2013届高考理科数学第一轮考点总复习课件8

• 因为BD∶DC= ∶2，BC= R， 3 3 • BD2+DC2=BC2，所以 ( 3 DC )2 DC 2 ( 3 R)2 2 3 12 3DC= • 则DC= R，所以BD= R.
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解：(1)过点C作CE∥DB交球面于E，连 结AE，则∠ACE为所求的角. 因为∠CBD=60°， 所以∠BCE=60°. 取BC的中点O′， 则O′为截面圆圆心. 设球O的半径为R，由已知OO′= . R 2 在Rt△CO′O中 3 CO 2 - OO2 CO R. 所以BC= R.因为BE⊥CE， 2 3 所以CE=BCcos60°= . 3
题型3
球面距离的分析与计算
• 3. 在地球北纬30°圈上有A、B两点，点 A在西经10°，点B在东经110°，设地 球半径为R，求A、B两点的球面距离. • 解：如图，设O为球心，C为北纬30° • 圈所在小圆的圆心.由已知， • ∠ACB=120°， • ∠AOC=∠BOC=60°， • OA=OB=R，OC⊥平面ABC， • 所以AC=BC=Rsin60°= 3 .
第九章 直线、平面、简单几何体
第 讲
●球面、球体的概念，球的截面性质 考点 ●地球的经纬度，球面距离 搜索 ●球的表面积和体积高考 1. 考查有关球的表面积、体积和球面 高考 距离等的计算. 猜想 2. 考查球的截面问题的分析与计算.
1. 与定点的距离_______________的点的集 等于或小于定长 合,叫做球体,简称球,定点叫做球心,定长叫做球的 半径,与定点距离__________的点的集合叫做球面. 等于定长 2. 用一个平面截一个球,所得的截面是 ________,且球心与截面圆心的连线________截面. 一个圆 垂直于 3. 设球心到截面的距离为d,球半径为R,截 面圆半径为r,则三者的关系是____________. R2=r2+d2
2 3
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解法3：设球面上的3个点分别为A，B，C， 球心为O. 因为正三角形ABC的外接圆半径 3 r=2，故高AD= r=3，D是BC的中点. 2 ， 在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC= 3 1 1 所以BC=BO=R，BD= BC= R. 2 在Rt△ABD中，AB=BC=R， 2 所以由AB2=BD2+AD2， 得 . 1 2 ，解得R= 2
1 2 4 R ( R) 2 3
2
所以
16 ， R 9
2
3
S球 4πR 48π
2
• 3.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离 都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的 周长为4π，那么这个球的半径为( ) B • A. B. C. 2 D. 3 4 3 2 3 • 解法1：设球面上的3个点分别为A，B，C， 球心为O.过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足， 则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2. • 又因为∠AOC=θ= ，OA=OC知OA = AC < 2 O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边， 3
2 3
• 点评：求球的表面积的关键是求球的 半径.求半径时，一般是根据截面圆的 圆心与球的圆心的连线段、截面圆的 弦长、球的半径三者之间的关系，通 过解三角形来求得.
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如图，A、B、C是表面积为 48π的球面上三点，AB=2， BC=4，∠ABC =60°，O为 球心.求直线OA与截面ABC 所成的角的大小. 解：连结AC，设O在 截面ABC上的射影是O′， 则O′为截面三角 形ABC外接圆的圆心，
2 3 3
参 考 题
1. 正三棱锥P-ABC的外接球半径为R， 两侧棱的夹角为α，求这个正三棱锥的侧棱 长. 解：如图，过点P作PD ⊥平面ABC，垂足为D，则 D为△ABC的中心.延长PD 交球面于E，则PE为球的直 径.连结AD、AE，则PA⊥AE， AD⊥PE.
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2 R
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因为AC是球的直径，所以AE⊥EC. 在Rt△AEC中， cos ACE CE 3 . AC 4 故异面直线AC和BD的夹角为arccos . 3 4 (2)过点D作DF⊥BC，垂足为F. 因为OO′⊥DF，所以DF⊥平面ABC. 过点F作FH⊥AC，垂足为H，连结DH. 依据三垂线定理，有DH⊥AC. 所以∠DHF为二面角B-AC-D的平面角.
• 1.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5， 且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的 表面积是( C ) • A. 20 2π B. 25 2π C. 50π D. 200π • 解：设球的半径为R， • 则(2R)2=32+42+52=50，所以R= 5 .2 2 • 所以S球=4πR2=50π.
OA r 2 3 cos OAO OA R 2 3 3
0
• 所以 sin 60
2r
.
• 故所求角的大小为arccos
•
题型2 球的体积的计算 2. 设A、B、C为球面上三点，AC=BC =6，AB=4，球心O到平面 ABC的距离等于球半径的 一半，求这个球的体积. 解：过球心O作OO1⊥ 平面ABC，则点O1为过 点A、B、C的截面圆的圆 心，即O1是△ABC的外心. 连结CO1，延长交AB于M点.
• 2.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的 距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则 球面面积是( ) D 16π B. 8 π C. • A. D. 64 4 9 3 9 • 解：因为AB=BC=CA=2， • 所以△ABC的外接圆半径为r= 2 .设球的半 3
• 径为R，则
• 所以
R 2 ( )2 ( )2 2 4
3 6 2
2x
• 所以
4 3 V球 πR 27 6π 3
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点评：球的体积是关于半径的函 数，故求体积必须先求半径.涉及到 截面问题时，一般是化球为圆，再 解直角三角形可求得半径.
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球面上有三点A、B、C，A和B及A 1 和C之间的球面距离是大圆周长的 ，B和C 4 1 之间的球面距离是大圆周长的 ，且球心到 6 截面ABC的距离是 ，求球的体积. 21 7 解：设球心为O，由已知， 易得∠AOB = ∠AOC= ，∠BOC= . 3 2 过O作OD⊥BC于D，连结AD， 再过O作OE ⊥ AD于E， 则OE⊥平面ABC于E，所以OE= . 21
7
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因为OA⊥OB，OA⊥OC， 所以OA⊥平面BOC，所以OA⊥OD. 设OA=R,则AB=AC=2R,BC=R， 7 3 AD= R, OD= R. 2 2 在Rt△AOD中，由AD· OE=OA· OD, 得OA=R=1.所以 4 3 4 .
V球 3 πR 3 π
2 R
• 在△ACB中，
9 2 AB AC BC - 2 AC BC cos120 R 4 3 • 所以AB= R. 2 AO 2 BO 2 - AB 2 1 • 在△AOB中， cos AOB 2 AO BO 8 • 所以∠AOB=arccos( ). 1
由已知，2πr=4π，所以r=2. 又因为A、B、C中任意两点的球面距离 R 1 都是大圆周长的 ，即 ， 3 6 所以∠AOB=∠AOC=∠BOC= . 3 又OA=OB=OC=R，所以AB=BC=AC=R. 在△ABC中，由正弦定理， 得AB=2rsin60°= ， 2 3 所以R= ，所以S球=4πR2=48π.
设∠PAD=θ，则∠AED=θ. 设正三棱锥P-ABC的侧棱长为a， a 由已知， AB 2a sin 从而 AD 2 3 AB 2 3 a sin a 3 2 3 2 2 又AD=PAcosθ=acosθ，所以 2 3 a cos θ sin 3 2 所以 sin2 θ 1 - cos2 θ 1 - 4 sin 2 a 3 2 在Rt△PAE中， PA=PEsinθ= . 4 2a 2 R 1 - sin 3 2 故这个正三棱锥的侧棱长为 4 2 a.
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故OA>O′A,所以O′A<OA<2O′A. 因为OA=R，所以2<R<4.因此， 排除A、C、D，故选B. 解法2：设球面上的3个点分别为A，B，C， 球心为O. 在正三角形ABC中， △ABC的外接圆半径r=2. 应用正弦定理，得AB=2rsin60°= . 2 3 因为∠AOB=θ= ，所以侧面AOB是 正三角形，得球半径R=OA=AB= . 3
R 4 R 9
2 3
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题型1 球的表面积的计算 1. 球面上有三点A、B、C，其中任意两 1 点间的球面距离都等于大圆周长的 ， 6 经过这三个点的小圆 的周长为4π， 求这个球的表面积. 解：设O为球心，球半径 为R，经过A、B、C 三点的小圆半径为r.
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连结AO′，则∠OAO′为直线OA与截面 ABC所成的角.设球的半径为R，小圆的半 径为r.因为球的表面积为48π，所以R= 2. 3 在△ABC中，由余弦定理，得AC2 = AB2 + BC2 -2AB· cos∠ABC=4+16-16cos60°=12 BC· AC 由正弦定理，得 ， 2r sin ABC 即 ，所以r=2. 2 3
2 R 1 - sin 3 2
• 2. 如图，AC是四面体ABCD的外接球 直径，BC是经过B、C、D三点的截面 圆直径，球心O到截面BCD的距离等 1 于球半径的 . 2 • (1)若∠CBD=60°， • 求异面直线AC和 • BD的夹角; • (2)若BD∶DC= ∶2， 3 • 求二面角B-AC-D的大小.