高中数学_16微积分基本定理(1)课件_新人教A版选修2-2

a a

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 ２．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
3 2
原式 = 3x dx
2 1
3
3
1
3 3 1 1 2 dx 3x dx ( 2 )dx 2 1 1 x x
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn

ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
并且F’(x)=f(x),则
b a

b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键： a
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
注意：高中教材省略了常数C
把上 述8 个导 数公 式从 右向 左看
常 用 微 积 分 公 式
复习: 定积分的基本性质
性质1.


b a
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
三、小结
微积分基本公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之 间的关系． b1 b 公式1: dx = lnx|a a x
公式2:

b
a
x b x dx = |a n +1
n
n+1
a a
b
b
复习回顾： 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b

a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
sin xdx (co s x) | 0 cos ( cos 0) 1 1 2
思考: (a) sinxdx的几何意义是什么?

0 (b) sinxdx = _______
0
0 2
1 (c) 2 sinxdx = _______
0

(2) 2 cosxdx
n
n+1
已知C R为常数，试填写下列空格 1.C ' _____ 0 2.( x C ) ' _____ 1 x a 1 3.( C ) ____ xa a 1 1 4.(lnx C ) ' ____ x 5.(e x C ) ' _____ ex ax x 6.( C ) ' ____ a ln a 1 7.( sin ax C ) ' ____ cos ax a 1 sin ax 8.( cos ax C ) ' ____ a
'
由定积分的定义得：
S v(t )dt s '(t )dt s(b) s(a)
a a b b
注意： 1、函数s(t )称为原函数， v(t )称为函数s(t )的导函数。 2、v(t ) s '(t )；
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
a
1 b dx = lnx|a ln b ln a x
练习：
1 (1) 1dx = ______
1 0
1/2 (2) xdx = ______
1 0
1/4 (3) x3dx = ______
1 0
15/4 (4) x dx = ______
2 3 -1
公式2:

b
a
x b x dx = |a n +1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
0

解 (sin x)' cos x
cos xdx sin x | sin
2 0 2 0



2
sin 0 1 0 1
思考: (a )
cosxdx的几何意义是什么? 0 (b) cosxdx = _______
2 0

0
(c )
2
0
0 cosxdx = _______
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
(1) (-3t + 2)dt ______ 1
2 0
1
1 2 23/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
找出f(x)的原函数F(X)是关健
例1 计算下列定积分
1 (1) dx 1 x
2
(2) 2xdx
1
3
解（１）∵
(lnx) =

2
1
1 dx = lnx|2 = ln2 -ln1 = ln2 1 x
3 2 3 1 2 2
1 x
(2) 2xdx = x | 3 1 8
1
公式1:

b
1.6
微积分基本定理
学习目标： 1、了解微积分基本定理的含义； 2、熟记常用微积分公式，知道微积分是导数的逆运算； 3、能利用定理计算简单的定积分。
复习回顾： 定积分的基本性质
性质1.

b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b
性质2.

b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
O
a
c
b
x
一、引入
1.
比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢?
1 由定积分的定义可以计算 0 x dx 3
2
, 但

2
0
8 x dx 3
2
5 0 (t 2)dt 3
1 2
22 0 (t 2)dt 3
2 2
探究:如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t), 由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s’(t).设这个 物体在时间段[a,b]内的位移为S,你能分别用s(t),v(t)表示S 吗?
2 2 -1 2
2-e+1 e (4) (e 1)dx = ______ 1
x

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a

例 ３．计算下列定积分
(1) sinxdx
0
(2) 2 cosxdx
0

解 （ 1） ∵

0
(co s x)' sin x