河南中考22类比探究专题(三)——旋转结构(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究问题的处理思路是什么？问题2：想一想，画一画类比探究问题中旋转结构的特征是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究问题的处理思路是什么？答：类比探究问题的处理思路为：（1）类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．（2）若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．问题2：想一想，画一画类比探究问题中旋转结构的特征是什么？答：等线段共点：类比探究专题（三）——旋转结构一、单选题(共7道，每道14分)1.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与点B，C重合），点M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．则∠ECM的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构2.（上接第1题）（2）如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构3.（上接第1，2题）（3）如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为( )A.30°B.72°C.36°D.60°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构4.（上接第1，2，3题）（4）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，则∠ECM的度数可用含n的代数式表示为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构5.如图1，已知正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于点F，QM交AD于点E，易证ME=MF．（1）如图2，若将题干中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其他条件不变，则ME和MF之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构6.（上接第5题）（2）如图3，若将题干中的“正方形”改为“菱形”，且∠QMN=∠ABC，其他条件不变，若要证明ME=MF，下列添加的辅助线合适的是( )A.如图，过点M分别作MG⊥AB于点G，MH⊥AD于点HB.如图，过点M作MG∥AD，交AB于点G，作MH∥AB，交AD于点HC.如图，过点M作MG∥AD，交AB于点G，作MH⊥AD于点HD.如图，连接CE，CF答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构7.（上接第5，6题）（3）如图4，若将题干中的“正方形”改为“平行四边形”，且∠QMN=∠ABC，AB:BC=m，其他条件不变，则的值为( )A.mB.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合试题5分析，类比探究问题的处理思路是什么？问题2：结合试题6分析，类比探究问题的处理思路是什么？。

2023年中考数学高频考点突破——旋转1．已知：∠AOB＝60°．小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．（1）如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；（2）如图2，小新在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P 旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小新的观点是否正确，为什么？（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标3．在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．此时S△BMP（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的数量关系．4．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．5．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边（或延长线）分别交射线AC、射线CB于D、E两点．（1）如图（a），当PD⊥AC，PE⊥BC时，线段PD与PE有何大小关系，并说明理由；（2）在旋转的过程中，当三角板处于图（b）和图（c）中的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？请以图（b）为例说明理由；（3）在旋转的过程中，△PAD是否能构成等腰三角形？若能，直接写出CD的长；若不能，请说明理由．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过A作AD⊥BC于点D，点E为直线AD 上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转α，得到线段EF，连接FC、FB，直线AD与BF相交于点G．（1）[发现]如图1，当α＝60°时，填空：①的值为；②∠AGB的度数为；（2）[探究]如图2，当α＝120°时，请写出的值及∠AGB的度数，并就图2的情形给出证明；（3）[应用]如图3，当α＝90°时，若AB＝2，∠ACE＝15°，请直接写出△DFG 的面积．7．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，且AE＝AD．（1）求证：∠BAD＝2∠CDE；（2）如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，若∠CAD＝2∠B，求证：AC+AD＝2CF；（3）如图3，在（2）的条件下，把△DCE沿DE翻折得到△DGE，若AG＝8，CE＝2，求BD的长．8．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE．连接DE，BE，若，BC ＝6，求CD的长度；（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接CE交AB于F，G为AC 边的中点，连接FG，猜想FG与AE存在的关系，并证明你的猜想；（3）如图3，以AC为斜边向AC边右侧作Rt△AEC，连接BE，F为BE上一点，且BF＝BE，连接DF，若AB＝4，CD＝1，当DF取最小值时，请直接写出△BDF的面积．9．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，如果点D在BC上，且BD＝4，CD＝3，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM＝AF，求证：CF＝AN+MN；（3）如图3，若AD＝AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF：DN：AN的值．10．在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，点D在边AC上，点E在边BC上，如图1将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．（1）连接AD，BE．求证：AD＝BE．AD⊥BE；（2）当旋转至图2位置时，点A，D，E在一条直线上，连接BD，BE，若AD＝2，CD＝1，则BD＝；（3）当α＝90°时，如图3，连接AD，BE，延长AD交BE于点F，连接CF，若DF＝1．EF＝．则CF＝．11．如图，直线MN∥PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E 重合．（1）对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数．（2）对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示．①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由；②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值．12．已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，P是平面上的一点，且DP＝1，连接CP（1）如图，当点P在线段BD上时，求CP的长；（2）当△BPC是等腰三角形时，求CP的长；（3）将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′，连接AB′，求AB′的最大值．13．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，以点A为旋转中心，将边AC逆时针旋转一定角度，得到线段AD，使BD∥AC，AD交BC于点G，过点C作CE⊥AD交AD于点F．（1）若AB＝3，求BD的长；（2）求证：AG＝CF+DF；（3）点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N，使NB+NA+NC的值最小时，NB的长为m，请直接用含m的式子表示NB+NA+NC的最小值．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP．（1）观察猜想如图（1），DP与CP之间的数量关系是，DP与CP之间的位置关系是．（2）类比探究将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）问题解决若BC＝3BD＝3，将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长．15．已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，m），过B点作直线a与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且m＝4时，则点C的坐标为；AC ＝．（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），试判断m+x的值是否发生变化？若不变，请求出m+x的值；若发生变化，请说明理由．（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE、EF，当m＝3.5时，试求CE+EF的最小值．16．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．（1）如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．（3）在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．17．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．18．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．19．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG 长度的最大值．20．如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，N分别是△ABC 的AB，AC，BC边上的中点，连接AN，DE交于点M．（1）观察猜想：的值为；BD与CE的位置关系是．（2）探究与证明：将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜360°），且△ADE内部的线段AM 随之旋转，如图②所示，连接BD，CE，MN，试探究线段BD与MN之间分别有什么样的数量关系，以及BD与CE有什么样的位置关系，并证明；（3）拓展与延伸：△ADE在旋转的过程中，设直线CE与BD相交于点F，当∠CAE＝90°时，请直接写出BF的值．参考答案：1．【解答】（1）证明：如图1中，在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD＝∠POE．（2）解：结论正确．理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．∵∠PHO＝∠PKO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠HPK＝120°，∵∠DPE＝∠HPK＝120°，∴∠DPH＝∠EPK，∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴∠POH＝∠POK，∠PHO＝∠PKO＝90°，在△OPH和△OPK中，，∴△OPH≌△OPK（AAS），∴PH＝PK，在△PHD和△PKE中，，∴△PHD≌△PKE（ASA），∴PD＝PE．（3）解：结论：OE＝2OD．理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT．∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT，在△POD和△POT中，，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP，∵PD∥OB，∴∠PDO+∠AOB＝180°，∠DPE+∠PEO＝180°，∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE，∵∠PTE＝∠TOP+∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD．2．【解答】解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴OE＝6，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．∴S＝S△ODG（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∵F（0，6），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．3．【解答】（1）证明：如图1中，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），＝S△PCE，∴PM＝PE，S△PBM∴AE＝CN+CE＝4，+S△CNP＝7，∵S△BMP＝7，∴S△PNE＝2S△PNE＝14，∴S△MNE∴×MN×4＝14，∴MN＝7．（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG＝EN＝（CN﹣EC），∵EC＝BM，∴PG＝（CN﹣BM）．如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，延长MP交NC的延长线于Q．∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵BM∥CQ，∴∠BMP＝∠Q，∵∠BPM＝∠CPQ，BP＝CP，∴△PMB≌△PQC（AAS），∴PM＝PQ，BM＝CQ，∴MG＝GN，∴PG＝AQ＝（CN+BM）．综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．4．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，＝2+5＝7，∴MN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．∴S△PMN最大方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S＝PM2＝×72＝．△PMN最大5．【解答】解：（1）PD＝PE，理由如下：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵PD⊥AC，∴∠ADP＝90°，∴∠APD＝45°，在△ADP和△BEP中，，∴△ADP≌△BEP（AAS），∴OD＝PE；（2）如图1，PD＝PE仍然成立，理由如下：连接PC，∵AC＝BC，AP＝BP，∠ACB＝90°∴CP⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝＝45°，CP＝BP＝，∴∠BPC＝90°，∠ACP＝∠B，∴∠BPC＝∠DPE＝90°，∴∠BPC﹣∠CPE＝∠DPE﹣∠CPE，即：∠BPE＝∠CPD，在△BPE和△CPD中，，∴△BPE≌△CPD（ASA），∴PD＝PE；（3）如图2，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵点P是AB的中点，∴AP＝BP＝，当AD＝AP＝时（图中D1和D2），∴CD1＝AC﹣AD2＝2﹣，CD2＝AC+AD2＝2+，当AP＝PD时（图中D3），此时点D和C点重合，CD3＝0，当AD＝PD时（图中D4），CD4＝AD4＝1，综上所述：CD＝2+或2﹣或0或1．6．【解答】解：（1）①∵α＝60°，∴∠BAC＝∠CEF＝60°，∵AB＝AC，线段CE绕点E顺时针旋转得到线段EF（CE＝EF），∴△ABC和△EFC是等边三角形，∴BC＝AC，FC＝EC，∠BCA＝∠FCE＝∠ACB＝60°，∴∠FCB＝∠ECA，∴△FCB≌△ECA（SAS），∴BF＝AE，∴＝1；故答案为：1；②由①得△FCB≌△ECA，∴∠FBC＝∠EAC，∵∠BDG＝∠ADC，∴∠BGD＝∠ACD＝60°，即∠AGB＝60°，故答案为：60°；（2）＝，∠AGB＝30°，证明如下：设CF与AD交于M，如图：∵α＝120°，∴∠BAC＝∠CEF＝120°，∵AB＝AC，线段CE绕点E顺时针旋转得到线段EF（CE＝EF），∴∠BCA＝∠FCE＝30°，＝，∴∠FCB＝∠ECA，△ABC∽△EFC，∴＝，∴△FCB∽△ECA，∴＝，∠BFC＝∠AEC，∵∠FMG＝∠EMC，∴∠AGB＝∠FCE＝30°，在Rt △ACD 中，＝cos30°，∴＝，∴＝＝＝；（3）①当E 在线段AD 上时，连接FD ，过F 作FK ⊥AG 于K ，如图：∵α＝90°，AB ＝AC ，线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，∴△ABC 和△EFC 是等腰直角三角形，∴∠ACB ＝45°，∵∠ACE ＝15°，∴∠DCE ＝30°，∵AB ＝2，∴AC ＝2，，BC ＝2，∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝，在Rt △ECD 中，cos30°＝，∴CE ＝2＝EF ，∵∠DEC ＝90°﹣∠DCE ＝60°，∴∠FEK＝30°，∴FK＝EF＝，∵＝，∠BCF＝45°﹣∠BCE＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴∠FBC＝∠EAC＝45°，∵AD⊥BC，∴△BDG时等腰直角三角形，∴DG＝BD＝，∴△DFG的面积为DG•FK＝××＝；②当E在DA延长线上时，连接FD，过F作FT⊥AD于T，如图：∵∠ACE＝15°，∠ACD＝45°，∴∠ECD＝60°，∴∠DEC＝30°，∠EFD＝60°，∵CD＝，∴CE＝FE＝2，在Rt△EFT中，FT＝FE•sin60°＝3，∵＝，∠BCF＝45°﹣∠ACF＝∠ACE＝15°，∴△BCF∽△ACE，∴∠BFC＝∠AEC＝30°，∴∠DGB＝∠BFC+∠BCF＝45°，∴△BDG是等腰直角三角形，∴DG＝BG＝BC＝，∴△DFG的面积为DG•FT＝××3＝3；综上所述，△DFG的面积为或3．7．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠B+∠BAD＝∠C+∠CDE+∠CDE，∴∠BAD＝2∠CDE．（2）证明：如图2中，在FC上截取FM，使得FM＝AF，连接DM∵DF⊥AM，AF＝FM，∴DA＝DM，∴∠CAD＝∠DMA，∵∠CAD＝2∠B＝2∠C，∠AMD＝∠C+∠MDC，∴∠AMD＝2∠C，∴∠C＝∠MDC，∴MD＝MC，∴AD+AF＝DM+FM＝CM+FM＝CF，∴AC﹣CF＝CF﹣CM，∴AC﹣CF＝CF﹣AD，∴AC+AD＝2CF．（3）解：如图3中，在FC上截取FM，使得FM＝AF，连接DM，CG．设∠B＝∠C＝β，∠CDE＝∠GDE＝α，∵∠CAD＝2β，∠ADE＝∠AED＝α+β，∴2β+2（α+β）＝180°，∴2β＝90°﹣α，∵∠AFD＝90°，∴∠ADF＝∠MDF＝α，∴∠AEG＝180°﹣α﹣β﹣（180°﹣2β）＝2β，∵AE＝CM，∴AM＝CE＝EG，∵AD＝AE，∴△ADM≌△EAG（SAS），∴AG＝DM＝AD＝AE＝8，∵EC＝2，∴AC＝AE+CE＝10＝AB，AF＝FM＝1，∵DF2＝AD2﹣AF2＝CD2﹣CF2，∴CD＝12，设BD＝2m，则BC＝2m+12，作AH⊥BC于H，则CH＝BH＝m+6，∴DH＝6+m﹣2m＝6﹣m，∵AH2＝AD2﹣DH2＝2﹣CH2，∴82﹣（6﹣m）2＝102﹣（m+6）2，解得m＝，∴BD＝2m＝3．8．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠DAE ＝60°，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠BAD ＝∠DAE ﹣∠BAD ，∴∠BAE ＝∠CAD ，又∵AD ＝AE ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴CD ＝BE ，∵，∴＝，∴CD ＝BC ＝；（2）如图2，延长EA 至H ，使AH ＝AE ，连接DH ，CH ，∵AD ＝AE ，∠EAD ＝120°，∴AH ＝AD ，∠DAH ＝60°，∴△ADH 是等边三角形，∴∠AHD ＝∠ADH ＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠AHD，∴点A、D、C、H共圆，∴∠ACH＝∠ADH＝60°，∴∠ACH＝∠BAC＝60°，∴AF∥CH，∴＝＝1，∴EF＝CF，又∵AG＝GC，∴FG∥AE，FG＝AE；（3）如图3，取AC的中点O，连接OE、OB，作FI∥OE交OB于I，∴△BIF∽△BOE，OE＝＝2，∠OBC＝30°，∴＝＝＝，∴IF＝，BI＝，∴F点在以I为圆心，为半径的圆上运动，∴当D、F、I在同一条直线时，DF最小，作IK⊥BD于K，FG⊥BD于G，∴BK＝BI•cos30°＝×＝，IK＝BI＝，∴DK＝BD﹣BK＝3﹣＝，∴DI＝＝，∴DF＝DI﹣IF＝﹣，由△DGF∽△DKI得，＝，∴＝，∴FG＝，＝BD•FG∴S△BDF＝＝．9．【解答】解：（1）如图1，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌ACE（SAS），∴∠B＝∠C＝45°，∴CE＝BD＝4，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝45°+45°＝90°，在Rt△DCE中，CE＝4，CD＝3，∴DE＝＝5；（2）如图2，延长AD至S，使AS＝CF，连接CS，由（1）可得：△ABD≌ACE，∵AD⊥BD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠DAE+∠AEC＝180°，∴AS∥CF，∴四边形ASCF是平行四边形，∠NCS＝∠ABC＝45°，∴CM＝AF＝CS，∵∠NCS＝∠NCM＝45°，NC＝NC，∴△NCS≌NCM（SAS），∴SN＝MN，∴CF＝AS＝AN+SN＝AN+MN；（3）如图3，设BC，DE相交于点G，连接AG，CM，BE，AF，CD，作AH⊥DN交DN的延长线于点H，GI⊥FD于点I，∵AB＝AD，∴AB＝AC＝AD＝AE，BC＝DE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABG＝∠AEG＝45°，∴∠GBE＝∠GEB，∴GB＝GE，∴GC＝GD，∵F为BC中点，M为DE中点，∴FC＝MD，∴GF＝GM，∵∠DGF＝∠CGM，∴△GDF≌GCM（SAS），∴∠GDF＝∠GCM，DF＝CM，∵N为BM中点，∴NF是△BMC的中位线，∴NF∥CM，∴∠GDF＝∠GCM＝∠GFD，NF：DF＝NF：CM＝1：2，∴GF＝GD＝GC＝GM，DF：DN＝2：3，∴CF为⊙G直径，∴∠CDF＝90°，∵AD＝AC，∴AG垂直平分DC，∴AG∥FD，∴∠BFN＝∠AGF，∵∠BFN+∠AFH＝∠FAH+∠AFH＝90°，∴∠FAH＝∠BFN＝∠AGF＝∠GFI，设GF＝GC＝k，则AF＝BC＝FC＝2k，NF＝k，∴tan∠FAH＝tan∠GFI＝tan∠AGF＝＝2，∴AH＝k，FH＝k，FI＝k，GI＝k，∴FD＝2FI＝k，DN＝k，∴NF＝FD＝k，∴HN＝FH﹣NF＝k﹣k＝k，在Rt△AHN中，AN＝＝k，∴DF：DN：AN＝k：k：k＝2：3：．10．【解答】（1）证明：如图1中，延长AD交BE的延长线于T，设AT交BC于J．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∴∠BTJ＝∠ACJ＝90°，∴AD⊥BE．（2）解：如图2中，∵CD＝CE＝1，∠DCE＝90°，∴DE＝＝＝，∵AD＝BE＝2，∠AEB＝90°，∴BD＝＝＝．故答案为：．（3）如图3中，过点C作CP⊥BE于P，CQ⊥AF于Q．∵△ACD≌△BCE，CQ⊥AD，CP⊥BE，∴CQ＝CP，∴CF平分∠AFE，∴∠CFP＝∠CFQ＝45°，∵∠CPF＝∠CQF＝90°，∴QC＝QF＝CP＝PF，∴四边形QCPF是菱形，∵∠PFQ＝90°，∴四边形QCPF是正方形，∵∠DCE＝∠QCP＝90°，∴∠QCD＝∠PCE，在Rt△CQD和Rt△CPE中，，∴Rt△CQD≌Rt△CPE（HL），∴DQ＝PE，∴DF+EF＝FQ﹣DQ+PF+PE＝＝1+，∴PF＝，∴CF＝PF＝．故答案为：．11．【解答】解：（1）如图2中，∵DE∥BC，∴∠CED＝∠BCA＝90°，∴∠FAC＝∠CED﹣∠FAD＝90°﹣60°＝30°．（2）①如图3中，过点G作直线HL∥MN．∵MN∥PQ，HL∥MN，∴MN∥HK∥PQ，∴∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，∴∠BGF＝∠HGF+∠BGH＝∠EFN+∠ABC，∴∠BGF﹣∠EFN＝∠ABC＝45°．②如图4﹣1中，当DE∥BC时，t＝＝3．如图4﹣2中，当DE∥AB时，当DE∥AB时，t＝（90﹣15）÷10＝7.5．同法，当DE∥AC时，t＝（135﹣15）÷10＝12．综上所述，满足条件的t的值为3或7.5或12．12．【解答】解：（1）如图1中，连接CD．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝＝4，∵AD＝DB，∴CD＝AB＝2，CD⊥AB，在Rt△CDP中，PC＝＝3．（2）如图2中，∵DP＝1，∴点P在以点D为圆心的⊙D上．①当PB＝PC时，∵CD＝DB，∴P、D都在线段BC的垂直平分线上，设直线DP交BC于E．∴∠PEC＝90°，BE＝CE＝2，∵∠CDB＝90°，∴DE＝BC＝CE＝2，在Rt△PCE中，PC＝，当P在线段PD上时，PE＝DE﹣DP＝1，PC＝＝，当P在线段ED的延长线上时，PE＝ED+DP＝3，PC＝＝．②当PC＝BC时，∵PC+1＜BC，∴PC≠BC，此种情形不存在；③当PB＝BC时，同理这种情形不存在；如图3中（3）如图4中，连接BB′．由旋转可知：PB＝PB′，∠BPB′＝90°，∴∠PBB′＝45°，∴BB′＝PB，∴＝，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠PBB′，∴∠ABB′＝∠CBP，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴△ABB′∽△CBP，∴＝＝，∵PC≤CD+DP＝2+1，∴点P落在CD的延长线与⊙D的交点处，PC的值最大，∴AB′≤（2+1）＝4+．∴AB′的最大值为4+．13．【解答】（1）解：如图1中，过点B作BM⊥AC于M，过点D作DN⊥AC于N．∵AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝AB＝3，CM＝AM，∴BM＝AC＝，∵BD∥AC，∴∠DBM＝∠BMN＝90°，∵∠DNM＝90°，∴四边形BMND是矩形，∴BD＝MN，DN＝BM∵AD＝AC，BM＝AC，∴DN＝AD，∴∠DAN＝30°，∴AN＝AD•cos30°＝，∴MN＝AN﹣AM＝﹣，∴BD＝MN＝﹣．（2）证明：如图1中，延长CE交AB的延长线于T，连接TG，CD．∵CE⊥AD，∴∠CFG＝∠ABG＝90°，∵∠CGF＝∠AGB，∴∠FCG＝∠GAB，∵∠CBT＝∠ABG＝90°，CB＝AB，∴△CBT≌△ABG（ASA），∴CT＝AG，BT＝BG，∠CTB＝∠AGB，∴∠BTG＝∠BGT＝45°，∵∠AGB＝∠CAG+∠ACG，由（1）可知，∠CAG＝30°，∴∠AGB＝75°，∴∠CTB＝75°，∴∠FTG＝30°，∴FT＝FG，∵AD＝AC，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝∠ACD＝75°，∵∠CGD＝∠AGB＝75°，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，∵CF⊥DG，∴DF＝FG，∴FT＝DF，∴AG＝CT＝CF+DF．（3）解：如图，将△CBN绕点B逆时针旋转60°得到△PBQ，连接QN，AP．则PQ＝CN，△BQN是等边三角形，∴BN＝NQ，∠BNQ＝∠BQN＝60°，∵CN+AN+BN＝PQ+QN+NA≥AP，∴当P，Q，N，A共线时，NC+BN+AN的值最小，此时∠ANB＝120°，∠BAN＝15°，∴∠ABN＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABN＝∠CBN＝45°，∵BA＝BC，∴BM⊥AC，设MN＝x，则AM＝BM＝x，∴m+x＝x，∴x＝m，∴AN＝CN＝2MN＝（+1）m，∴NB+NA+NC的最小值＝m+2（+1）m＝（2+3）m．14．【解答】解：（1）如图1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∵AP＝PE，∴PD＝AE，PC＝AE，∴PD＝PC，∵PA＝PD＝PC，∴∠PAD＝∠PDA，∠PAC＝∠PCA，∵CPD＝∠EPD+∠EPC＝∠PAD+∠PDA+∠PAC+∠PCA＝2（∠PAD+∠PAC）＝90°，∴PC⊥PD，故答案为：PD＝PC，PD⊥PC．（2）结论成立．理由如下：过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O．∵∠A＝∠AOP＝45°，∴PA＝PO，∵∠COT＝∠AOP＝45°，∠OCT＝90°，∴∠COT＝∠T＝45°，∴CO＝CT，TO＝CT，∵∠BPT＝90°，∴∠PBT＝∠T＝45°，∴PB＝PT，∴PE+BE＝OP+OT，∵PA＝PE＝PO，∴BE＝OT，∵BE＝BD，OT＝CT，∴BD＝CT，∵∠DBP＝∠T＝45°，∴△DBP≌△CTP（SAS），∴PD＝PC，∠BPD＝∠CPT，∴∠DPC＝∠BPT＝90°，∴PD⊥PC．解法二：延长DE交AC于F，连接PF，证明△DPE≌△CPF．（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q．∵BC＝3BD＝3，∴AC＝BC＝3，BD＝DE＝，∵DE∥PQ∥AC，PE＝PA，∴DQ＝QC，∴PQ＝（DE+AC）＝2，∵△PCD是等腰直角三角形，PQ⊥CD，∴DQ＝CQ，∴CD＝2PQ＝4，∴PC＝PD＝4．如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2．综上所述，PC的长为4或2．15．【解答】解：（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠BHA＝∠AOC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ABH＝∠CAO，∵点A（0，2），B（﹣2，4），∴AO＝BH＝2，OH＝4，。

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：什么特征我们会考虑旋转结构？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？答：类比是解决此类问题的主要方法：字母类比，辅助线类比和思路类比.在这个基础上还有结构类比，做好类比需要把握变化过程中的不变特征．问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？答：旋转结构和中点结构，其中中点结构中包含：（类）倍长中线，平行夹中点，以及中位线．问题3：什么特征我们会考虑旋转结构？答：出现等线段共点时考虑旋转结构．类比探究之结构类比（旋转）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN．（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC，∠A＝∠D，点M，N分别在AD，CD上，若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接第1题）（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF．利用旋转的思想很容易证明DE+BF=EF．如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．则DE，BF，EF之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，当∠ABC与∠ADC满足( )时，可使得上问结论依然成立．A.∠ABC=∠ADCB.∠ABC+∠ADC=180°C.∠ABC=2∠ADC-180°D.∠ABC+2∠ADC=270°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上．连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，容易证明△AMN是等腰三角形．在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形，则在图2中下列说法不正确的是( )A.△ADC≌△AEBB.△CAN≌△BAMC.∠CAM=∠NAED.AM=AN可以通过全等三角形对应边上的对应中线相等来说明答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题6.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作等边三角形ADF（A，D，F按顺时针排列），连接CF．（1）如图，当点D在边BC上时，容易证明AC＝CF+CD，在证明过程中需要用到某对三角形全等，则证明全等时用到的条件是( )A.AASB.ASAC.SASD.SSS答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题7.（上接第6题）（2）如图，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD 之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=CF-2CDD.AC=CF+2CD答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题8.（上接第6，7题）（3）如图，当点D在边CB的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=CF-2CDD.AC=CD-CF答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题主要训练类比探究的处理框架，我们一起来对本套试题进行反思和小结，同学们在做的时候哪些题目有困难？问题2：针对做题时的困难，需要进行反思；主要原因是：①类比不下去；②找不到不变特征；③每一问都不同，不知如何类比．。

【2010•河南22，10】（1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF=DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF ，求ABAD 的值； （3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF ，求ABAD 的值．【2012•河南22，10】类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.（1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH△AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是 ，CG 和EH 的数量关系是 ，的值是 （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若则的值是 （用含的代数式表示），试写出解答过程。

（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC△AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若，则的值是 （用含的代数式表示）.（1）(2)作EH△AB 交BG 于点H ，则 △ △AB=CD ，△ EH△AB△CD ， △△， △CG=2EH △ （3）【提示】过点E 作EH△AB 交BD 的延长线于点H 。

CD CG(0)AF m m BF=>CD CG m ,(0,0)AB BC a b a b CD BE==>>AF EF ,a b 33;2;2AB EH CG EH ==2m EFH AFB ,AB AF m AB mEH EH EF ===CD mEH =BEH BCG 2CG BC EH BE ==.22CD mEH m CG EH ==ab A B【2013•河南22，10】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中△C=90°，△B=△E=30°.（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：△线段DE与AC的位置关系是_________；△设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是________________.（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究：已知△ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC 于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出．．．．相应的BF的长.【2022•青海26，10】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.（1）问题发现：如图15-1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；图15-1图15-2（2）解决问题：如图15-2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断△AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.【2014•河南22，10】（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：（1）△AEB的度数为；（2）线段BE之间的数量关系是。

中招22题 类比、拓展探究题作图微技能1. 如图①，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，点P 为射线BD ，CE 的交点，若把△ADE 绕点A 旋转，请在图②中作出当∠EAC ＝90°时的图形.第1题图2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，当CE ＝BC 时，请在图②中作出△EDC 旋转至A ，D ，C 三点共线时的图形.第2题图3. 如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，E 为AC 上一点，且AE ＝14AC ，过点E 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，连接CD ，分别取DE 、BC 、CD 上中点M ，N ，P ，若△DAE 绕点A 在平面内自由旋转，请在图②中作出当△MPN 面积最大时的图形.第3题图4. 如图①，已知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝12AB ，连接BE ，BD ，CE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 的中点，连接GF ，FH ，GH .将△ADE 绕点A 自由旋转，请在图②③中作出在旋转的过程中GH最大和最小时的图形.第4题图5. 如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，点E、F分别是AB、AC的中点，连接EF.以点A 为旋转中心，将△AEF顺时针转动，连接BE，CF，设直线BE，CF相交于点P，请在图②③中作出当S△PBC面积为最大值和最小值时的图形.第5题图6. 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.请在图②中作出点P到AB所在直线的距离最大时的图形.第6题图7. 如图①，射线OA与OB的夹角为α(0°＜α＜180°)，点P在∠AOB的平分线上，且OP＝a，点M 在射线OA上运动，在射线OB上取一点N，使得∠MPN＋∠AOB＝180°，请在图②中作出△PMN周长的值最小时的图形.。

一、选择题1．如图，在ABC 中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ''△的位置，使得CC //AB '，则BAB '∠=（ ）A ．30B ．35︒C ．40︒D ．50︒2．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝47，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 3．如图，将△ABC 绕点A 旋转，得到△AEF ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABC ≌△AEF ；②AC=AE ；③∠FAB=∠EAB ；④∠EAB=∠FAC ．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．圆D ．五角星5．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．45 7．下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）A ．35︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒9．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 10．如图，将△ABC 绕点C （0，－1）旋转180°得到△A′B′C ，设点A 的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为A ．（3，2）B ．（3，3）C ．（3，4）D ．（3，1） 11．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种12．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D ，E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ACF ，连接DF ，则下列结论中有( )个是正确的． ①∠DAF=45° ②△ABE ≌△ACD ③AD 平分∠EDF ④222BE DC DE +=A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．点()1,2--A 绕点()10B ,旋转180︒得到点C ，则点C 坐标为_______________________．14．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 在CD 边上，1DE =，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE '△，连接EE '，则线段EE '的长为______．15．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．16．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝112°．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．当α为______________度时，△AOD 是等腰三角形？17．如图，在边长为1的正方形网格中，()1,7A ，()5,5B ，()7,5C ，()5,1D .线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.18．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．19．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______________．20．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2．下面四个结论：①BF=22②∠CBF=45°；③∠CED=30°；④△ECD的面积为223，其中正确的结论有_____．(填番号)参考答案三、解答题21．如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．22．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．23．（1）（操作发现）如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得°到△ADE，连接BD，则∠ABD=_______度．（2）（类比探究）如图27的等边三角形ABC内有一点P，∠APC=90°°，∠BPC=120°，求△APC 的面积．24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，1）、B（-3，1）、C（-1，4）．（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A1B1C；（2）画出△ABC关于点P（1，0）对称的△A2B2C2．25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到AB C''．（1）在正方形网格中，画出AB C''；（2）求线段CC'的长度．26．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；②直接写出点B2的坐标为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．【详解】解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠C′CA=∠CAB=75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．2．D解析：D【分析】利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，从而求得GF，即可求解出△AEF的面积，最终即可判断出所有选项．【详解】∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝47，∴BF＝47，AF7，故②正确，③错误，∴GF＝3+47＝257，∴S△AEF＝S△AGF＝12AB×GF＝507，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．B解析：B【分析】由旋转的性质得到△ABC≌△AEF，再由全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】∵△ABC绕点A旋转得到△AEF，∴△ABC≌△AEF，∴AC=AF ，不能确定AC=AE，故①正确，②错误；∵∠EAF=∠BAC，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，∴即∠EAB=∠FAC，但不能确定∠EAB等于∠FAB，故③错误，④正确；综上所述，结论正确的是①④，共2个．故选：B.【点睛】此题考查了旋转的性质.掌握旋转前后的图形全等是解答此题的关键.4．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、五角星是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．B解析：B【分析】设A 的坐标为(,)m n ，根据旋转的性质得到C 是A 和A '的中点，利用中点公式可以求出点A '的坐标．【详解】解：设A 的坐标为(,)m n ，∵A 和A '关于点(0,1)C 对称， ∴02m a +=，12n b +=，解得m a =-，2n b =-+， ∴点A '的坐标2(),a b --+． 故选：B ．【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是利用中点公式求出旋转后的点坐标．6．A解析：A【分析】先利用互余计算出∠BAC ＝30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB ＝2BC ＝2，接着根据旋转的性质得A 'B '＝AB ＝2，B 'C ＝BC ＝1，A 'C ＝AC ，∠A '＝∠BAC ＝30°，∠A 'B ' C ＝∠B ＝60°，于是可判断CA A '为等腰三角形，所以∠CA A '＝∠A '＝30°，再利用三角形外角性质计算出∠B 'CA ＝30°，可得B 'A ＝B 'C ＝1，然后利用A A '＝A B '+A 'B '进行计算．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC ＝2×1＝2， ∵ABC 绕点C 顺时针旋转得到A 'B 'C ， ∴A 'B '＝AB ＝2，B 'C ＝BC ＝1，A 'C ＝AC ，∠A '＝∠BAC ＝30°，∠A 'B 'C ＝∠B ＝60°， ∴CA A '为等腰三角形， ∴∠CA A '＝∠A '＝30°，∵A 、B '、A '在同一条直线上，∴∠A 'B 'C ＝∠B 'AC +∠B 'CA ，∴∠B 'CA ＝60°﹣30°＝30°，∴B 'A ＝B 'C ＝1，∴A A '＝A B '+A 'B '＝2+1＝3．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 7．B解析：B【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点即可解答．【详解】解：根据中心对称图形的概念，可知B 中的图形是中心对称图形，而A 、C 和D 中的图形不是中心对称图形．故选：B ．【点睛】考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．C解析：C【分析】先根据旋转的性质可得,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得A '∠的度数，由此即可得．【详解】由旋转的性质得：,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，90A DC '∠=︒，18055A A DC ACA '''∴∠=︒-∠-∠=︒，55A A '∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 9．D解析：D【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB 、OA 的长，再根据旋转的性质可得,OA OB ''的长，从而可得点,A B ''的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．【详解】在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，12AB =，16,2OB AB OA ∴====，由旋转的性质得：63,6OA OA OB OB ''====，点D 为斜边A B ''的中点， 将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，∴点A 的对应点A '落在x 轴正半轴上，点B 的对应点B '落在y 轴负半轴上，(63,0),(0,6)A B ''∴-，又点D 为斜边A B ''的中点，63006(,)22D +-'∴，即(33,3)D '-， 故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．10．A解析：A【解析】试题分析：根据A 与A′关于C 点对称，设A′的坐标为（a ，b ），可知302a -+=，412b -+=-，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A考点：中心对称11．B解析：B【解析】分析：根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：得到的不同图案有：共5个．故选B ．12．B解析：B【分析】①根据旋转的性质可得出∠BAE=∠CAF ，由∠BAC=90°、∠DAE=45°可得出∠CAD+∠CAF=45°，即可判断①；②根据旋转的性质可得出△BAE ≌△CAF ，不能推出△BAE ≌△CAD ，即可判断②；③根据∠DAE=∠DAF=45°，根据角平分线定义即可判断③；④根据全等三角形的判定求出△AED ≌△AFD ，推出DE=DF ，求出∠DCF=90°，根据勾股定理推出即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°，①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE ，∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确；②由旋转，可知：△ABE ≌△ACF ，不能推出△ABE ≌△ACD ，故②错误；③∵∠EAD=∠DAF=45°，∴AD 平分∠EAF ，故③正确；④由旋转可知：AE=AF ，∠ACF=∠B=45°，∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°，由勾股定理得：CF 2+CD 2=DF 2，即BE 2+DC 2=DF 2，在△AED 和△AFD 中，AD AD EAD DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ，∴BE 2+DC 2=DE 2，故④正确．故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形以及旋转的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．二、填空题13．【分析】过AC 两点向x 轴作垂线构造全等三角形得到CF 和AE 相等BF 和BE 相等即可得到结果【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴过点C 作CF ⊥x 轴∴∠AEB=∠CFB=90°由旋转性质可得AB=BC ∵∠CBF解析：()32，【分析】过A 、C 两点向x 轴作垂线，构造全等三角形，得到CF 和AE 相等，BF 和BE 相等，即可得到结果．【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴，过点C 作CF ⊥x 轴，∴∠AEB=∠CFB=90°，由旋转性质可得AB=BC ，∵∠CBF=∠EBA ，∴△ABE ≌△CFB∴CF=AE ，BF=EB ，又∵EB=2，∴BF=2，CF=2，∴OF=2+1=3，∴C （3，2）故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查旋转变换和三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线证明全等是解题的关键． 14．【分析】先根据正方形的性质可得再根据旋转的性质可得从而可得点在同一条直线上然后根据线段的和差可得最后在中利用勾股定理即可得【详解】四边形ABCD 是正方形由旋转的性质得：点在同一条直线上则在中故答案为 解析：5【分析】先根据正方形的性质可得90,3ABC D C CD BC AB ∠=∠=∠=︒===，再根据旋转的性质可得1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，从而可得点,,E B C '在同一条直线上，然后根据线段的和差可得4E C '=，最后在Rt ECE '中，利用勾股定理即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，90,3ABC D C CD BC AB ∴∠=∠=∠=︒===，1DE =，312CE CD DE ∴=-=-=，由旋转的性质得：1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，180ABC ABE '∴∠+∠=︒，∴点,,E B C '在同一条直线上，134E C BE BC ''∴=+=+=，则在Rt ECE '中，22222425EE CE E C ''=++=， 故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．15．8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明CBF三点在一条直线上又知BF＝DE＝2可得FC的长【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠D＝90°AD＝AB由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°BF解析：8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，∴∠ABF＋∠ABC＝180°，∴C、B、F三点在一条直线上，∴CF＝BC＋BF＝6＋2＝8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE 是解答本题的关键．16．112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD是等边三角形进而可得∠CDO＝∠COD＝60°然后分三种情况根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可【详解】解：∵将△BOC绕点解析：112°或124°或136°【分析】由题意可得△COD是等边三角形，进而可得∠CDO＝∠COD＝60°，然后分三种情况，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理建立方程求解即可．【详解】解：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∠ADC=α，∴△COD是等边三角形．∴∠CDO＝∠COD＝60°，①若AO＝AD，则∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°﹣112°﹣60°﹣α＝188°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴188°﹣α＝α﹣60°，解得：α＝124°；②若OA＝OD，则∠OAD＝∠ADO．∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（188°﹣α+α﹣60°）＝52°，∴α﹣60°＝52°，∴α＝112°；③若OD ＝AD ，则∠OAD ＝∠AOD ．∵∠AOD ＝188°﹣α，∠OAD ＝()180602α︒--︒＝120°﹣2α， ∴188°﹣α＝120°﹣2α，解得：α＝136°． 综上所述：当α为112°或124°或136°时，△AOD 是等腰三角形．故答案为：112°或124°或136°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，全面分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．17．或【分析】连接两对对应点分别作出连线的垂直平分线其交点即为所求【详解】解：如图所示旋转中心P 的坐标为（33）或（66）故答案为（33）或（66）【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图根据旋转的性 解析：()3,3或()6,6【分析】连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．【详解】解：如图所示，旋转中心P 的坐标为（3，3）或（6，6）．故答案为（3，3）或（6，6）．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18．(42)【分析】画出平面直角坐标系作出新的ACBD 的垂直平分线的交点P 点P 即为旋转中心【详解】解：平面直角坐标系如图所示旋转中心是P 点P （42）故答案为：（42）【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转解析：(4，2)【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC ，BD 的垂直平分线的交点P ，点P 即为旋转中心．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P 点，P （4，2），故答案为：（4，2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．19．【分析】由点P 是AB 的中点∠A=60°AC=3cm 可得BP 的长再由逆时针旋转90°根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值就可求出BMMP 的长在Rt △B′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的 解析：94【分析】由点P 是AB 的中点，∠A=60°，AC=3cm 可得BP 的长，再由逆时针旋转90°，根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值，就可求出BM ，MP 的长，在Rt △B ′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长，然后利用S 阴影部分=BNG BPM S S ∆∆-进行计算即可．【详解】如图，∵∠C =90°，∠A =60°，AC =6，∴AB =2AC =6，∠B =30°，∵点P 为AB 的中点，∴BP =3，∵△ABC 绕点P 按逆时针方向旋转90︒得到Rt △A′B′C′，∴B 'P =BP =3，在Rt △BPM 中，∠B =30°，∠BPM =90°，∴BM =2PM ，∴PM BM∴B ′M =B ′P -PM在Rt △B ′MN 中，∠B ′=30°，∴MN =12B ′M =32，∴BN =BM +MN =32+在Rt △BNG 中，BG =2NG ，BG 2=NG 2+BN 2，∴NG =322+，∴S 阴影=S △BNG -S △BMP =13319322224⎛⎛⨯+⨯-= ⎝⎝⎭， 故答案为：94． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．20．①②④【分析】利用旋转的性质得CF ＝CB ＝2∠BCF ＝90°则可得△CBF 为等腰直角三角形于是可对①②进行判断；由于直线DF 垂直平分AB 则FA ＝FBBE ＝AE 于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质解析：①②④【分析】利用旋转的性质得CF ＝CB ＝2，∠BCF ＝90°，则可得△CBF 为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF 垂直平分AB ，则FA ＝FB ，BE ＝AE ，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA ＝∠A ＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF ，从而可对③进行判断；作EH ⊥BD 于H ，如图，根据三角形中位线性质得EH ＝12AC +1，利用旋转性质得CD ＝CA ＝，则利用三角形面积公式可计算出△ECD 的面积，从而可对④进行判断．【详解】∵把Rt △ABC 绕顶点C 顺时针旋转90°得到Rt △DFC ，∴CF ＝CB ＝2，∠BCF ＝90°，∴△CBF 为等腰直角三角形，∴BFBC ＝，∠CBF ＝45°，所以①②正确；∵直线DF 垂直平分AB ，∴FA ＝FB ，BE ＝AE ，∴∠A ＝∠ABF ，而∠BFC ＝∠A +∠ABF ＝45°，∴∠A＝22.5°，∵CE为斜边AB上的中线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；作EH⊥BD于H，如图，∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CD＝CA＝2+22，∵点E为AB的中点，∴EH＝1AC＝2+1，2∴△ECD的面积＝1•（2+1）•（2+22）＝22+3，所以④正确．2故答案为：①②④．【点睛】考查了旋转的性质，旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．三、解答题21．（1）90°；（2）5【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE的度数；（2）根据勾股定理求出AC的长，根据CD＝3AD，可得CD和AD的长，根据旋转的性质可得AD＝EC，再根据勾股定理即可得DE的长．【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCA＝45°＋45°＝90°；（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴2242=+=AC AB BC∵CD＝3AD，∴2AD=32DC=由旋转的性质可知：AD＝EC，∴DE==【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．22．（1）见解析；（2）AE．【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90°，可得结论；（2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解．【详解】（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中，=．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．23．（1）60；（2【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB是等边三角形即可；（2）【类比探究】：如图2中，将△CBP绕点C逆时针旋转60°得△CAP＇，连接PP＇，证明∠APP＇=30°，∠PAP＇=90°，设AP＇=t，表示出AP和PC，利用勾股定理求出t，进而可求出△APC的面积．【详解】解：（1）解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，∴AD=AB，∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，故答案为60．（2）将△CBP绕点C逆时针旋转60°得△CAP＇，连接PP＇，则△PCP ＇为等边三角形，∴∠CPP ＇=∠CP ＇P=60°．∵∠BPC=120°，∠CPP ＇=60°，又∵∠APC=90°，∴∠APP ＇=30°，由旋转得∠AP ＇C=∠BPC=120°，∴∠APP ＇=120°-60°=60°，∴∠PAP ＇=90°，可设AP ＇=t ，则PC=PP ＇=2t ，()222t t -3t ， 在Rt △APC 中，)()222327t t +=，∴t=1，∴3PC=2， ∴S △APC =12332⨯=． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考常考题．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出点A 、B 、C 关于点P 的对称点，再顺次连接可得．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质．25．（1）图见解析；（2）42．【分析】（1）先利用网格特点和旋转的性质画出点,C B ''，再顺次连接点,,A C B ''即可得； （2）利用旋转的性质、勾股定理即可得．【详解】 （1）分以下三步：①先利用网格特点和旋转的性质画出点C '，②再利用旋转的性质可得,90B B A C BC AC CB '=∠'''=∠=︒，由此可画出点B '， ③顺次连接点,,A C B ''即可，如图中AB C ''即为所作：（2）由网格特点和旋转的性质得：4,90AC AC CAC ''==∠=︒，则2242CC AC AC ''=+=，即线段CC '的长度为42【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．26．（1）作图见解析；（2）①作图见解析；②（-3，3）．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；②利用所画图形写出B2点的坐标．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）①画如图，△A2B2C2为所作；②点B2的坐标为（﹣3，3）．故答案为（-3，3）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角．。