2020—2021年新高考总复习数学(理)高考考点集合-专题.docx

新高考高三数学知识点大全在新高考改革背景下，数学作为重要科目之一，在高三阶段的学习显得尤为关键。

为了帮助同学们更好地备战高考，以下将详细介绍新高考高三数学知识点大全。

1. 函数与方程- 函数及其性质：定义、定义域、值域、奇偶性、周期性- 一次函数与二次函数：图像、性质、解析式、根与判别式 - 三角函数：基本关系式、单位圆、图像、性质、变换- 指数与对数：指数函数、对数函数、性质与运算- 二次函数与一元二次方程：解法、应用2. 三角函数与向量- 三角函数的扩展：辅助角公式、和差化积、倍角公式- 三角函数图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数- 三角函数的应用：高度与距离、正弦定理、余弦定理、解三角形- 向量的基本概念：方向角、共线与共面、数量积、向量积- 平面向量及其运算：平移、旋转、线性运算- 空间向量及其运算：共线、垂直、数量积、向量积3. 数列与数学归纳法- 等差数列与等比数列：公式、求和、前n项和- 递推数列：递归公式、通项公式、求和、性质- 常用数列：斐波那契数列、等差中项数列、等比中项数列4. 概率与统计- 随机事件：样本空间、事件、概率- 概率运算：事件的运算、条件概率、独立事件- 统计：频率与频率分布表、统计图、参数与统计量、样本调查5. 导数与微分- 导数与导函数：定义、求导法则、相关性质- 常用函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 中值定理与极值问题：罗尔定理、拉格朗日中值定理、函数的增减与凹凸性- 微分与近似计算：微分近似、线性化、误差估计6. 不定积分与定积分- 基本积分表：幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分 - 定积分的概念：定义、性质、计算- 牛顿—莱布尼茨公式：原函数与定积分的关系- 定积分的应用：面积、弧长、体积、平均值7. 空间几何与解析几何- 点、直线与平面：位置关系、投影、距离、夹角- 空间几何体：球、柱、圆锥、棱柱、棱台- 解析几何的基本概念：坐标系、参数方程、方程与性质请按照以上提示，复习与掌握新高考高三数学知识点，全面提升数学水平，为高考取得优异成绩打下坚实基础。

新高考数学总结知识点归纳在新高考改革背景下，数学作为一门重要科目，对于考生来说显得尤为重要。

为了帮助考生针对数学这一科目进行有针对性的复习，本文将对新高考数学的知识点进行总结和归纳，以期帮助考生更好地备考。

一、函数与方程1. 函数的概念与基本性质（1）函数的定义：函数是一种映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

（2）函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等。

2. 一次函数与二次函数（1）一次函数：形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数。

（2）二次函数：形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c为常数。

3. 指数与对数（1）指数函数：形如y=a^x的函数，其中a为常数。

（2）对数函数：形如y=log_a(x)的函数，其中a为常数且a不等于1。

4. 三角函数（1）正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义与性质。

（2）三角函数的基本关系式与常用恒等式。

二、几何与三角1. 二维几何（1）平行线与垂直线的判定与性质。

（2）各种二维图形（三角形、四边形、圆、椭圆等）的定义、性质与计算方法。

2. 三维几何（1）直线与平面的位置关系与计算方法。

（2）各种三维图形（棱柱、棱锥、球体等）的定义、性质与计算方法。

3. 三角关系（1）正弦定理、余弦定理与正切定理的应用。

（2）解三角形的各种方法与技巧。

三、概率与统计1. 概率（1）事件与样本空间的概念。

（2）概率的计算方法（古典概型、频率概率、几何概率等）。

2. 统计（1）数据的收集与整理。

（2）统计量的计算与应用。

四、数列与数算1. 数列（1）等差数列与等比数列的特征与计算方法。

（2）数列的求和公式与应用。

2. 数算（1）排列与组合的计算方法与应用。

（2）数与规律的探究与证明。

五、解答技巧与应用1. 解题思路与方法（1）建立数学模型的基本步骤。

（2）应用数学知识解决实际问题的技巧。

2. 解答常见题型（1）解方程、方程组的方法与技巧。

新高考数学知识点归纳总结数学作为一门基础学科，在现代社会中扮演着重要的角色。

为了适应教育改革的需要，我国高中数学课程也进行了改革，提出了新的高考数学知识点。

本文将对新高考数学知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、函数与方程新高考数学中，函数与方程是一个重要的知识点。

其中，函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。

函数的概念、性质以及函数的应用是新高考数学考试的重点内容。

方程是解决实际问题的数学工具，而一元二次方程、一次不等式方程、二元一次方程组等是新高考中常见的考点。

二、几何与图形几何与图形是另一个重要的知识点。

在新高考数学中，几何与图形的内容主要包括平面直角坐标系、向量的概念与运算、三角形的性质、相似三角形、平行四边形、圆的性质等。

这些内容都是高中数学的基础知识，对于理解和解题都有重要的作用。

三、数列与数学推理数列与数学推理是新高考数学中的另一个重点。

数列是一系列按照一定规律排列的数，而数学推理则是通过给定的条件进行逻辑推理，解决实际问题。

在新高考数学中，数列与数学推理的内容主要包括数列的概念与性质、数学归纳法、逻辑与命题等。

这些内容不仅在高中数学中常见，而且在数学竞赛中也有广泛应用。

四、概率与统计概率与统计是新高考数学中的另一个重要知识点。

概率主要是研究随机事件的可能性，而统计则是通过数据的收集、整理和分析来得出结论。

在新高考数学中，概率与统计的内容主要包括事件的概率计算、随机变量的概念与性质、统计的基本方法等。

这些知识将帮助同学们更好地理解和应用概率与统计的概念。

综上所述，新高考数学知识点的归纳总结包括函数与方程、几何与图形、数列与数学推理以及概率与统计。

这些知识点在高中数学学习中占据了重要地位，同学们应该通过深入学习和实际应用，掌握这些知识，提高数学水平。

通过对这些知识点的总结归纳，同学们可以更好地理解数学的基本概念和方法，提高解题的能力和应对高考数学考试的能力。

新高考数学复习知识点大全在新高考改革下，数学是必考科目之一，对于备战高考的同学们来说，掌握数学的基础知识点是非常重要的。

下面将为大家整理一份新高考数学复习知识点大全，希望能帮助到大家取得好成绩。

一、数列与数列的应用数列是数学中常见的概念之一。

数列的定义是由一列有序的数按照一定的规律排列而成，通过研究数列的性质，可以运用到各种问题中。

在新高考中，数列与数列的应用是一个重要的知识点。

二、函数与函数的应用函数是数学中的一种基本工具，它描述了输入与输出之间的关系。

在新高考中，函数与函数的应用是一个必考的知识点。

同学们需要熟练掌握函数的概念、性质以及其在实际问题中的应用。

三、几何与空间几何几何与空间几何是数学中的重要分支，主要研究平面图形、立体图形以及它们之间的关系。

在新高考中，几何与空间几何是一个必考的知识点。

同学们需要熟练掌握平面图形的性质、定理以及立体图形之间的关系。

四、概率与统计概率与统计是数学中的重要内容，它涉及随机现象的概率计算以及数据的收集、整理和分析。

在新高考中，概率与统计是一个必考的知识点。

同学们需要熟练掌握基本的概率计算方法以及统计分析的基本概念和方法。

五、解析几何与平面解析几何解析几何与平面解析几何是数学中的重要内容，主要研究解析几何和平面解析几何的基本概念、基本性质以及解析几何和平面解析几何在几何问题中的应用。

在新高考中，解析几何与平面解析几何是一个必考的知识点。

同学们需要熟练掌握基本的解析几何和平面解析几何的知识，能够解决几何问题。

六、导数与微分导数与微分是数学中的重要内容，它是微积分的一部分，主要研究函数的变化率、极限以及利用导数解决实际问题的方法。

在新高考中，导数与微分是一个必考的知识点。

同学们需要熟练掌握导数的定义、性质以及利用导数解决实际问题的方法。

七、不等式与方程不等式与方程是数学中的基本内容，它涉及到方程与不等式的求解方法以及方程与不等式在实际问题中的应用。

在新高考中，不等式与方程是一个必考的知识点。

新高考数学归纳知识点新高考数学的知识点归纳是帮助学生系统地掌握高中数学知识，提高解题能力的重要环节。

以下是对新高考数学知识点的归纳总结：一、集合与函数- 集合的概念：元素、子集、并集、交集、补集等。

- 函数的概念：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

- 函数的表示方法：解析法、图像法、列表法等。

二、数列- 数列的基本概念：通项公式、前n项和等。

- 等差数列与等比数列：通项公式、求和公式。

- 数列的极限：无穷等比数列的极限、单调有界定理等。

三、三角函数与三角恒等变换- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切等。

- 三角函数的基本性质：周期性、奇偶性、单调性等。

- 三角恒等变换：和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。

四、解析几何- 平面直角坐标系：点的坐标、直线方程、圆的方程等。

- 空间直角坐标系：空间直线与平面的方程。

- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的性质与方程。

五、立体几何- 空间几何体：柱、锥、台、球等的体积与表面积。

- 空间直线与平面的位置关系：平行、垂直、相交等。

- 空间向量：向量的加减、数乘、点积、叉积等。

六、概率与统计- 随机事件的概率：古典概型、几何概型、条件概率等。

- 统计初步：数据的收集、整理、描述等。

- 离散型随机变量及其分布列：期望、方差等。

七、导数与微分- 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义等。

- 基本初等函数的导数：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

- 导数的应用：函数的单调性、极值、最值等。

八、积分- 不定积分与定积分的概念：原函数、积分区间、积分值等。

- 积分的基本公式与计算方法：换元积分法、分部积分法等。

- 定积分的应用：面积、体积、物理量等。

九、复数- 复数的概念：复平面、复数的四则运算等。

- 复数的代数形式与三角形式：欧拉公式、德摩弗定理等。

- 复数的应用：解析几何、电路分析等。

十、逻辑与推理- 逻辑连接词：与、或、非、蕴含等。

- 推理方法：演绎推理、归纳推理、类比推理等。

最新东北三省四市教研联合体高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i3．已知函数f（x）=，则f（a）的值不可能为（）A．2016 B．0 C．﹣2 D．4．设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．155．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；（2）若n⊥α，m⊥β，且n⊥m，则α⊥β；（3）若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；（4）若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．46．在边长为2的等边三角形△ABC中，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．C．D．47．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．458．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=﹣3与抛物线交于点M，|MF|=5，则抛物线的标准方程是（）A．y2=2x B．y2=18xC．y2=x D．y2=2x或y2=18x9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取一点M，则满足∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8二.填空题13．设a为非零常数，已知（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x2项的系数是______．14．在椭圆=1上有两个动点M，N，K（3，0）为定点，•=0，则•最小值为______．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为8π，则三棱锥的高为______．16．已知数列{2n•a n}的前n项和为，若存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m的取值范围是______．三.解答题17．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．18．如表为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩（单位：分）甲102 126 131 118 127乙96 117 120 119 135（1）试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定？（不用计算，给出结论即可）（2）若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进行分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平面PBC所成角的余弦值为？20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试比较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n ∈Z，n≥2）的大小．选做题[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD为⊙O的切线，过A作CD的垂线，垂足为D，交⊙O于F．（1）求证：AC为∠DAB的角平分线；（2）过C作AB的垂线，垂足为M，若⊙O的直径为8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等比数列．（1）求抛物线C的方程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的面积的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log2（2a+2b）﹣m≥．参考答案与试题解析一、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】子集与真子集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B={1，2，3}，由此能求出集合A∪B的真子集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A∪B={1，2，3}，∴集合A∪B的真子集个数为23﹣1=7．故选：A．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：依题z2=﹣2+i，从而，于是=﹣3﹣4i，故选：C．3．已知函数f（x）=，则f（a）的值不可能为（）A．2016 B．0 C．﹣2 D．【考点】函数的值．【分析】由分段函数分类讨论以确定函数的值域，从而确定答案．【解答】解：①当x＞0时，f（x）=x（x+4）＞0，②当x≤0时，f（x）=x（x﹣4）≥0，故f（x）≥0，故f（a）的值不可能为﹣2，故选C．4．设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．15【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：S3==，a3==，∴=7．故选：B．5．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；（2）若n⊥α，m⊥β，且n⊥m，则α⊥β；（3）若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；（4）若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面位置关系的性质和判定定理进行分析或举出反例，属于中档题．【解答】解：对于（1），设α∩β=l，则当m∥l，m⊂β时，结论不成立，故（1）错误．对于（2），设m，n的方向向量分别是，则分别为平面β，α的法向量，∵m⊥n，∴的夹角为90°，∴平面α与β所成二面角为直角，即α⊥β．故（2）正确．对于（3），∵α⊥β，m⊥β，∴m∥α，或m⊂α．又m⊄α，∴m∥α．故（3）正确．对于（4），假设α，β不平行，则α，β相交，设交线为l，∵m⊂α，m∥β，α∩β=l，∴m∥l，同理：n∥l，∴m∥n，与m，n是异面直线矛盾．∴假设错误，即α∥β．故（4）正确．故选：C．6．在边长为2的等边三角形△ABC中，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．C．D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，再计算•．【解答】解：∵=3，∴==，∴==+，∴则•=（+）=+=+=．故选：A．7．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=﹣3与抛物线交于点M，|MF|=5，则抛物线的标准方程是（）A．y2=2x B．y2=18xC．y2=x D．y2=2x或y2=18x【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得|MF|=5=x M+，解得x M=5﹣＞0，把M代入抛物线方程解出即可得出．【解答】解：由题意可得|MF|=5=x M+，解得x M=5﹣＞0，∴M代入抛物线方程可得：（﹣3）2=2p，化为：p2﹣10p+9=0，解得p=1或9．∴抛物线的标准方程是y2=2x或y2=18x．故选：D．9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取一点M，则满足∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意通过圆和三角形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，∴B1C1=2，∴四边形ABC1D1为正方形，其面积为2×2=4，以AB为底边，向正方形外作顶角为90°的等腰三角形，以等腰三角形的顶点O为圆心，OA 为半径作圆，根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为135°．即当M取圆O与ABC1D1的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°其中AB=2，OA=，S阴影=π（）2﹣××=﹣1，故所求的概率为=，故选：B．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等角对等边可得AD=BD=CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，又D为BC中点，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．故选D12．已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】函数的图象．【分析】令f（x）=g（x）得出|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函数图象，根据函数图象的对称性得出零点的和．【解答】解：令f（x）=g（x），即|ln|x﹣1||+x2=2x，∴|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，分别作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函数图象，如图所示：显然函数图象有4个交点，设横坐标依次为x1，x2，x3，x4，∵y=|ln|x﹣1||的图象关于直线x=1对称，y=﹣x2+2x的图象关于直线x=1对称，∴x1+x4=2，x2+x3=2，∴x1+x2+x3+x4=4．故选C．二.填空题13．设a为非零常数，已知（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x2项的系数是﹣72 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】在已知二项式中取x=1，结合展开式中各项系数和为3求得a值，然后求出（1﹣2x）4的展开式中含x项与含x3的项，与（x+）中对应的项作积得答案．【解答】解：∵（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，∴（1+2）（1﹣a）4=3，解得a=2（a≠0）．∴（x+）（1﹣ax）4 =（x+）（1﹣2x）4，（1﹣2x）4的展开式中所含x项为，含x3的项为．∴（x+）（1﹣2x）4的展开式中x2项的系数是1×（﹣8）+2×（﹣32）=﹣72．故答案为：﹣72．14．在椭圆=1上有两个动点M，N，K（3，0）为定点，•=0，则•最小值为9 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】M在椭圆=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），可得•=•=﹣=（6cosα﹣3）2+（3sinα）2=9（cosα﹣2）2，利用三角函数的单调性值域与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：M在椭圆=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则•=•=﹣==（6cosα﹣3）2+（3sinα）2=36cos2α﹣36cosα+9+27sin2α=9cos2α﹣36cosα+36=9（cosα﹣2）2，令cosα=t∈[﹣1，1]，则f（t）=9（t﹣2）2﹣9∈[9，18]．∴当cosα=1，sinα=0时，即取M（6，0），•最小值为0．故答案为：9．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为8π，则三棱锥的高为 2 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】确定三视图直观图的现状，求出底面外接圆的半径，三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的高．【解答】解：由三视图可知该几何体是底面是边长为的等边三角形，有一侧棱垂直于底面，底面外接圆的半径为1，∵三棱锥的外接球表面积为8π，∴三棱锥的外接球的半径为设三棱锥的高为h，则∴h=2．故答案为：2．16．已知数列{2n•a n}的前n项和为，若存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m的取值范围是．【考点】数列的求和．【分析】由+…+2n a n=，利用递推关系可得：n≥2时，；n=1时，a1=﹣1．通过作差可得数列的单调性．【解答】解：∵+…+2n a n=，∴n≥2时，+…+2n﹣1a n﹣1=，可得：2n a n=﹣=n﹣2，∴，n=1时，a1=﹣1．∴a n=．∵n=1时，a1=﹣1，a2=0．n≥2时，a n+1﹣a n=﹣=，∴n=2时，a2＜a3；n=3时，a3=a4；n≥4时，a n+1＜a n，因此：a1＜a2＜a3=a4＞a5＞…，∴当n=3或4时，a n取得最大值，a3=a4=．∵存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m．故答案为：．三.解答题17．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的最值以及周期性，求得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）由题意A=1，将点（0，）代入解得，，再根据，结合0＜ϖ＜4，所以ϖ=2，．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数的图象．（2）函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1=2sin（2x+），故函数的周期T=π．对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），故|x1﹣x2|的最小值为．18．如表为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩（单位：分）甲102 126 131 118 127乙96 117 120 119 135（1）试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定？（不用计算，给出结论即可）（2）若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进行分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩统计表得甲同学的数学考试成绩更稳定．（II）X的取值为0.1.2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（I）由甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩统计表得到甲的成绩较集中，∴甲同学的数学考试成绩更稳定．…（II）X的取值为0.1.2，…，，，…X的分布列如下：X 0 1 2P…∴EX=++=．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平面PBC所成角的余弦值为？【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由CD⊥AD，CD⊥PA得出CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面ABCD；（2）取AD的中点O，BC中点E，连接PO，OE．设OP=h，AB=1，以O为原点建立空间坐标系求出和平面PBC的法向量，令|cos＜，＞|=解出h，即可得出λ=的值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又CD⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）取AD的中点O，BC中点E，连接PO，OE．则OE⊥AD．∵PA=AD，∴PO⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，以OA，DE，OP为坐标轴，建立空间直角坐标系如图所示：设PO=h，AB=1．则A（，0，0），P（0，0，h），B（，1，0），C（﹣，1，0）．∴=（，0，﹣h），=（﹣1，0，0），=（﹣，﹣1，h）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则．∴，令z=1得=（0，h，1）．∴cos＜＞==．∵直线PA与平面PBC所成角的余弦值为，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．∴=，解得，∴PA==，∴λ==．20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用代入法求点D的轨迹E的方程；（2）设直线MN的方程为x=ty+2a联立得y2﹣4aty﹣8a2=0，利用韦达定理，证明＜0，即可得出结论．【解答】解：（1））设D（x，y），P（m，n）…所以…又（m+2a）2+n2=4a2…所以所求方程为x2+y2=a2…（2）轨迹E与x轴正半轴的交点F（a，0）…抛物线C的方程为y2=4ax…设，，设直线MN的方程为x=ty+2a联立得y2﹣4aty﹣8a2=0，则…所以…所以坐标原点在以MN为直径的圆内…21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试比较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n∈Z，n≥2）的大小．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），求出a的值即可；（2）求出g（x）的表达式，根据放缩法比较大小即可．【解答】解：（1）…由题意因为f'（0）=1﹣a=0…（所以a=1…（2）．…先证当x＞1时，lnx＜x﹣1令h（x）=lnx﹣x+1．…所以h（x）在（1，+∞）上单调递减所以h（x）＜h（1）=0所以当x＞1时．…∴=…选做题[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD为⊙O的切线，过A作CD的垂线，垂足为D，交⊙O于F．（1）求证：AC为∠DAB的角平分线；（2）过C作AB的垂线，垂足为M，若⊙O的直径为8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）连接OC，运用圆的切线的性质和两直线平行的判定和性质，由内角平分线的定义，即可得证；（2）由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，运用直角三角形的射影定理，结合圆的切割线定理，即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：连接OC，CD为⊙O的切线，可得OC⊥CD，又AD⊥CD，可得OC∥AD，所以∠CAD=∠ACO，又OC=OA，所以∠CAO=∠ACO，所以∠CAO=∠CAD所以AC为∠DAB的角平分线．（2）由题意⊙O的直径为8，OM：MB=3：1，可得OM=3，MB=1，由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，可得CM2=AM•MB=7，又AC=AC，∠CAO=∠CAD，所以Rt△ACB≌Rt△ACD，所以CD=CM，又CD2=DF•DA，而CD2=7．所以DF•DA=7．[选修4-4坐标系与参数方程]23．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等比数列．（1）求抛物线C的方程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）直线MN的参数方程是（t为参数），代入抛物线方程求抛物线C的方程，利用参数的几何意义，结合|AM|、|MN|、|AN|成等比数列，建立方程求出p，即可求抛物线C的方程；（2）利用抛物线的极坐标方程，确定S，即可求△OEF的面积的最小值．【解答】解：（1）直线MN的参数方程是（t为参数）…代入抛物线方程得所以|AM|•|AN|=32+8p……解得p=1所以抛物线方程为y2=2x…（2）抛物线的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，…设，……所以…当时，即所求面积取得最小值4…[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log2（2a+2b）﹣m≥．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式，结合f（x）的最小值为1．求实数m的值；（2）利用基本不等式，即可证明结论．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|+|x+m|≥|2﹣m|，当且仅当（x+2）（x﹣m）≤0时取等号…所以|2﹣m|=1，…因为m＜2，所以解得m=1…证明：（2）∵2a＞0，2b＞0，∴2a+2b≥，∴log2（2a+2b）﹣m≥log2（）﹣1=．…2016年9月28日。

专题1.1 集合【核心素养分析】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

4.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力。

【知识梳理】知识点1：元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。

知识点2：集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

知识点3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}知识点4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。

(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A。

【特别提醒】1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。

2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C。

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B。

4. ∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。

【典例剖析】高频考点一集合的基本概念例1、（河南省平顶山一中2019-2020年模拟）已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为( )A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】因为32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式探究】（湖南省郴州二中2019-2020年模拟）设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ； 当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.【举一反三】（山西省晋中一中2019-2020年模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b－a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】C【解析】因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b－a ＝2.【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B 中的代表元素为实数p －q.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．高频考点二：集合间的基本关系例2、（吉林长春市实验中学2019-2020年模拟）(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______．【解析】(1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 【答案】(1)D (2)(－∞，1] 【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．【变式探究】（安徽师大附中2019-2020年模拟）已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B【解析】因为A ＝{x |x >2或x <0}，因此A ∪B ＝{x |x >2或x <0}∪{x |－5<x <5}＝R .故选B. 【举一反三】（福建莆田一中2019-2020年模拟）已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】A【解析】方法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)． 高频考点三：集合的运算例3、(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝( )A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}【答案】C【解析】依题意得∁U A＝{1，6，7}，故B∩∁U A＝{6，7}．故选C。

2021年新高考数学总复习：集合1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6 <0}，则M∩N＝( )A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}解析：因为M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|－2<x<3}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}．答案：C2．(2020·广东湛江测试)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2 x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为( )A．1 B．2 C．4 D．8解析：因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}，所以A∩B的子集个数为22＝4.答案：C3．(2019·浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}解析：因为∁U A＝{－1，3}，所以(∁U A)∩B＝{－1}．答案：A4．(多选题)设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则下列关系正确的是( )A．M N B．N⊆MC．M＝N D．M∪N＝M解析：集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0 }，所以M＝N，则B、C、D正确．答案：BCD5．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x －1≥0}，全集U＝R，则A∩(∁U B)＝( )A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：由x2－5x＋6>0，得A＝{x|x<2或x>3}，又B＝{x|x≥1}，知∁U B＝{x|x<1}，所以A∩(∁U B)＝{x|x<1}．答案：A6．若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1，0，1} B．{－1，0}C．{－1，1} D．{0}解析：B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B)．A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}．答案：D7．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：由得所以A∩B＝{(2，－1)}．由M⊆(A∩B)，知M＝∅或M＝{(2，－1)}．答案：C8．(2020·佛山一中检测)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x －a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为( )A．(1，3) B．[1，3]C．[1，＋∞) D．(－∞，3]解析：由log2(x－1)<1，得A＝(1，3)，又|x－a|<2，得B＝(a－2，a＋2)．由A⊆B，所以解之得1≤a≤3.故实数a的取值范围为[1，3]．答案：B9．(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x ∈R}，则A∩B＝________．解析：因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，所以A∩B＝{1，6}．答案：{1，6}10．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A ⊆B，则实数c的取值范围是________．解析：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B ＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c ≥1.答案：[1，＋∞)11．已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．解析：由已知，无论k取何值，椭圆＋＝1和直线y＝kx＋m均有交点，故点(0，m)在椭圆＋＝1上或在其内部，所以m2≤2，所以－≤m≤.答案：[－，]12．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1 }，则A∩(∁U B)＝________．解析：集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，因为log3(2－x)≤1＝log33，所以0<2－x≤3，所以－1≤x<2，所以B＝{x|－1≤x<2}，所以∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，所以A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．答案：{x|x<－1或x≥2}[B级能力提升]13．(多选题)(2020·东莞中学质检)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B ＝{x|3x2＋6x＝1}，则( )A．A∪B＝(－4，4)∪{－6}B．B⊆AC．A∩B＝{0}D．A⊆B解析：因为A＝{x|x2－16<0}，所以A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|3x2＋6x＝1}，则B＝{0，－6}，A∪B＝{x|x＝－6或－4<x<4}，故A正确，显然B、D错误，A∩B＝{0}，故C正确．答案：AC14．如图，集合A＝{x|log(x－1)>0}，B＝，则阴影部分表示的集合是( )A．[0，1] B．[0，1)C．(0，1) D．(0，1]解析：图中阴影部分表示集合B∩∁R A.因为A＝{x|log(x－1)>0}＝{x|1<x<2}，B＝＝，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥2}，B∩∁R A＝{x|0<x≤1}．答案：D15．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2) <0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 1[C级素养升华]16．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B ＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________．解析：因为A＝{y|y≥0}＝[0，＋∞)，B＝(－3，3)，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝[3，＋∞)∪(－3，0)＝(－3，0)∪[3，＋∞)．答案：(－3，0) (－3，0)∪[3，＋∞)。

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：集合本部分常常结合后面的不等式和函数的基本性质进行综合考查，需要对集合的表示和集合间的基本关系进行求解，考查多以选择题为主，难度比较小，属于容易题。

一、集合的基本概念；二、集合间的基本关系；三、集合的基本运算；四、集合中的新定义问题。

【易错警示】1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．集合的基本概念1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.元素与集合(1)集合中元素的特性:①确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作②a∈A;若b不属于集合A,记作③b∉A.(3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示:集【典型例题】例1(1)设a,b∈R,若{1,a+b,a}=,则b-a=()A.1B.-1C.2D.-2(2)集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B=中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 (1)C (2)D【跟踪训练】1 若集合A={x ∈R|ax 2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( ) A. B. C.0D.0或 答案 D解析 当a=0时,显然成立;当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=.2 已知集合A={m+2,2m 2+m},若3∈A,则m 的值为 .答案 -解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m 2+m=3.当m+2=3,即m=1时,2m 2+m=3,此时集合A 中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;当2m 2+m=3时,解得m=-或m=1(舍去),此时m+2=≠3符合题意.所以m=-.3．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠；（2）若0xy =，则0x =或0y =．当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠；当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ② 由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．【知识拓展】1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n-个．与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.易错提示要注意检验集合中元素的互异性.集合间的基本关系1.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.2.集合间的基本关系例2 (1)已知集合A={x|x 2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则( )A.B ⊆AB.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A(2)若集合A 满足{a,b}⊆A ⊆{a,b,c,d,e},则集合A 的个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9(3)已知集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},若B ⊆A,则实数m 的取值范围是 .(4)集合A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}.(i)若B 是A 的子集,则实数a 的取值范围是 ;(ii)若A是B的子集,则实数a的取值范围是.答案(1)C(2)C(3)(-∞,3](4)(i)a≤-1或a=1;(ii)a=1解析(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较A,B中的元素可知A⫋B,故选C.(3)若B=⌀,则2m-1<m+1,所以m<2.若B≠⌀,则解得2≤m≤3.综上可得,符合题意的实数m的取值范围是(-∞,3].(4)由题意可得,A={0,-4}.(i)易知B⊆A,∴B={0}或{-4}或⌀或{0,-4}.当B={0}或{-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的实根,即[2(a+1)]2-4×(a2-1)=0,∴a=-1,此时B={0},满足题意.当B={0,-4}时,即x=0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根,易得a=1.当B=⌀时,即方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无解,则Δ<0,即[2(a+1)]2-4(a2-1)<0,解得a<-1.综上可得,a≤-1或a=1.(ii)易知A⊆B,A={0,-4},即0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根,∴⇒a=1.探究：若将本例(3)中的“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|x<-2或x>5}”,求实数m的取值范围.解析当B=⌀时,有2m-1<m+1,∴m<2,符合题意;当B≠⌀时,有或解得或即m>4.综上可知,实数m的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).【跟踪训练】1已知集合P={1,3},则满足P∪Q={1,2,3,4}的集合Q的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 D2 已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x ≤a+3},若B ⊆(A ∩B),则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-1]解析 因为B ⊆(A ∩B),所以B ⊆A.当B=⌀时,满足B ⊆A,此时-a ≥a+3,即a ≤-;当B ≠⌀时,要使B ⊆A,则，解得-<a ≤-1.综上可知,a 的取值范围是(-∞,-1].3 已知集合A={x|x 2=1},B={x|ax=1},若B 是A 的子集,则实数a 的取值集合为 . 答案 {0,1,-1}4. 若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围． 解：（1）若A φ=，则240a ∆=-<，解得22a -<<；（2）若1A ∈，则2110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意；（3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52a =-，此时5{2,}2A =，不合题意； 综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．已知两个集合间的关系求参数,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观地解决这类问题.【易错警示】(1)“⊆”与“⫋”的区别:A ⊆B ⇒A=B 或A ⫋B,若A ⊆B 和A ⫋B 同时成立,则A ⫋B 更准确.(2)⌀,{0}和{⌀}的区别,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0;{⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A ⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.集合的基本运算1. 集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．2.集合的基本运算{x|x∈A或x∈∈A,且x∈A}3.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;(3)补集的性质A∪∁U A=U;A∩∁U A=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=∁U A∩∁U B;∁U(A∩B)=∁U A∪∁U B.【典型例题】例3(1)已知集合M=,N=,则M∩N=()A.B. C. D.(2)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}(3)已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)答案(1)B(2)D(3)C解析(1)解不等式可得集合M=(2,3),集合N=,所以M∩N=.(2)解不等式可得集合A=(-1,3),集合B=[1,+∞),所以A∪B=(-1,+∞),所以∁U(A∪B)=(-∞,-1],所以选D.【跟踪训练】若集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|5-m<x<2m-1}.若U=R,A∩∁U B=A,则实数m的取值范围是.答案(-∞,3]解析易知A={x|-4<x<2}.由A∩∁U B=A,得A⊆∁U B,则A∩B=⌀,由数轴得5-m≥2m-1或或解得m≤3.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到.(3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.【易错警示】1.非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;(2)任何一个集合是它本身的子集;(3)对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足).3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集.考向4 集合中的新定义问题例4(1)定义集合的商集运算为=,已知集合A={2,4,6},B=,则集合∪B中的元素的个数为()A.6B.7C.8D.9(2)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案(1)B(2)D解析(1)由题意知,B={0,1,2},则=,则∪B=,共有7个元素.故选B.(2)∵A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},B={x|x2-7x+10<0}={x|2<x<5},A-B={x|x∈A,且x∉B},∴A-B={0,1,2,5}.故选D.解决集合中的新定义问题的方法解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.【跟踪训练】设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单一元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“单一元”的集合共有个.答案 6解析符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.。

一：集合与简易逻辑1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A 图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]（1）.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.（2）子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.（4）∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).15q pqq6、全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.7、全称命题和存在性命题(命题p的否定记为⌝p，读作“非p”)[方法技巧]1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件⇔⌝B是⌝A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.2二：函数基本知识（1）1、函数三要素32、函数性质43、指数和对数运算4、函数图象变换55、一元二次方程根的分布⎧Δ＝067三：函数基本知识（2）1、一次函数2、反比例函数o yxyxo4、指数函数和对数函数(0∞)8点，且在第一象限是减函数．，1)点)．“指大图低”)．910四：三角函数1、任意角的三角函数(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.[提醒]（1）若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α>α>sin α. （2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.114.象限角的集合5.轴线角的集合6.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2k πα+ α− πα− πα+ 2πα− 2πα−2πα+2πα−sinsin αsin α−sin αsin α−sin α−cos αcos αcos α−coscos αcos αcos α−cos α−cos αsin α sin α− sin αtan tan α tan α− tan α− tan α tan α− cot α cot α− cot α−8.两角和与差的三角函数：S αβ+：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅ S αβ−：sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=⋅−⋅ C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅−⋅ C αβ−：cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=⋅+⋅ T αβ+： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(−+=+T αβ−： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+−=−129.二倍角公式：2S α：sin 22sin cos ααα= 2T α：22tan tan 21tan ααα=− 2C α2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=−=−=−10.降幂公式：1sin cos sin 22ααα= 21cos 2sin 2αα−= 21cos 2cos 2αα+=11.半角公式：12.合一变形 22sin cos )a x b x a b x ϕ+=++， 其中 tan b aϕ=1313.三角函数的图像与性质 sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域 []1,1−[]1,1−R最值 当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=− ()k ∈Z 时，min 1y =−．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =−．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ−∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫−+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称中心 ()(),0k k π∈Z(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ (),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭对称轴()2x k k ππ=+∈Z()x k k π=∈Z无对称轴函 数性 质四：平面向量“三角形法则”λ(μa)＝(λμ)aλ＋μ)a＝λa＋μa14五：解三角形1、正弦定理和余弦定理2、解三角形的四种模型153、解三角形的多解分析已知两边和其中一边的对角解三角形时，应分析解的情况：如已知a，b，A，则当A为锐角时当A为钝角或直角时图示关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的情况无解一解两解一解一解无解16六：数列1、数列基本性质172、求数列通项公式（1）.前n项和型（2）递推公式型183、数列求和19七：圆锥曲线1、椭圆a b－a≤x≤a，－b≤y≤b≤x≤b，－a≤y≤对称轴：对称中心：原点F1(－c，0)，F2(c，0)(0，－c)，F2(0，2、双曲线≤－a或x≥a；y∈∈R；y≤－a或y对称中心：原点203、抛物线x≥0；y∈R x≤0；y∈R x∈R；y≥0x∈R；y≤0对称轴：轴轴214、圆锥曲线的常用性质2223八：直线方程与圆的方程【公式】1．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．几种距离公式(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．5．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0该方程表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.6．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：利用判别式Δ＝b 2－4ac 进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．247．圆与圆的位置关系：设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).则：d >r 1＋r 2⇔外离； d ＝r 1＋r 2⇔外切； |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔相交；d ＝|r 1－r 2|⇔内切； 0≤d <|r 1－r 2|⇔内含【必备结论】1．斜率与倾斜角的关系：由正切图象可以看出：①当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)且随着α增大而增大； ②当α＝π2时，斜率不存在，但直线存在；③当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)且随着α增大而增大．2．两条直线的位置关系(1)斜截式判断法：①两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1、l 2：(ⅰ)若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)一般式判断法：设两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有：①l 1∥l 2⇔A 1 B 2＝A 2B 1且A 1 C 2≠A 2 C 1； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．直线系方程：(1)平行线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为：Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )；(2)垂直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为：Bx －Ay ＋n ＝0；(3)交点线系：过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线可设：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.4．点与圆的位置关系圆方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)，则有：(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＝0；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＞0；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＜0.5．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程；②用圆M的方程减去圆C的方程即得；6．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．7．常用口诀：①直线带参，必过定点；②弦长问题，用勾股.【方法】1．直线的对称问题：(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组；(2)线关于线对称：①求交点；②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；③两点定线即可.(3)圆关于线对称：圆心对称，半径不变.25262．直线与圆的相关问题：(1)切线问题：一般设直线点斜式(讨论斜率存在)，然后依据d ＝r 列方程求解；(2)弦长问题：用勾股，即圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则根据勾股得⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2；3．轨迹求法：①直译法：直接根据题目提供的动点条件，直接列出方程，化简可得；②几何法：根据动点满足的几何特征，判断其轨迹类型，然后根据轨迹定义直接写出方程．③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．27九：立体几何与空间向量【公式】1．空间几何体的表面积与体积公式：(1)基本公式：①圆：面积S 圆＝πr 2， 周长C 圆＝2πr ；②扇形：弧长l 扇形＝αR ， 面积S 扇形＝12lR ＝12αR 2，周长C 扇形＝l ＋2R ．S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl 圆台侧＝π(r 1＋(3)柱、锥、台和球的体积公式①柱体(棱柱和圆柱)：S 表面积＝S 侧＋2S 底，V 柱＝Sh ；②锥体(棱锥和圆锥) ：S 表面积＝S 侧＋S 底，V 锥＝13Sh ；③台体(棱台和圆台) ： S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下，V 台＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ；④球：S 球＝4πR 2 ，V 球＝43πR 3；2．平行关系的判定及性质定理：283．垂直关系的判定及性质定理：图形语言4．空间向量与立体几何的求解公式：(1)异面直线成角：设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则l 1与l 2所成的角θ满足：cos θ＝|a ·b ||a ||b |；(2)线面成角：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，a 与n 的夹角为β，则直线l 与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |.(3)二面角：设n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则两面的成角θ满足：cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|；(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离为：|BO →|＝|AB →·n ||n |，即向量在法向量n 的方向上的投影长.29【结论】1．直观图与原图的关系：(1)作图关系：①位置：平行性、相交性不变；②长度：平行x (z )轴的长度不变，平行y 轴的长度减半.(2)面积关系：S 直观图′＝24×S 原图；2．几个与球有关的内切、外接常用结论：(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则： ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：3∶1.3．几种常见角的取值范围：①异面直线成角∈(0，π2]②二面角∈[0，π]③线面角∈[0，π2]④向量夹角∈[0，π] ⑤直线的倾斜角∈[0，π)【方法】1．三视图还原方法：提点连线法，具体步骤：①根据三视图轮廓画长方体或正方体； ②在底面画俯视图；③综合正视图和左视图进行提点连线； ④验证与完善.2．平行构造的常用方法：①三角形中位线法； ②平行四边形线法； ③比例线段法.3．垂直构造的常用方法：①等腰三角形三线合一法； ②勾股定理法； ③投影法.4．用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.5．用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.6．点面距常用方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法7．外接球常用方法：①将几何体补成长方体或正方体，则球直径=体对角线；②过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球球心，找到球心即可求半径.3031十：排列组合与二项式定理1、分类加法计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法……在第类办法中，有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第一个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.3、排列：（1）、排列：从个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（2）、排列数从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示：当时，为全排列.的阶乘：排列数公式可写成（规定）n 1m 2m n n m 12n N m m m =+++n 1m 2m n 12n N m m m =⨯⨯⨯n ()m m n ≤n m n ()m m n ≤n m mn A ()()()121mn A n n n n m =−−−+m n =()()12321nn A n n n =−−⨯⨯n ()()12321!nn A n n n n =−−⨯⨯=()!!mn n A n m =−0!1=324、组合 （1）组合：从n 个元素中取出m 个元素合成一组，叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个组合。