中考数学压轴题总结（动点）
（一）因动点产生的相似三角形问题
例1,已知抛物线的方程Cl： y =-丄（X+2）（X-/H）伽＞0）与X轴交于点B、C,与y m 轴交于点￡,且点B在点C的左侧.
（1）若抛物线C1过点M（2,2）,求实数加的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求出点H 的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与ABCE相似？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.
思路点拨
1.第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH+EH最小.
2.第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作ZCBF=ZEBC=45° ,或者作BFHEC.再用含加的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程.
满分解答
（1）将M（2, 2）代入y = 一~ （兀+2）（兀-加）,得2 = -■ x4（2-/w）.解得加=4.
m tn
（2）当加=4 时,y =—丄（兀+2）（兀一4） = --x2+-兀+ 2?所以C（4,0）,
E（0,2）?
4 4 2
所以S HBCE=—BC-OE = — x6x2 = 6*
2 2
（3）如图2,抛物线的对称轴是直线兀=1,当H落在线段EC上时，BH+EH最小. 设对称轴与兀轴的交点为P，那么竺=竺.
CP CO
因此HL = l.解得HP 丄所以点H的坐标为（1,丄）?
3 4 2 2
（4）?如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF丄x轴于F.
由于ZBCE=ZFBC,所以当￡色=竺，即BC2=CE BF吋，/XBCEs'FBC.
CB BF
设点F 的坐标为(兀,-丄(x + 2)(x -〃?))
m 解得x=m+2.所以F (加+2,0).
由 BC —CE BF,得（加 + 2严=+ 4%
（加
+ 勺+ 4 m
②如图4,作ZCBF=45°交抛物线于F,过点F 作FF 丄x 轴于F, 由于ZEBC=ZCBF,所以匹=—,即 BC 2
= BE BF 时，HBCEs^BFC.
BC BF
在 RtABFF 中,由 FF=BF,得丄（x + 2）（x-m ） = x+2 .
m
解得 x=2m.所以 F （2加,0）?所以 BF'=2加+2, BF = ^2（2m+2）.
由 BC2 = BE BF,得(m+2)2
=2y/2x^2(2m+2).解得血= 2±2血. 综合①、②，符合题意的加
为2 + 2A /2 .
例2,抛物线经过点人(4, 0)、B (1, 0)、C (0, -2)三点.
(1) 求此抛物线的解析式； (2) P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM 丄兀轴，垂足为M,是否存在点P,使得以 A 、P 、M 为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不 存在，请说明理由；
(3) 在直线AC 上方的抛物线是有一点D,使得△DC4的面积最大，求出点D 的坐标.
由算唱
由耳旦 CE BF
"2 + 4
V m 2
+4 BF
所以= 虽症
m
得
思路点拨
1. 已知抛物线与兀轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.
2. 数形结合，用解析式表示图彖上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.
3. 按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.
4. 把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于0A.
满分解答
(1 )因为抛物线与x 轴交于A(4, 0)、B (1, 0)两点，设抛物线的解析式为 y = tz(x-l)(x-4),代入点
C 的坐标(0, -2),解得G =-丄.所以抛物线的解析式为
1
1 9 5
y =——(兀一 1)(兀 一 4)=——兀一 +-X-2.
2 2 2
(2)设点P 的坐标为(匕一丄(兀_1)(兀_4))?
2
① 如图2,当点P 在兀轴上方时，1＜兀＜4, PM =-!(%-l)(x-4) , AM = 4-x. 此时点P 的坐标为(2, 1).
② 如图3,当点户在点A 的右侧时，兀〉4, PM =l(x-l)(x-4) , AM =x-4.
解方程 ------------- =2,得兀=5.此时点P 的坐标为(5-2).
x-4
-(x-l)(x-4)
解方程 -------------- 得x = 2不合题意.
x-4 2
解方程
=2,得x = -3.此时点P 的坐标为(一3厂14)?
—(x-l)(x-4)
|
解方程 -------------- =-,得x = 0.此时点P 与点O 重合，不合题意.
4-x 2 综上所述,符合条件的点P 的坐标为(2, 1)或(-3-14)或(5,—2).
那么
一"解得心不合题意.
PM CO
(3)如图5,过点D 作兀轴的垂线交AC 于E.直线AC 的解析式为y = *兀一2.
设点￡>的横坐标为m (1 < m < 4),那么点D 的坐标为(加，-丄m 2 + —m-2),点E 的
2 2
1
1 9
5
1 1 9 坐标为(?所以 DE =(——m"
(— m - 2)=——+ 2m . 2
2 2
2 2
当m = 2时，△DC4的面积最大，此时点D 的坐标为(2, 1).
(二) 因动点产生的等腰三角形问题
例3,抛物线y =aj?+bx+c 经过A(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线/是抛物线的对 称轴.
(1) 求抛物线的函数关系式；
(2) 设点P 是直线/上的一个动点，当△〃C 的周长最小时，求点P 的坐标；
(3) 在直线/上是否存在点M,使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由?
因此S2AC
*( 一却+2心—3+4.
思路点拨
1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上吋的周长最
小.
2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(T,0)、3(3,0)两点，设心+1)9—3),
代入点C(0,3),得一3a=3.解得a= — {.
所以抛物线的函数关系式是y = —(兀+1)(兀一3) = —疋+ 2兀+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=\.
当点P落在线段BC上时，PA + PC最小，△必C的周长最小. 设
抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由BO=CO,得PH=BH=2.
BO CO
所以点P的坐标为(1,2).
图2
(3)点M 的坐标为(1,1)、(1,乔)、(1,-亦)或(1,0).
考点伸畏
第(3)题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,加)?
在△MAC 屮，AC2=10, MC*2=1+伽一3几A/A2=4+w2.
①如图3,当MA=MC时，M^=MC2.解方程4+/?2= 1+(/??-3)2,得m=\.
此时点M的坐标为(1, 1).
②如图4,当AM=AC时，AM—AC2.解方程4+//=10,得m = 土氏?
此时点M的坐标为(1,舲)或(1,_衙).
③如图5,当CM=CA时，CM2 = CA2.解方程1 +(加一3尸=10,得加
=0或6. 当M(l,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点
M的坐标为(1,0).
例4,点人在x轴上，04=4,将线段04绕点O顺时针旋转120°至0B的位置.
(I )求点B的坐标；
(2)求经过A、0、B的抛物线的解析式；
(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、0、3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理rh.
图1
1.用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验.
2.本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起.
满分解签
(1)如图2,过点B作BC丄y轴，垂足为C.
在RtAOBC 中，ZBOC=30° , 0B=4,所以B C=2, OC = 2x/3 .
所以点B的坐标为(-2,-2石).
(2)因为抛物线与x轴交于0、A(4,0),设抛物线的解析式为y=ox(x—4), 代入点
B(_2,—2Q), -2^3 =x(-6).解得a = _週.
6
所以抛物线的解析式为尸一血班—4) = -￥〒+苹兀.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,)，).
①当0P=0B=4 时，0尸=16.所以4+/=16.解得y = ±2y/3.
当P在(2,2>/3)吋，B、0、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4 时，B 尸=16.所以42+(y+2>/3)2=16.解得y]=y2=-2y[3 -
③当PB=PO 时，PB2=PO2.所以42+(^ + 2>/3)2=22 + /.解得y = -2y/3 ?综合①、②、③，
点P的坐标为(2,-2巧)，如图2所示.
考盍伸駄
如图3,在本题中，设抛物线的顶点为D,那么△DO4与△O4B是两个相似的等腰三角形.
由y = 心_4)= -逅(兀-2尸+迹，得抛物线的顶点为D(2,
6 6 3
因此tan ADO A = - ?所以ZDOA = 30° , ZOD4=120° .
3
(三)因动点产生的直角三角形问题
例5：在平面直角坐标系屮，反比例函数与二次函数y=k^+x~\)的图象交于点A(1,Q 和点B(—l, — Q?
(1)当k=~2时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求￡应满足的条件以及兀的取值范围；
(3)设二次函数的图象的顶点为0当△AB0是以AB为斜边的直角三角形时，求R 的值. 思路点拨
1.由点A(1,Q或点B(T, — k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y =-.题目
x
中的比都是一致的.
2.由点A(1Q或点的坐标还可以知道，A、B关于原点0对称，以AB为直径的圆的圆心就是0.
3.根据直径所对的圆周角是直角，当0落在OO上是，ZBQ是以AB为直径的直角三角形. 满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点A(1,Q,所以反比例函数的解析式是y = ±.
当k=~2吋，反比例函数的解析式是y .
X
(2)在反比例惭数y =-中，如果y随x增大而增大,
X
那么k<0.
当￡V0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随兀增大而增大.
抛物线y =饥？ +兀+ 1）=比（兀+丄尸-汶的对称轴是直线
2 4
丄?图1 2
所以当后0且x v -*时，反比例函数与二次函数都是y随兀增大而增大.
（3）抛物线的顶点Q的坐标是（一丄，一丄灯，A、B关于原点O中心对称，
2 4
当OQ=OA = OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形.
由o（22=OA2,得冷y +（一討2才+疋
解得k. =-73 （如图2）, =--73 （如图3）.
3- 3
考盍伸爰
如图4,已知经过原点0的两条直线AB与CD分别与双曲线y=- （Q0）交于A、B X
和C、D,那么A3与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形.
问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？
如图5,当4、C关于直线〉=兀对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形.
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以0A与0C无法垂直，因此四
边形ABCD不能成为正方形.
例6,已知抛物线y=x 2
+hx+c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交 于点C(0, -3),对称轴是直线x=l,直线BC 与抛物线的对称轴交于点D.
(1) 求抛物线的函数表达式； (2) 求直线BC 的函数表达式；
(3) 点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE ■于点F,交抛物线于P 、Q 两点, 且点P 在第三彖限.
① 当线段PQ = ^AB 时，求tanZCED 的值；
② 当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标.
温馨提示：考生可以根据第(3)问的题意，在图中补岀图形，以便作答.
思路点拨
1. 第(1)、(2)题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题.
2. 第(3)题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的 纵坐标
的符号与线段长的关系.
3. 根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐 标
就简单了.
满分解签
(1) 设抛物线的函数表达式为y = (X -1)2+/2,代入点C(0, —3),得n = -4.所以抛 物线的函数表达式为y = (x-l)2-4 = x 2-2x-3.
(2) 由『=X 2-2X -3 = (X +1)(X -3)，知 A(—l, 0), B(3, 0).设直线 BC 的函数表达
a 7, .
_ n
式为y = kx + b.代入点B(3, 0)和点C(0, -3),得J" '解得k = l, b = -3.所以 b = —3. 直线BC 的函数表达式为y = x-3 .
(3) ①因为43=4,所以PQ = ^AB = 3 -因为P 、Q 关于直线兀=1对称，所以点P
7 5 5
FC = OC — OF = 3 ——=-，EC = 2FC = ~-
4 4 2
进而得到OE = OC — EC = 3—2 =丄，点E 的坐标为(0, —丄?
2 2 I 2丿
的横坐标为冷
于是得到点P 的坐标为冷日
点F 的坐标为0,-fj ?所以
直线BC:y = x-3与抛物线的对称轴x=l的交点D的坐标为(1, 一2).
过点D作丄y轴，垂足为H.
在RtAED/7 中，DH=1, EH = 0H-0E = 2-丄=。，所以tanZCED= —=-
2 2 EH 3
②恥―Q—2），
考点伸畏
第(3)题②求点P的坐标的步骤是：
如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的屮点F 的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P 的横坐标.
(四)因动点产生的平行四边形问题
例7,在平面直角坐标系屮，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,O)、C(3,0)、D(3,4).以A为顶点的抛物线y=a^+bx+c^点C.动点P从点A出发，沿线段A3向点B运动，同时动点Q从点C 出发，沿线段CD向点D运动?点P、0的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为r秒.过点P 作PE丄43交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)过点E作EF丄AD于F,交抛物线于点G,当r为何值吋，ZSACG的面积最大？最大值为多少？
(3)在动点P、Q运动的过程中，当f为何值时，在矩形ABCD内(包括-边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出r的值.
思路点拨
1.把AACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD.
2.用含有/的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.
3.构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.
满分解答
(1)4(1,4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为)=°(兀一1尸+4, 代入点C(3, 0),可得a=-\.
所以抛物线的解析式为)=—(兀一1尸+4=—”+2x+3.
(2)因为PEHBC,所以= △^? = 2.因此PE —— AP —丄/ ?
PE BC 2 2
所以点￡的横坐标为1+匕.
2
将兀=1+丄/代入抛物线的解析式，尸一(兀一1)时4=4-丄宀
2 4
所以点G的纵坐标为4一丄尸.于是得到GE =(4-丄尸)_(4—)= 一匕2+「
4 4 4
因此S“CG =S ZGE +S、CGE =^GE(AF + DF) = --^-r2+r = -^-(/-2)2 + l.
所以当r=l时，AACG面积的最大值为1.
(3)t =—或心20-8亦.
13
考盍伸畏
第(3)题的解题思路是这样的：
因为FE//QC, FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点曰，那么四边形EHCQ也是平行四边形.
再根据FQ=CQ列关于/的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ=CQ列关于/的方程，检验四边形E丹CQ是否为菱形.
￡(14-丄/,4_r)，F(l + 丄f,4)，2(3,r), C(3,0)?
2 2
如图2,当FQ=CQ 时，F@ = C&因此(l/-2)2+(4-r)2=r2.
2
整理，得尸_40f + 80 = 0?解得4=20—8亦，$ =20+8亦(舍去).
如图3,当EQ=CQ 时，EQ2 = CQ2,因此(lf-2)2+(4-2r)2=?.
2
整理,得13?-72^+800 = 0. (13— 20)(—40) = 0?所以/, = —, r, =40 (舍去).
13 -
（五）因动点产生的梯形问题
例8：已知直线），=3兀一3分别与无轴、y轴交于点A, B,抛物线y
=or + 2x+c 经过点A, B. Ay （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线/,点B关于直线/的对称点为C,
若点D在丿轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形. _________ Q_____
①求点D的坐标；1
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P,英对称轴与直
线），=3兀一3交于点E,若tan ZDPE =-＞求四边形BDEP的面积.
' 7
图1
思路点拨
1.这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画111对称轴就可以了.
2.抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于
7.
3.已知ZDPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点I'可的垂直距离等于7,那么点P 向右平移到直线x=3时，就停止平移.
满分解答
（1）直线y=3x—3与兀轴的交点为4（1, 0）,与y轴的交点为B（0,—3）?
将A（l, 0）、B（0, — 3）分别代入）=o?+2x+c?，
得”十2 + c = 0,解得［a = l,
c = —3 ?= —3.
所以抛物线的表达式为y=?+2x-3.
对称轴为直线x= — \,顶点为（一1,—4）.
（2）①如图2,点B关于直线I的对称点C的坐标为（-2,-3）.
因为CD//AB,设直线CD的解析式为y=3x+b,
代入点C（-2,-3）,可得b=3.
所以点D的坐标为（0, 3）.
②过点P作PH丄y轴，垂足为那么ZPDH=ZDPE.
由tan ZDPE =-，得tanZPDH =—=-?
7 DH 7
而DH=7,所以PH=3? 因此点E 的坐标为(3, 6).
所以 S“P =*(BD+EP)? PH = 24 ?
第(2)①用儿何法求点D 的坐标更简便： 因为 CD//AB,所以ZCDB=ZABO. 因此竺=型=丄.所以BD=3BC=6, 0D=3?因此D (0, 3). BD OB 3
例9：已知，矩形OABC 在平僧直角樂标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0),点、
2
C 的坐标为(0,-2),直线y = -一兀与边BC 相交于点D.
(1) 求点D 的坐标；
(2) 抛物线y = ajc +bx+c 经过点A 、D 、O,求此抛物线的表达式；
(3) 在这个抛物线上是否存在点M,使0、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在,
思路点拨
1. 用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便.
2. 过ZVIOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形.
3. 用抛物线的解析式可以表示点M 的坐标
.
图2
图3
满分解答
(1)因为3C//兀轴，点D在BC上，C(0, — 2),所以点D的纵坐标为一2.把〉=一2代入2 y = -—X ,求得兀=3.所以点D的坐标为(3,-2)?
■'
(2)由于抛物线与兀轴交于点0、4(4,0),设抛物线的解析式为)=俶(兀一4),代入D(3,
2 2 2 8
-2),得。=一.所求的二次函数解析式为y = -x(x-4) = -x2—x.
(9 2 A
(3)设点M的坐标为X, —X2一一x ?
I 3 3 )
①如图2,当OM//D4吋，作MN丄兀轴，DQ丄x轴，垂足分别为N、Q.由tanZMON
2 2 8
—X — X
=tan ZDAQ,得^ -------- - = 2 .
x
2 8 因为兀=0时点M与0重合，因此一x——=2 ,解
得兀=7.此时点M的坐标为(7,
3 3
14).
2 2 8 —x — x 2
②如图3,当AM//OD时，由tanZMAN=tanZDOQ,得 ------------ =-.
「4-x 3
2 2 10
因为x=4时点M与A重合，因此x =—,解得x= — \.此时点M的坐标为(-1,—).
3 3 3
③如图4,当DW//O4时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为(1, —2).
(六)因动点产生的面积问题
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
苏教版中考数学压轴题动 点问题 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
运动变化型问题专题复习 【考点导航】 运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型．【答题锦囊】 例1 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形 （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． 例２如图2，直角梯形CD ，AD=4，DC=3，动点P从点 A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段 PQ平分梯形ABCD （1）求y与x的函数关系式，并求出x y ，的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求 x y ，的值； （3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2 为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； (2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 例４如图7①，一张三角形纸片ABC沿斜边AB的中线CD把这张 纸片剪成 11 AC D ?和 22 BC D ? 11 AC D沿直线 2 D B（AB）方向平 移（点 12 ,,, A D D B始终在同一直线上），当点.在平移过程中，11 C D与 2 BC交于点E, 1 AC与222 C D BC 、分别交于点F、P. ⑴当 11 AC D ?平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的 1 D E与 2 D F的数量关系，并证明你的猜想； ⑵设平移距离 21 D D为x， 11 AC D ?与 22 BC D ?重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围； ⑶对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC ?面积的 1 4 .若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. 【中考预 测】 ⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图8②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC Q B M 图1 ＡC D Q P Ｂ 图2 1 2 2 D ① 2 1 ②
中考数学压轴题专集二：一次函数 1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－ 1 4 x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式． 解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－ 1 4 x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2） （2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5 在y ＝－ 1 4 x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3 ∴C （0，3），OC ＝3 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝ EC 2 －CF 2 ＝ 5 2 －4 2 ＝3 ∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1） 设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入 得：?????b ＝3 4k ＋b ＝1 解得 ?????k ＝－ 1 2 b ＝3 ∴直线l 的解析式为y ＝－ 1 2 x ＋3
2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点C的坐标和k的值； （2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1 2S△ABC，求点P的坐标． （1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H 则∠HCG＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH 又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC ∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH 在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4 设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x 解得x＝1，∴C（1，1） ∴k＝1 （2）由（1）知，CG＝1，AG＝3 ∴AC2＝BC2＝12＋32＝10 ∴S△ABC＝1 2AC 2＝5，S △PBC ＝ 1 2S△ABC＝ 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4＋ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝1 3，∴P1（－ 1 3，0） 当点P在点G右侧时 S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4－ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝3，∴P2（3，0）
2016年中考数学压轴题动点问题 一、选择题 1. （2016·湖北鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是（） 【考点】动点函数的图像问题. 【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可. 2.（2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（） A．6 B．2+1 C．9 D． 【考点】切线的性质． 【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值 故选C． 3.（2016年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB
方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（） A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 4．（2016.山东省泰安市，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（） A．B． C． D． 【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。
（2019年安徽23题） 23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°． （1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3． 【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论； （3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC 又∠APB＝135°， ∴∠PAB+∠PBA＝45° ∴∠PBC＝∠PAB 又∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC （2）∵△PAB∽△PBC ∴ 在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴ ∴
∴PA＝2PC （3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E， ∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3， ∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270° ∴∠APC＝90°， ∴∠EAP+∠ACP＝90°， 又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90° ∴∠EAP＝∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴，即， ∴h3＝2h2 ∵△PAB∽△PBC， ∴， ∴ ∴． 即：h12＝h2?h3． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
（2019年北京27题） 27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M 为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：∠OMP＝∠OPN； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明． 【分析】（1）根据题意画出图形． （2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证． （3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以 OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP． 【解答】解：（1）如图1所示为所求． （2）设∠OPM＝α， ∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN ∴∠MPN＝150°，PM＝PN ∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α ∵∠AOB＝30° ∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ∴∠OMP＝∠OPN （3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下： 过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2 ∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90° ∵∠AOB＝30°，OP＝2
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<
（2014?济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M ，是否存在这样的点P， 使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本 问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解 答： 解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点， ∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA =5，AC =10， ∴OC ===．∵S△OAC=OC ?AD=OA?AC，∴AD=．∴AA′=，
在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt △A′EA∽Rt△OAC．∴，即． ∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4）， 当x =﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A ′在该抛物线上． （3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， 则，解得∴直线CA′的解析式为y =x +…（9分）设点P 的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）． ∵PM∥AC， ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM= AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10． 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2时，y=﹣． ∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形． 点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、 勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．
中考专题——动点问题详细分层解析（一） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2132?OP=2. (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+23363 1,解得6=x .经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 12=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. H M N G P O A B 图1 x y
中考数学压轴题辅导（十大类型） 目录 动点型问题 (3) 几何图形的变换（平秱、旋转、翻折） (6) 相似不三角函数问题9 三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） (13) 不四边形有关的二次函数问题 (16) 刜中数学中的最值问题 (19) 定值的问题 (22) 存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） (25) 不圆有关的二次函数综合题... .. (29) 其它（如新定义型题、面积问题等） (33) 参考答案 (36)
中考数学压轴题辅导（十大类型） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方 法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再迚行图形的研究，求点的坐标戒研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件迚行计算，然后有动点（戒动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系迚行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，戒探索两个三角形满足什么条件相似等，戒探究线段乊间的数量、位置关系等，戒探索面积乊间满足一定关系时求 x 的值等，戒直线（圆） 不圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量乊间的 等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写成 y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在刜中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量 的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千 变万化，但少丌了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点不数即坐标乊间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数不方程思想。以直线戒抛物线知识为载体，列（解）方程戒方程组求其解 析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件戒结论的多变性迚行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识戒方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巡： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题戒几个“难点”一个时间上 的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空 万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，丌是问题；如果第一小问丌会解，切忌丌可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要巟整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是丌要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确 解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重
解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）
和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑（五） 1．（2019?长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标； （2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =； ②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a = ，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE -的值．
2．（2019?长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤， 求m ，n 的值．
3．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题） ③两个大小不同的正方形相似．(命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中， 111 ABC A B C ∠=∠， 111 BCD B C D ∠=∠，111111 AB BC CD A B B C C D ==．求证：四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似． （3）如图2，四边形ABCD中，// AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作// EF AB分 别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为 1 S，四边形EFCD的面积为 2 S，若 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求2 1 S S 的值．
2016中考压轴题突破 训练目标 1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法； 2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。 题型结构及解题方法 压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
答题规范动作 1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。 2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。 作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。 3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。 23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点： 几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程； 面积问题，要突出面积表达的方案和结论； 几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解； 存在性问题，要明确分类，突出总结。 4.20分钟内完成。 实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称： 2014中考数学难点突破 1、图形运动产生的面积问题 2、存在性问题 3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题） 4、2014中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存 在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）
一、图形运动产生的面积问题 一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态： ①由起点、终点确定t 的范围； ②对t 分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置． 3. 分段画图，选择适当方法表达面积． 二、精讲精练 1. 已知，等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上，沿AB 方向以1 厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积． （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 1题图 2题图 2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝ CD 高CE ＝，对角线AC 、BD 交于点H ．平 行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发，沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动．记 等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒． （1）填空：∠AHB ＝____________；AC ＝_____________； （2）若213S S ，求x ． 3. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点P 、Q 同时从点C 出发，以1cm/s 的速度分别沿CA 、 CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．过点P 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ 、RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ'R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ'R 与△PAR 重叠部分的面积为S （cm 2）． （1）t 为何值时，点Q' 恰好落在AB 上 （2）求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围． （3）S 能否为9 8 若能，求出此时t 的值； 若不能，请说明理由． C B A B C P R Q Q' l A C M N Q P B C H D C B A A B C H H D C B A A B C D M N R Q F G H E H D C B A H D C B A
中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 1、（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－ 3 2x 2 +b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2 -x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB = ABOC 绕点O 按顺时针 方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2 y ax bx c =++过点 A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y O 第26题图 D E C F A B （第25题图） A x y B C O
3、如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2 23 (0)y ax x c a =- +≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为 1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经 过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 图14 y x O A B M O 1 A O x y B F C
2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：