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第八章单变量函数的寻优方法

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一维搜索的最优方法(黄金分割法)

一维搜索的最优方法(黄金分割法)

( 1 )＝ ( 2 )＝0.264， f1＝－1.125
新点 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.354, f 2＝f ( ( 2 ) ) ＝-1.103 (4) 比较函数值，缩短搜索区间 f1 f 2 a 0.118, b ( 2 ) 0.354 判断迭代终止条件: b - a 0.354 0.118 0.236 继续缩短
区间为[a, b] [－0. 5,0.5]，取迭代精度＝0.15。
解：(1) 在初始区间[a, b]内取点并计算函数值。
( 1 )＝b 0.618( b a )＝ 0.118, f1＝f ( ( 1 ) ) ＝－0.854 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.118,
( 1 )＝b 0.618( b a ) ( 2 )＝a 0.618( b a )
计算f ( ( 1 ) )和f ( ( 2 ) )，令f ( ( 1 ) ) f1 , f ( ( 2 ) ) f 2
( 2 ) 比较函数值，缩小搜索区间 a. f1 f 2 ,则丢掉区间( ( 2 ) ,b ] 部分，取[ a , ( 2 ) ]为 新区间[ a1 , b1 ],在计算中作置换：
(2)+h (3)。计算（ ），令（ ） f3 f f
(3) (3)
(1) 若f 3 f1，则[a,b]=[(3) ,(2)]，停止计算。 (2) 若f 3 f1，则 2h h，(2) (1)，f 2 f1，
(3) (2)，f 3 f 2 (2) h (3)，计算（ ），令（ ） f3 , f f
h 2 1 2 1＝ 2＝1,
2＝ 3＝2 , 3＝ 2 h＝4

单变量函数的优化方法

单变量函数的优化方法
22
2019/11/23
MATLAB程序实 现
23
OPT4t4chazhifa.m
X X k tpk
其中 t 为步长因子，为实系数，此时pk方向上任何一点的目标函 数值为 f ( X k tpk ) ，它是参数 t 的一元函数。那么在沿pk方向 求 f (X ) 的极小点，这就是求一元函数 f (Xk tpk ) 的极小问题， 它可表示为：
t : min f ( X k tpk )
为缩短后的搜索区间。 为缩短后的搜索区间。
思考： 2、3两中情况为何写在一起 ？
2019/11/23
13
第三节 黄金分割法
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试 探方法。
基本思想是： 在搜索区间内[ a, b ]适当插入两点a1、a2 ，将区间
分成三段，然后利用区间消去法，使搜索区间缩小，通 过迭代计算，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点处 函数值近似解。
2019/11/23
19
4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够精度： 如果收敛条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点
的数值近似解。如果条件不满足则转向步骤 5）；
5）产生新的插入点：
如N0=0，则取 1 a 0.382(b a), f1 f (1) 如N0=1，则取 2 a 0.618(b a), f2 f (2 )
数值f1 f (1) f2 ， f (2 )
；
2019/11/23
18
3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。
为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保 留区间中计算一个新的试验点及其函数值。
如果：f1 f2 如果：f1 f2

第八章单变量函数的寻优方法

第八章单变量函数的寻优方法

α λμ β αλ
13
8.2牛顿法
牛顿法（切线法）的基本思想是： 在极小点附近用二阶泰勒（Taylor) 多项式近似目标函数，进而求出极小 值点的估计值。
14
一、牛顿法（Newton）基本原理
15
用qk(λ)作为ф(λ)的近似，当ф″(λk) > 0时， 其驻点为极小点：
q′k(λ)= ф′(λk) +ф″(λk)(λ- λk )=0
矛盾（条件）；
于是结论成立。 2 °的证明类似（略）。
注：上述定理为缩短区间的算法提供了理论根据。
10
2、黄金分割法（0.618 法）
通过上述定理，选二点λ<μ ,比较ф (λ) 与ф (μ ),可去掉[α ,λ]或
者[μ ,β].考虑条件：
1°对称： λ- α= β- μ
……①
（使“坏”的情况去掉，区间长度不小于“好”的情况）
整理② ： μ =α +t(β -α )
λ = α +t(μ -α )
结合①式：t2+t-1=0
故 t≈0.618
t 1 5(舍去负)值
注意 上式有 t2=1-t , 故有 2
μ =α +t(β -α )
λ = α + （1-t）(β -α )
（算法框图见下页）
12
黄金分割法（0.618 法）（算法）
α λ μβ
αλ μ
β
9
Proof. 1°反证：设
λ* ∈[α,β]为极小点，γ∈[α,λ]及γ﹤λ﹤λ*，使ф (γ)<ф (μ )<ф (λ)，
若λ* ∈[λ ,β]，由定义ф (γ)>ф (λ)，矛盾（假设）； 若λ* ∈[α ,λ），由定义及μ >λ ≥λ*， ф(μ )>ф (λ),

寻优算法的目标函数

寻优算法的目标函数

寻优算法的目标函数导言寻优算法（Optimization Algorithm）是一种用于求解优化问题的计算方法。

它通过不断调整问题的解，使得目标函数的取值尽可能接近最优解。

目标函数（Objective Function）是寻优算法中的核心概念，它用于衡量问题的解的质量和优劣程度。

本文将会对寻优算法的目标函数进行全面而深入的探讨，包括目标函数的定义、性质、分类以及设计方法等方面。

目标函数的定义目标函数是指在优化问题中用于评价各个解的一个函数。

根据问题的具体情况，目标函数可以是一个标量函数，也可以是一个向量函数。

标量函数的取值是一个实数，用于表示解的优劣程度。

向量函数的取值是一个向量，其中每个分量表示解在不同方面的优劣程度。

在寻优算法中，目标函数通常由用户定义，根据问题的要求和限制，通过数学方法进行建模。

目标函数的定义需要满足以下几个要求：1.目标函数应能准确地衡量解的质量，能够将问题的约束条件和目标要求统一起来。

例如，在旅行商问题中，目标函数可以是旅行商的总行驶距离，通过最小化这个距离来求解最优路径。

2.目标函数应具备可计算性，能够通过解的参数计算出其对应的目标函数值。

目标函数的计算过程应该高效，并且能够容易地被寻优算法调用。

3.目标函数应具有连续性和光滑性，以便寻优算法能够通过局部搜索等技术找到全局最优解。

在某些情况下，目标函数可能具有非连续性和不可导性，这时需要使用特殊的寻优算法和技术。

目标函数的性质目标函数在寻优算法中起着至关重要的作用，它的性质决定了寻优算法的效果和可行性。

目标函数的主要性质包括：单调性如果目标函数是单调的，那么在解空间中，解的质量和目标函数值之间存在一一对应的关系。

这样的情况下，寻优算法可以通过比较目标函数值来选择更优的解。

单调性是目标函数的一种重要性质，如果目标函数不是单调的，寻优算法需要使用其他策略来进行搜索。

凸性如果目标函数是凸的，那么在解空间中，解的质量和目标函数值之间存在凸性关系。

chap8单变量函数的寻优方法

chap8单变量函数的寻优方法

4
《维特鲁威人》 维特鲁威人》
5
• 维特鲁威是公元1世纪初一位罗马工程师的姓氏， 他的全名叫马可·维特鲁威。当时他写过一部建筑 学巨著叫《建筑十章》，其内容包括罗马的城市 规划、工程技术和建筑艺术等各个方面。 • 由于当时在建筑上没有统一的丈量标准，维特鲁 威在此书中谈到了把人体的自然比例应用到建筑 的丈量上，并总结出了人体结构的比例规律。此 书的重要性在文艺复兴时期被重新发现，并由此 点燃了古典艺术的光辉火焰。 • 在这样的背景下，达·芬奇为此书写了一部评论， 《维特鲁威人》就是他在1485年前后为这部评论 所作的插图。准确地说，这是一幅素描，画幅高 34厘米，宽25厘米。问世以来，一直被视为达·芬 奇最著名的代表作之一，收藏于意大利威尼斯学 院。
b7 − a 7 = 0.111 < 0.16 ，满足精度要求，极小 点 所 在 区 间 为 [0.168,0.279] ， 取 1 x = (0.168 + 0.279) = 0.23 。实际上，问题 2 * 的精确解 x = 0.25 。计算过程见表 6-1。
黄金分割法又称0.618法
12
黄金分割法（0.618法）的计算步骤如下： 黄金分割法（0.618法 的计算步骤如下：
要保证函数在该区间上是单峰的） （1） 确定初始区间 [a1 , b1 ] （要保证函数在该区间上是单峰的）及精度要
（2 ） （3 ）
′ ′ 求 ε > 0 ，并按公式计算试点 x1 和 x1 及其函数值 f ( x1 ) 和 f ( x1 ) 。 =1。 令 k =1。 ′ 比较： 转第（ 转第（ 比较：当 f ( xk ) > f ( x′ ) 时，转第（3）步；当 f ( xk ) ≤ f ( xk ) 时，转第（4）步。 k

《一维搜索方法》课件

《一维搜索方法》课件

02
线性搜索
线性搜索的定义
线性搜索是一种基本的搜索算法，它 从列表的第一个元素开始，逐个检查 每个元素，直到找到目标元素或遍历 完整个列表。
在线性搜索过程中，我们假设列表中 的元素是按顺序排列的，并且我们不 知道目标元素的确切位置，只知道它 存在于列表中。
线性搜索的步骤
初始化
选择一个起始位置，通常为列表的第一个元素。
抛物线搜索的步骤
3. 比较中间元素与目标值
2. 计算当前区间的中间元 素。
1. 初始化当前搜索区间为 整个数组。
01
03 02
抛物线搜索的步骤
01 如果中间元素等于目标值，返回该位置。
02
如果目标值小于中间元素，将左半部分区 间作为新的当前区间。
03
如果目标值大于中间元素，将右半部分区 间作为新的当前区间。
04
4. 重复步骤2和3，直到找到目标值或当前 区间为空。
抛物线搜索的时间复杂度
最坏情况下，抛物线搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为数 组长度。
平均情况下，由于每次比较都可以将搜索区间缩小一半，因 此时间复杂度为O(log n)。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
的单峰函数。
一维搜索方法的重要性
解决实际问题
一维搜索方法广泛应用于各种实 际问题中，如参数优化、函数逼 近、插值等。
算法基础
一维搜索方法是许多算法的基础 ，如梯度下降法、牛顿法等都需 要用到一维搜索方法来寻找迭代 步长。
理论分析
一维搜索方法在数学分析中也有 重要应用，如中值定理、单调函 数性质等都需要用到一维搜索方 法。
常用的一维搜索方法
线性搜索

常用的优化方法和优化函数

常用的优化方法和优化函数优化方法和优化函数是在解决问题时常用的数学工具和方法。

优化是一种数学问题，目标是找到一些函数的最优解或近似最优解。

一、优化方法：1.初等方法：初等方法是最直接的一种优化方法，包括插值法、拟合法、曲线拟合法等，通过数学公式来估计函数的取值。

2.单变量优化方法：单变量优化方法是对单一变量进行优化的方法，常见的有二分法、黄金分割法和牛顿迭代法等。

这些方法适用于单调函数和凸函数的优化问题。

3.多变量优化方法：多变量优化方法是对多个变量进行优化的方法，常见的有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。

这些方法适用于非线性函数的优化问题。

4.线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，通过线性函数和线性约束来确定最优解。

线性规划问题可以通过单纯形法或内点法求解。

5.整数规划：整数规划是一种在决策变量为整数时的优化方法，常用的算法有分支界限法、整数规划近似算法等。

6.动态规划：动态规划是一种将复杂问题分解为简单子问题的方法，通过递推关系求解最优解。

常用的动态规划算法有最短路径算法、背包问题算法等。

7.模拟退火算法：模拟退火算法是一种通过模拟物质在退火过程中的行为来进行全局的算法。

它能够在一定程度上跳出局部最优解，常见的变种有遗传算法和粒子群优化算法等。

8.遗传算法：遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化算法，通过模拟自然界的进化过程来优化问题。

它常用于求解复杂的问题，如函数逼近、组合优化等。

9.神经网络：神经网络是一种通过模拟神经元之间的连接和传输信息来建立模型的方法。

通过训练网络参数，可以实现优化目标函数。

二、常用的优化函数：1. Rosenbrock函数：Rosenbrock函数是一个经典优化函数，用于测试优化算法的性能。

其函数形式为 f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2，目标是找到函数的全局最小值。

2. Ackley函数：Ackley函数是另一个经典的优化函数，用于测试优化算法的鲁棒性。

单变量函数的优化方法

感谢您的观看
虽然单变量函数优化方法具有较 高的算法效率，但仍有优化的空 间。未来的研究可以致力于改进 现有的单变量函数优化算法，提 高其求解速度和精度。
应用拓展
目前单变量函数优化方法的应用 领域还有限，未来可以进一步拓 展其应用范围，将其应用到更广 泛的领域中，如机器学习、数据 挖掘、图像处理等。
THANKS FOR WATCHING
函数的性质包括连续性、可导性、奇偶性、周期性等，这些性质对于函数的优化 和求解非常重要。
单变量函数的特性
单变量函数是指自变量只有一个的函数，其图像为平面上的曲线。
单变量函数具有一些特性，如单调性、极值点、拐点等，这些特性对于函数的优化和求解同样重要。
03 单变量函数的优化方法
导数法
导数法是一种基于函数导数来寻找函数极值的方法。通过求导数，可以判 断函数的单调性，进而确定函数的极值点。
计算复杂度
黄金分割法的计算复杂度相对较低，因为它不需要计算函数的导 数值。
插值法与其他方法的比较
适用范围
插值法适用于已知离散数据点的情况，而其他方法可能适用于更广 泛的情况。
计算复杂度
插值法的计算复杂度相对较低，但其他方法可能在某些情况下具有 更低的计算复杂度。
精度和稳定性
插值法在处理离散数据点时具有较高的精度和稳定性，但在处理连续 函数时可能不如其他方法精确和稳定。
06 结论
单变量函数优化方法的重要性
实际应用
单变量函数优化方法在许多实际问题中都有广泛应用，如数学建模、工程设计、经济分析等。通过对单变量函数进行 优化，可以找到函数的最大值或最小值，从而解决实际问题中的最优化问题。
理论价值
单变量函数优化方法是数学优化的一个重要分支，其理论研究对于数学的发展和深化具有重要意义。通过对单变量函 数优化方法的研究，可以促进数学理论的发展和进步。

数学建模案例之单变量最优化

数学建模案例之单变量最优化生猪的最佳销售时间问题1：一头猪重200磅（1磅=0.454公斤），每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。

猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降0.01美元，求出售猪的最佳时间。

1．问题分析与假设、符号说明涉及的变量：猪的重量w（磅），饲养时间t≥０（天），t天内饲养猪的化费Q（美元），猪的市场价格p（美元/磅），售出生猪所获得的总收益R（美元），我们最终获得的净收益C（美元）。

涉及的常量：猪的初始重量200（磅），饲养每天的花费0.45（美元），生猪每天的增加重量s（磅），当前的市场价格0.65（美元），生猪价格每天的下降比例系数r。

变量之间的联系：假设1：猪的重量从初始的200（磅）按每天s=5（磅）增加，于是有关系：w（磅）=200（磅）+s（磅/天）×t（天）假设2：当前的市场价格0.65（美元/磅），生猪价格每天的下降比例系数r=0.01，那么出售时生猪的价格为：p（美元/磅）=0.65（美元/磅）- r（美元/磅.天）×t（天）因此，我们有如下关系式：饲养生猪的总的费用为：Q（美元）＝0.45（美元／天）×t（天）售出生猪时获得的总收益为：Ｒ（美元）＝ｐ（美元／磅）×ｗ（磅）最终获得的净收益为：C（美元）＝Ｒ（美元）－Q（美元）当生猪卖出时获得最大净收益的时间即为最佳出售时间，因此原问题转换成数学表述就是求Ｐ达到最大时的时间t≥0，其中P的表达式为：=-=⨯-⨯=-+-C t R t Q t p w t rt st t()()()0.45(0.65)(200)0.452．建立数学模型根据前面的分析，原问题的数学模型如下：max ()..()(0.65)(200)0.45,0C t s t C t rt st t t =-+-≥ （1.1）其中，r ，s 为模型参数，此处取值为s=5，r=0.01。

3．模型求解当s=5，r=0.01时，这是一个单变量t 的函数的最优化问题，而且()C t 是一个连续可微的函数。

第二讲 单变量最优化


明确问题：
假设短期内汽油的需求和价格是常数，公司希望最大化 利润，或最小化成本。
考虑如下问题：每个加油站在保证持有足够多的汽油满 足顾客需求的前提下，使每天平均的送货和库存持货成 本最小（假设其余成本不受送货数量和送货时间的影 响）。直观上看，这样的最小成本是存在的。
基本假设：
1) 汽油价格相对稳定（生产能力相对于需求为无穷大） 2) 不允许缺货 3) 需求率为常数r 4) 生产准备费每次为d，单位产品日储存费为s
0.08
0.1
0.12
0.14
g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%.
稳健性分析
即使该模型不完全精确，由其导出的 结果也是正确的，或者说，足够近似 从而可以在实际问题中应用。
假设猪的重量w和价格p都是时间的线性函数，这是现实 情况的简化。
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
日平均成本=f(储存费用，送货费用，产品需求率)
模型建立：
子模型： 储存费用 送货费用 需求 （连续化）q来自每个周期的费用Q
T
一个库存周期
斜率为-r
T2 Q d s T d sr 2 2
t
日平均费用
d srT c T 2
2d 模型求解： T sr
*
EOQ
2dr Q s
目标：求Q的最大值
选择建模方法 建立模型：
Q R C pw 4t (8 0.1t )(80 2t ) 4t 2 Max Q( t ) 0.2t 4t 640
t 0
求解模型：
解得全局极大值点
t * 10
回答问题： 用非技术性语言表述，避免使用数学符号和术语
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2°保持缩减比 t=(保留的区间长度／原区间长度) 不变。
（使每次保留下来的节点， λ或 μ，在下一次的比较中成为 一个相应比例位置的节点 ）。
推导缩减比 t : 如图设第一次保留[α, μ] (去掉[μ, β]),那么第二
次保留的长度为[α, λ],则
α
λμ
β t(2)
11
2、黄金分割法（0.618 法）（续）
整理② ： μ =α +t(β -α )
λ = α +t(μ -α )
结合①式：t2+t-1=0
故 t≈0.618
t 1 5(舍去负)值
注意 上式有 t2=1-t , 故有 2
μ =α +t(β -α )
λ = α + （1-t）(β -α )
（算法框图见下页）
12
黄金分割法（0.618 法）（算法）
初始[α,β], ε>0
t ( 51)/2
λ = α + （1-t）(β -α )
μ =α +t(β -α )
α λμ β
μβ
Β= μ, μ= λ
λ = α + （1-t）(β -α ) No
yes β -α <ε?
No
Ф（λ）-Ф（μ）>0?
yes
STOP; λ* =(α+β)/2
α= λ, λ = μ μ =α +t(β -α )
α λ μβ
αλ μ
β
9
Proof. 1°反证：设
λ* ∈[α,β]为极小点，γ∈[α,λ]及γ﹤λ﹤λ*，使ф (γ)<ф (μ )<ф (λ)，
若λ* ∈[λ ,β]，由定义ф (γ)>ф (λ)，矛盾（假设）； 若λ* ∈[α ,λ），由定义及μ >λ ≥λ*， ф(μ )>ф (λ),
k
λkф′ (λk)110.7854
2
-0.5708
-0.5187
3
0.1169
-0.1164
4
-0.001095 -0.001095
λ4≈ λ* =0 取λ1=2，计算结果如下：
1／ф″(λk ) 2
1.3258 1.0137
18
Newton法计算结果：
k
λk
1
2
ф′ (λk) 1.1071
2
-3.5357
得到：
λk +1=λk –ф’(λk) /ф’’(λk) 取λk +1为新的迭代点。 以上过程即Newton法。
特点：二阶、局部收敛。 （算法框图见下页）
16
Newton法算法框图：
初始λ1,ε1, ε2 >0 k=1
N
停，失败
︱ ф′ (λk ) ︱<ε1?
y
N
ф″(λk ) >0?
Y
λk +1= λk - ф′ (λk ) ／ ф″(λk )
则称φ(λ)在[α, β] 上单峰。
α λ* λ1λ2 β 强单峰
α λ*
β
单峰 8
定理：设Ф：R→R 在[α，β ]上单峰，α≤λ＜μ≤ β 。那么
1°若Ф(λ)≥ Ф(μ)，则Ф(ρ)≥Ф(μ)， ρ ∈[α，λ]；如左下图
2°若Ф(λ)＜ Ф(μ)，则Ф(ρ)≥Ф(λ)， ρ ∈[μ ， β]；如右下图
2
f(b1) f(a1)
f(vk) f(uk)
uk=ak+0.382(bk-ak)
a1
uk vk
b1
3
f(b1) f(a1)
f(vk) f(uk)
uk=ak+0.618(bk-ak)
a1
uk vk
b1
4
Step2 若f(uk)>f(vk),则令 ak+1 = uk和bk+1= bk
否则令 ak+1 = ak和bk+1= vk Step3 令k+1 k,转Step1
第八章单变量函数的寻优方法
黄金分割法（0.618法）
Step0 给定容许最终不确定区间长度 为l >0，初始区间[a1,b1 ],令k=1,进 入Step1
Step1 若 bk- ak<l,则停算,极小点x* [ ak,bk ] 否则计算 f 在 uk=ak+0.382(bk-ak) vk=ak+0.618(bk-ak) 的值。
α λμ β αλ
13
8.2牛顿法
牛顿法（切线法）的基本思想是： 在极小点附近用二阶泰勒（Taylor) 多项式近似目标函数，进而求出极小 值点的估计值。
14
一、牛顿法（Newton）基本原理
15
用qk(λ)作为ф(λ)的近似，当ф″(λk) > 0时， 其驻点为极小点：
q′k(λ)= ф′(λk) +ф″(λk)(λ- λk )=0
7
若对任意λ1 ,λ2, α≤ λ1 < λ2 ≤β满足：
1º若λ2 ≤ λ* ，则φ(λ1) > φ(λ2); 2º若λ1 ≥λ* ，则φ(λ1) <φ(λ2). 则称φ(λ)在[α, β] 上强单峰。
若只有当φ(λ1) ≠φ(λ* )， φ(λ2) ≠φ(λ* )时，上述1º, 2º式才成立，
矛盾（条件）；
于是结论成立。 2 °的证明类似（略）。
注：上述定理为缩短区间的算法提供了理论根据。
10
2、黄金分割法（0.618 法）
通过上述定理，选二点λ<μ ,比较ф (λ) 与ф (μ ),可去掉[α ,λ]或
者[μ ,β].考虑条件：
1°对称： λ- α= β- μ
……①
（使“坏”的情况去掉，区间长度不小于“好”的情况）
-1.2952
3
13.95
不收敛。
1／ф″(λk ) 5 13.50
19
8.3 抛物线逼近法
停；解λk
k=k+1
Y
| λk +1-λk |< ε2
N
17
二、牛顿法（Newton）例题
Ex. 求 min ф(λ)= arctan t d t
0
解： ф′ (λ) =arctan λ , ф″(λ)=1／(1+ λ2)
迭代公式： λk +1= λk - (1+ λ2) arctan λk 取λ1= 1，计算结果：
5
8.1 黄金分割法
一元函数求极小值及线性搜索均为一维搜索。常 用于求：
min f(x(k)+ d(k))=φ(λ)
s.t. λ∈S
S有3种情况（-∞，+∞）或（0， +∞ ）或[a,b] 一、缩小区间的精确一维搜索：考虑问题(P)
min φ(λ) s.t. λ ∈[α, β] φ (λ):R→R 1、不确定区间及单峰函数
△不确定区间： [α, β]含φ(λ)的最小点，但不知其位 置
6
定义：设φ： [α, β] →R， λ* ∈[α, β] 是φ在
[α, β] 上的极小点 ，若对任意λ1 ,λ2, α≤ λ1 < λ2 ≤β满足： 1º若λ2 ≤ λ* ，则φ(λ1) > φ(λ2); 2º若λ1 ≥λ* ，则φ(λ1) <φ(λ2). 则称φ(λ)在[α, β] 上强单峰。