交点对应于方程 $y = 0$ 的解。

1.将抛物线方程 $y = ax^2 + bx + c$ 中的 y 替换为 0，可以得到一个关于 x 的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。

2.可以使用求根公式或因式分解等方法求解该二次方程，从而得到抛物线与 x 轴的交点坐标。

问题4: 计算抛物线在某点的切线方程解答:1.首先，通过求导数可以得到抛物线的斜率方程，即 $y' = 2ax+ b$。

2.然后，将给定点的横坐标带入斜率方程，得到该点处的斜率。

3.最后，将斜率和给定点的坐标代入直线的点斜式方程中，即$y - y_0 = k(x - x_0)$，其中 $k$ 为斜率，$(x_0.y_0)$ 为给定点的坐标。

问题5: 求解已知两点的抛物线方程解答:1.已知两点的坐标为 $(x_1.y_1)$ 和 $(x_2.y_2)$。

2.使用已知点的坐标代入抛物线方程，可以得到一个二元一次方程组。

3.解二元一次方程组，求出抛物线的系数 $a$、$b$ 和 $c$，从而得到抛物线方程。

抛物线教学设计抛物线优质教案一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第四章第四节《抛物线》，详细内容包括：1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 抛物线在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程；2. 能够分析抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 学会运用抛物线知识解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线的性质及其在实际问题中的应用；2. 教学重点：抛物线的定义、标准方程及性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入：利用多媒体展示抛物线在实际生活中的应用，如篮球投篮、抛物线运动等，引导学生观察并思考抛物线的特点。

2. 例题讲解：（1）抛物线的定义及标准方程；（2）抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；（3）抛物线在实际问题中的应用。

3. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线，并给出理由；（2）求抛物线 y = 2x^2 + 4x + 3 的顶点、对称轴、焦点和准线；（3）已知抛物线的顶点为（1, 3），过顶点的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。

4. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决随堂练习中的问题，教师巡回指导。

六、板书设计1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质；3. 例题解答步骤；4. 随堂练习解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线 y = x^2 + 4x + 5 的顶点、对称轴、焦点和准线；（2）已知抛物线的焦点为（2, 0），求抛物线的标准方程；（3）抛物线 y = 2x^2 + 4x 3 与直线 y = x + 1 相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。

2. 答案：（1）顶点：（2, 9），对称轴：x = 2，焦点：（2, 3），准线：y = 3；（2）抛物线的标准方程：y = 4(x 2)^2；（3）中点C的坐标：（1/2, 7/4）。

抛物线教案教案抛物线教学设计与实施一、教学目标1.让学生理解抛物线的定义、标准方程和基本性质，能够画出简单的抛物线图形。

2.培养学生运用数学语言表达、分析和解决实际问题的能力。

3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二、教学内容1.抛物线的定义和标准方程2.抛物线的焦点、准线和对称轴3.抛物线的图形和性质4.抛物线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1.教学重点：抛物线的定义、标准方程和基本性质。

2.教学难点：抛物线的图形理解和应用。

四、教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，如抛物线运动、抛物面天线等，引导学生了解抛物线在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：（1）抛物线的定义：以一个点为焦点，到这个点的距离等于到一条直线的距离的点的轨迹。

（2）抛物线的标准方程：y^2=4ax（开口向右）、x^2=4ay（开口向上）。

（3）抛物线的焦点、准线和对称轴：焦点为（a,0），准线为x=-a，对称轴为y轴。

（4）抛物线的图形和性质：图形为U形或倒U形，性质包括对称性、顶点、焦点、准线等。

3.实践应用：（1）画出给定焦点的抛物线。

（2）已知抛物线上的点，求抛物线的标准方程。

（3）利用抛物线的性质解决实际问题，如求抛物线与直线的交点、抛物线上的切线等。

4.总结反馈：通过课堂小结，让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

五、作业布置1.课后习题：完成教材中抛物线相关习题。

2.拓展练习：研究抛物线在实际问题中的应用，如抛物线运动、抛物面天线等。

六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

同时，关注学生的学习兴趣，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力。

在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。

同时，注重师生互动，鼓励学生提问，激发学生的思维活力。

在教学评价方面，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展。

需要重点关注的细节是“实践应用”部分。

《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。

《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。

例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。

到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。

拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。

（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。

数学教案模板高中抛物线
教学目标：学生能够了解抛物线的定义、性质和应用，掌握抛物线的标准方程和一般方程，能够解决相关的计算题目。

教学重点：抛物线的定义、性质及应用。

教学难点：抛物线的一般方程及相关计算题目的解决。

教学准备：教师准备PPT、黑板、彩色粉笔、教材等。

教学过程：
一、导入
请学生回顾圆的性质，并提问什么是抛物线？抛物线有哪些性质？
二、讲解
1. 抛物线的定义：横坐标和纵坐标的平方成正比。

2. 抛物线的性质：焦点、准线、对称轴、顶点等。

3. 抛物线的标准方程和一般方程。

三、练习
1. 计算抛物线的焦点和准线。

2. 给出抛物线上一点的坐标，求该点到焦点的距离。

四、拓展
1. 抛物线与直线的交点求解。

2. 抛物线的应用：如抛物线天花板的设计、射击运动等。

五、总结
让学生总结抛物线的性质和方程，并强化知识点。

六、作业
1. 完成教材上相关练习题。

2. 仿照课堂上的例题，设计自己的抛物线计算题目。

教学反思：本节课内容涵盖抛物线的定义、性质、方程以及应用，教师应注重学生的实际运用能力和分析问题的能力，通过讲解、训练和练习，帮助学生掌握相关知识。

高中数学抛物线教案高中数学抛物线教案篇1【摘要】鉴于大家对数学网十分关注，在此为大家整理了此文空间几何体的三视图和直观图高一数学教案，供大家参考!*题目：空间几何体的三视图和直观图高一数学教案第一课时1.2.1中心投影与平行投影 1.2.2空间几何体的三视图教学要求：能画出简单几何体的三视图;能识别三视图所表示的空间几何体.教学重点：画出三视图、识别三视图.教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.教学过程：一、新课导入：1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体?工程师如何制作工程设计图纸?2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形;直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生活.二、讲授新课：1. 教学中心投影与平行投影：①投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

②中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影.讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.2. 教学柱、锥、台、球的三视图：定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图讨论：三视图与平面图形的关系? 画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面(自前而后)、侧面(自左而右)、上面(自上而下)三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果. 正视图、侧视图、俯视图.③试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. (④讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

抛物线及其方程考点一抛物线的标准方程与几何性质设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．考点三与抛物线有关的经典结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．三、题型突破重难点题型突破1抛物线的定义及应用例1．(1)、（2020·福建省莆田市高三质检）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF|＝5，O 为坐标原点，则△OAF 的面积为（）A ．2B．C．D ．4【答案】A 【解析】根据题意，抛物线C ：24y x =的焦点为()1,0F ，设(),A m n =，则+1=5AF m =，∴4m =，∴4n =±，∴11422AOF S =⨯⨯= ，故选A 。

（2）、（2021·全国高二课时练习）如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-【答案】D 由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D（3）、（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：24y x ＝的焦点为F ，过点F 分别作两条直线1l ，2l ，直线l 1与抛物线C 交于A 、B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则AB DE +的最小值为（）A ．16B ．20C ．24D ．32【答案】C解：抛物线C ：24y x ＝的焦点(10)F ，，设直线l 1：1(1)＝﹣y k x ，直线l 2：2(1)＝﹣y k x 由题意可知，则22121k k +=，联立()1214y k x y x⎧=-⎨=⎩整理得：222211124)0(++-＝k x k x k 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x +2122112442k k k +==+，设33)(，D x y ，44)(，E x y ，同理可得：342224=++x x k 由抛物线的性质可得：122144+++＝＝AB x x p k ，342244+++＝＝DE x x p k ∴()22122222222221212121244444888824()2++++=+=+≥+=+＝k k AB DE k k k k k k k k ，当且仅当221212k k ==时，上式“＝”成立．∴AB DE +的最小值24.故选：C【变式训练1-1】．（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3.由抛物线的定义可知|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4.由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |，所以|AB |≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.【变式训练1-2】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到该抛物线焦点的距离为________．【答案】32【解析】设点M (x M ，y M )2M ＝2x M ，2M ＋y 2M ＝3，即x 2M ＋2x M －3＝0，解得x M ＝1或x M ＝－3(舍去)．故点M 到该抛物线焦点的距离为x M ＋12＝1＋12＝32.【变式训练1-3】．（黑龙江省哈尔滨三中2019届质检）已知点Q (－22，0)及抛物线x 2＝－4y 上一动点P (x ，y )，则|y |＋|PQ |的最小值为________．【答案】2【解析】如图，抛物线焦点F (0，－1)，抛物线的准线方程为y ＝1，设点P 到准线距离为d ，则|y |＋|PQ |＝d －1＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |－1≥|QF |－1＝8＋1－1＝2，所以|y |＋|PQ |的最小值为2.重难点题型突破2抛物线的标准方程及几何性质例2．（1）、（2021·全国高二课时练习）焦点在y 轴上的拋物线上一点()3,Q m -到焦点的距离为5，求此抛物线的标准方程.【答案】22x y =±或218x y =±【分析】不妨设抛物线的标准方程为22x py =，分0p >、0p <两种情况讨论，根据已知条件得出关于p 、m 的方程组，求出p 的值，即可得出抛物线的标准方程.【详解】设抛物线的标准方程为22x py =，则抛物线的准线方程为2py =-.①若0p >，则2952mp pm =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1p =或9；②若0p <，则2952mp p m =⎧⎪⎨--=⎪⎩，解得1p =-或9-.综上所述，所求抛物线的标准方程为22x y =±或218x y =±.（2）、（2021·全国高二课时练习）求与y 轴相切，且与圆2240x y x +-=相外切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】()280y x x =≥或()00y x =<【分析】首先设动圆圆心(),P x y ，根据直线与圆，圆与圆的位置关系，列式求动圆圆心的轨迹方程.【详解】()22224024x y x x y +-=⇔-+=，圆心C ()2,0，半径2r =，设动圆圆心(),P x y ，动圆的半径为R ，()2222PC x y R =-+=+，x R =，即()2222x y x -+=+，当0x ≥时，两边平方后，化简为28y x =，当0x <时，两边平方后，化简为0y =，所以动圆圆心的轨迹方程是()280y x x =≥或()00y x =<.故答案为：()280y x x =≥或()00y x =<（3）．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线过点(2,4)A -，求抛物线的标准方程.【答案】28y x =或2x y =-． 抛物线过点(2,4)A -，且点A 在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．若开口向右，则设方程为22(0)y px p =>， 过点(2,4)A -，4p ∴=，∴抛物线的标准方程为28y x =；若开口向下，则设方程为22(0)x py p =->，过点(2,4)A -，12p ∴=，∴抛物线的标准方程为2x y =-．综上，抛物线的标准方程为28y x =或2x y =-．【变式训练2-1】．（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB.x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y 【答案】D【解析】设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .故抛物线方程为y 2＝－x 或x 2＝－8y .【变式训练2-2】．（吉林省辽源一中2019届模拟）已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝()A.13B.23C.23 D.223【答案】D【解析】设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2,0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，连接OB ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |，∴点B 为线段AP 的中点，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1，∵k ＞0，∴点B 的坐标为(1,22)，∴k ＝22－01－－2＝223.故选D.重难点题型突破3直线与抛物线位置关系例3．（2021·全国）已知抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点(,)()P m n m p >在抛物线T 上，且FOP △（O 为坐标原点）的外接圆圆心到准线的距离为34．（1）求抛物线T 的方程；（2）若直线PF 与抛物线T 交于另一点A ，证明：MP MA k k +为定值；（3）过点P 作圆22:(1)1G x y -+=的两条切线，与y 轴分别交于D ，E 两点，求PDE △面积取得最小值时对应的m 的值．【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析；（3）4m =．（1）抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线:2p l x =-．由FOP △的外接圆圆心在OF 的垂直平分线上，得圆心的横坐标为4p ．由FOP △的外接圆圆心到准线的距离为34，得3424p p +=，解得1p =．∴抛物线T 的方程为22y x =．（2）由（1）得1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设21,2A t t ⎛⎫⎪⎝⎭，直线1:2PF x sy =+，联立2212y xx sy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得2210y sy --=，2n t s ∴+=，1nt =-．又21,2P n n ⎛⎫⎪⎝⎭，则2211112222MP MA n tk k n t +=+++．上式通分后得分子为11()()022n t nt n t s s +++=-=，故0MP MA k k +=，为定值．（3）如图，记两个切点分别为B ，C ．连接BG ，PG，DG ，EG ．由题意，得21||2PB n =．由切线长定理，知||||PB PC =，||||EO EC =，||||DO DB =，2211||||224PDEn S DE n DE ∴=⨯=△，又PDE DPG PEG DEG S S S S =++△△△△，111||1||1||1222DP EP DE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，1(||||||||||||)2DB BP EC CP DO OE =+++++，1(2||2||2||)2DO EO PB =++||||DE PB =+21||2DE n =+，解得222||4n DE n =-，()42221116148(248)824242PDEn S n n n ⎡⎤∴=⨯=-++≥⨯⨯+=⎢⎥--⎣⎦△，当且仅当244n -=，即n =±此时2142m n ==．故当PDE △面积取得最小值时，4m =．【变式训练3-1】．（2020·河南省开封市高三模拟（理））已知抛物线2,x y =1139(,(,)2424A B -抛物线上的点13(,)(22P x y x -<<（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）延长AP 与以AB 为直径的圆交于点,Q 求·AP PQ 的最大值.【答案】（1）()1,1-；（2）2716【解析】（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+因为1322x -<<；所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）由题设可知，,BQ AQ ⊥联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是()2024321k k x k -++=+因为)112AP x k ⎫⎪=⎭=++，)2QPQ x x -+=-=所以()()311AP PQ k k =--+⋅令()()()311f k k k =--+，因为()()()2421f k k k '=--+，所以()f k 在区间11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，因此12k =当时， PA PQ ⋅取得最大值2716。