系统的状态空间表达式

2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。

实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。

所以说系统动态方程是非唯一的。

虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。

设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。

2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。

2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。

证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。

因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。

第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。

设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()t x 称作系统的状态向(矢)量。

设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。

记：那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。

设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 = 称为系统的输出向量。

表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程: 其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。

在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。

根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种： ∙线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙ 非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。

在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。

这时，系统的状态空间表达式可以表示如下： 写成矢量形式为：其中：n n nn n n n n a a a a a a a a a A ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， r n nr n n r r b b b b b bb b b B ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n m mn m m n n c c c c c c c c c C ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， rm mr m m r r a a a a a aa a d D ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n n A ⨯----称为系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性；r n B ⨯----称为输入(或控制)矩阵，主要体现了系统输入的施加情况；n m C ⨯----称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，r m D ⨯----称为直接传递（转移）矩阵，表示了控制向量U 直接转移到输出变量Y 的转移关系。

状态空间法对于下列的单自由度系统，其相关参数如下：1kg m =，100N/m k =，0.2N.s/m c =系统的运动方程：[M]X +[C]X +[K]X =[P]对于单自由度系统，其运动方程为：mx cx kx p ++=0.2100x x x p ++=对于多自由度系统，其状态空间方程为：x =Ax +Bu y =Cx +Du式中，A —状态矩阵；B —输入形状矩阵；C —输出形状矩阵；其具体表达式如下：-1-122-n n⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0I A -[M][K][M][C] -12n n⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0B -[M] []2n n ⨯=C I 0[]n n ⨯=D 0对于上述单自由度系统，其状态矩阵为：011000.2x x x x ⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎣⎦⎩⎭011000.2⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A 求解状态矩阵的特征值与特征向量：0λ-=A I{}{}φλφ=A得到的特征值为：10.110j λ≈-+，20.110j λ≈--11{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，21{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦同时可以看出：{}{}(2)11(1)1=0.110j φλφ=-+，{}{}(2)22(1)2=0.110j φλφ=-- 取虚部为正的特征值求系统的特征参数。

系统的固有频率：110/n rad s ωλ===≈阻尼比：11Re()0.01λξλ-==≈根据其阵型图可以看出，其位于左半平面（即负半平面），因此系统是稳定的。

系统阻尼是正值，阻尼起到耗能效果；若阻尼为负值，将位于右半平面，系统将变得不稳定，此时阻尼起到吸收能量的作用。