线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。

又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。

又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

垂直平分线的定义和性质
一、垂直平分线的定义和性质
1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的
直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。

2、垂直平分线的性质
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上。

所以，中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。

二、垂直平分线例题
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点。

A.三个内角平分线ㅤㅤ
B. 三边垂直平分线
C. 三条中线ㅤㅤ
D. 三条高
答案：B
解析：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故选B。

线段垂直平分线的性质线段垂直平分线，顾名思义，是一条垂直于线段且将线段一分为二的线。

这条线具有一些特殊的性质，对于几何学的研究和应用有着重要的意义。

这里将详细讨论线段垂直平分线的性质，以便更好地理解和应用。

一、定义线段垂直平分线是指一条通过线段中点且与该线段垂直的直线。

二、性质线段垂直平分线有以下性质：1.线段垂直平分线将线段分为两个长度相等的部分。

这是该线段垂直平分线的定义，因此成立。

2.线段垂直平分线是线段中点的中垂线。

线段垂直平分线由线段中点出发，且垂直于线段，因此它是线段中点的中垂线。

3.一条线段垂直平分线可以同时垂直于多条直线。

这是因为一条线段垂直平分线实际上是通过线段中点的所有垂直线的交点，而任何一条通过线段中点的直线都可以与线段垂直平分线相交成为垂直线。

4.一个三角形的垂心就是它的三条边所在的直线的交点。

由于线段垂直平分线可以同时垂直于多条直线，因此它也可以作为三角形内角平分线和外角平分线的交点，那么这个交点就是三角形的垂心。

垂心是与三角形的三个顶点都有连线正交的点。

5.线段垂直平分线与三角形的外心和外接圆有关系。

在一个三角形中，垂心、外心和重心三个点共线，且它们位于欧拉线上，而欧拉线就是由垂心和重心组成的直线。

而外心与三角形三个顶点的连线垂直平分线相交，这个交点就是三角形的外心。

同时，外心还是圆周上各顶点的垂直平分线的交点，因此，线段垂直平分线与三角形的外心和外接圆密切相关。

6.一个四边形中，如果对角线互相垂直且互相平分，则这个四边形是一个正方形。

对于一个四边形，如果它的对角线互相垂直且互相平分，那么它的四个角就必须都是直角，因为对角线平分，那么两个对边就相等，那么这个四边形就有一对互相垂直且相等的边，所以这就是一个正方形。

三、应用线段垂直平分线可以广泛应用于几何学中，例如：1.求三角形的垂心、外心和外接圆。

由于线段垂直平分线与三角形的垂心、外心和外接圆密切相关，因此可以通过求出线段垂直平分线的交点来确定这些点的位置。

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。

典例分析：例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。

[变式练习1] 如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BC=2+2，AE=2,∠B =22.5° 求：AC 的长.B CA E D 图1AE DC B 图3 A EDCB图4例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*[变式练习4]如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.求:∠EAN 的度数.A B CD E M N 图5 C图7 图8练习（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（ ） （A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD （C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上， 那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能（3）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AB 的距离是______.5. （4）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为cm 12，cm AC 5=，则ABC ∆的周长为_______cm .（5）如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______. ．证明题（1）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（2）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（3）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（4）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.(5)、如图，已知：BC AB ⊥，BC CD ⊥，︒=∠75AMB ，︒=∠45DMC ，DM AM =. 求证：BC AB = （6）如图，已知：在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（7）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。

角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

线段垂直平分线的性质线段垂直平分线是指一条线段与另一条线段垂直相交，并将其平分为两个相等的部分。

在几何学中，线段垂直平分线具有以下性质。

1. 垂直性质线段垂直平分线与线段之间的交点是该线段的中点，并且与之垂直相交。

根据这一性质，可以利用垂直平分线来构造垂直线段。

例如，考虑一个线段AB，如果用一条线段垂直平分线将其平分，并将交点命名为M，那么AM和MB是相等且互相垂直的线段。

2. 相等性质垂直平分线将线段平分为两个相等的部分。

也就是说，线段的两个部分的长度相等。

对于线段AB，如果经过其中点M画一条垂直平分线，那么AM和MB的长度将相等。

3. 对称性质垂直平分线可以将线段分成两个对称的部分。

考虑一个线段AB和其垂直平分线中点为M。

根据对称性质，在平面上可通过M作为中心，将线段AB旋转180度，从而得到以AM为半径的圆弧。

这个圆弧将会与线段AB相交于点B。

4. 三角形的性质在三角形中，如果一个线段垂直平分线同时垂直平分了三角形的底边和顶角，则该线段垂直平分线也是三角形高的线段。

例如，在直角三角形ABC中，如果线段DE是边AC的垂直平分线，同时也垂直平分角A，则线段DE也是三角形ABC的高。

这意味着高是直角三角形底边上的最短距离。

5. 直角性质当线段垂直平分线与线段组成一个直角时，可以得出线段垂直平分线所形成的两个部分是等腰直角三角形。

例如，在平面上，如果一条垂直平分线与线段所形成的角为90度，那么该垂直平分线将会将线段分成两个等腰直角三角形，其中每个直角的腰长等于线段的一半。

线段垂直平分线的性质在几何学中具有重要的应用。

它们为解决直角三角形、垂直线段和对称图形等问题提供了有力的基础。

通过理解和应用这些性质，我们可以更深入地理解和研究几何学中的各种问题。

知识点一：（线段垂直平分线的性质及其判定定理）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

我们把该交点称为三角形的外心，特别地：锐角三角形的外心位置在__________，直角三角形的外心位置在___________，钝角三角形的外心位置在___________。

知识点二：（线段垂直平分线的性质及其判定定理的应用）<1> 等腰三角形ABC中，AB=AC，的垂直平分线交，线段ABA︒=∠20AB于点D，交AC于点E，连接BE，则等于CBE∠______。

<2> 如图所示，。

于点交的垂直平分线中，在DACMNABACABABC,=∆若，︒=∠40A则=∠B D C_______。

<3> 已知A,B两个村庄的位置如图所示，现要在公路l边上修建一个人粮食收购站，使其到A,B两村庄的距离相等，试确定粮食收购站的位置。

<4> 已知:线段ha,（如图所示）。

求作：hADaBCACABABC===∆高且使,,,。

（不写作法，保留作图痕迹）<5>在BCDEABACBABCR交的垂直平分线，中，︒=∠∆90t的延长线于点F,若的长是，则，EFDEBFD130=︒=∠_____。

<6>有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将的长为则重合，折痕为与点折叠，使点BEDEABABC,∆_______。

<7> 平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于点E, 则的周长是C D E∆_____。

<8> 已知：把),1重合与点所示方式摆放（点按如图和ECDEFRtABCRt∆∆点B,C(E),F在同一条直线上，cmBCcmACDEFEDFACB6,84590==︒=∠︒=∠=∠，，，cmEF9=。

线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。

性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。

判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。

角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。

性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。

判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。

垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。

垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。

垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧计方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直等分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等．∵D是线段BC垂直平分线上的一点，∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等．∵点D在∠BAC的角平分线上，∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=DH，。