三角函数与解直角三角形.doc

解直角三角形经典例题精析类型一、锐角三角函数1．（1）在△ABC中，∠C=90°.若sinA=，则tanA=______.【考点】锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值.【解析】设∠A的对边为(也可设为1)，则斜边为2，由勾股定理得邻边为，所以由tanA===(也可由sinA=得∠A=30°，则tan30°=).【答案】.（2）（2010哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）．（A） 7sin35°（B）（C）7cos35°（D）7tan35°【考点】锐角三角函数的定义.【答案】C2．已知：cos=，则锐角的取值范围是( )A.0°＜＜30°B.45°＜＜60°C.30°＜＜45°D.60°＜＜90°【思路点拨】cos60°=，cos45°=，因为＜＜所以45°＜＜60°.【答案】B.3．当45°＜＜90°时，下列各式中正确的是( )A.tan＞cos＞sinB.sin＞cos＞tanC.tan＞sin＞cosD.cos＞sin＞tan 【考点】同一锐角不同三角函数比较大小.【提示】当一锐角在45°～90°范围内，正切值＞1，1＞正弦值＞，＞余弦值＞0.【答案】C.4．Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的,那么锐角A的各个三角函数值( )A.都缩小B.都不变C.都扩大5倍D.无法确定【考点】三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关.【思路点拨】因为一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，但各边的比值不变.【答案】B.5．1-cos234°-cos256°=__________.【考点】(1) sin2A+cos2A=1；(2)互余两角的三角函数关系sinA=cos(90°-A)或cosA=sin(90°-A).【解析】1-cos234°-cos256°=1-(sin256°+cos256°)=1-1=0.【答案】0.6．方程有实数根，求锐角的取值范围.【考点】锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值.【解析】∵方程有实数根∴△=≥0，即≤，∴0°＜≤30°.总结升华：应掌握特殊角的三角函数值及各个锐角三角函数之间的联系，注意锐角三角函数概念的理解领会及运用. 举一反三：【变式1】已知为锐角，下列结论正确的有( )(1)(2)如果，那么(3)如果，那么(4)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【思路点拨】利用三角函数的增减性和有界性即可求解.【解析】由于为锐角知(1)不成立当时，有，即(2)正确当时，，即(3)成立又，即正确，即(4)成立.【答案】C.【变式2】A、B、C是△ABC的三个内角，则等于( )A. B. C. D.【考点】互余两角正余弦关系.【思路点拨】===.【答案】A.【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根.且△ABC的周长为24.试求BC的长度.【考点】锐角三角函数概念的理解和运用.【解析】∵∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根∴由根与系数的关系得：又∵A＋B=900 ∴①平方并把②代入得：整理得：解得=3，=19当=3时，因=＜1不符题意，故舍去.∴=19此时原方程为：解得=，=又设＞∴设=，那么=，=∵=24 ∴=24 解得=2∴△ABC的斜边BC==10.类型二、解直角三角形7．（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，tanB=_____.【考点】解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值.【思路点拨】由∠ACB=90°，CD⊥AB可知，∠A=∠DCB，∵BC=5，BD=3 ∴由勾股定理得CD=4所以sinA=sin∠DCB==， cosA=cos∠DCB==tanA=tan∠DCB==， tanB==【答案】sinA=，cosA=，tanA=，tanB=.（2）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）（A） 2 （B）（C）（D）1【考点】解直角三角形、勾股定理.【思路点拨】过D作DE⊥AB于E，因为∠A=45°，设AE=DE=x, AD =x由tan∠DBA=，得BE=5x, AC=6AB=,即5x+x=,x=,AD =x=2.【答案】A8．如图，在中，AD是BC边上的高，.(1)求证：AC=BD； (2)若，求AD的长.【考点】利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形.【思路点拨】由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解.【解析】(1)在中，有，中，有(2)由可设由勾股定理求得即.9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B，取米，.要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是( )A.米B.米C.米D.米【思路点拨】在中可用三角函数求得DE长.【解析】A、C、E成一直线在中，米，米 .【答案】B.总结升华：任何锐角都可以求三角函数值，并非只能在直角三角形中的锐角才可求三角函数值，此处易混淆.解直角三角形的关键是正确地选择公式，为了迅速准确地优选所需公式，应依题意画出图形，便于分析，并尽量利用原始数据，避免积累误差或链式错误.举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长.【思路点拨】在Rt△ADC中，利用sinC=，求出AD=1cm，cosC=，求出CD=在Rt△ABD中，利用tan∠BAD=，求出BD=1，所以BC=BD+CD=1+.【答案】(1+)cm.【变式2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，根据下列条件解直角三角形.(1)∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=；(2)a=2，CD⊥AB于D，BD=.【考点】解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值.【解析】(1)∵ CD⊥AB，∠A=60°，CD=∴在Rt△CDA中，AC=∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=30°，AB=2AC=4，BC=ABsinA=4×=2；(2)∵BC=a=2，CD⊥AB于D，BD=，∴cosB=，∴∠B=30°∴在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=60°，∴AB=， AC=AB=.总结升华：大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法.【变式3】某片绿地形状如图，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长.【思路点拨】设法补成含60°的直角三角形再求解.【解析】延长BC，AD交于E，∠E=30°在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，AD=AE-DE=400-100，BC=BE-CE=200-200.类型三、解直角三角形的实际应用10．(1)（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（）(A) m·sin米 (B) m·tan米 (C) m·cos米(D) 米【考点】解直角三角形与实际问题.【答案】B(2)已知，如图：AB∥DC，∠D=900，BC=，AB=4，=，求梯形ABCD的面积.【考点】解直角三角形在实际中的应用.【思路点拨】过B作BE⊥CD于E，设BE=，则结合=得CE=3，又BC=，利用勾股定理求，从而可求梯形ABCD的面积.【解析】过B作BE⊥DC于E，∵tanC=，∴设BE=，则EC=在Rt△BEC中，由勾股定理得：，即解得：=1，∴BE=1，EC=3，∴==.11．如图，在湖边高出水面50m的山顶A处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯角为65°，试求飞机距湖面的高度h.(精确到0.01m) tan65°≈2.145【考点】利用三角形函数解实际问题.【思路点拨】通过作点P至湖面的对称点P′，根据方向角平面成像的知识解决问题.【解析】作点P至湖面的对称点P′，连接AP′，设AE=x，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，所以PE=AE=x，由平面成像知识可得OP′=OP=PE+EO=x+50，•在Rt△AP′E中，tan∠EAP′==tan65°，又EP′=OE+OP′=x+100，所以=tan65°≈2.145，解得x≈87.34，所以OP=x+50≈137.34(m)，即飞机距湖面的高度h约为137.34m.12．已知：如图，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？(精确到1米，参考数据)【思路点拨】如果能由已知数据计算出山高AB，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题【解析】这种方法可以测量出山高，理由如下：如图，作PE⊥AM的延长线于点E，设P点的水平视线与AB交于D点，由已知可得，∠C=30°，∠PBD=45°，BD=DP设BD=x米，则即又答：该测量人员用他的方法能测量出山的高度，其高度约为129米.13．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部的仰角为.两人相距28米且位于旗杆两侧(点在同一条直线上).请求出旗杆的高度.(参考数据：，，结果保留整数)【解析】解法一：过点作于，过点作于，则在中，，设(不设参数也可)， 5分在中，，7分答：旗杆高约为12米.解法二：过点作于，过点作于，则，在中，，设，则在中，，解得答：旗杆高约为12米.总结升华：在运用本单元内容时要运用转化思想将所求问题转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知与结论的联系，另外，在实际问题时，要注意分类讨论.举一反三：【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积.【考点】坡度的概念.【解析】如下图，作DF⊥BC于点F.由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10.AB的坡角为1：1，所以=1，所以BE=10.同理可得CF=10.里口宽BC=BE+EF+FC=30(厘米).截面积为×(10+30)×10=200(平方厘米).【变式2】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥.经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？(精确到0.1)【考点】方向角的应用.【解析】过点C作CD⊥AB于点D.CD就是连接两岸最短的桥.设CD=x米.在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x.因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(米).【变式3】气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点)的南偏东方向的点生成，测得.台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处.因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动.以为原点建立如图所示的直角坐标系.(1)台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点)位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？【考点】利用三角函数解决实际问题.【解析】解：(1)，；(2)过点作于点，如图，则.在中，，，..，，台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时.相似经典例题精析类型一、图形的相似1．在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为__________km.考点：比例性质.思路点拨：地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.解析：1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000cm=800km.2．（1）将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍考点：相似图形的定义和性质.解析：从放大看到的菱形和原来的菱形相似，放大镜只能放大边长，而不能放大角.所以B、C正确，A不正确.D 中相似图形的面积比等于相似比的平方，所以D也正确.故选A.（2）（2010山西）在R t△ABC中，∠C＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变考点：相似图形的性质.答案：D3．（1）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为0.6 米，则可知综合楼高为__________.考点：比例线段的基本性质，同一时刻物高与影长的比相等.解析：，则楼高==16，故填16米.（2）（2010四川内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为______________m.解析：答案：74．若四边形ABCD∽四边形，且AB：=1：2 ，已知BC=8，则的长是( ) A．4 B．16C．24D．64考点：相似图形的性质，相似四边形对应边的比等于相似比.解析：因为四边形ABCD∽四边形，所以AB：=BC：=1：2即=2BC=2×8=16，故选B.5．下列多边形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形考点：多边形相似的定义.解析：A中两个矩形只能满足对应角相等，而对应边不一定成比例；B中两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；D中两个平行四边形对应边不一定成比例，对应角也不一定相等；C中两个正方形满足对应角相等，对应边成比例.故选C.举一反三：【变式1】下列命题中正确的命题是( )A．相似多边形是全等多边形B．不全等的图形不是相似多边形C．全等多边形是相似多边形D．不相似的图形可能是全等图形解析：全等多边形是特殊的相似多边形，相似比为1.故选C.【变式2】证明：正六边形ABCDEF与正六边形相似.考点：边数相同的正多边形相似的判定.证明：∵正六边形的每个内角都等于120°∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，∠F=∠F′又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=====∴=====∴正六边形ABCDEF∽正六边形.总结升华：边数相同的正多边形都相似.【变式3】两地的距离是500 米，而地图上的距离为10 厘米，则这张地图的比例尺为()A．1：50B．1：500 C．1：5000 D．1：50000解析：图上距离与实际距离的比等于比例尺，即比例尺为10：50000=1：5000，故选C.【变式4】如图，在一张长10cm，宽6cm的矩形纸片上，剪下一个矩形，若剩下的矩形(图中阴影部分)和原来的矩形相似，那么剩下的矩形的面积是多少cm2？思路点拨：已知两个矩形相似，则它们的长的比等于宽的比.因此只能是矩形ABCD的长AD对应矩形CDEF的长CD，矩形ABCD的宽CD对应矩形CDEF的宽DE.解析：∵矩形ABCD∽矩形CFED，∴即解得DE=3.6，∴S矩形CDEF=CD×DE=6×3.6=21.6cm2.类型二、相似三角形6．（1）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有( )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对考点：本题考查三角形相似的基本定理与判定定理的运用.思路点拨：有两角对应相等的两个三角形相似.解析：△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，△ADE∽△ACD，△DCE∽△CBD，故选D.（2）（2010北京）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC 等于( )A．3 B．4 C．6 D．8解析：△ADE∽△ABC答案：D7．下列判断中，正确的是()(A)各有一个角是67°的两个等腰三角形相似(B)邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似(C)各有一个角是45°的两个等腰三角形相似(D)邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似考点：本题要求运用相似三角形的判定定理.思路点拨：设计出反例淘汰错误的选项.解析：A不成立的原因是当底角为67°时，顶角为46°，另一个三角形的顶角为67°时，底角为66.5°，这两个等腰三角形不相似.B两个等腰三角形的邻边之比都为2：1，结合三角形三边关系可知，这两邻边只能是腰和底的比为2：1，每个三角形三边之比均为腰：腰：底=2：2：1.C不成立的原因也是顶角不等.D不成立的原因是当一个等腰三角形的腰与底的比是2：3时，另一个等腰三角形的腰与底的比为3：2，它们三边之比分别为2：2：3与3：3：2.故选B.8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对思路点拨：利用两组角对应相等的两个三角形相似判定.解析：考虑Rt△ABC与Rt△ACD和Rt△CBD相似情况.除直角外，∠A为Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△ACD，又∠B为Rt△ABC和Rt△CBD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△CBD，可得Rt△ACD∽Rt△CBD，故选C.9．如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为( )A．4：5B．16：25C．196：225 D．256：625考点：相似三角形的性质.思路点拨：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以相似三角形的面积比等于对应角平分线的比的平方.答案：D.10．如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点.(1)求证：△PAB∽△PCA；(2)求证：∠APB+∠PBA=45°.考点：相似三角形的判定.思路点拨：判定方法：两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，或两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.解析：(1)∵PC=1，PA=，PB=5，∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA；(2)∵∠B=∠PAC∠ACB=45°，∴∠APB+∠PBA=∠APB+∠PAC=∠ACB=45°.11．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.考点：利用相似三角形的性质和判定解决实际问题.思路点拨：过A点作AH⊥ED，构造三角形，并证明△AFG∽△AEH，再利用相似三角形的对应边的比相等求出结论.解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.由题意，可得：△AFG∽△AEH，∴，即，解得：EH=9.6米.∴ED=9.6+1.6=11.2米.总结升华：判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等，对应边成比例.举一反三：【变式1】在△ABC中，DE∥BC，，若，求.考点：比例的基本性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方.思路点拨：由得出，再利用DE∥BC可得△ADE∽△ABC解：∵，∴.∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴.【变式2】如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.思路点拨：要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.解：(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，同样有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.【变式3】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s 的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？思路点拨：用运动的时间t和速度表示线段的长，当△PBQ与△BDC相似时，利用对应边的比相等求出时间.解析：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD= 90°，(1)当∠1=∠2时，有：，即；(2)当∠1=∠3时，有：，即∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD.类型三、位似12．下列图形中不是位似图形的是( )考点：位似图形的定义.解析：A是以圆心为位似中心的图形，B、D根据定义可判断.C是相似但不是位似的图形.故选C.13．（1）（2010广东茂名）如图，已知△与△是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△内一点（x，y）与△内一点是一对对应点，则点的坐标是_________．考点：位似图形的性质.答案：（-2x，-2y）（2）如图，直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).请在图中画出△ABC的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；考点：位似图形的画法思路点拨：连接位似中心P和△ABC的各顶点，并延长，使PA′=3PA，PB′=3PB，PC′=3PC连接、、，则得到所要画的图形.解：画出，如图所示.14．如图，D，E分别AB，AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？考点：会利用位似图形的定义判定两个图形是位似图形，会利用位似图形的性质解决问题.思路点拨：(1)可先证明△ADE和△ABC相似，对应边在同一直线上或平行，再找出对应顶点的连线交于一点A 可判定是位似图形.(2)利用位似图形的性质，位似图形是相似图形.从而得到对应角相等，可得DE∥BC.解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE和=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：△ADE和△ABC是位似图形，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.总结升华：位似图形重点考查学生理解图形变换的意义，利用数形结合的思想解决问题.举一反三：【变式1】如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；考点：位似图形坐标变换规律.思路点拨：问题关键是确定位似图形各个顶点的坐标：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为2，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或-2.由图形可知，A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(-1，2)，要求所画△OA1B1与△OAB 在原点两侧，所以相似比为-2，即A1点坐标为(4，0)，B1点坐标为(2，-4).解：如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象.【变式2】如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，•阅读后证明相应的问题.画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.考点：重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.思路点拨：由画法可知，△CDE和△C′D′E′是位似图形.答：△C′D′E′是等边三角形.证明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE为等边三角形，•∴△C′D′E′为等边三角形.。

第二十章 锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A. 12B. 2C. 2D.1 【解析】sin45°=2【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。

需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。

（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为A ．12 BCD【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC【答案】B【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．29.2 三角函数的有关计算图4图4（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B.C.D. 1)米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB ==，又CD=100，因此AB=AD+DB=00100100100tan tan tan 30tan 45CD CD A B +=+=。

答案：D点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 121313 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =23，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x x x x-=+-=即，解方程得，1211,22x x ==（不合题意，舍去），即； 又cosA=2ABAD ===点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

2023-11-06CATALOGUE 目录•锐角三角函数的定义•锐角三角函数在解直角三角形中的应用•特殊角的锐角三角函数值及其应用•锐角三角函数的实际应用•练习与解答01锐角三角函数的定义定义正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)。

性质正弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其最大值为1，最小值为0。

单位正弦函数的单位是弧度(rad)。

定义余弦函数是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作cos(α)。

性质余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而减小，其最大值为1，最小值为-1。

单位余弦函数的单位是弧度(rad)。

010203正切函数定义正切函数是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，记作tan(α)。

性质正切函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其值无限增大。

单位正切函数的单位是弧度(rad)。

02锐角三角函数在解直角三角形中的应用利用正弦函数解直角三角形已知锐角A的对边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。

正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。

求解公式：b=a×sin(A)/sin(B)。

010203利用余弦函数解直角三角形余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(C)。

已知锐角A的邻边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。

求解公式：b=(a²+c²-b²)/2ac。

利用正切函数解直角三角形已知锐角A的对边与邻边的比值，可以用来求解未知边b。

正切定理：tan(A)=a/b，tan(B)=b/a。

求解公式：b=a×tan(A)。

01030203特殊角的锐角三角函数值及其应用$\frac{\sqrt{3}}{2}$30度的正弦值$\frac{1}{2}$30度的余弦值$\sqrt{3}$30度的正切值30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值45度的正弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的余弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的正切值：130度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0360度的正切值$\sqrt{3}$30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0160度的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{2}$0260度的余弦值$\frac{1}{2}$在解直角三角形时，特殊角的三角函数值可以作为已知条件，用于求解其他角度或边的长度。

八锐角三角函数解直角三角形新汇报人：2023-12-20•八锐角三角函数基本概念•直角三角形中的锐角三角函数•利用八锐角三角函数解直角三角形目录•八锐角三角函数与其他数学知识联系•八锐角三角函数在实际问题中的应用•总结与展望目录01八锐角三角函数基本概念定义与性质- 正弦sin(θ) = opposite / hypotenuse- 余弦√3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3三角函数表的使用- 查表求三角函数值用三角函数表进行近似计算：当需要快速估算某个角度下的三角函数值时，可以通过查表得到近似值，从而进行近似计算。

用三角函数表进行单位换算：在处理物理、工程等领域的问题时，经常需要将角度转换为弧度或反之，此时可以利用三角函数表进行单位换算。

用三角函数表解直角三角形：已知直角三角形的两个锐角角度，可以通过查表得到相应的正弦、余弦值，进而利用这些值求出直角三角形的第三边长度。

02直角三角形中的锐角三角函数直角三角形中的角度与边长关系在直角三角形中，角度与边长之间存在一定的关系。

例如，在一个直角三角形中，如果一个角为30度，那么与它相邻的边长是斜边长度的1/2。

角度与边长的关系式在直角三角形中，角度与边长的关系可以用三角函数来表示。

例如，sin(θ) =opposite / hypotenuse，cos(θ) = adjacent / hypotenuse，tan(θ) = opposite / adjacent。

计算角度通过已知的边长和三角函数值，可以计算出对应的角度。

例如，如果已知一个直角三角形的斜边长度和其中一个锐角的三角函数值，可以计算出该锐角的度数。

计算边长通过已知的角度和三角函数值，可以计算出对应的边长。

例如，如果已知一个直角三角形的两个锐角的三角函数值和斜边长度，可以计算出其中一个锐角的对边长度。

锐角三角函数在直角三角形中的应用特殊角度下的锐角三角函数值特殊角度下的正弦值在0度、30度、45度、60度、90度等特殊角度下，正弦值是已知的。

《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°正弦：斜边的对边A A Ð=sin ；c aA =sin余弦：斜边的邻边A A Ð=cos ；c b A =cos正切：的邻边的对边A tan ÐÐ=A A ；ba A =tan根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；cabBCA2．三角函数之间关系．三角函数之间关系 （1）同角三角函数关系）同角三角函数关系AAA cos sintan =；1cos sin 22=+A A模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°三角函数三角函数 3030°° 4545°° 6060°° a sina cos a tan4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。