21--三角函数 解直角三角形

解直角三角形中考要求知识要点模块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．例题精讲【例2】 如图所示，O 的直径4AB =，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作O 的切线，切点为C ，连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．为O 的切线，tan303=︒的大小没有变化七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．【答案】作DE AB ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，在Rt CDF ∆中30400DCF CD ∠=︒=，米，1sin304002002DF CD =⋅︒=⨯＝(米)cos30400CF CD =⋅︒=米) 在Rt ADE ∆中，60ADE ∠=︒，设DE x =米， ∴tan 60AE x =︒⋅(米)在矩形DEBF 中，200BE DF ==米，在Rt 45ACB ACB ∆∠=︒中，，∴AB BC =， 200x +=，解得200x =，∴200AB AE BE =+=（）米【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ， 两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）【解析】过点C 作CH AD ⊥于H ，过B 作BE AH ⊥于E ，BF CH ⊥于F ，由题意得604530CBF CAH BAH ∠=︒∠=︒∠=︒，，200CH m =， 设BC x =米，在Rt BFC ∆中，由cos BF CBF BC ∠=，sin CFCBF BC∠=1cos sin 2BF BC CBF x CF BC CBF =∠==∠=，，易得 FE D BCADCB AACH ∆是等腰直角三角形，所以200AH CH ==，从而12002002AE AH EH x BE FH =-=-==，，在Rt ABE ∆中，tan30BE AE =︒，由此得12002002x ⎫=-⎪⎝⎭，解得200146.4x =≈，根据题意，电缆的实际长度约为 146.4 1.2175.7⨯≈米【答案】175.7（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．【答案】（1）图形补全如右图所示：O CA（2） ∵1:0.754:3i ==∴:4:3CH EH =在Rt CHE ∆中，5CE = ∴43CH EH ==， ∴437DH DE EH =+=+= 在Rt ODH ∆中，222HO DH OD += 即()()222477r r ++=+，解得83r =．（三）方向角【例8】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．【解析】（1）如图，由题意得，4530EAD FBD ∠=︒∠=︒，．∴ 451560EAC EAD DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵ AE BF CD ∥∥， ∴ 60FBC EAC ∠=∠=︒． ∴ 30DBC ∠=︒．又∵ DBC DAB ADB ∠=∠+∠， ∴ 15ADB ∠=︒．∴ DAB ADB ∠=∠． ∴ 2BD AB ==． 即B D ，之间的距离为2km ．（2）过B 作BO DC ⊥，交其延长线于点O 在Rt DBO ∆中，260BD DBO =∠=︒，．∴2sin 6022cos60DO BO =⨯︒===⨯︒ 在Rt CBO ∆中，30tan30CBO CO BO ∠=︒=⋅︒， ∴CD DO CO =-==km ）． 即C D ，之间的距离为km 【答案】（1）之间的距离为2km ； （2）之间的距离为km ．332B D ，C D ，332和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA 和平路文化路中山路ABC DEF45°15°30°O【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响． （1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【答案】⑴ 过A 作AD BC ⊥于D ，∵220AB =，30B ∠=︒， ∴110AD =由题意A 距台风中心不超过(124)20160-⨯=km 时，将会受到台风影响， ∴该城市会受到台风影响．⑵ 在BD 上取点E ，DC 上取点F ，使160AE AF ==，则由题意知：台风中心到达点E 时，该城市即开始受台风影响；台风中心到达点F 时，该城市即结束影响．由勾股定理得，DE∴EF =∵该台风中心以15km/h 的速度移动， ∴=． ⑶ 当台风中心位于D 时，A 市所受这次台风影响的风力最大，其最大风力为11012 6.520-=级（四）其它【例9】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【解析】在Rt ABO ∆中，可求得cos15 1.80.97 1.75AO AB =⋅︒=⨯≈米，在Rt CDO ∆中，可求得sin150.468DO AB =⋅︒≈米 ∴ 1.750.468 1.28AD =-=米【答案】1.28米【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【答案】⑴ Rt AOB ∆中，90O ∠=︒，60α∠=︒∴30OAB ∠=︒，又4AB =米， ∴122OB AB ==米．sin 604OA AB =⋅==米 ⑵ 设2AC x =，3BD x =，在Rt COD ∆中，2OC x =，23OD x =+，4CD =根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234xx ++=∴(213120x x +-=∵0x ≠∴13120x +-，∴x =2AC x == 即梯子顶端A 沿NO米 ⑶ ∵点P 和点P '分别是Rt AOB ∆的斜边AB 与Rt ''A OB ∆的斜边''A B 的中点∴PA PO =，'''P A P O = ∴PAO AOP ∠=∠，P A O A OP ''''∠=∠ ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=︒∵30PAO ∠=︒，∴45P A O ''∠=︒∴cos454A O A B '''=⨯︒==∴AA OA A O ''=-=米【例10】 关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如图1图2图3tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高． 【解析】过点D 作DE AB ⊥于E ，依题意在Rt ADE △中，60ADE α∠=∠=︒，tan 60tan 60AE ED BC =⋅︒=⋅︒=．在Rt ACB △中，75tan75ACB AB BC β∠=∠=︒=⋅︒， ∵tan 45tan 30tan 75tan(4530)21tan 45tan 30︒+︒︒=︒+︒==-︒⨯︒∴42(284AB =⨯+=+∴8484CD BE AB AE ==-=+（米）【答案】建筑物的高为84米．课堂检测1． （2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示） （1）求调整后楼梯AD 的长； βαDCBAE βαDCBAACB∠=．【解析】过点C作CD PB∥，则6045ACD BCD∠=︒∠=︒，所以6045105ACB∠=︒+︒=︒【答案】105°课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，得矩形HBFC 连接DF∵21CF DF =，2CF =(m) ∴1DF =(m)∴2CF HB ==(m)，15HC BF ==(m) 在Rt AHC ∆中，tan3015tan30AH HC =⋅︒=⨯︒=，∵210.66(m)AB AH HB =+=≈ 12(m)BE BD ED =-=F E人行道DCB AFE人行道30︒H DCBA∴,AB BE∴不需将此人行道封上．【答案】不需将此人行横道封上。

第21课时解直角三角形复习目标：1、掌握锐角三角函数定义，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

一、复习导入：（一）正弦，余弦，正切的定义()()()baAAcbAcaA=∠=====的对边正切：斜边余弦：斜边正弦：tancossin跟踪练习一：1.如图，sinA的值等于（）.（A）21（B）2 （C）55（D）52.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,若BC=3，AC=4,那么cos∠BCD的值是（）.（A）43（B）34（C）53（D）543.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠ABC的值为________。

（二）特殊角的三角函数跟踪练习二：CBA第3题图DB1CB 2第1题图第2题图1. 已知△ABC 中,∠C=90°,b= 2√3 ,c=4, 则∠A= ， a= . 2.在Rt △ABC 中，cosB= 12 ,则tanA= .（三）三角函数的应用1. 仰角和俯角2.方位角3.坡度斜坡AB 的坡度= ，即A ∠的 值.三．典例分析例1 小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知热气球离地面的高度为100米，大桥BC 与地面在同一水平面上，请求出大桥的长度.（结果保留整数。

参考数据： 10735tan 6535cos 12735sin ≈︒≈︒≈︒，，）变式1 ：小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m.请求出热气球离地面的高度。

（结果保留整数，参考数据：10735tan 6535cos 12735sin ≈︒≈︒≈︒，，）题后思： 三．典型例题 拓展延伸：如图，AB 是长为10m ，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD 与大楼CE垂直，且与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得∠CBD ＝65°，求大楼CE 的高度（结果保留整数）．（参考数据：715 tan65， 109sin65， 43 tan37， 53 sin37≈︒≈︒≈︒≈︒ ）走进中考（2019•青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32°方向．已知CD ＝120m ，BD ＝80m ，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）四．课堂小结通过本节课的复习，你觉得解直角三角形应该注意的问题有哪些？五．当堂检测1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A= 54 ，则tanB 的值为（ ）． A. 53 B. 45 C. 43 D.34 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanA=12,BC=6，则AC= ．3.（2018青岛中考题）某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC=840m ，BC=500m ．请求出点O 到BC 的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈六．布置作业必做：1. 整理导学案.2.（青岛2017中考）如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数） 参考数据:73.1351267tan 13567cos 131267sin ≈≈︒≈︒≈︒；；；选做： 3.课后提高：如图,一楼房AB 后有一假山,其坡度为i=1： √3 ，山坡坡面上E 点处有一休息亭,测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼顶测得E 点俯角为45°,求楼房AB 的高。

解直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。

解直角三角形，就是通过已知的信息，求取直角三角形的各边长或者角度的过程。

下面将介绍两种解直角三角形的常用方法：勾股定理和三角函数。

一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。

它表明，直角三角形的斜边长度的平方等于另外两边长度的平方之和。

设直角三角形的两个边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理的表达式为：c² = a² + b²利用勾股定理可以解决以下两种问题：1. 已知两条边的长度，求解第三条边的长度：若直角三角形的两条边分别为3cm和4cm，求解斜边的长度c。

根据勾股定理的表达式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = √25c = 5所以，斜边的长度为5cm。

2. 已知一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度：若直角三角形的斜边长度为5cm，一条边的长度为3cm，求解另一条边的长度b。

根据勾股定理的表达式可得：5² = 3² + b²25 = 9 + b²16 = b²b = √16b = 4所以，另一条边的长度为4cm。

二、三角函数除了勾股定理外，三角函数也是解直角三角形的重要方法。

在直角三角形中，正弦、余弦和正切是最常用的三角函数。

下面以解决两个常见的问题为例介绍三角函数的运用。

1. 已知一条边的长度和夹角，求解另一条边的长度：若直角三角形的一条边长为6cm，夹角为30°，求解另一条边的长度a。

根据正弦函数的定义可得：sin(30°) = a / 6a = 6 * sin(30°)a ≈ 3所以，另一条边的长度约为3cm。

2. 已知两条边的长度，求解夹角的大小：若直角三角形的两条边分别为4cm和7cm，求解夹角θ。

根据正弦函数的定义可得：sin(θ) = 4 / 7θ = arcsin(4 / 7)通过计算可得，θ约为42.48°。

2021年中考数学 专题21 锐角三角函数及解直角三角形（基础巩固练习，共40个小题）一、选择题（共15小题）：1.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A ．1013√13B ．913√13C ．813√13D ．713√13【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC =√22+32=√13，∵S △ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC ⋅BD =72，∴√13⋅BD =7，∴BD =7√1313，故选：D ．2.（2019秋•龙岩期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，若EF ＝2，则DF ＝（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D【解析】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∠ACB＝30°，∴∠CED＝∠CDE=12∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE=12∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．3.（2020•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB=BCAB=（）A．35B．45C．√74D．34【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC=√42−32=√7，∴cosB=BCAB =√74．故选：C．4.（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sinB=bc，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；tanB=ba，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．故选：B．5．（2019•无锡）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA=23，BC＝4，则AB长为（）A．6 B．4√55C．83D．2√13【答案】A【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC＝4，∴sinA=BCAB =23=4AB，解得：AB＝6．故选：A．6.（2020•玉林）sin45°的值是（）A．12B．√22C．√32D．1【答案】B【解析】解：sin45°=√22．故选：B．7.（2020•鸡西）如图，在△ABC 中，sinB =13，tanC ＝2，AB ＝3，则AC 的长为（ ）A ．√2B ．√52C ．√5D ．2 【答案】B【解析】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵tanC ＝2=AD DC ，sinB =13=AD AB ， ∴AD ＝2DC ，AB ＝3AD ，∵AB ＝3，∴AD ＝1，DC =12，在Rt △ADC 中，由勾股定理得：AC =√AD 2+DC 2=√12+(12)2=√52，故选：B ． 8.（2019•营口）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，BC =12AD ，AC 与BD交于点E ，AC ⊥BD ，则tan ∠BAC 的值是（ ）A ．14B ．√24C ．√22D ．13 【答案】C【解析】解：∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴∠ABC ＝180°﹣∠DAB ＝90°，∠BAC+∠EAD ＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴ABDA =BCAB，∵BC=12AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB=√2BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB =√2BC=√22；故选：C．9.（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=57，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4√3D．2√6【答案】D【解析】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC=57，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2√6x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2√6；故选：D．10.（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是（）上的一个动点，则CD+√55A．2√5B．4√5C．5√3D．10【答案】B【解析】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，=2，设AE＝a，BE＝2a，∵tanA=BEAE则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2√5或﹣2√5（舍弃），∴BE ＝2a ＝4√5，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴CM ＝BE ＝4√5（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴sin ∠DBH =DH BD =AE AB =√55， ∴DH =√55BD ， ∴CD +√55BD ＝CD+DH ， ∴CD+DH ≥CM ，∴CD +√55BD ≥4√5， ∴CD +√55BD 的最小值为4√5．方法二：作CM ⊥AB 于M ，交BE 于点D ，则点D 满足题意．通过三角形相似或三角函数证得√55BD ＝DM ，从而得到CD +√55BD ＝CM ＝4√5． 故选：B ．11.（2020•广西）如图，要测量一条河两岸相对的两点A ，B 之间的距离，我们可以在岸边取点C 和D ，使点B ，C ，D 共线且直线BD 与AB 垂直，测得∠ACB ＝56.3°，∠ADB ＝45°，CD ＝10m ，则AB 的长约为（ ）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）A．15m B．30m C．35m D．40m 【答案】B【解析】解：设AB＝xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝xm，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB=ABBC，∴BC=ABtan∠ACB =xtan56.3°≈23x，由BC+CD＝BD得23x+10＝x，解得x＝30，∴AB的长约为30m，故选：B．12.（2020•济南）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【解析】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，，∴tan∠E=DFDE=2.8（m），故选：B．∴DE≈1.120.413.（2020•长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sinA=BDAB B．cosA=ABADC．tanA=ADBDD．sinA=ADAB【答案】A【解析】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sinA=BDAB ，cosA=ADAB，tanA=BDAD，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．14.（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．√26B．√2626C．√2613D．√1313【答案】B【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB =√32+22=√13，AC =√32+32=3√2，∵S △ABC =12AC •BD =12×3√2•BD =12×1×3，∴BD =√22， ∴sin ∠BAC =BD AB =√22√13=√2626．故选：B ． 15.（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝45m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m【答案】B【解析】解：如图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ， 由题意得，∠ADF ＝28°，CD ＝45m ，BC ＝60m ，在Rt △DEC 中，∵山坡CD 的坡度i ＝1：0.75，∴DE EC =10.75=43，设DE ＝4x ，则EC ＝3x ，由勾股定理可得CD ＝5x ，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27（m），DE＝4x＝36（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11（m），∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1（m），故选：B．二、填空题（共10小题）：16.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．【答案】5【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，∴∠ADB＝90°，∴AB=√AD2+BD2=√82+62=10，∵AE＝EB，∴DE=1AB＝5，2故答案为5．17.（2020•绥化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．【答案】17【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．18.（2020•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是．【答案】513【解析】解：在Rt△ABC中，cosA=ACAB =513，故答案为：513．19.（2020•鄂尔多斯）计算：√27+（13）﹣2﹣3tan60°+（π−√2）0＝．【答案】10【解析】解：原式＝3√3+9﹣3√3+1＝10．故答案为：10．20.（2020•宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝米．【答案】48【解析】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝48米，∴AC＝48米．故答案为：48．21.（2020•黔南州）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB=13，则AD长度是．【答案】10【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2，sin∠ACB=ABAC =13，∴AC＝2÷13=6．在Rt△ADC中，AD=√AC2+CD2=√62+82＝10．故答案为：10．22.（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA=45，点C关于直线AB的对称点为D ，点E 为边AC 上不与点A ，C 重合的动点，过点D 作BE 的垂线交BC 于点F ，则DF BE 的值为 ．【答案】2425 【解析】解：如图，设DF 交AB 于M ，CD 交AB 于N ，BE 交DF 于J ．∵∠ACB ＝90°，∴sinA =BC AB =45，∴可以假设BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k ，∵C ，D 关于AB 对称，∴CD ⊥AB ，CN ＝DN ，∵S △ABC =12×BC ×AC =12×AB ×CN ，∴CN ＝DN =125k ， ∴CD =245k ，∵∠FCD+∠DCA ＝90°，∠DCA+∠A ＝90°，∴∠DCF ＝∠A ，∵DF ⊥BE ，CD ⊥AB ，∴∠BJM ＝∠DNM ＝90°，∵∠BMJ ＝∠DMN ，∴∠D ＝∠ABE ，∴△DCF ∽△BAE ，∴DF BE =DC BA =245k 5k =2425． 23.（2020•深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB =12，BO OD =43，则S△ABD S △CBD = ．【答案】332【解析】解：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ， ∵DM ∥BC ，∴△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，∴AB BC =AN NM =tan ∠ACB =12，BC DM =OB OD =43，又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC+∠NAD ＝90°，∵∠BAC+∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，∴AB BC =DN NA =12，设BC ＝4a ，由BC DM =OB OD =43得，DM ＝3a ，∴AB ＝2a ，DN =35a ，AN =65a ，∴NB ＝AB+AN ＝2a +65a =165a ， ∴S △ABDS △BCD =12AB⋅DN 12BC⋅NB =35a 2325a 2=332． 故答案为：332．24.（2020•赤峰）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部C 的仰角是30°，测得底部B 的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD 是9米，那么该建筑物的高度BC 为 米（结果保留根号）．【答案】12√3【解析】解：根据题意可知：在Rt △ADC 中，∠CAD ＝30°，AD ＝9，∴CD ＝AD •tan30°＝9×√33=3√3，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，AD ＝9，∴BD ＝AD •tan60°＝9√3，∴BC＝CD+BD＝3√3+9√3=12√3（米）．答；该建筑物的高度BC为12√3米．故答案为：12√3．25．（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．（结果保留根号）【答案】2√3【解析】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD=BDBC，∴sin60°=BD4=√32，∴BD＝2√3（m），故答案为：2√3．三、解答题（共15小题）：26.（2020•青海）计算：（13）﹣1+|1−√3tan45°|+（π﹣3.14）0−√273． 【答案】√3【解析】解：原式＝3+|1−√3|+1﹣3＝3+√3−1+1−3=√3．27.（2020•呼伦贝尔）计算：（−12）﹣1+√83+2cos60°﹣（π﹣1）0．【答案】0【解析】解：原式=−2+2+2×12−1＝0，故答案为：0．28.（2020秋•龙口市期末）计算：√(sin30°−tan45°)2cos 245°−tan60°•cos30°． 【答案】−12【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式=√(12−1)2(√22)−√3×√32 =1212−32＝1−32=−12．29.（2020秋•莱州市期末）计算：2sin45°−√(cos60°−sin60°)2+tan60°2．【答案】=2√2+12【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式=2×√22−|12−√32|+√32=√2−√32+12+√32=2√2+12．30.（2020秋•崇明区期末）计算：tan60°+2cos30°+cot45°2sin30°−sin245°．【答案】2√3+12【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式=√3+2×√32+12×12−（√22）2=√3+√3+1−12＝2√3+12．31.（2020秋•普陀区期末）计算：cos30°﹣2sin245°+22sin60°+tan45°．【答案】=3√32−2【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．解：原式=√32−2×（√22）22×√32+1=√32−2×12√3+1=√32−1+√3−1 =3√32−2．32.（2020秋•肇州县期末）计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°； （2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．【答案】(1)3−3√22；(2)=−√612.【解析】（1）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减混合运算法则计算；（2）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算． 解：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60° ＝2×12−3×1×√22+4×12＝1−3√22+2＝3−3√22； （2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°=√22√32−√3+√22×√32=√2−√3+√64 =−√63+√64=−√612．33.（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=√3，∠ABC的平分线BD交AC3于点D，CD=√3，求AB的长？【答案】AB的长为6，【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=√33∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD=√3，=3，∴BC=CDtan30°在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，=6．∴AB=BCsin30°答：AB的长为6．34.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（√3取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED 节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC 上灯带的总造价是多少元？【答案】(1)CD ＝91（米）；(2)斜拉链条AC 上的LED 节能灯带造价是145600元. 【解析】解：（1）∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 设CD ＝x ，在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝30°， ∴tan30°=CDAD ，即xAD =√33， ∴AD =√3x ，在Rt △BDC 中，∠B ＝45°， ∴CD ＝BD ＝x ， ∵AB ＝AD+BD ． ∴√3x +x =260， ∴x =√3+1，∴x =130(√3−1)=130×0.7=91， ∴CD ＝91（米）．（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴AC＝182，∵LED节能灯带每米造价为800元，∴800×182＝145600（元），答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．35.（2020•眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．【答案】小山BC的高度为（10+40√3）米【解析】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．在直角△DBC中，tan60°=DCBC =DCx，则DC=√3x米．∴CE＝（√3x﹣80）米．在直角△ACE中，tan60°=ACCE =√3x−80=√3．解得x＝10+40√3．答：小山BC的高度为（10+40√3）米．36.（2020•吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【答案】塔AB的高度约27m【解析】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA=AF，DF∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．37.（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【答案】这栋楼高BC为270米【解析】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC为270米．38.（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【答案】(1)见解析；(2)sin∠B=AC2R =2(√2+√6)8=√2+√64.【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE=BCBE =a2R，∴asinA=2R，同理：bsin∠B =2R，csin∠C=2R，∴asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）解：由（1）得：ABsinC =BCsinA，即ABsin45°=4√3sin60°=2R，∴AB=4√3×√22√32=4√2，2R=√3√32=8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4√2×12=2√2，CH=√22BC＝2√6，∴AC＝AH+CH＝2（√2+√6），∴sin∠B=AC2R =2(√2+√6)8=√2+√64．39.（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30√3米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．（1）求∠CAD的大小；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．【答案】(1)∠CAD＝75°；(2)CD＝（30+30√3）米. 【解析】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30√3米，在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE =√33，则∠CAE＝30°，则∠CAD＝30°+45°＝75°；（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30√3米，CD＝CE+ED＝（30+30√3）米．40.（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C 走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：√3≈1.73，结果保留整数）【答案】(1)A与C之间的距离是30米；(2)天线BE的高度为27米. 【解析】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A与C之间的距离是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30•tan60°＝30√3（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（30√3−25）米，∵√3≈1.73，∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．。

初三数学：《解直角三角形》知识点总结知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。

1解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA即aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角A必须在直角三角形中，且(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。

否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：tana cota=1(3)商数关系：sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。

(2)sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin 写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cottan,1223030cossin22，而1cossin22就不一定成立。

解直角三角形的知识点总结直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

解直角三角形可以使用三角函数（正弦、余弦和正切）以及勾股定理等相关知识。

以下是解直角三角形的一些重要知识点的总结。

1.勾股定理：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边长度平方的和。

勾股定理可以表示为：a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边。

2.正弦定理：对于任意一个三角形，正弦定理指出三条边的对应角的正弦比是相等的。

对于直角三角形来说，正弦定理可以简化为sinθ = a / c 或sinθ = b / c，其中a、b为直角边，θ为斜边与直角边相对的角度，c 为斜边。

3.余弦定理：余弦定理是指两条边和它们之间的夹角的余弦的平方等于第三边的平方。

对于直角三角形来说，余弦定理可以简化为cosθ = a / c 或cosθ = b / c，其中a、b为直角边，θ为直角边与斜边相对的角度，c 为斜边。

4.正切函数：正切函数是指在一个直角三角形中，直角边的比等于斜边与直角边之间角度的正切。

对于直角三角形来说，正切函数可以表达为tanθ = a / b 或tanθ = b / a，其中a、b为直角边，θ为直角边之间的角度。

5.特殊直角三角形：特殊直角三角形是指具有特殊边长比例的直角三角形。

常见的特殊直角三角形包括45-45-90三角形和30-60-90三角形。

对于45-45-90三角形来说，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2、对于30-60-90三角形来说，较小直角边的长度为x，较长直角边的长度为x√3，斜边的长度为2x。

6.三角函数关系：在直角三角形中，三角函数之间也有一些重要的关系。

对于正弦、余弦和正切函数来说，正弦函数等于直角边与斜边之比，余弦函数等于直角边与斜边之比，正切函数等于直角边与直角边之比。

另外，正弦函数和余弦函数互为倒数，正切函数等于正弦函数与余弦函数之比。

初三数学三角函数知识点：解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
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