理科数学高考总复习

2020年高考总复习 理科数学题库第一章 集合学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞)2．若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ∆的三边长，则△ABC 一定不是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形3．若集合{}1213A x x =-≤+≤，20,x B xx-⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则A B ⋂=( ) A.{}10x x -≤< B.{}01x x <≤ C. {}02x x ≤≤ D. {}01x x ≤≤（2011江西理2）【精讲精析】选B.由题意得A={}{}x 12x 13x 1x 1,-≤+≤=-≤≤{}x 2B x 0x 0x 2x ⎧-⎫=≤=<≤⎨⎬⎩⎭{}{}{}A B x 1x 1x 0x 2x 0x 1.==⋂-≤≤⋂<≤<≤所以4．已知集合2{|1},{}P x x M a =≤=，若P M P =U ，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）[1,)+∞ （C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞U （2011北京理1）【思路点拨】先化简集合P ，再利用M 为P 的子集，可求出a 的取值范围. 【精讲精析】选C.[1,1]P =-.由P M P =U 得，M P ⊆，所以[1,1]a ∈-.5．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N)，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N|f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N|f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}(2005浙江理) 6．已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则A B =U ( )（A ）{|1}x x ≥- （B ）{|2}x x ≤ （C ）{|02}x x <≤ （D ）{|12}x x -≤≤（2008浙江文） （1）7． i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则（ ）． A ．i S ∈ B ．2i S ∈ C ． 3i S ∈ D ．2iS ∈（2011福建理）8．若集合{}20A x x x =|-<，{|03}B x x =<<，则A B I 等于( )A ．{}01x x |<<B ．{}03x x |<<C ．{}13x x |<<D ．∅（2008福建文）（1）9．满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a =I 的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2008山东理） 1．（文科1）10．定义集合运算*{,,},{1,2},{0,2}A B Z Z xy x A y B A B =|=∈∈==设，则集合*A B 的所有元素之和为（ ）。

第5讲 对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析 由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a .答案 D 2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lgx ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0. 答案 A3．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析 由于y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B. 答案 B5．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎨⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D.答案 D6．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C. 答案 C 二、填空题。

高考各题型知识点详细罗列一、集合● 子集、真子集等集合个数若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个● 绝对值不等式和一元二次不等式设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B A =⋂，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- ●对数指数函数不等式设集合{}13x x P =+≤，()1Q ,2,13xy y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则Q P =I （ ）A ．14,9⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,29⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭● 分式不等式已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．● 定义域和值域若集合}1,log |{}1,2|{2≥==-<==x x y y P x y y M x，，则=P M I （ ） A ．}210|{<<y y B ．}10|{<<y y C ．}121|{<<y y D ．}210|{<≤y y}013|{≥+-=x x x A }2log |{2<=x x B =B A C I )(R )3,0(]3,0(]4,1[-)4,1[-二、复数 ● 复数计算复数=（ ）A. B. C. D.● 共轭复数z 满足(3)(2)5z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ） A ．2i + B ．2i - C ．5i + D ．5i -● 求模若复数满足，则的实部为 （A ） （B ） （C ） （D ）已知复数z 满足11zi z-=+ ，则1z += （ ） A 、1 B 、0 C 、2 D 、2● 象限已知复数，则z-|z|对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限● i 的多次方复数等于（ ）A ．iB ．1-C ．i -D ．1z 11z i i i -=-+（）z 212-21-1212+iz -=11三、向量● 数量积已知，，，则=（ ）A ．﹣8B ．﹣10C ．10D ．8设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ,则||a b +=r r（ ）A ．5B ．10C ．25D ．10● 夹角公式已知两个非零向量,a b r r 满足()0a a b ⋅-=r r r ，且2a b =r r ，则,a b <>=r r（ ）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o ●平行与垂直已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-r r r，若()//a c b -r r r ，则向量a r 与向量c r 的夹角的余弦值是（ ） A ．55 B ．15 C ．55- D ．15- ● 投影已知点(1,1).(1,2).(2,1).(3,4)A B C D ---则向量AB uu u r 在CD uuu r方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-● 平面向量基本定理已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C 在∠AOB 的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（ ） A ． B ．2C ．D ．1在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，若，点E 为线段AD 的中点，，则λ=（ ）A ．B ．C ．D ．四、三角函数平方和1、三角函数关系已知是第二象限角，8tan 15α=-，则sin α=（ ） A ．18 B ．18- C ．817- D ．817如果角θ满足sin cos 2θθ+=，那么1tan tan θθ+的值是（ ） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．2已知3tan 5α=-，则sin2=α（ ） A.1517 B.1517- C.817- D.817已知()7cos ,,025θθπ=-∈-，则sin cos 22θθ+=（ ） A ．125B ．15C ．15-D ．15±若，则sin2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．α● 诱导公式若1cos()63πα-=，则54cos()cos(2)63ππαα+--=（ ） A ．109- B ．109 C ．45 D ．45-● 齐次式已知ααααα2222cos sin 22cos sin ,2tan ++-=则等于（ ）A ．913B ．911C ．76D ．74● 三角函数图像已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则f （）=（ ）A ．B ．C ．D ．● 平移伸缩变换将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是 （ ） A ． B ．C ．1sin()26y x π=+ D ．sin(2)6y x π=+已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数ϕ=（ ） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π126πsin(2)3y x π=+1sin()212y x π=+已知函数()cos(2)(||)f x x ϕϕπ=+<的图象向右平移12π个单位后得到()sin(2)3g x x π=-的图象，则ϕ的值为（ ）A 、－23π B 、－3π C 、3π D 、23π ●对称轴、对称点性质已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A ≠，0ω>，22ππϕ-<<）在23x π=时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的图象的一条对称轴是512x π=函数x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ） A ．π3 B ．34π C ．23π D ．67π若将函数y ＝tan（ω>0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y ＝tan的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．设函数对任意的 ，都有，若函数，则的值是（ ）A ．1B ．-5或3C ．-2D ．● 单调区间与最值1()cos()2f x x ωϕ=+x R ∈()()66f x f x ππ-=+()3sin()2g x x ωϕ=+-()6g π12如图是函数()()⎪⎭⎫⎝⎛≤+=22sin πϕϕx A x f 图像的一部分，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是减函数 B ．()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是减函数 C ．()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是增函数 D ．()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是增函数 cos 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤)的值域为 ( )A ． 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦函数 cos 22cos y x x =+的值域是（ ） A ．[1,3]- B ．3[,3]2- C ．3[,1]2-- D ．3[,3]2三角恒等变换与角之间的关系（互余、互补）若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A. 31 B. 31- C. 97 D. 97-3110 170cos sin ︒︒－＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4若1sin()63πθ-=，则2cos(2)3πθ+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．79D ．79-在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足643a b c ==，则sin 2sin sin AB C=+（ ） A ．1114- B ．127 C ．1124- D ．712-五、线性规划● 画可行域目标函数斜截式设x ，y 满足约束条件，则x+2y 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．1D ．﹣1已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-32302y x y x y x ，则y x -的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．3-● 目标函数几何意义已知实数x 、y 满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．﹣3D ．设实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y x z x y =+的取值范围是（ ）A 、110[,]33B 、15[,]32C 、5[2,]2D 、10[2,]3已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___．● 含参数设y x z +=，其中实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最小值是（ ）A ．0B ．2C ．D ．6已知变量x ，y 满足条件若目标函数z ＝ax ＋y （其中a>0）仅在点（3,0）处取得最大值，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1(,)2+∞● 含绝对值的若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A ．8-B ．4-C ．1D ．2若不等式组33(x 1)x y y k ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩表示的平面区域是三角形，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3324k -<≤ B ．32k <-或34k ≥C ．302k -<<或34k ≥D ．32k <-或304k <≤(),P x y ()22000y x x a a ⎧-≤⎪⎨≤≤>⎪⎩2z x y =-22a 1[,)2+∞1[,)3+∞1(,)3+∞已知实数y x ，满足⎩⎨⎧≤--≥+-01.012y x y x 则z=2x+y 的最大值为A ．4B ．6C ．8D ．10六、二项式定理● 基本的通项公式求解在251()x x-的二项展开式中，第二项的系数为（ ）A.10B. －10C. 5D. －5在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项 在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项● 多因式乘积的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．-40B ．-20C ．20D ．4043(1)(1)x x --展开式中2x 的系数是（ ）A ．3B ．0C ．﹣3D ．﹣6● 括号里三式展开（x 2+x+y ）5的展开式中，x 7y 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．603031()x x+x 4567512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭● 系数之和与积分 已知nx x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+313展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7七、三视图与外接球● 三视图之求体积一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403B ．203C ．20D ．40● 三视图之求表面积某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+● 外接球之放在正方体或长方体一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．32πB ．92πC ．43πD ．83π● 外接球之直接找球心和球半径已知如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为A ．π4B ．π12C ．π16D ．π36● 球与球的切面过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（ ）A ．316 B ．916C ．38D ．58 九、直线和圆● 直线里的一些公式（直线的方程、直线平行与垂直、点到直线距离公式、两点之间距离公式、）已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m ＝（ ）A ．m=0B ．m=1C ．m=0或m=1D ．m=0或m=1-B AC D若点（1，a ）到直线x －y ＋1＝0的距离是，则实数a 为（ ）．A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3已知点(,)P x y 在直线250x y ++=上，那么22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．210不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ）A ．)0,0(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．)3,2(-● 直线里的对称点)3,4(P 关于直线01=+-y x 的对称点Q 的坐标是A ．)4,2(B ．)4,3(C ．)5,2(D ．)5,3(● 直线与圆的位置关系 若直线:(2)l y k x =-与曲线221(0)x y x -=>相交于A B 、两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[)0,πB ．3,,4224U ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,,4224U ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴．过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= （ ）A 、2B 、42C 、6D 、210● 直线与圆的弦长（2010•江西）直线y=kx+3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[﹣，0]B ．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C ．[﹣，]D ．[﹣，0]● 圆的方程及三角形外接圆方程确定【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．10● 圆与圆的位置关系圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +-++=的位置关系是A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离● 直线与圆的模型圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．36B ．18C ．6D ．5若圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a ，b ）向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 ● 圆与圆的相交弦、弦长及交点坐标已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．1 十、解三角形● 边角互化型ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且a A b B A a 35cos sin sin 2=+． （1）求ab ； （2）若22258b a c +=，求角C ．● 两角互补正弦、余弦的关系型已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A 的大小；（2）若7a =，求ABC ∆的周长的取值范围．● 平面图形型如图，平面四边形中，，，，，322，求（Ⅰ）； （Ⅱ）的面积．● 最值问题型在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为c ,b ,a ，其外接圆半径为6，241cos b B =-，4sin sin 3A C += （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值．十一、数列● 做数列题的小技巧已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（ ）A ．20B ．25C ．50D ．不存在已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于（ ）A 、-1B 、1C 、3D 、7{}n a 120100a a ⋅=714a a +A B DC设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,30S S ==，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．42C ．36D ．27等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3426235a a a +-=，则7S 等于（ ）A ．28B ．21C ．14D ．7已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则 A 、 B 、 C 、 D 、等比数列{}n a 中，4021=+a a ，6043=+a a ，=+87a a A ．135 B ．100 C ．95 D ．80求通项公式的一些方法① 累加法已知数列{n a }，满足11,a =1n n n a a --=，则10a =（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60在数列{}n a 中，若12a =-，12n n n a a n +=+⋅，则n a =（ ）A ．(2)2n n -⋅B ．112n -C ．21(1)34n -D ．21(1)32n - ② 累乘法在数列{}a n 中，，)(*12N a a n n n n ∈•=+，求通项a n 。

2023高考总复习江苏专用（理科）：第四篇 三角函数、解三角形《第20讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质》（根底达标演练+综合创新备选，含解析）A 级 根底达标演练(时间：45分钟 总分值：80分)一、填空题(每题5分，共35分)1．(2023·苏州调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如下图，那么φ＝________.解析 T ＝2×(7－3)＝8，所以2πω＝8，ω＝π4，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.又由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，φ∈[0,2π)，得φ＝π4.答案π42．(2023·盐城调研)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－22·sin 2x 的最小正周期为________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－2(1－cos 2x )＝cos 2x cos 3π4＋sin 2x sin 3π4＋2cos 2x－2＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 π3．(2023·苏北四市调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________．解析 法一 由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 24．(2023·泰州学情调查)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，那么应有________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．(2023·镇江调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4＋2sin x cos x ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x .设t ＝sin x ＋cos x ，那么t 2＝1＋2sin x cos x ，∴2sin x cos x ＝t 2－1，且由π4≤x ≤π2，得t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以y ＝t ＋t 2－1＝t 2＋t －1，当t ＝2时，y max ＝2＋1.答案2＋16．(2023·江苏)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，那么线段P 1P 2的长为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x 消去y 得6cos x ＝5tan x .整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)·(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)． 所以P 1P 2＝sin x ＝23.答案 237．给出以下命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③假设α，β是第一象限角且α＜β，那么tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．(填所有正确命题的序号) 解析 ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2，2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tanβ＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，而sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立． 答案 ①④二、解答题(每题15分，共45分) 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0的图象的一局部如下图． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，所以1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.又因为1112π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x 轴形成的零点，所以11π12ω＋π6＝2π，所以ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，那么函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．9．(2023·华东师大附中模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.10．(★)(2023·深圳一调)已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)假设将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 【点评】 解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有：,第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin ωx ＋φ＋h 或y ＝A cos ωx ＋φ＋h 的形式.,第二步：根据sin x 、cos x 的单调性解决问题，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.,第三步：根据已知x 的范围，确定“ωx ＋φ”的范围.,第四步：确定最大值或最小值.,第五步：明确标准表述结论B 级 综合创新备选(时间：30分钟 总分值：60分)一、填空题(每题5分，共30分)1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如下图，那么ω＝________.解析 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知．T 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝π3，所以T ＝23π.因为T ＝2πω＝23π，所以ω＝3.答案 32．(2023·连云港模拟)设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，假设x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，那么x 0＝________.解析 因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6. 答案 －π63．(2023·四川改编)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________． 解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π10个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10，再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 4．(2023·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．假设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么f (x )的取值范围是________．解析 由f (x )与g (x )的图象对称轴完全相同知两函数的周期相同，∴ω＝2. 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 5．(2023·南通调研)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，那么正数ω的值为________．解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意得f (x )的最小正周期T ＝4×π2＝2π，所以2πω＝2π，即ω＝1. 答案 16．(2023·菏泽模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，以下结论：①图象C 关于直线x ＝π6对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③.答案 ③二、解答题(每题15分，共30分)7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如下图．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.由22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32.因为0＜x ＜π，所以－π12＜2x －π12＜2π－π12.所以2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，所以x ＝524π或x ＝38π，故所求交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5π24，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6.8．(2023·南通调研)已知函数f (x )＝2cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x 2.(1)设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f (θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC 中，AB ＝1，f (C )＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin B 的值． 解 (1)f (x )＝23cos 2 x 2－2sin x 2cos x 2＝3(1＋cos x )－sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋ 3.由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋3＝3＋1，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝12.于是θ＋π6＝2kπ±π3(k ∈Z )．因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 所以θ＝－π2或π6.(2)因为C ∈(0，π)，由(1)知C ＝π6.因为△ABC 的面积为32，所以32＝12ab sin π6.于是ab ＝2 3.① 在△ABC 中，设内角A ，B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理，得1＝a 2＋b 2－2ab cos π6＝a 2＋b 2－6.所以a 2＋b 2＝7.② 由①②，可得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2.于是a ＋b ＝2＋ 3.由正弦定理，得sin A a ＝sin B b ＝sin C 1＝12.所以sin A ＋sin B ＝12(a ＋b )＝1＋32.。

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的递增区间为________，递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的递减区间为(－∞，－3]，递增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是减少的；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上是增加的． 法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是________． 解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上是增加的．求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________．【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.【答案】 (1)3 (2)26－6求函数最值的5种常用方法及其思路1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.答案：1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)【解析】 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0(x ＞1)，可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数f (x )在[－2，2]上是增加的，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.[综合题组练]1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，所以当x ＞2时，f (x ) 是增加的，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x ) 是增加的，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。