几何综合汇编
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.
数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．
专题一：建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
（一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:
1、特殊探路，一般推证。
2、动手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．
2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.
1 以双动点为载体，探求函数图象问题。
2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。
3 以双动点为载体，探求存在性问题。
4 以双动点为载体，探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
例1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）． （1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．
例2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN
面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
例3.如图，在梯形ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段
BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长。
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
A B C
D E
F
O D
M
A B
C
N
例4.如图，在Rt△AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设
P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）
（1）求AB 的长，过点P 做PM ⊥OA 于M ，求出P 点的坐标（用t 表示）
（2）求△OPQ 面积S （cm 2
），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？
（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？
（4）若点P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值.
海淀一模24．在△ABC 中，∠ACB ＝90?．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ． （1）若45ABC ∠=?，CD =1（如图），则AE 的长为 ； （2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ，
5
6
CF EF =，CD =4，求BD 的长． 西城一模24．在Rt △ABC 中，∠A CB=90°，∠AB C=α，点P 在△ABC 的内部．
(1) 如图1，AB=2AC ，PB=3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC 不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC 的面积； (3) 若PA=m ，PB=n ，PC=k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．
东城一模24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =
1
2∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =
1
2
∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
y A O M Q P B x
石景山一模24．如图，△ABC 中，∠90ACB =?, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ． （1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转?60，得到线段1AB ，联结1DB ，
则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；
（2
）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转?60得到点Q ,求ADQ
∠的度数；
（3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转?60得到点Q ,是否存
在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．
顺义一模24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EF
EG
的值．
图24-1 图24-2
P
D
C
B
B 1
A
B
C
D
备用图
A
B
C
D
备用图
A
B
C
D
通州一模24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；
（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.
密云一模24．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，， 60B =?∠.
（1）点E 到BC 的距离为 ；
（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ， 连结PN ，设EP x =.
①点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长； 若改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出 所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
平谷一模24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P .请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；=
（2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相 交于点P . 请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程.
门头沟一模24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，
点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ．
（1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ； （2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；
（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α??）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；
A D
B
C
A D E B
F C （备用）
A D E
B
F C
（备用）
A D E
B
F C 图1
图2
A D
E B
F C P
N M 图3
A D
E
B
F C
P N
M
② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE ＝27，
求sin ∠ACP
的值．
房山一模24（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证： BE = AD .
（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）
①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CPA =60°；
（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .
延庆一模25. （本题满分8分）
如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．）
问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．
A B C
D E
F
M
M
F
E
D C
B
A A
B
C
D E
F M 图1
图2
图3
P P F D C A
D E B B
第24题图1
第24题图2
P D E C
A D
B
1、如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当
3
1
=??ABC
BCQ S S ，求
ABC
BPQ S S ??的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，
请说明理由。
2、如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD ，垂足为H ，P 点是AD 上的一个动点（P 与A 、D 不重合），CP 与BD 交于E 点。已知
CH ＝1360
，DH ∶CD ＝5∶13，设AP ＝x ，四边形ABEP 的面积为y 。（1）求BD 的长；（2）
用含x 的代数式表示y 。
3：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，45A =o
∠，10cm AB =，4cm CD =．等腰直角三角形PMN 的
斜边10cm MN =，A 点与N 点重合，MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状 由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN 移动(s)x 时，等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为
2(cm )y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当4(s)x =时，求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积．
H E
D
C
B A P
A （N ）
M
P
D
C
A N
M
P
D C
B
变式练习2：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？
（2）设PEQ △的面积为y （cm 2
），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使225
PEQ
BCD
S S
=△△？
变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与
t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．
4、已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=CD ，∠BAD=120°，点E 是射线CD 上的一个动点，（与C 、D 不重合）， E ′为CB 延长线上一点，且DE=B E ′，连接AE 、A E ′、E E ′. （1） 如图1，求∠AE E ′的度数；
（2） 如图2，若将直线AE 绕点A 顺时针旋转30°后交直线BC 于点F ，过点E 作EM ∥AD 交直线AF 于点M ，写出
线段DE 、BF 、ME 之间的数量关系； （3） 如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=27，求ME 的长。
F
题9 C B
E
D A
M
F M
F E ′
C
B
E
D A
E ′
C B E
D A
E ′