八年级数学重点题型强化训练5——线段垂直平分线专题第1题第2题【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质：熟记：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离第3题可证BEF CED ≌△△，可得EF =BC 的中点，第5题第6题第7题第8题 第9题【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC Ð，以及40，OBC OCB Ð=Ð=°，再利用翻折变换的性质得出，CEF FEO =Ð进而求出即可．50，BAC BAC Ð=°ÐQ 12OAB CAO \Ð=Ð=25OAB ABO Ð=Ð=∵在等腰ABC V 中，DG Q 是BC 的垂直平分线，BD CD \=，AD Q 是BAC Ð的平分线，DE DF \=，在Rt BDE △和Rt CDF △中，C ．60°D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BE CE =，则AC EC =，再根据等腰三角形的性质和三角形内，接着利用三角形外角性质计算出EBC Ð=Ð的度数．故选：C ．题型2：线段垂直平分线的判定11．如图，AD AC =，BD BC =，则下列判断一定正确的是（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ÐD ．以上都不正确第11题第12题【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的判定求解即可．【详解】解：∵AD AC =，BD BC =，∴点A 、B 在线段CD 的垂直平分线上，即AB 垂直平分CD ，故选：A ．12．如图，ABC AB AC BC >>V ，，边AB 上存在一点P ，使得PA PC AB +=．下列描述正确的是（ ）A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点B ．P 是ACB Ð的平分线与AB 的交点C ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点D ．P 是AB 的中点【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定解答即可．【详解】解：PA PC AB PA BP AB +=+=Q ，，PC BP \=，∴P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点．故选：C ．13．如图，将长方形纸片沿AC 折叠后点B 落在点E 处，则下列关于线段BE 与AC 的关系描述正确的是（ ）A ．AC BE =B ．AC 和BE 相互垂直平分C ．AC BE ^且AC BE=D ．AC BE ^且AC 平分BE【答案】D 【分析】只要证明AC 是线段BE 的垂直平分线即可解决问题．【详解】解：ACE QV 是由ACB △翻折得到，AE AB \=，CB CE =，AC EB \^，AC 平分EB ，故选：D ．14．如图，已知：AB AC =，MB MC =．求证：直线AM 是线段BC 的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）证明：∵AB AC=∴点A 在线段BC 的垂直平分线上①∵MB MC=∴点M 在线段BC 的垂直平分线上②∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线③A ．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B ．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．以上说法都不对【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A 选项错误，不合题意；②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B 选项正确，符合题意；③处的依据是：两点确定一条直线；故C 选项错误，不合题意；综上可知，选项D 错误，不合题意；故选B ．15．下列说法错误的是（ ）A ．若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB=B ．若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA PB =，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定．【详解】解：A.若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB =，故该说法正确，不符合题意；B.若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意；C.若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意；D.若PA PB =，则过点P 的直线不一定是线段AB 的垂直平分线，故该说法错误，符合题意；故选：D ．16．如图，AD 是ABC V 的角平分线，交BC 于D ，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，分别交AB AC 、于E 、F ，连接EF 交AD 于G ．下列结论：①AD 垂直平分EF ；②EF 垂直平分AD ；③AED AFD V V ≌；④当BAC Ð为60°时，AEF △是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第16题第17题【答案】B 【分析】根据角平分线性质求出DE DF =，证AED AFD V V ≌，推出AE AF =，再逐个判断即可．【详解】解：∵AD 是ABC V 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，∴DE DF =，90AED AFD Ð=Ð=°，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌△△，故③正确；∴AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，①正确；②错误；∵60BAC Ð=°，且AE AF =，∴AEF △是等边三角形，④正确．综上，①③④正确，共3个．故选：B ．17．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别是AD 、AB 上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为（ ）A ．105°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【分析】过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，证明AD 垂直平分BB ′，推出BE ＝BE ′，由三角形三边关系可知，BE EF B E EF B F B F ¢¢¢¢+=+³³，即BE +EF 的值最小为B F ¢¢，通过证明△ABE ′≌△AB ′E ′，推出∠AE ′B ＝AE ′B ′，因此利用三角形外角的性质求出AE ′B ′即可．【详解】解：过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，如图：此时BE +EF 最小．∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝∠B ′AD ＝25°，∵BB ′⊥AD ，∴∠AGB ＝∠AGB ′＝90°，在△ABG 和△AB ′G 中，BAG B AG AG AGAGB AGB Ð=Ðìï=íïТ=Ðî¢，∴△ABG ≌△AB ′G （ASA ），∴BG ＝B ′G ， AB ＝AB ′，∴AD 垂直平分BB ′，∴BE ＝BE ′，在△ABE ′和△AB ′E ′中，BE BE AE AE AB AB ¢¢¢¢ìï=íï=î＝，∴△ABE ′≌△AB ′E ′（SSS ），∴∠AE ′B ＝AE ′B ′，∵AE ′B ′＝∠BAD + AF ′E ′＝25°+90°=115°，∴∠AE ′B ＝115°．即当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为115°．故选B ．18．如图，点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，连接OP ，CD ．若PC PD =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOP BOPÐ=ÐB ．OPC OPD Ð=ÐC ．PO 垂直平分CD D ．PD CD=【答案】D【分析】根据角平线的判定定理可判断A ，证明Rt COP Rt DOP V V ≌，可判断B ，根据Rt COP Rt DOP V V ≌，可得OC =OD ，进而可判断C ，根据等边三角形的定义，可判断D ．【详解】解：∵点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，PC PD =，∴OP 是∠AOB 的平分线，即AOP BOP Ð=Ð，故A 成立，不符合题意；∵OP =OP ，AOP BOP Ð=Ð，第19第20题=，利用ASA Ð，再根据E是CD的中点可求出ECECF=，结合已知可得BE的垂直平分线，根据线段垂直AE EF=+，进而即可求解．即可证得AB BC AD故答案为：70．题型3：与线段垂直平分线相关的尺规作图21．如图，在ABC V 直线MN ，交BC A ．9【答案】B 【分析】由题意可得MN ADC C AC BC =+V ，求解即可．【详解】解：由题意可得，A．3B 【答案】B【分析】利用基本作图得到V的周长为20再利用ABC【详解】解：由作法得DE \==，,DA DB AE BEA ．①③B ．①④C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可．【详解】 由图①知AD AC =，AB AD >，AB AC \>，故图①能说明AB AC >；由图②知射线BD 是ABC Ð的平分线，不能说明AB AC >；由图③知CD AB ^，不能说明AB AC >；由图④知DE 是BC 的垂直平分线，DB DC \=．ADC QV 中AD DC AC +>，AD DB AC \+>，即AB AC >．故图④能说明AB AC >．故选：B24．如图所示，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以B 为圆心，以任意长度为半径作弧，与BA ，BC 分别交于A．20°B．36【答案】C【分析】由作图可知：BO为=，再根据等腰三角形的性质得AD BD和定理即可求出AÐ的度数．【详解】解：由作图可知：平分EAC Ð；③AC CD =；④ABC S V C ．①③DA ．只有甲的答案正确B ．甲和乙的答案合在一起才正确C ．甲和丙的答案合在一起才正确D ．甲乙丙的答案合在一起才正确【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当APB Ð为锐角时，当APB Ð为钝角时，当APB Ð为直角时，当135APB Ð=°时，分别画出图形，求出x 与y 的关系，即可得出答案．【详解】解：当APB Ð为锐角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴90PAD APD Ð+Ð=°，即90x y +=；当APB Ð为钝角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∵APB Ð为ADP △的外角，∴APB ADP DAP Ð=Ð+Ð，∴90x y =+，即90x y -=；当APB Ð为直角时，如图所示：此时直线n 与PA 重合，∴此时直线n 与PA 所夹的角为0°，即90x y +=或90x y -=；当135APB Ð=°时，如图所示：18013545DPA Ð=°-°=°，∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴904545DAP Ð=°-°=°，∴45135180DAP APB Ð+Ð=°+°=即180x y +=；1AB 的长为半径作弧，两弧相交于AM ；的长为半径作弧，与BC 边相交于点N ，连接C．9AC，根据中垂线的定义和性质找到相等的边，进而由AC，A ．15B ．16C ．18D ．20【答案】A 【分析】根据题意得到MN 是线段AB 的垂直平分线，进而得到点D 是AB 的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：由尺规作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，\点D 是AB 的中点，ACD BCD S S \=△△，ADE CDE CDB S S S \+=V V V ，Q CDB △的面积为12，ADE V 的面积为9，1293CDE CDB ADE S S S \=-=-=V V V ，\四边形EDBC 的面积为：12315CDE CDB EDBC S S S =+=+=V V 四边形，故选：A ．30．如图，在ABC V 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）．A ．AF BF=B ．90AFD FBC Ð+Ð=°C ．DF AB^D ．BAF CAFÐ=Ð【答案】D 【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．【详解】解：由图中尺规作图痕迹可知， BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线．上求作点D ，使；，若点D 在边上，在上求作点E ，使．）作BC 的垂直平分线与BC 的交点即为所求；）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，只要作BC ABD ACD S S =V V AB BC BDE ADEC S S △四边形=作BC 的垂直平分线与BC 交于D 点，BD CD \=，ABD QV 与ACD V 高相同，ABD ACD S S \=V V ．如图1：点D 即为所求；（2）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，作BC 的垂直平分线交BC 于P 点，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，故只要作BDE ABP S S △△=即可，连接D 、P ，要使得BDE ABP S S △△=，只要作根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，如图2：点E 即为所求．32．如图，在中，点E 在上且．(1)请用尺规作图的方法在边上确定点D ，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若的周长为，求的长．【分析】（1）线段AB 的垂直平分线与BC 边的交点即为所求；（2）根据线段垂直平分线的性质，通过等量代换求解．【详解】（1）解：如图所示，线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点D ，点D 即为所求；（2）解：Q ADE V 的周长为12cm ，\12AD AE DE ++=，Q BD AD =，AE CE =，\12BC BD CE DE AD AE DE =++=++=，即BC 的长为12cm ．题型4：与线段垂直平分线相关的计算与证明33．如图，在ABC V 中，AB 、AC 边的垂直平分线相交于点O ，分别交BC 边于点M 、N ，连接AM ，AN ．(1)若AMN V 的周长为6，求BC 的长；(2)若30B Ð=°，25C Ð=°，求MAN Ð的度数；(3)若MON a Ð=，请用a 表示MAN Ð的度数（直接写出即可）．ABC V BC AE CE =BC BD AD =ADE V 12cm BC【答案】(1)6(2)70°(3)1802MAN aÐ=°-【分析】（1）由垂直平分线的性质可得,AM BM AN CN ==，再由BC AM MN AN =++可得结论；（2）由垂直平分线的性质可得30,30,B BAM C CAN Ð=Ð=°Ð=Ð=°，再根据三角形内角和定理可得结论；（3）根据三角形内角和定理可得()1802MAN B C Ð=°-Ð+Ð，再由四边形内角和定理可得180B C MAN O Ð+Ð=°-Ð-Ð，代入求解即可【详解】（1）,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,,AM BM AN CN \==6AM MN AN ++=Q 6BM MN CN \++=，即6BC =（2）,,AM BM AN CN ==Q 30,25,BAM B CAN C \Ð=Ð=°Ð=Ð=°180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CANÐ=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°18022180605070MAN B C \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°（3）如图，180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CAN Ð=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°()1802MAN B C \Ð=°-Ð+Ð,,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，90AEO AFO \Ð=Ð=360AEO EAF AFO FOE \Ð+Ð+Ð+Ð=°180EAF O \Ð+Ð=°180,BAF MAN CAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180,B C MAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180B C MAN O\Ð+Ð=°-Ð-Ð()()180********MAN B C MAN O \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð-Ð\解得，1802MAN aÐ=°-34．如图，在Rt ABC △中，45,90,ACB BAC AB AC Ð=°Ð=°=，点D 是AB 的中点，AF CD ^于H 交BC 于F ，BE AC ∥交AF 的延长线于E ．求证：BC 垂直且平分DE ．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定证明(ASA)ABE CAD ≌V V ，在再证明(SAS)DBP EBP ≌V V 即可解决问题；【详解】证明：由题意可知，9090DAH ADH ACH ADH ÐÐÐÐ+=°+=°，，∴DAH ACH ÐÐ=，∵90BAC Ð=°，BE AC ∥，∴90CAD ABE ÐÐ==°．又∵AB CA =，∴在ABE V 与CAD V 中，DAH ACH AB AC CAD ABE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)ABE CAD ≌V V ．∴AD BE =，又∵AD BD =，∴BD BE =，在Rt ABC V 中，45,90,ACB BAC AB AC ÐÐ=°=°=，故45ABC Ð=°．∵90ABE Ð=°，∴904545EBF Ð=°-°=°，∴(SAS)DBP EBP ≌V V ，∴DP EP =，∴BC 垂直且平分DE ．35．如图，ABC V 中，AD 平分BAG Ð，DG 垂直平分BC ，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ．(1)求证：BE CF =；(2)如果9AB =，5AC =，求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)2BE =．【分析】（1）由DG 垂直平分BC 可得DB DC =，由AD 平分BAG Ð， DE AB ^，DF AC ^，可得DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，从而证得()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，得证BE CF =；（2）易证()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，得到AE AF =，又BE CF =，因此2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，代入即可解答．【详解】（1）连接DB ，DC ，∵DG 垂直平分BC ，∴DB DC =，∵AD 平分BAG Ð，DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，∴在Rt DBE V 和Rt DCF V 中DB DC DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，∴BE CF =．（2）∵DE AB ^，DF AC ^，∴在Rt ADE △和Rt ADF V 中AD AD DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，∴AE AF=∵BE CF=∴2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，∵9AB =，5AC =，∴952BE =+，∴2BE =．36．如图，AB AC ＞，BAC Ð的平分线与BC 边的垂直平分线GD 相交于点D ，过点D 作DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，求证：BE CF =．【答案】见解析【分析】连接DC ，根据GD 是BC 边的垂直平分线，得到DC DB =，根据AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，得到DE DF =，根据DE DF DB DC =ìí=î，得到()HL DEB DFC V V ≌即可得证．【详解】如图，连接DC ，∵GD 是BC 边的垂直平分线，∴DC DB =，∵AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，∵DE DF DB DC =ìí=î，∴()HL DEB DFC V V ≌∴BE CF =．37．如图，在ABC V 中，BAC Ð的平分线与BC 的中垂线DE 交于点E ，过点E 作AC 边的垂线，垂足N ，过点E 作AB 延长线的垂线，垂足为M ．(1)求证：BM CN =；(2)若2AB =，8AC =，求BM 的长．【分析】（1）连接BE ，CE ，由题意易得BE CE =，EM EN =，进而可证Rt Rt BME CNE ≌V V ，然后问题得解；（2）由（1）得：EM EN =，进而可证Rt Rt AME ANE ≌V V ，则有AB BM AC CN +=-，然后根据线段的和差关系可求解．【详解】（1）证明：连接BE ，CE ，DE Q 是BC 的垂直平分线，BE CE \=，AE Q 是BAC Ð的平分线，EM AB ^，EN AC ^，EM EN \=，在Rt BME △和Rt CNE △中，BE CE EM EN=ìí=î()Rt Rt BME CNE HL \V V ≌，BM CN \=；（2）由（1）得：EM EN =，在Rt AME △和Rt ANE △中，AE AE EM EN=ìí=îRt Rt AME ANE \≌V V ，请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：V中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知）如图②，在ABC的周长为20，则BC的长为__________．∵AB AC AD BC ^=，，的周长为7，可得∴19712AB BE +=-=，∴6AB BE ==；（2）∵30ABC Ð=°，45C Ð=°，∴1803045105BAC Ð=°-°-°=°，在BAD V 和BED V 中，BA BE BD BD DA DE =ìï=íï=î，∴()SSS BAD BED V V ≌，∴105BED BAC Ð=Ð=°，∴1054560CDE BED C Ð=Ð-Ð=°-°=°．40．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于F ．(1)求证：AF CF =；(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得BA BC =，BDA BEC Ð=Ð，根据补角的性质，可得FDC FEA Ð=Ð，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．（2）由AB CB =，AF CF =可得点B ，F 在AC 的垂直平分线，即可得出结论【详解】（1）在BAD V 和BCE V 中，∵B B BAD BCE BD BE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BAD V ≌BCE V ，∴AB CB =，BF BF AC与点A 重合，则 ， ．，四边形的直角沿直线l 折叠后（如图2），点B 落在四边形的边与AB 相交于点F ，猜想OF 、EF 、AB 三者数量关系，并证明．若折叠后点D 恰为AB 的中点（如图3），求的度数；45°，8数量关系为：AB OF EF =+；证明见解析q ==a OABC OCB ÐOABC q∴E O D FO D Ð=Ð．由折叠可得FOD EOC EOD q Ð=Ð=Ð=，∴390COA q Ð==°，∴30q =°．。
