第五章：带约束的寻优方法
● 问题：{}
⎩⎨⎧=≥==m i X g X R x x x X X f Min i n ,,2,1,0)(|}
,,,{)(21
● 约束函数：等式约束、不等式约束 ● 内点、外点、边界点
● 约束非线性规划问题：方法：直接处理约束的方法：约束随机法、复合形法 线性规划去逐次逼近非线性规划问题 有约束化为无约束方法：罚函数法（外点、内点）
5.1：有约束最优化问题化为无约束最优化问题的方法（罚函数法）
附加一项修正函数（惩罚、障碍） 外点法：由外点开始寻优收敛至最优解 内点法：由内点开始寻优收敛至最优解 ● 外点法 原理
设
)(X g u i =
⎩⎨
⎧<∞+≥=0
00
)(u u u p 当当 则：
()∑=+=m
i i X g p X f X 1
)()()(ϕ
当R X ∈时，
()0)(1=∑=m
i i
X g p
当R X ∉时，
()+∞=∑=m
i i
X g p 1
)(
()∑=m
i i
X g p 1
)(为惩罚项
则：
{}
⎩⎨
⎧=≥==m i X g X R x x x X X f Min i n ,,2,1,0)(|}
,,,{)(21 )(X Min ϕ⇒ 方法：
()∑=+=m
i i X g p X f X 1
)()()(ϕ，因为当+∞=)(u p 时，数据溢出，因此在其上进行改进
1：取充分大的罚因子
)(X g u i =
⎩⎨⎧<+≥=0
100
)(2
u u u u p 当当
()∑=+=m
i i X g p M X f M X 1
)()(),(ϕ
分析：p (u )不连续，当u =0时，导数不存在。 寻优：只能用直接法，不能用方向加速法。
2：一次外点法（1-UMT ）
)(X g u i =
⎩⎨
⎧<-≥=0
00)(u u
u u p 当当
()
()
∑∑==-=+=m
i i m
i i X g Min M X f X g p M X f M X 1
1)(,0)()()(),(ϕ
分析：p (u )连续，但不可微。 寻优：只能用直接寻优法
3：外点罚函数法
)(X g u i =
⎩⎨⎧<≥=0
00)(2
u u
u u p 当当
()
()[]
∑∑==+=+=m
i i m
i i X g Min M X f X g p M X f M X 1
2
1)(,0)()()(),(ϕ
分析：p (u )连续，又可微。 寻优：可以用直接寻优法和间接寻优法。 M 的选取 取01>M ，若R M X ∉)(1，说明1M 不够大
再取12M M >，若R M X ∈)(1，则停止迭代
迭代步骤：
1：取01>M ，给定允许误差0>ε，令k =1 2：求无约束问题
()[])
,()(,0)(),(12k k m
i i k k E X M X X g Min M X f Min M X Min n
ϕϕ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+=∑=∈
的最优解，设为)(k k M X X = 3：判断 若存在)1(,m j j ≤≤使得
ε≥-)(k i X g
则取k k M M >+1（如取k k aM M =+1，a=10），令k =k +1，转向2
否则迭代停止，得到k X X ≈min
迭代框图
内点法（障碍函数法）
原理： 在可行域R 的边界上，设一道障碍，迭代到边界则自动碰回（障碍），保证迭代在可
行域内。
方法：
障碍函数：∑=m
i i X g r 1)
(1
障碍因子：r
新目标函数：∑=+=m
i i
X g r
X f r X 1)(1
)(),(ϕ
当迭代点趋近R 的边界时，0)(→X g i ，+∞→)
(1
X g i
则：
+∞→),(r X ϕ
逐次求解：0lim 0
21=>>>>∞
→k k k r r r r
则： 0)
(1
lim 1
=∑
=∞
→m
i i k X g
)(),(lim X f r X k =∞
→ϕ
惩罚逐步消失 迭代步骤
1：给定允许误差0>ε，取01>r ，k r 的缩小率0>β 2：求出可行域R 的一个内点R X ∈0
，令k =1 3：以R X k ∈-)
1(为起始点，对),(k r X ϕ在保持对于R 的可行性前提下，求无约束优化问题
),(),(k k k R
X M X M X Min ϕϕ=∈
的最优解，其中，R r X X k k ∈=)( 4：检验是否满足收敛性判别准则
ε≤--1k k X X
或
ε≤--)()(1k k X f X f
或
ε≤--)
()
()(1k
k k X f X f X f 若满足，则可以停止迭代，得到k
X X ≈min ，否则，取k k r r β=+1，令k =k +1转向3 迭代框图
