23.4(1)概率计算举例

第23章 第二节 《事件的概率》§23.4概率计算举例学习目标经历画树形图求概率的过程，进一步巩固画树形图分析等可能事件的方法，并能计算简单事件的概率，提高分析问题、解决问题的能力；学会转化分析与几何图形和等可能试验有关的概率问题，经历对图形的分析和研究的过程，培养思维的条理性，提高利用数形结合解决问题的能力；体验用数学眼光看待身边的事物，逐步养成用数学方法分析问题的能力和习惯；通过解决生活中的概率问题，树立概率意识，认识机会和风险，规则的公平性与决策的合理性。

知识概要1.用直接列举法求概率的一般步骤(1)列举出一次试验的所有可能的结果，计数为n ；(2)数出事件所有可能出现的结果m ；(3)代入概率的计算公式：nm A P =)(。

2.用画树形图法求概率的一般步骤：(1)把所有可能发生的试验结果用树形图表示出来；(2)把所求事件发生的可能结果都找出来；(3)代入概率的计算公式：所有可能出现的结果数果数事件所有可能出现的结=)(A P 。

3.用面积法求概率对于受几何图形面积影响的随机事件，在一个平面区域内的每个点，事件发生的可能性都是相等的，如果所有可能发生的区域的面积为S ，所求事件发生的区域面积为S '，那么SS A P '=)(。

经典题型精析(一)利用列举法、树形图求概率例1.从2,6,8这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被4整除的概率是多少? 1/3随堂练习：一人把分别写有“20”、“10”、“世博”的3张相同卡片，字面朝下随意放在桌面上；另一人再把这3张卡片排成一行，从左到右恰好排成“2010世博”或者“世博2010”的概率是( )A .61B .41C .31D .21例2.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛。

(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲乙两位同学的概率； 1/6(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。

初二数学北师大版知识点总结学习从来无捷径，循序渐进登高峰。

如果说学习一定有捷径，那只能是勤奋，因为努力永远不会骗人。

学习需要勤奋，做任何事情都需要勤奋。

下面是小编给大家整理的一些初二数学的知识点，希望对大家有所帮助。

初二下学期数学知识点分式一.概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式(fraction)。

二.基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

三计算法则：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

四.分式乘方要把分子、分母分别乘方。

a^-n=1/a^n(a≠0)这就是说，a^-n(a≠0)是a^n的倒数。

五.分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。

第十七章反比例函数一.概念形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数(inverseproportionalfunction)。

二.性质：反比例函数的图像属于双曲线(hyperbola)。

当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

第十八章勾股定理一.概念勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

二.命题：经过证明被确认正确的命题叫做定理(theorem)。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

(例：勾股定理与勾股定理逆定理)第十九章四边形一.平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

23.4 概率计算举例（1）[一般概率问题]第一组23-111、一个均匀的立方体六个面上分别标有1、2、3、4、5、6，图23-11-1是这个立方体表面的展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面数的12的概率是（）A、16B、13C、12D、232、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（）A、16B、13C、12D、323、小兰和小谭用掷A、B两枚六面体骰子的方法来确定P（x，y）的位置，他们规定：小兰掷得的点数为x，小谭掷得的点数为y，那么他们各掷一次所确定的点数在直线y=−2x+6上的概率为（）A、16B、118C、112D、294、小明在做数学题，其中有一道题有下列4个命题，小明随机选一个命题，他正好选到的是真命题的概率是（）命题一：若y=12x−2，则y随x的增大而增大；命题二：若y=2x，则y随x的增大而减小；命题三：一次函数y=−13x−1的图像经过第二、三、四象限；命题四：在函数y=−12x中，当x<0时，y随x的增大而增大。

A、14B、12C、34D、1图 23-11-16543215、求下列事件的概率：（1）有12个型号相同的杯子，其中一等品8个，二等品3个，三等品1个，从中任意抽取一个杯子，恰好是二等品的概率是；（2）从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃、2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是；（3）一个布袋中有4个红球8个白球，除颜色外其他完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是；（4）已知在一次选举班长的投票中，45名同学有35名同学同意李强同学当班长，这个事件中频数是，概率是；，则（5）袋子中有6个白球，k个红球，经过实验从中任取一个球恰好是红球的概率为14K= ；（6）从1，2，3，…，20这20张卡片中任意抽取一张，抽到卡片上的数既是2的倍数又是3的倍数的概率是。

资源信息表23.4（2）概率计算举例—画树形图求概率上海市闵行区浦江三中成正家教学目标设计1．学会画树形图计算简单事件的概率.2．经历画树形图求概率的过程，培养思维的条理性，提高分析问题、解决问题的能力.3．通过自主探究、合作交流激发学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性.教学重点及难点画树形图计算简单事件的概率.通过学习画树形图计算概率，培养学生思维的条理性.教学流程图温故知新问题情境例题评析巩固练习弹性作业开放总结教学过程设计一、温故知新问题1. 什么样的试验叫等可能试验？问题2．用列举法求概率的基本步骤是什么？(1) 举例列举出一次试验的所有可能结果；(2) 数出n k ,；(3) 计算概率nk A P =)(．二. 问题情境木盒里有1个红球和1个黄球,这两个球除颜色外其他都相同.从盒子里先摸出一个球,放回去摇匀后，再摸出一个球.两次都摸到红球的概率是多少? 摸到1个红球1个黄球的概率又是多少?学生利用学过的知识，自主探究解决上述问题．学生在探究学习活动中会有不同的表现，针对可能出现的情况设计教学预案如下：1. 直接列举所有可能的结果，对于列举不完全或重复的同学，引导他们进行有序地列举，同时请学生思考如何做到不重不漏；对于列举完全的同学，启发他思考能否更直观地展现列举过程．2. 少数学生也有可能画出树形图，表扬使用这种方法的学生，并请学生阐述这种方法的优越性，及如何实施这种方法．如果没有学生画出树形图，由于学生在小学或其它学科接触过树形图，引导列举完全的学生画出树形图．三. 交流展示方法一： 方法二：红红，红黄黄红，黄黄41)(=A P 2142)(==B P (红,红) (红,黄) (黄,红) (黄,黄) (事件A ：“两次摸到红球” ， 事件B ：“摸到1个红球1个黄球”) 错误资源：两次摸球只有3种可能的结果：2红、2黄、1红1黄.所以摸到2红红 红 黄 黄 红 黄 第一次试验 第二次试验的概率是31.点评：两种方法各有优点，尤其方法2借助图形来计数，当一次试验要经过多个步骤才能完成时，方法2比方法1更能直观地展示思维的过程．教师指出方法2画出的图形称为“树形图”，今天我们的课题是画树形图求概率．四. 例题评析例题1.甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在同一个回合中两人能分出胜负的概率是多少?分析：① 明确试验步骤：② 画出树形图：学生试画后，教师板书． 教师板书：解：用“○、×、□” 依次代表“石头、剪刀、布”.用下面的树形图展现所有等可能的结果：③ 计算概率：明确随机事件，正确数出n k ,的值，计算概率．师生共同讨论得出：两人手势相同,不分胜负；两人手势不同，能分胜负.学生讨论后归纳出正确数出n k ,的方法：方法1：通过画出的树形图按由上至下，由左至右的方法把每一个可能的结果写出来，从中找出n k ,的值．如本题，从图中看到，共有9个等可能的结果，即(○,○)、(○, ×)、(○, □)、(×,○)、(×, ×)、(×, □)、(□,○)、(□, ×)、(□, □)其中，两人手势相同的结果有3个，不分胜负；其余6个结果，都能分出胜负.方法2：直接看树形图的最后一步，就可以求出n 的值；再由最后一步向上逐个找出符合要求的可能结果，就可以求出k 的值了．教师板书：设事件A ：“一个回合中两人能分出胜负”.可知3296)(==A P ④ 归纳方法：画树形图求概率的基本步骤：甲乙(1) 明确一次试验的几个步骤及顺序；(2) 画树形图列举一次试验的所有可能结果；(3) 明确随机事件，数出n k ,；(4)计算随机事件的概率nk A P )(．五、课堂练习 巩固新知练习1．小张和小王轮流抛掷3枚硬币.在抛掷前,小张说:“硬币落地后，若全是正面或全是反面，则我输；若硬币落地后为两正一反或两反一正，则我赢.”(1) 假如你是小王,你同意小张制定的游戏规则吗?为什么?(2) 请设计一个公平的游戏规则.练习2. 小杰和小明玩扑克牌，各出一张牌，谁的数字大谁赢，同样大就平.A 遇2输，遇其他牌(除A 外)都赢.最后各人手中还剩3张牌.小杰手中有A 、J 、3，小明手中有K 、J 、2.这时每人任出一张牌，小杰、小明两人谁获胜的机会大? (J 、Q 、K 分别对应数字11、12、13).六. 开放式总结(1) 总结画树形图求概率的方法，并和其它列举法求概率的方法进行比较．(2) 画树形图求概率体现数形结合及分类的思想．(3) 通过把实际问题抽象为数学问题，在有序的列举过程中培养抽象能力及思维的条理性．七. 弹性化作业(1) 课本132页练习23.3(3), 第1、2题.(2) 以生活中等可能事件为背景,自拟计算概率的题目，并解答.教学设计说明[教材分析]首先以涉及两步试验的事件发生的概率问题为切入点，一方面加强前后知识的联系，另一方面通过试验活动探索试验结果与理论概率之间的辩证关系，进一步加深学生对概率的理解.[对学生状态分析]列举法求概率是建立在等可能事件的前提下，在没有排列组合相关知识的基础上，通过列举所有等可能结果来求概率的一种方法．由于学生已经初步了解随机事件和概率的有关概念，并能用直接列举法求简单事件的概率，在学生已有的基础上，本节课再寻求一种更一般的列举方法求概率——画树形图求概率. 由于学生在小学或其它学科中接触过“树形图”，因此本节课在引入树形图这种新的列举方法时，以学生的生活实际为背景提出问题，在自主探究解决问题的过程中，自然地学习使用这种新的列举方法．在列举过程中培养学生思维的条理性，并把思考过程有条理、直观、简捷地呈现出来，使得列举结果不重不漏.。

资源信息表23．4 （1）概率计算举例上海市文来中学 王贺喜教学目标设计1．学会通过度量计算事件的概率.2．经历对图形的分析和研究的过程，培养思维的条理性，提高利用数形结合解决问题的能力.3．通过自主探究、合作交流激发学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性.教学重点及难点分析和研究图形计算事件的概率.画图形计算事件的概率，培养学生思维的条理性.教学流程设计教学过程设计 一、情景引入1．思考 当陨石落到地球上时，是落在陆地的可能性大，还是落入海洋的可能性大？试试利用概率的意义说明.情景引入概率有时和面积有关 结合例题，利用图形进行分析和研究 建立图形模型进行分析和研究生活中有些可能性的大小与长度、面积或体积等有关，相关的概率问题可以通过有关度量计算来解决；还有些概率问题可以利用图形来进行分析和研究，把问题转化为度量计算再解决.二、学习新课例题1将圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图所示，任意转动转盘，停止后指针落在每个扇行内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.求指针分别落在“红色”、“黄色”、“绿色”扇形内的概率.解：根据扇形圆心角相同，可以知道，转盘停止时，指针所在的扇形有8个等可能的结果.设事件A：“指针落在红色区域内”；事件B：“指针落在黄色区域内”；事件C：“指针落在绿色区域内”.1.事件A包含其中的1个结果，得P（A）＝83.事件B包含其中的3个结果，得P（B）＝81事件C包含其中的4个结果，得P（C）＝2例题2：如图，转盘A等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B分为两个扇形（即半圆），号码为①、②.甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜.判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则.解：用树形图展示一次游戏的所有等可能的结果，如图所示，共有6个等可能的结果：（①①）、（①②）、（②①）、（②②）、（③①）、（③②）设事件D ：“两号码之积为奇数”；事件E ：“两号码之积为偶数”.P （D ）＝31，P （E ）＝32 甲胜的概率比乙胜的概率小31，可见这个游戏规则对乙很有利，是不公平的.怎么样改动游戏规则才是公平的？请你设计一下.例题3 甲乙两人相约下午1时至2时在某公共汽车站乘车，已知该站在下午1时30分和2时准点各发一班车，假设因堵车的影响，甲乙两人在1时至2时之间任一时刻到达车站的可能性相等，如果两人到车站后见车就上，那么两人同乘一辆车的概率是多少？分析：甲乙两人到达车站的时刻在1时至2时之间，其中有无数个等可能时刻.把两人到达车站的时刻用有序数对来表示，则在平面内可得到相应的点.这样两人到达车站的所有可能的时刻对应于一个平面区域，问题就转化为区域面积的计算.解：设甲到达车站的时刻为1时x 分，乙到达车站的时刻为1时y 分，则600≤≤x ，600≤≤y .如图，只有当点（x ，y ）落在阴影区域时，甲乙两人才能同乘一辆车.设事件A ：“甲乙两人同乘一辆车”，则P （A ）＝21. 三、巩固练习1、如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字， 同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是A 、25B 、310C 、320D 、15 2、一盘录音带可录80分钟，前面20分钟已录完，现准备再录20分钟，如果随意地从录音带某处开始录，那么“能完整录音且与原先的录音不重叠”的概率是多少？3、小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判.⑴ 你认为游戏公平吗？为什么？⑵ 游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”.请你设计方案，解决这一问题.（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）四、课堂小结1、可以利用图形的面积关系来计算事件的概率2、可以采用列举、树形图、坐标系等方法列出所有的等可能结果五、作业布置123453489练习部分 23.4（2）、复习题A组教学设计说明：本节的所列举的问题是概率知识在生活中的一些简单应用，可能性的大小是学生经常接触到的问题，由此入手，比较容易激发学习的兴趣.例题3是用建模的思想来解决问题，有一定的难度，要给学生充分的思考时间；而补充练习的2和3趣味性较强，可以让学生讨论，巩固本节所学知识.。