垂直平分线的性质

1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.m图1DABC图4CDOB FE FDIP RQ A一、选择题：1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30︒，∠CAD=65︒，则∠ACD 等于 （ ） A ．50︒B ．65︒C ．80︒D ．95︒2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定3．如图3，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。

线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言：∵ CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴CA=CB 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：∵ CA=CB ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. 4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言表示：∵ OE 是∠AOB 的平分线，CF ⊥OA ，DF ⊥OB ∴CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 几何语言表示：∵ PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， PC ＝PD ，∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.图1图2图4线段垂直平分线练习题1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ， 求AC 的长度 2已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ， 那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC 是3、已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 。

线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；②取AB的中点C，证明PC⊥AB；③作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM .图11/ 22 / 2【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来.证明：连接AM ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵MN 垂直平分AB ， ∴MB =MA ，∴∠B =∠MAB =30°，∴∠MAC =90°，∴AM =21CM ， ∴CM =2BM典例2：城A 和城B 相距24千米，如今政府为便利两城居民生活，决定修建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请问这样的仓库位应该修建在什么位置？仓库的位置唯一吗？若要求仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置惟一吗？【研析】：这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题，也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等，因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上，这样的点有无数个，所以仓库的位置不唯一；若仓库到两城距离均为15千米，则AM=BM=15，AC=BC=12，所以MC=9，所以仓库可以修建在点M 的位置，同理也可以修建在点N 的位置，故仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置也唯一.典例3： 已知：三个村庄分别是A 、B 、C ，其位置如图所示，现在三个村庄联合打一机井向三个村庄供水，从各自的利益考虑，都为了使机井到自己的村庄的距离最近，请你帮助他们设计一个方案.【研析】：这是一个实际问题，它的本质就是寻求一个点到A 、B 、C 三个点的距离都最小，实际就是找一个点P 到A 、B 、C 三个点的距离相等,因此，可以作三边的垂直平分线，相交于点P.图2。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。

性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。

第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。

判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。

2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。

方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。

第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。

3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。

3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。

第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。

4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。

4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。

第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。

5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。

垂直平分线的定理
1 垂直平分线的定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。

2 垂直平分线定理
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线定理为：垂直平分线垂直且平分其所在线段。

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

3 垂直平分线的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4 垂直平分线的判定方法
1、利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。

2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。

典例分析：例1如图1,在厶ABC中，已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E,A BCE 的周长等于50，求BC的长.变式1:如图1 ,在厶ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若/ BEC=7C° , 则/ A= 变式2 :如图3，在Rt A ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。

若BE=2,Z B =15° 求：AC的长。

如图4,在Rt△ ABC中, AB的垂直平分线交BC边于点E.若BC=2+i 2 , AE=2,/ B =22.5AB=AC,BC=12,Z BAC=12C° ,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求厶AEN的周长.(2)求/ EAN的度数.⑶ 判断△ AEN的形状.图1B求：AC的长.MDE N/ 4图5[变式练习3]:如图7,在厶ABC中，BC=12, / BAC =100° ,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求厶AEN的周长.(2)求/ EAN的度数.[变式练习4]如图8,A ABC中,/ BAC =70° , BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.求：/ EAN的度数.练习(1)如图，已知：AC AD, BC BD，那么()(A) CD垂直平分AB ( B) AB垂直平分CD(C) CD与AB互相垂直平分(D)以上说法都正确(2 )如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是( )(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上都有可能(3)在ABC中，AB AC , AD为角平分线，则有AD ___________ BC填或// ), BD .如果E为AD上的一点，那么EB _________ .如果BAC 120 , BC 8,那么点D到AB的距离是______ .。

知识点一：（线段垂直平分线的性质及其判定定理）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

我们把该交点称为三角形的外心，特别地：锐角三角形的外心位置在__________，直角三角形的外心位置在___________，钝角三角形的外心位置在___________。

知识点二：（线段垂直平分线的性质及其判定定理的应用）<1> 等腰三角形ABC中，AB=AC，的垂直平分线交，线段ABA︒=∠20AB于点D，交AC于点E，连接BE，则等于CBE∠______。

<2> 如图所示，。

于点交的垂直平分线中，在DACMNABACABABC,=∆若，︒=∠40A则=∠B D C_______。

<3> 已知A,B两个村庄的位置如图所示，现要在公路l边上修建一个人粮食收购站，使其到A,B两村庄的距离相等，试确定粮食收购站的位置。

<4> 已知:线段ha,（如图所示）。

求作：hADaBCACABABC===∆高且使,,,。

（不写作法，保留作图痕迹）<5>在BCDEABACBABCR交的垂直平分线，中，︒=∠∆90t的延长线于点F,若的长是，则，EFDEBFD130=︒=∠_____。

<6>有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将的长为则重合，折痕为与点折叠，使点BEDEABABC,∆_______。

<7> 平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于点E, 则的周长是C D E∆_____。

<8> 已知：把),1重合与点所示方式摆放（点按如图和ECDEFRtABCRt∆∆点B,C(E),F在同一条直线上，cmBCcmACDEFEDFACB6,84590==︒=∠︒=∠=∠，，，cmEF9=。

平面几何中的垂直平分线有哪些性质在平面几何中，垂直平分线是指同时垂直于某条线段且将该线段平分成两等分的线。

垂直平分线是一个非常重要的概念，在数学和几何学中有广泛的应用。

本文将介绍垂直平分线的性质，以及它在几何学中的应用。

一、垂直平分线的性质1. 垂直性：垂直平分线与所平分的线段垂直相交。

这是垂直平分线最基本的性质之一，也是其命名的来源。

在平面几何中，两条互相垂直的线段具有特殊的位置关系，可以相互平分对方。

2. 等分性：垂直平分线将线段平分成两等分。

具体来说，从线段的两个端点到垂直平分线的距离相等，使得线段被平分成两个相等的部分。

3. 独特性：垂直平分线是唯一的。

对于任意给定的线段，存在且仅存在一条垂直平分线。

这是因为垂直平分线同时满足垂直性和等分性，只有满足这两个条件的直线才能称为垂直平分线。

二、垂直平分线的应用1. 构造垂直平分线：利用垂直平分线的性质，我们可以通过一些简单的几何构造来绘制垂直平分线。

其中一种方法是使用圆和直线相交的原理，利用圆上的点到圆心的距离相等的特点，可以构造出垂直平分线。

2. 证明两条线段垂直：通过证明两条线段的垂直平分线相交于一点，可以推断出这两条线段是互相垂直的。

这种方法在几何证明中经常被用到，是判断线段垂直性的重要手段之一。

3. 确定不同图形的性质：垂直平分线的性质在确定不同图形的性质时起着重要作用。

例如，在研究三角形的外接圆时，三角形的三条边的垂直平分线可以交于一点，这个点即是三角形外接圆的圆心。

4. 解决几何问题：在解决几何问题时，垂直平分线的性质常常被用来简化问题，并得出准确的结论。

例如，利用垂直平分线的性质可以求解线段的中点、确定多边形的对称中心等。

总之，垂直平分线是平面几何中一个重要的概念，具有垂直性、等分性和独特性等基本性质。

垂直平分线在几何学中有广泛的应用，可以用于构造、证明、确定图形的性质以及解决各种几何问题。

通过深入理解和应用垂直平分线的性质，我们可以更好地理解和掌握平面几何的知识，并应用于实际问题中。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线的概念。

1.2 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直于线段并且将线段平分的直线。

1.3 性质1：线段的垂直平分线垂直于线段。

1.4 性质2：线段的垂直平分线将线段平分，即线段的两个端点到垂直平分线的距离相等。

第二章：垂直平分线的判定2.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何判定一条直线是线段的垂直平分线。

2.2 判定1：若一条直线垂直于一条线段，并且将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。

2.3 判定2：若一条直线与一条线段相交，并且交点将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。

第三章：垂直平分线的应用3.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在几何中的应用。

3.2 应用1：利用垂直平分线证明线段相等。

3.3 应用2：利用垂直平分线证明直角三角形。

3.4 应用3：利用垂直平分线解决线段比例问题。

第四章：垂直平分线的作图4.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何作一条线段的垂直平分线。

4.2 作图方法1：利用直尺和圆规作图。

4.3 作图方法2：利用直尺和圆规作图的变体。

4.4 作图方法3：利用尺规作图的其他方法。

第五章：垂直平分线的综合应用5.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在不同情境下的应用。

5.2 综合应用1：在几何题目中综合运用垂直平分线的性质与判定。

5.3 综合应用2：解决实际问题中涉及垂直平分线的问题。

5.4 拓展思考：探讨垂直平分线在其他数学领域中的应用。

第六章：线段垂直平分线与圆的关系6.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线与圆的关系。

6.2 性质3：线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

6.3 判定3：若一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，则该直线是线段的垂直平分线。

6.4 应用4：利用线段垂直平分线性质解决与圆相关的问题。