第20章 锐角三角函数及解直角三角形

2020^^1l m锐角三角展教与鮮直角三角形武题鮮析■汤文卿摘要:锐角三角函数与解直角三角形是中考的重要和必考内容，考题形式多样、问题新颖、内涵丰富、解 法灵活，很多问题常常与勾股定理、四边形、全等三角 形、相似三角形、圆等知识相结合，紧密联系实际，文章 对近年中考数学中的锐角三角函数与解直角三角形常 见题型进行分类和解析，同时给出了相应的求解策略.关键词：初中数学；銳角三角函数；解直角三角形锐角三角函数与解直角三角形是近年各地中考数 学试题的重要内容，必考知识点，考题形式多样、问题 新颖、内涵丰富、解法灵活，很多问题常常与勾股定理、 四边形、全等三角形、相似三角形、圆等知识相结合，紧 密联系实际，本文对近年中考数学中的锐角三角函数 与解直角三角形常见题型进行分类和解析，同时给出 相应的求解策略.一、求锐角三角函数值这类问题的常见题型有给出特殊角求其某一个三 角函数值（只要熟记特殊角的三角函数值即可），或给 出某角的一种三角函数值求此角另外的三角函数值， 亦或给出一个图形求其中某个角的三角函数值.例1 (2019年龙东地区）如图1，矩形/IBCD的对角线相交于点6C = 3 :2,过点B 作// A C ，过点C 作C E //D B ，B E ,C E 交于点E ，连接D E ,则 tan Z_£OC =( )(A )f (B )(C )f(D )盖解析:如图2,构作含有的直角三角形：作丄D C 交D C 的延长线于点F ，由已知可设/1S =31VICE /13k ，Jffj sin = sin 厶 BDC ，所以EFEC||，所以=2A :、/讯，所以狀“，由勾 股定理得 Cf’ =所以= |~i ，所以 t an z£/)C =盖=|，故选(A )_DF9例(2018年眉山市）如图3,在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，X I C D 相交于点 0,则 tanZ/IOZ) = ________.A C A E C解析:如图4,连接狀交(：/)于F ,由正方形性质得BE 丄 CK ，而/_B 0F = /_A 0D , iX tanZ /100 =tanZBOF ,只需求O F 即可.因为4C //B (所以KO ： CO = B K ： AC ^ \ 3 KO ：(J 2 - OK ) = 1 ：3,所以尺0 = f ,所以O F = f (发现0是狀的中作者简介:汤文卿（1966 -),男，江苏省海门人，本科，中学高级教师,主要从事初中数学教学研究•31 .数理化学习/2点），而方厂=^■，所以 tanZ40D = t a n Z B O F =召OF = 2.例3 (2019年自贡市）如图5,在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，Z_a 、乙/3如图所示，则 cos( a + p ) =z ________•图5 图6解析:如图6,连接S C ,易得zl/lCS = 90°，A /tD£S A C EB ，所以 AEBC = ADEA = a ,所以 AABC = a + y 8•设小正二角形的边长为a ，则/4C = 2a ，B C = v ^a ， 在 RtA/lBC 中，仙=V^"a ，所以 cos(a + 卢）=cos Z . ABCBCABy f i例4hl (2019年綿阳市）公元三世纪，我国汉代 数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图” 如图7所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的 小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积 是125，小正方形面积是25，则（sin0 - cos0)2 =()(A )+ (B )f (C )竽（D )务所以(sin 0 - cos 0)2 = ( - 士)2 =去，故选(A ).V5 5感悟:此题可由勾股定理求出a = 5,得出小直角 二角形另外一直角边长为10,从而准确求出sin0、cos0 的值得出所求结果，但不必要.评析:求一个锐角的函数值，一般需将这个角置于 一个直角三角形中，再运用锐角三角函数的定义求解， 因此巧妙合理的构造直角三角形（所构造的直角三角 形既要能含有这个角又要能够运用已知条件）是解题 的关键.解题时，常常用到勾股定理、全等三角形（例4)、相似三角形（例3)、四边形（例2)、圆（见例10)、解 直角三角形等知识点.另外，例3中的等角转换也是求 三角函数的一种好方法.二、由三角函数值反求锐角这类题比较简单，只要牢记3个特殊角（30°、45°、 60°)的函数值，利用对应关系求解即可.例5[1] (2019年甘肃省）在A /15C 中乙C =F x90o，t a i L 4 = 了，贝i j cosB = ________.解析：R t A 仙C 中，因为tao4 = f ,所以Z/l =30。

锐角三角函数与解直角三角形之邯郸勺丸创作【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变更规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的罕见类型及解法已知条件解法步调Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东南方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西南方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己测验考试完成．举一反三：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( )(A) (B)(C) (D)类型二、特殊角的三角函数值2．解答下列各题：(1)化简求值：；(2)在△ABC中，∠C＝90°，化简．．【总结升华】由第(2)题可得到今后经常使用的一个关系式：1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2．例如，若设sinα+cosα＝t，则．举一反三：【变式】若，，(2α，β为锐角)，求的值.3．(1)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝105°，∠A＝30°，AC＝8，求AB和BC的长；(2)在△ABC中，∠ABC＝135°，∠A＝30°，AC＝8，如何求AB和BC的长?(3)在△ABC中，AC＝17，AB＝26，锐角A满足，如何求BC的长及△ABC的面积？若AC＝3，其他条件不变呢?【思路点拨】第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝45°；过点C作CD⊥AB于D，则Rt△ACD是可解三角形，可求出CD的长，从而Rt△CDB可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，，，AC+CD＝18，求tanA的值和AB的长．专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )A．sin A＝ B．tan A＝C．cosB＝ D．tan B＝例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 ( )A．B．C．D．专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4 计算|－3|＋2cos 45°－(－1)0．例5 计算－＋＋(－1)2007－cos 60°．例6 计算|－|＋(cos 60°－tan 30°)0＋．例7 计算－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－.专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC 边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30，求AB的长．专题4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各类应用问题时要注意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD ＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据≈1.4，≈1.7)例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(≈1.73，结果保存整数)例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)二、规律方法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．例19 当0°＜α＜90°时，求的值．三、思想方法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，解这个直角三角形．．专题7 数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题经常使用的方法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于 ( )A． B．C． D．专题8 分类讨论思想【专题解读】当结果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔挺的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保存根号)专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经丈量，森林呵护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林呵护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为什么?(参考数据：≈1.732，≈1.414)例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)例26 如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?。

第20章 解直角三角形一 锐角三角函数课题：§20．1锐角三角函数教学目标：知识与技能：⒈ 通过实例让学生理解并认识锐角三角函数的概念；⒉正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示；3．学会根据定义求锐角的正弦值．4．知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也都固定这一事实．过程与方法：1.经历锐角的正弦的探求过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的思想．2．三角函数的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。

情感态度价值观：1．通过锐角的正弦概念的建立，经历从特殊到一般的认识过程．2．在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣．教学重点：理解当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定的这一事实．教学难点：正弦概念建立及表示；教学方法：自主探究、合作学习教学过程：一、复习引入问题：我们已经学习了直角三角形的哪些性质呢？如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边。

边：勾股定理，即： a 2+b 2=c 2 .角：两锐角互余，即： ∠A+∠B=90°.边角：30°角所对直角边是斜边的一半.推理形式： 在Rt△ABC 中,∠C=90°，∵ ∠A=30°, ∴ 12BC AB = 复习直角三角形中边、角以及边角关系，突出本节主题，即研究直角三角形中的相关问题，同时为后面的解题做了准备。

二、整体感知新知识１．从特殊到一般抽象概括出正弦定义在Rt△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°,过BC 上的点B 1 作111B C AC C ⊥于，111B C AB 的值为多少? 1111=2B C AB ，这说明这个比值只与∠A=30°有关，与Rt△ABC 的大小无关。

思 考c b a AC B 在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？几何画板演示：1. 取定∠A 的大小，改变Rt △ABC 的大小，观察∠A 的对边与邻边的比值；2. 改变∠A 的大小，观察∠A 的对边与邻边的比值，再改变Rt △ABC 的大小，观察比值的变化。

考点20 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括①正弦、余弦、正切三函数、②特殊角的三角函数值、③解直角三角形与其应用等。

而且，因为锐角三角函数的性质的特点，出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察。

特别是三角函数的应用，是近几年中考填空压轴题常考题型。

学生在复习这块考点时，需要付出更多的努力，已达到熟练掌握这块考点的要求。

一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b则：∠A 正弦：；ACBabc∠A余弦：；∠A正切：；二．锐角三角函数的函数关系当∠A＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：；（2）互余两角的三角函数的关系：;1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cos B的值为（ ）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出BC，再根据三角函数的定义，即可得解．【解答】解：根据勾股定理可得，则cos B＝＝．故选：B．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tan A的值为（ ）A．B．C．D．2【分析】根据勾股定理求出AB的值，代入正切公式即可得到答案；【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AC＝（ ）A．10B．8C．5D．4【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，再根据勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，∴sin A＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故选：B．4．已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（ ）A．cosθ＜B．tanθ＞1C．sinθ＞cosθD．sinθ＜tanθ【分析】根据逐项进行判断即可．【解答】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而0°＜θ＜45°，所以cosθ＞cos60°，即cosθ＞，因此选项A不符合题意；B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以tanθ＜tan45°，即tanθ＜1，因此选项B不符合题意；C．由于cosθ＝sin（90°﹣θ），而0°＜θ＜45°，即45°＜90°﹣θ＜90°，所以sinθ＜sin（90°﹣θ），即sinθ＜cosθ，因此选项C不符合题意；D．由于sinθ＝，tanθ＝，而锐角的邻边小于斜边，所以sinθ＜tanθ，因此选项D符合题意．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（ ）A．a2+b2＝c2B．sin B＝cos A C．tan A＝D．sin B＝【分析】根据直角三角形的边角关系逐项进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由勾股定理可得a2+b2＝c2，因此选项A不符合题意；由锐角三角函数的定义可得sin B＝＝cos A，因此选项B不符合题意；由锐角三角函数的定义可知，tan A＝，因此选项C符合题意；由于sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，因此选项D不符合题意；故选：C．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°1．下列三角函数中，值为的是（ ）A．cos45°B．tan30°C．sin5°D．cos60°【分析】根据特殊锐角三角函数值逐项进行判断即可．【解答】解：A．由于cos45°＝，因此选项A不符合题意；B．由于tan30°＝，因此选项B不符合题意；C．sin5°＜sin30°，即sin5°＜，因此选项C不符合题意；D．由于cos60°＝sin30°＝，因此选项D符合题意；故选：D．2．计算tan45°+tan30°cos30°的值为（ ）A．B．1C．D．2【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝1+×＝1+＝，故选：C．3．4sin260°的值为（ ）A．3B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案．【解答】解：．故选：A．4．若sin（x+15°）＝，则锐角x＝　45　°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：∵sin（x+15°）＝，∴x+15°＝60°，解得：x＝45°，故答案为：45．5．计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝ ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×＝﹣+1﹣＝．故答案为：．6．在△ABC中，，则△ABC的形状是　等边三角形　．【分析】非负数的和为0，则每个加数都等于0，求得相应的三角函数，进而求得∠A，∠B的度数．根据三角形的内角和定理求得∠C的度数．【解答】解：由题意得：2cos A﹣1＝0，﹣tan B＝0，解得cos A＝，tan B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．7．计算：．【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：三边关系：在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角关系：AB=c，BC=a，AC=b边与角关系：，，，锐角α是a、b的夹角面积：1．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则tan∠APD的值是（ ）A．2B．1C．0.5D．2.5【分析】连接格点AE，BE．根据题图和勾股定理先判断△ABE的形状，再求出∠APD的正切，利用平行线的性质可得结论．【解答】解：如图，连接格点AE，BE．由网格和勾股定理可求得；，，，∴BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形．在Rt△ABE中，．∵BE∥CD，∴∠APD＝∠ABE，∴tan∠APD＝2，故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若tan∠BDC ＝，则BC的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm【分析】设CD为xcm，则有AD为（8﹣x）cm，根据垂直平分线得到AD＝BD，根据得到BC，最后根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：设CD为xcm，则有AD为（8﹣x）cm，∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD＝BD＝8﹣x，∵，∴，∴，∵∠C＝90°，∴，解得：x1＝3，x2＝﹣12（不符合题意舍去），∴，故答案为：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sin C＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：（1）线段AB的长；（2）tan∠DBA的值．【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sin C＝＝，设出AB＝3k，则BC＝5k，由BC2﹣AB2＝AC2，得出方程（5k）2﹣（3k）2＝82，解方程求出k的值，进而得到AB；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．根据角平分线的性质得出DE＝AD＝x，利用HL 证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE＝BA＝6，那么CE＝BC﹣BE＝4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∴sin C＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，∴可设AB＝3k，则BC＝5k，∵AC＝8，∴（5k）2﹣（3k）2＝82，∴k＝2（负值舍去），∴AB＝3×2＝6；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB＝90°，∴DE＝AD＝x．在Rt△BDE与Rt△BDA中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA＝＝＝．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sin B＝，BC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根据圆周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根据三角形内角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代换可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根据垂径定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根据正弦定理可得sin B＝＝＝，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE＝的长度，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入计算即可得出答案．【解答】证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵，∴，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sin B＝＝＝，∴CE＝，∴BE＝＝＝，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r﹣）2+，解得：r＝．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）sin B＝ ；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用等腰三角形的三线合一性质求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长即可解答；（2）分两种情况，当0＜t≤1时，当1＜t＜2时．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4cm，在Rt△ABD中，AB＝6cm，BD＝4cm，∴AD＝＝2，∴sin B＝＝；故答案为：．（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sin B＝sin C＝，分两种情况：当0＜t≤1时，由题意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ sin C＝3t•＝t，∴S＝CP•QE＝•（8﹣2t）•t＝4t﹣t2＝﹣t2+4t，当1＜t＜2时，由题意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝12﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQ sin B＝（12﹣3t）•＝4﹣t，∴S＝CP•QE＝•（8﹣2t）•（4﹣t）＝，∴S＝．考向四：解直角三角形的应用解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡度和坡角坡度越大，坡角越大，坡面越陡1. 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③2. 常用结论：1．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为27°，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）A．3sin27°B．3cos27°C．D．3tan27°【分析】根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可．【解答】解：如图，过点A作AB⊥BC于B，∴∠ABC＝90°，cos∠BAC＝，∵AC＝3，∠BAC＝27°，∴AB＝AC cos∠BAC＝3cos27°；故选：B．2．如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下A处乘缆车上山顶B处，缆车索道与水平线所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，则缆车索道AB的长为（ ）A．800sinα米B．800cosα米C．米D．米【分析】利用直角三角形的边角关系定理列出关系式即可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，sin BAC＝，∴AB＝．∵∠BAC＝α，BC＝800米，∴AB＝（米）．故选：C．3．如图，为了估算某河流的宽度，在该河流的对岸选取一点A，在近岸取点D，C，使得A、D、C在一条直线上，且与河流的边沿垂直，测得CD＝15m，然后又在垂直AC的直线上取点B，并量得BC＝30m，若cos B＝，则该河流的宽AD为　25　m．【分析】根据三角形函数的定义可得AB的长，利用勾股定理可得AC的长，由线段的和差关系可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝30m，cos B＝＝，∴AB＝50m，∴AC＝＝40（m），∵CD＝15m，∴AD＝AC﹣CD＝25（m），故答案为：25．4．某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒谷场长60m一侧，规划一个停车场，已知每个停车位需确保有如长5.5m，宽2.5m的长方形AEDF供停车，如图平行四边形ABCD是其中一个停车位，所有停车位都平行排列，∠ABD为60°，则每个体车位的面积大约为　17　m2（结果保留整数），这个晒谷场按规划最多可容纳　20　个停车位．（）【分析】由题意，在Rt△ABF中，由直角三角形的边角关系得出AB，BF的长，讲而可以解决问题．【解答】解：由题意，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝60°，AF＝2.5m，∴AB＝＝＝≈2.94（m），∴BF＝AB≈1.47（m），∴BD＝DF+BF≈5.5+1.47＝6.97（m），∵CD＝AB≈2.94m，∴S平行四边形ABDC＝BD•AF≈6.97×2.5≈17 （m2），∴每个停车位的面积大约为17m2；∵60÷2.94≈20.4，∴这个晒谷场按规划最多可容纳20个停车位．故答案为：17；20．5．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB 于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．【分析】（1）根据在Rt△AOD中，，先算出OD的长，再根据AD＝2OD即可得到答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AHE中，，得，当∠CAE＝140°时和当∠CAE＝90°时，分别求出AH的值，作差即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠CAE＝140°，AC＝AD，AO⊥CD，∴，CD＝2DO，在Rt△AOD中，，即，解得：OD≈1.88m，∴CD＝2OD≈3.76m，答：遮阳宽度CD约为3.76m；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝2.2m，在Rt△AHE中，，∴，当∠CAE＝140°时，∠EAO＝70°，m，当∠CAE＝90°时，∠EAO＝45°，AH＝2.2m，2.2﹣0.8＝1.4m，答：点E下降的高度为1.4m．6．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝31cm，灯罩DE＝24cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：cos50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题．【解答】解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如右图所示，∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，∴四边形BCFG为矩形，∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm，又∵∠DCB＝140°，∴∠DCF＝50°，∵CD＝31cm，∠DFC＝90°，∴DF＝CD•sin50°≈31×0.77＝23.87（cm），∴DG≈23.87+18≈41.9（cm），答：点D到桌面AB的距离约为41.9cm．1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为　．　．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．2．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）A．B．C．D．3【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．3．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．4．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝　﹣1　．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．5．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．6．（2022•贵港）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答案．【解答】解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，故选：C．7．（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC 是（ ）A．12sinα米B．12cosα米C．米D．米【分析】直接根据∠A的正弦可得结论．【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12米，∴BC＝12sinα（米）．故选：A．8．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE 交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故选：C．9．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB 与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）A．B．C．D．【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故选：B．10．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（ ）A．3B．3C．3D．6【分析】利用三角函数求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．【解答】解：∵2CD＝6，∴CD＝3，∵tan C＝2，∴＝2，∴AD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝，故选：D．11．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案为：．12．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　3+3或3﹣3　．【分析】利用分类讨论的思想方法，画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理解答即可．【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；综上，BC的长为3+3或3﹣3．13．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A＝ ．【分析】先构造直角三角形，然后即可求出sin A的值．【解答】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案为：．14．（2022•长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC ＝α，下列关系式正确的是（ ）A．sinα＝B．sinα＝C．sinα＝D．sinα＝【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，sinα＝sin∠ABC＝，故选：D．15．（2022•沈阳）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（ ）A．m sinαB．m cosαC．m tanαD．【分析】根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝m tanα（米），∴河宽PT的长度是m tanα米，故选：C．16．（2022•福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【分析】根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故选：B．17．（2022•六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E 处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【分析】（1）根据对称性得出AD＝2m，再根据锐角三角函数求出OD，即可求出答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，得出EH＝BF＝3m，再分别求出∠α＝65°和45°时，AH的值，即可求出答案．【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，∴sinα＝，∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，∴CD＝2OD＝3.6m，答：遮阳宽度CD约为3.6米；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝3m，在Rt△AHE中，tan a＝，∴AH＝，当∠α＝65°时，AH＝≈≈1.40m，当∠α＝45°时，AH＝＝3，∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝1.6m．18．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC ＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．1．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 ．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．2．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．【分析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sin A的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．3．（2022•广东）sin30°＝ ．【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．4．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案为：．5．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【分析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝＝．6．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0＝3﹣2×1+1﹣1＝3﹣2+1﹣1＝1．7．（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵点A，B，C都在格点上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故选：B．8．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）A．2B．3C．D．2【分析】过D点作DE⊥AB于E，由锐角三角函数的定义可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长．【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故选：C．9．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）A．y＝3x B．y＝﹣x+C．y＝﹣2x+11D．y＝﹣2x+12【分析】分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论．【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，则直线MN为符合条件的直线l，如图，∵四边形OABC是矩形，∴OM＝BM．∵B的坐标为（10，4），∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．∵四边形ABEF为菱形，BE＝AB＝10．过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝，∴，设EG＝4k，则BG＝3k，∴BE＝＝5k，∴5k＝10，∴k＝2，∴EG＝8，BG＝6，∴AG＝4．∴E（4，12）．∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，∴A（0，4）．∵点N为AE的中点，∴N（2，8）．设直线l的解析式为y＝ax+b，∴，解得：，∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，故选：D．10．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝ ．【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B＝sin A＝．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，∴cos B＝＝．故答案为：．11．（2022•西宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则cos A＝ ．【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出cos A即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝，所以cos A＝＝＝，故答案为：．12．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝　﹣1　．【分析】用含有AB的代数式表示AD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，设AB＝a，则AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案为：﹣1．13．（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ ．【分析】根据两个正方形的面积可得AD＝10，DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解方程可得x的值，从而解决问题．【解答】解：∵大正方形ABCD的面积是100，∴AD＝10，∵小正方形EFGH的面积是4，∴小正方形EFGH的边长为2，∴DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解得x＝6或﹣8（负值舍去），∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝，故答案为：．14．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A 离地面EF的高度为（ ）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．15．（2022•枣庄）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．【解答】解：如图，连接AB、BC、AC、BE，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABE＝tan30°＝，故答案为：．16．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A 处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B 点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝　（5﹣5）　海里（计算结果不取近似值）．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AB＝10海里，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝45°，从而可得∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，进而利用三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE＝x海里，再在Rt△ADE 中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC＝5海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得：AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10×＝5（海里），设DE＝x海里，在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°，在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），DC＝＝＝x（海里），∵AE+EC＝AC，∴x+x＝5，∴x＝，∴DC＝x＝（5﹣5）海里，故答案为：（5﹣5）．17．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　（1+）　小时．【分析】根据题意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间＝路程÷速度，进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小时，故答案为：（1+）．18．（2022•桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是　20　米．【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20m，故答案为：20．19．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE ＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF ＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，。

锐角三角函数和解直角三角形一、锐角三角函数1．sin α，cos α，tan α定义，sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ．2．特殊角三角函数值二、解直角三角形1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．2．解直角三角形的类型： 已知____________；已知___________________．3．如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：sinA=_ __，sinB=_ ___，cosA=_______．cosB=___ _，tanA=_____ ，tanB=_ ____．4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________．6．如图（4）坡度：AB 的坡度i ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____．（图2） （图3） （图4）练习题一、选择题1.如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB =38, ∠B =30°, 则DE 的长是( ).A. 6B. 4C. 34D. 234.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A 米 B ． C ．40米 D ．10米5.一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ）A ． 1：2 B. 3 ：2 C. 1： 3 D. 3 ：1α a b cCB A6.如图，一巡逻艇在A 处，发现一走私船在A 处的南偏东60°方向上距离A 处12海里的B 处，并以每小时20海里的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（ ）A ．21小时B ．43小时C ．54小时D ．45小时二、填空题1.如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m,木板超出车厢部分AD =0.5m,则木板CD 的长度为 ．（参考数据：sin20°≈0.3420,cos20°≈0.9397,精确到0.1m ）.[来源:Z §xx §][来源:学科网ZXXK]5.如图，甲、乙两盏路灯相距20米. 一天晚上，当小明从路灯甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为1.6米，那么路灯甲的高为 米．7如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝8，CB ＝6，在斜边AB 上取一点M ，使MB ＝CB ，过M 作MN ⊥AB 交AC 于N ，则MN ＝ .NM CB A A BC D（第1题图1） （第1题图2）。