2018线性系统理论课件03-第1章(2)由系统机理和框图建立状态空间模型

3. 一阶微分惯性环节 其传递函数为 G(s) Y (s) s b 1 b a

n1 r 0
s nr 1
f
(r)
(0)
（1.2.6）
式中 f (r) (0) 是 r 阶导数 dr f (t) 在 t 0 时的值。 dt r
特别地，如果 f (t) 及其各阶导数的所有初始值全都等于零，则有
L

dn f dt
(t)
n


sn
F
(s)
（1.2.7）
1.2.2.3 积分性质
试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移(t)为
输出的状态空间模型。
+
Ra
ia
La
u
M
J, f
f
-
图1-4 电枢控制的直流电动机原理图
解 ：设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。
按照图1-4所描述的电动机系统，可以写出如下主 回路电压方程和轴转动动力学方程
u

Raia

La
dia dt
J
0

Ce La

1

La

0 1 x 0 u
0

f


0

J
y [0 1 0]x
1.2由系统框图建立状态空间描述
首先复习补充有关积分变换的知识。 拉氏变换的定义 拉氏变换的微分性质 拉氏变换的积分性质
1.2.1拉普拉斯变换的定义
本次课主要内容
1.2由系统框图建立状态空间描述 1.3由系统机理建立状态空间描述
为了讲解问题方便，我们先讲1.3 的内容，然后再介绍1.2的内容。 下面先复习上节课的主要内容。
一、线性系统的状态空间描述
线性系统的状态空间描述可表示为如下形式：
x& A(t)x B(t)u Nhomakorabeay

C(t)x
前面电路的微分方程组写成状态空间描述的形式， 并且写成矩阵形式如下：
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C

di(t)
dt duC (t)


1RL
dt C
1 L 0

x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图1-2 系统结构图中的三种基本元件
例 线性时变系统
x A(t) x B(t)u

y

C(t)
x

D(t)u
的结构图如图1-3所示。值得注意的是：图中的信号
传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，
每一方框的输入输出关系规定为：

1
b


L 0

总结：状态变量的选取原则 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
（2）状态变量选取的非惟一性
在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 uC
则其状态方程为 输出方程为：
x1

x2



0 1
LC
1 R
L

系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空 间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。
设：x1 i(t) x2 uC (t) C 0 1
x

x1

x2

A


R
L 1
-
1 L

0
C
则可以写成状态空间表达：
x Ax bu
y Cx
若 L[ f (t)] F(s) ，则
L

f
(t)dt


F (s) s

f
1 (0) s
（1.2.8）
式中， f 1(0) 是 f (t)dt 在 t 0 的值。同理，对于 f (t) 的多重积分的拉氏变换，有
L
f (t)(dt)2
F (s) s2
建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取， 它是建立状态空间模型的前提。
状态变量的主要选取办法： •系统储能元件的输出； •系统输出及其输出变量的各阶导数； •上述变量的数学投影（使系统状态方程成为某 种标准形式的变量）； 下面就常见的电路系统、机械系统和机电能量转换 系统等，举例说明如何建立状态空间模型。
i(t) uC (t)


1
L 0
u
(t
)
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
y(t) 0
1
i(t) uC (t)
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
二、状态空间模型的结构图
线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达 出来，以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传 递关系。不仅适用于单输入单输出系统，当然也适用于 多输入多输出系统。
系统结构图主要有三种基本元件:
积分器,加法器,比例器,其表示符如图1-2所示。
x(t) ∫ x(t)
x1
x1+x2

Ea
d2 d
M J f
dt 2
dt
其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩
Ea=Ced/dt,
M=Cmia
其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒 定的磁通量) .
因此，上述主回路电压方程和轴转动运动方程可 记为
u

Raia

La
dia dt
Ce
d
dt
Cmia


0

k m
1 f
m


x1 x2



0 1
m

F
y 1
0

x1 x2

该系统的状态图如下
例1.3.3 【机电能量转换系统】下图表示某电枢控制的 直流电动机，其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感， J为转动惯量，负载为摩擦系数为 f 的阻尼摩擦。
d2
L

dt
2
f
(t)

s2F
(s)

sf
(0)


f (0)
（1.2.5）
式中， f (0) 是 df (t) / dt 在 t 0 时的值。
重复上述过程，可导出时间函数 f (t) 的 n 阶导数微分性质的一般公式：
dn f
L
dt
(t)
n


s n F (s)
F
F ky
f
dy dt

m
d2 dt
y
2
即：
d2y m dt2

f
dy dt
ky
F
选择状态变量 x1 y x2 y x1
则：
x1 x2
x2


k m
y

f m
dy dt

1 m
F


k m
x1

f m
x2

1 m
F
机械系统的系统方程为

x1 x2
（1.2.2）
1.2.2 拉氏变换的性质 1.2.2.1 线性性质 线性性质也称叠加性。这个性质的数学描述为：
若 L[ f1(t)] F1(s) ， L[ f2 (t)] F2 (s) 。 K1 、 K2 为常数时，则
L[K1 f1(t) K2 f2 (t)] K1F1(s) K2F2 (s) （1.2.3）
L f (t)(dt)n F(s) （1.2.9） sn
1.2.4根据控制系统的结构图建立状态 空间表达式
建立状态空间表达式的步骤： 1、将系统结构图进行等效变换分解，使其由 积分器、比例器及加法器组成； 2、将每个积分器的输出作为一个独立的状态 变量，则积分器的输入就是状态变量的一阶导数； 3、根据结构图中各信号的关系，写出各状态 变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。 根据指定的输出变量，写出系统的输出方程。
例1.3.1 如下图所示电路， 为u(t输) 入量， uC为(t)输 出量。
建立方程：L
di(t dt
)

Ri(t
)

uC
(t
)

u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
i(t)和 uC (可t) 以表征该电路系统的行为，可以选为该系统 的一组状态变量。

D(t)u
式中，各个系数矩阵的维数分别为 x为n维的状态向量; u为p维的输入向量;
y为q维的输出向量;
A为nn维的系统矩阵; B为np维的输入矩阵;
C为qn维的输出矩阵;
D为qp维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩 阵)。
对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论:
状态方程 描述的是系统动态特性，其决定系统状态 变量的动态变化。
这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。 1.2.2.2 微分性质
若 L[ f (t)] F(s) ，则