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第一章线性系统状态空间描述与运动分析复习概念内部描述, 外部描述概念: 因果性,线性、非线性系统基本描述：微分方程，传递函数描述传递函数的局限性掌握内容：状态空间描述，由微分方程、传递函数、方框图求得状态空间描述, 不同描述转换线性定常系统分析，线性时变、离散系统分析1机理建模, 辨识建模916由（1-3）和（1-5）得)()(),(010t t t t −ΨΨ=Φ状态转移矩阵有下列的特性：Ι=Φ=Φ),(),(s s t t ),(),(1t s s t Φ=Φ−),(),(),(1122s t t t s t ΦΦ=Φ)(),(),(t A t s t s Φ−=Φ&定理1.2：零输入响应系统(1-2)的状态转移矩阵为L+++Ι=Φ∫∫∫τττττd de e A A d A s t ststs))(()()(),((1-6)证明：L &++=Φ∫tsde e A t A t A s t )()()(),(∫++Ι=tsde e A t A ))()((L ),()(s t t A Φ=证毕。
19则有∫Φ+Φ=tt ud B t x t t x 0)(),(),(00τττ(1-7)(1-7)中第一项为u = 0 时由初始状态引起的效应，称为零输入响应；第二项是当系统初态时由输入u 引起的效应，称为零状态响应。
)(0t x 0)(0=t x 在状态空间模型下，只要有了系统的状态轨迹表达式(1-7)，可由输出方程(1-1)求得输出y 的表达式)()()()(),()(),()( )()(000t u t D d u B t t C x t t t C u t D x t C y tt +Φ+Φ=+=∫ττττ第1项是在u = 0 时由初始状态后引起的状态响应在输出中的反映，称为零输入响应；第2项和第3项是初始状态时由u 后引起的状态响应及u 本身在输出中反映, 称为零状态响应0x 00=x （1-8）由(1-6)、(1-7)可知要求得系统的运动轨迹，关键是求出系统的状态转移矩阵。
第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b aaa a a E dtdi L i R U ++=+ dtd K E mbb θ= a m m i C M =dt d f dtd J M mm m m m θθ+=22 )()([)()(2m b m a a m m a m a ma m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ ⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 my θ=,试建立其动态方程。
解：（1）由题意可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======123121xy xx x x x m m mmθθθθ ，由已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===++=m m m m m a m mmb ba a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ可推导出 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+-===12333221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x a ma mm a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 0100010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a m J L C 00a U y =[]001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x（2）由题意可知：,1a i x =mm m y x x θθθ===,,32 可推导出 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-====+--=+--==23133231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a aa b a a a a m a b a a a aθθθθθ可列动态方程如下[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321010x x x y由 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm mx x x θθθ 321和 ⎪⎩⎪⎨⎧===mm a x x i x θθ 321得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-======3133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ由上式可得变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=m m mm J f J C T 010018-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++。
第八章线性定常系统的状态空间分析法 (378)第一节 线性定常连续系统的能控性和能观性 (378)一、直观理解 (378)二、能控性定义和能观性定义 (380)1. 能控性定义 (380)2. 能观性定义 (381)三、能控性判别 (381)1. 预备知识 (381)2. 直接从A与B判别系统的能控性 (383)3. 系统的能控性秩判据 (387)4. 具有A阵为约当规范型系统的能控性判别 (389)四、 能观性判别 (392)1. 直接从A与B判别系统的能观性 (392)2. 系统的能观性秩判据 (394)3. 具有A阵为约当规范型系统的能观性判别 (394)五、对偶原理 (395)第二节线性定常连续系统的线性变换与结构分解 (395)一、非奇异线性变换 (396)1. 基本概念 (396)2. 非奇异线性变换的性质 (396)二、状态空间的几种标准形式 (397)1. 对角规范型 (397)2. 约当规范型 (397)3. 化能控系统的状态方程为能控标准型 (398)4. 化能观系统的状态方程为能观标准型 (400)三、结构分解 (402)1. 能控子空间分解 (403)2. 能观子空间分解 (405)3. 能控能观子空间分解 (408)四、 状态空间描述与传递函数描述的关系 (408)第三节线性定常连续系统的状态反馈控制 (411)一、状态反馈控制的基本概念 (411)二、闭环线性系统的能控性与能观性 (413)三、状态反馈极点配置 (415)1. 状态反馈控制的直接设计方法 (415)2. 状态反馈控制的能控标准型设计方法 (417)3. 单变量（SISO）系统状态反馈的零点不变性 (421)4. 闭环极点位置的选择 (421)四、状态反馈镇定 (424)第四节线性定常连续系统的状态观测器 (426)一、状态观测器 (427)二、状态观测反馈系统（分离定理） (431)三、降维状态观测器的概念 (433)第五节 线性定常离散系统的状态空间分析法 (434)一、离散系统的能控性 (434)二、离散系统的能观性 (435)三、连续系统与离散系统的关联与区别 (437)四、连续动态系统离散化后的能控性与能观性 (437)第六节 内模控制器设计 (439)第七节 本章小结 (441)习题八 (442)第八章 线性定常系统的状态空间分析法前面几章介绍的内容大都属于经典控制理论的范畴，描述系统的数学模型是常微分（差分）方程、传递函数（脉冲传递函数），主要的系统分析和设计方法是时域法、根轨迹法和频域特性法。
第一章线性系统的状态空间描述1.内容系统的状态空间描述化输入—输出描述为状态空间描述由状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2.基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组状态变量：构成系统状态的变量状态向量设系统状态变量为X i(t),X2(t)厂，X n(t)写成向量形式称为状态向量，记为_X i(t)x(t)=_X n(t)状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。
3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：U i (t ),u 2(t )^ ,u r (t )m 个输出：yQM), ,y m (t)n 个状态变量：X i (t),X 2(t), ,X n (t)例：图示RLC 电路，建立状态空间描述i LC电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量, 方程为如图中所注,Ldi L (t)dtRi L (t) U c (t) =u(t)C 沁 “L (t)dtX i (t)二 L(t), X 2(t)二 U c (t)二 LX i (t) RX i (t) X 2(t)二 u(t)Cx (t)二 X (t) N(t) - R/L 殳⑴门1/C0 匚X 2(— Ou(t)U c输出方程一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系dX i (t) dt = X i (t)二 f i 〔X i (t),X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t);tl dX 2(t) dt = X 2(t)二 f 2'X i (t),X 2(t)^ ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t 】dX n (t) dt 二 X n (t)二 f n 〔X i (t),X 2(t), ^⑴小⑴心⑴,,U 「(t)；t 】用向量表示，得到一阶的向量微分方程x(t)二 f 'X(t),u(t), t 1其中X i (t)U ](t)fQ) “、 X 2(t) -U 2(t) .f 2(・)・QnX(t) -c R ,u(t)戶；cR , f (•) ^^： cR N(t) 一JU r (t) 一-f n (叽输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即%(t)二 g i X i (t),X 2(t),,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t ]y 2(t)二 g 2 X i (t), X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t),,U r (t)；t 〔y(t)二 ％(t)二 101 X i (t) 殳(t).y m(t)二g m X i(t),X2(t), ,X n(t)；U i(t),U2(t),,U r(t)；t】用向量表示为y(t)二gX(t),U(t),t]4系统分类：1) 非线性时变系统：x(t) = f〔x(t),u(t),t 】y(t)二 g〔x(t),u(t),t 〕2) 非线性定常系统x(t)二 f 〔x(t),u(t)】 y(t)二 g'x(t),u(t)]3) 线性时变系统‘X i =a“(t)X i + …+a in (t)X n +bn(t)u i + …+匕「住)山 jX n =a ni (t)X i + …+a nn (t)X n +b ni (t)U i + …+0「住)山写成向量形式即为：x(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) y(t)=C(t)x(t) + D(t)u(t)其中：4) 线性定常系统a ii (t) a i2(t)a 2i (t) a 22 (t) A(t)—: :a in (t) bn(t)b i2 (t) a2n ⑴，B(t)=b ⑴ b22(t) _a ni (t)a n2(t) a nn (t) 「Gi(t)C(t)二C 2i (t) cmi (t )G2(t) C 22(t )a_b ni (t) b n2(t)C in (t)〕"dn(t) d i2(t)C 2n (t) d 2i (t) d 22(t)，D(t)=Cmn(t)_-dmi(t)dm2(t)d ir (t) d 2r (t )b ir (t) b 2r (t)ab nr (t)「x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)5状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关线性时变系统结构图6根据物理机理建立状态空间表达式对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：1)确定系统输入、输出和状态变量；2)列出方程；3)消去中间变量；4)整理成标准的状态和输出方程。
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
实验八 线性系统的状态空间分析§8.1 用MATLAB 分析状态空间模型1、状态空间模型的输入线性定常系统状态空间模型xAx Bu y Cx Du=+=+&将各系数矩阵按常规矩阵形式描述。
[][][]11121120101;;;n n n nn n n A a a a a a a B b b b C c c c D d ====?L LL?L ?L?在MA TLAB 里，用函数SS()来建立状态空间模型(,,,)sys ss A B C D =?例8.1 已知某系统微分方程22d d 375d d y yy u t t++= 求该系统的状态空间模型。
解：将上述微分方程写成状态空间形式0173A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]50C =，0D = 调用MATLAB 函数SS()，执行如下程序 % MATLAB Program example 6.1.mA=[0 1;-7 -3]; B=[0;1]; C=[5 0]; D=0;sys=ss(A,B,C,D)运行后得到如下结果a =x1 x2 x1 0 1x2 -7 -3 b =u1 x1 0 x2 1 c =x1 x2 y1 5 0 d =u1 y1 0Continuous-time model.2、状态空间模型与传递函数模型转换状态空间模型用sys 表示，传递函数模型用G 表示。
G=tf(sys) sys=ss(G)状态空间表达式向传递函数形式的转换 G=tf(sys)Or [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) 多项式模型参数[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 零、极点模型参数iu 用于指定变换所需的输入量，iu 默认为单输入情况。
传递函数向状态空间表达式形式的转换 sys=ss(G)or [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) 例 8.211122211220.560.050.03 1.140.2500.1101001x x u x x u y x y x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&试用矩阵组[a ，b ，c ，d]表示系统，并求出传递函数。
.% MATLAB Program example 6.2.ma=[-0.56 0.05;-0.25 0];b=[0.03 1.14;0.11 0];c=[1 0;0 1];d=zeros(2,2);sys=ss(a,b,c,d)G1=tf(sys)G2=zpk(sys)运行后得到如下结果a =x1 x2x1 -0.56 0.05x2 -0.25 0b =u1 u2x1 0.03 1.14x2 0.11 0c =x1 x2y1 1 0y2 0 1d =u1 u2y1 0 0y2 0 0Continuous-time model.Transfer function from input 1 to output...0.03 s + 0.0055#1: ---------------------s^2 + 0.56 s + 0.01250.11 s + 0.0541#2: ---------------------s^2 + 0.56 s + 0.0125Transfer function from input 2 to output... 1.14 s #1: --------------------- s^2 + 0.56 s + 0.0125-0.285 #2: --------------------- s^2 + 0.56 s + 0.0125Zero/pole/gain from input 1 to output... 0.03 (s+0.1833) #1: ----------------------(s+0.5367) (s+0.02329)0.11 (s+0.4918) #2: ----------------------(s+0.5367) (s+0.02329)Zero/pole/gain from input 2 to output... 1.14 s #1: ----------------------(s+0.5367) (s+0.02329)-0.285 #2: ----------------------(s+0.5367) (s+0.02329)例8.3 考虑下面给定的单变量系统传递函数3243272424()10355024s s s G s s s s s +++=++++由下面的MATLAB 语句直接获得状态空间模型。
>> num=[1 7 24 24]; >> den=[1 10 35 50 24]; >> G=tf(num,den); >> sys=ss(G)运行后得到如下结果： a =x1 x2 x3 x4 x1 -10 -4.375 -3.125 -1.5 x2 8 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4 0 0 1 0b =u1 x1 2 x2 0 x3 0 x4 0 c =x1 x2 x3 x4 y1 0.5 0.4375 0.75 0.75 d =u1 y1 0Continuous-time model.3. 线性系统的非奇异变换与标准型状态空间表达式syst=ss2ss(sys,T)sys, syst 分别为变换前、后系统的状态空间模型，T 为非奇异变换阵。
[At,Bt,Ct,Dt]=ss2ss(A,B,C,D,T)(A,B,C,D)、（At,Bt,Ct,Dt ）分别为变换前、后系统的状态空间模型的系数矩阵。
§8.2 利用MATLAB 求解系统的状态方程线性定常连续系统状态方程x Ax Bu =+&，0(0)x x =，0t ≥状态响应00()()()()d tx t t x t Bu φφτττ=+-⎰， 0t ≥式中状态转移矩阵()At t e φ=，则有()0()(0)()d tAt A t x t e x e Bu τττ-=+⎰， 0t ≥1． 用MATLAB 中expm(A)函数计算状态转移矩阵Ate例8.4 022130xx u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&，1(0)1x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，0u = ①求当0.2t =时，状态转移矩阵即0.2Att e=；>> A=[0 -2;1 -3]; >> dt=0.2; >> phi=expm(A*dt) 得到如下结果 phi =0.9671 -0.2968 0.1484 0.5219②计算0.2t =时系统的状态响应110.2220.2(0)0.96710.29680.6703(0)(0)0.14840.52190.6703Att t x x e x x x ==-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2． 用step()，impulse() 求阶跃输入，脉冲输入响应例8.5 连续二阶系统[]111222120.75240.7268110.72680022.87768.9463x x u x x u x y x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦&&求系统的单位阶跃响应% MATLAB Program of example 4.5.mA=[-0.7524 -0.7268;0.7268 0]; B=[1 -1;0 2]; C=[2.8776 8.9463]; D=0;step(A,B,C,D); figure(1) grid on ;title('单位阶跃响应') xlabel('时间') ylabel('振幅')运行结果3． 用initial()函数，求系统的零输入响应[y,t,x]=initial(sys,x 0)6.5例中，当输入0u =时，状态初值[](0)0.20.2x =A=[-0.7524 -0.7268;0.7268 0]; B=[1 -1;0 2]; C=[2.8776 8.9463]; D=0;t=[0:0.01:15];u=0; sys=ss(A,B,C,D); x0=[0.2 0.2];[y,t,x]=initial(sys,x0,t) plot(t,x)运行结果§8.3 系统的可控性与可观性分析1. 线性定常系统的可控性分析xAx Bu y Cx Du=+=+&可控性矩阵21[,,,,]n c u B AB A B A B -=L ，系统完全可控 rank c u n =。
在MA TLAB 中，可用(,)ctrb A B 函数求可控性矩阵c uctrb(A,B)例 8.6 120011101000111x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&， 判断系统的可控性。
℅MA TLAB program of example 6.6.mA=[1 2 0;1 1 0;0 0 1]; B=[0 1;1 0;1 1]; n=3;CAM=ctrb(A,B);rcam=rank(CAM);if rcam==ndisp('system is controlled') elseif rcam<ndisp('system is not controlled') end执行结果system is controlled例8.72220,010,12612 x Ax bu A b--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&将该系统状态方程转换为可控标准型。
变换矩阵111111,[0,,0,1]cnPP AP P u P A--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM℅MA TLAB Program of example 6.7.mA=[-2 2 -2;0 -1 0;2 -6 1];b=[0;1;2];s=ctrb(A,b);if det(s)~=0s1=inv(s);endP=[s1(3,:);s1(3,:)*A;s1(3,:)*A*A]; PT=inv(P);A1=P*A*PT%(Ac=PAP^)b1=P*b%(bc=P*b)运行结果A1 =0.0000 1.0000 -0.0000-0.0000 0 1.0000-2.0000 -3.0000 -2.0000b1 =1.0000这样可得可控标准型矩阵110100001,02321c c A A b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2. 线性定常系统的可观性分析xAx Bu y Cx Du =+⎧⎨=+⎩& 可观性矩阵01n C CA U CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 系统可观 0rankU n =在MA TLAB 中，可用函数obsv(A,C)确定可观性矩阵。
