垂直平分线的性质

线段的垂直平分线的性质教案一、教学目标1.了解线段的垂直平分线的定义；2.学习垂直平分线的性质；3.能够应用垂直平分线的性质解决相关问题。

二、教学重点1.垂直平分线的性质；2.应用垂直平分线解决问题。

三、教学难点1.垂直平分线的构造和性质的理解；2.运用垂直平分线解决相关问题。

四、教学过程1.导入（5分钟）通过导入问题引起学生思考和讨论：“在平面直角坐标系中，如果一条线分别与x轴和y轴相交，该线的斜率和与该线垂直的两条直线之间有什么关系？”引导学生思考，并预测垂直平分线的性质。

2.展示（10分钟）将一条线段AB展示在黑板上，并以该线段为直径画一个圆，找出线段AB的中点C，并在线段AB上任取一点D，然后连接CD并延长到圆上，假设CD与圆交于点E，引导学生一起观察并思考，是否存在线段CD垂直平分线，如果存在，该垂直平分线有什么性质？3.讲解（15分钟）解答学生提出的问题，讲解线段的垂直平分线的定义：“在线段上取一点，它到线段的两个端点的距离相等，且与线段垂直的直线称为线段的垂直平分线。

”讲解线段的垂直平分线的性质：(1)线段的垂直平分线与线段的中垂线重合；(2)如果一条线段的垂直平分线与线段相交，那么相交点就是线段的中点；(3)如果一条线段的垂直平分线与直线相交，那么相交点到线段两个端点的距离相等。

4.练习（20分钟）让学生分组进行练习，通过解答问题掌握线段的垂直平分线的定义和性质。

练习题：(1)如图，在线段AB上取一点P（不在AB的延长线上），连PA，PB，画出线段AB的垂直平分线，判断垂直平分线与线段AB的位置关系，并说明理由。

(2)如图，在线段AB的一侧以BC为直径画一个圆，过点A作圆的切线AC，连接线段AB的中点M与线段AC的交点N，画出线段AB的垂直平分线，并判断垂直平分线与线段AB的位置关系，并说明理由。

5.总结（10分钟）帮助学生总结垂直平分线的性质，引导学生再次思考垂直平分线与线段和直线之间的关系。

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。

典例分析：例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。

[变式练习1] 如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BC=2+2，AE=2,∠B =22.5° 求：AC 的长.B CA E D 图1AE DC B 图3 A EDCB图4例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*[变式练习4]如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.求:∠EAN 的度数.A B CD E M N 图5 C图7 图8练习（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（ ） （A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD （C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上， 那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能（3）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AB 的距离是______.5. （4）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为cm 12，cm AC 5=，则ABC ∆的周长为_______cm .（5）如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______. ．证明题（1）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（2）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（3）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（4）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.(5)、如图，已知：BC AB ⊥，BC CD ⊥，︒=∠75AMB ，︒=∠45DMC ，DM AM =. 求证：BC AB = （6）如图，已知：在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（7）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。

性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。

第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。

判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。

2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。

方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。

第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。

3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。

3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。

第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。

4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。

4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。

第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。

5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。

角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。

典例分析：例1如图1,在厶ABC中，已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E,A BCE 的周长等于50，求BC的长.变式1:如图1 ,在厶ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若/ BEC=7C° , 则/ A= 变式2 :如图3，在Rt A ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。

若BE=2,Z B =15° 求：AC的长。

如图4,在Rt△ ABC中, AB的垂直平分线交BC边于点E.若BC=2+i 2 , AE=2,/ B =22.5AB=AC,BC=12,Z BAC=12C° ,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求厶AEN的周长.(2)求/ EAN的度数.⑶ 判断△ AEN的形状.图1B求：AC的长.MDE N/ 4图5[变式练习3]:如图7,在厶ABC中，BC=12, / BAC =100° ,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求厶AEN的周长.(2)求/ EAN的度数.[变式练习4]如图8,A ABC中,/ BAC =70° , BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.求：/ EAN的度数.练习(1)如图，已知：AC AD, BC BD，那么()(A) CD垂直平分AB ( B) AB垂直平分CD(C) CD与AB互相垂直平分(D)以上说法都正确(2 )如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是( )(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上都有可能(3)在ABC中，AB AC , AD为角平分线，则有AD ___________ BC填或// ), BD .如果E为AD上的一点，那么EB _________ .如果BAC 120 , BC 8,那么点D到AB的距离是______ .。

知识点一：（线段垂直平分线的性质及其判定定理）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

我们把该交点称为三角形的外心，特别地：锐角三角形的外心位置在__________，直角三角形的外心位置在___________，钝角三角形的外心位置在___________。

知识点二：（线段垂直平分线的性质及其判定定理的应用）<1> 等腰三角形ABC中，AB=AC，的垂直平分线交，线段ABA︒=∠20AB于点D，交AC于点E，连接BE，则等于CBE∠______。

<2> 如图所示，。

于点交的垂直平分线中，在DACMNABACABABC,=∆若，︒=∠40A则=∠B D C_______。

<3> 已知A,B两个村庄的位置如图所示，现要在公路l边上修建一个人粮食收购站，使其到A,B两村庄的距离相等，试确定粮食收购站的位置。

<4> 已知:线段ha,（如图所示）。

求作：hADaBCACABABC===∆高且使,,,。

（不写作法，保留作图痕迹）<5>在BCDEABACBABCR交的垂直平分线，中，︒=∠∆90t的延长线于点F,若的长是，则，EFDEBFD130=︒=∠_____。

<6>有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将的长为则重合，折痕为与点折叠，使点BEDEABABC,∆_______。

<7> 平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于点E, 则的周长是C D E∆_____。

<8> 已知：把),1重合与点所示方式摆放（点按如图和ECDEFRtABCRt∆∆点B,C(E),F在同一条直线上，cmBCcmACDEFEDFACB6,84590==︒=∠︒=∠=∠，，，cmEF9=。

垂直平分线的性质与判定垂直平分线是几何图形中的一种重要类型，其几何图形的性质与判定与内聚离散几何形式有关。

本文将详细讨论垂直平分线的性质与判定，以及其在实际应用中的重要性。

首先，我们来看看垂直平分线是什么。

垂直平分线又称为垂直线，它是在某一条直线上，将该直线分成两等份的一种几何线段。

它以线段AB为基础，由点C在AB上垂直到AB上，AB分割成AC和CB两段等长的线段。

点C就是垂直平分线的交点。

其次，垂直平分线的性质与判定。

由定义可知，AB的垂直平分线的性质是：它在AB上垂直分割AB，使AB的两段等长，AB的中点即AB的垂直平分线的交点。

显然，垂直平分线的性质是由它是AB上垂直分割AB，使AB的两段等长而决定的。

判定垂直平分线是否存在可以依据它是AB上垂直分割AB，使AB的两段等长的性质，通过直线AB的斜率来进行判定。

如果两条直线的斜率相乘结果为-1，则说明两条直线是垂直的，也就说它们存在一个交点，而这个交点就是垂直平分线的交点。

因此，可以得出结论：当两条直线的斜率相乘结果为-1时，两条直线有一个公共点，这个公共点就是垂直平分线的交点。

最后，重点谈一谈垂直平分线在实际应用中的重要性。

垂直平分线在实际应用中有着广泛的用途。

其一，垂直平分线有助于定位几何图形等内聚离散几何形式，从而更好地掌握和表示几何空间信息；其二，垂直平分线构成的三角形可以用作测量和计算面积，从而更好的应用于科学计算、工程设计、地理测量等；其三，垂直平分线在机械自动化系统中有着重要的作用，它可以作为机械机构的基础支撑，从而增强机械机构的稳定性与耐久性。

综上所述，垂直平分线在几何图形中具有重要的性质与判定以及在实际应用中的重要性，它是几何图形中一种重要类型。

因此，我们应该深入研究垂直平分线的性质与判定，掌握其在实际应用中的重要性，以期更好地应用它，促进科学研究的进步与发展。

线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。

性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。

判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。

角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。

性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。

判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。

平面几何中的垂直平分线有哪些性质在平面几何中，垂直平分线是指同时垂直于某条线段且将该线段平分成两等分的线。

垂直平分线是一个非常重要的概念，在数学和几何学中有广泛的应用。

本文将介绍垂直平分线的性质，以及它在几何学中的应用。

一、垂直平分线的性质1. 垂直性：垂直平分线与所平分的线段垂直相交。

这是垂直平分线最基本的性质之一，也是其命名的来源。

在平面几何中，两条互相垂直的线段具有特殊的位置关系，可以相互平分对方。

2. 等分性：垂直平分线将线段平分成两等分。

具体来说，从线段的两个端点到垂直平分线的距离相等，使得线段被平分成两个相等的部分。

3. 独特性：垂直平分线是唯一的。

对于任意给定的线段，存在且仅存在一条垂直平分线。

这是因为垂直平分线同时满足垂直性和等分性，只有满足这两个条件的直线才能称为垂直平分线。

二、垂直平分线的应用1. 构造垂直平分线：利用垂直平分线的性质，我们可以通过一些简单的几何构造来绘制垂直平分线。

其中一种方法是使用圆和直线相交的原理，利用圆上的点到圆心的距离相等的特点，可以构造出垂直平分线。

2. 证明两条线段垂直：通过证明两条线段的垂直平分线相交于一点，可以推断出这两条线段是互相垂直的。

这种方法在几何证明中经常被用到，是判断线段垂直性的重要手段之一。

3. 确定不同图形的性质：垂直平分线的性质在确定不同图形的性质时起着重要作用。

例如，在研究三角形的外接圆时，三角形的三条边的垂直平分线可以交于一点，这个点即是三角形外接圆的圆心。

4. 解决几何问题：在解决几何问题时，垂直平分线的性质常常被用来简化问题，并得出准确的结论。

例如，利用垂直平分线的性质可以求解线段的中点、确定多边形的对称中心等。

总之，垂直平分线是平面几何中一个重要的概念，具有垂直性、等分性和独特性等基本性质。

垂直平分线在几何学中有广泛的应用，可以用于构造、证明、确定图形的性质以及解决各种几何问题。

通过深入理解和应用垂直平分线的性质，我们可以更好地理解和掌握平面几何的知识，并应用于实际问题中。

知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD=BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC=BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

定理的数学表示：如图3，若直线i、j、k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点O，且OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.典型例题：例1如图1，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例2 1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例3 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线例4 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.4、角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

初中数学什么是垂直平分线和角平分线垂直平分线和角平分线是初中数学中关于线段和角的重要概念。

它们在几何学中有着广泛的应用，用于描述和分析线段和角的性质和关系。

在本文中，我们将详细讨论垂直平分线和角平分线的概念、性质和应用。

一、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个相等的线段的线。

具体来说，如果有一条线段AB，那么经过线段AB中点C并且垂直于线段AB的直线就是线段AB 的垂直平分线。

垂直平分线具有以下几个重要的性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分，即线段AC与线段CB的长度相等。

2. 垂直平分线与线段所在的直线垂直相交，即线段AB和垂直平分线CD之间的夹角为90度。

3. 垂直平分线同时也是线段AB的中垂线，即线段AC与线段CB的中点C都在垂直平分线CD上。

垂直平分线在几何学中有着广泛的应用。

它可以用来解决关于线段的问题，比如寻找线段的中点、判断两个线段是否相等等。

此外，垂直平分线也可以用来解决关于垂直和平行的问题，比如判断两条线是否垂直、寻找垂直线的特性等。

二、角平分线角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线。

具体来说，如果有一个角ABC，那么经过角ABC的顶点B并且将角ABC分成两个相等的角的线就是角ABC的角平分线。

角平分线具有以下几个重要的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的角，即角ABD与角CBD的度数相等。

2. 角平分线与角所在的边相交，并且将角分成相等的两部分，即角ABD和角CBD 的度数相等。

3. 角平分线与角的两条边的夹角相等，即角ABE与角EBD的度数相等。

角平分线在几何学中也有着广泛的应用。

它可以用来解决关于角的问题，比如寻找角的平分线、计算角的度数等。

此外，角平分线也可以用来解决关于直角、等腰三角形等问题，比如判断一个角是否为直角、判断一个三角形是否为等腰三角形等。

三、性质垂直平分线和角平分线具有一些重要的性质。

下面我们将分别讨论垂直平分线和角平分线的性质。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线的概念。

1.2 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直于线段并且将线段平分的直线。

1.3 性质1：线段的垂直平分线垂直于线段。

1.4 性质2：线段的垂直平分线将线段平分，即线段的两个端点到垂直平分线的距离相等。

第二章：垂直平分线的判定2.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何判定一条直线是线段的垂直平分线。

2.2 判定1：若一条直线垂直于一条线段，并且将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。

2.3 判定2：若一条直线与一条线段相交，并且交点将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。

第三章：垂直平分线的应用3.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在几何中的应用。

3.2 应用1：利用垂直平分线证明线段相等。

3.3 应用2：利用垂直平分线证明直角三角形。

3.4 应用3：利用垂直平分线解决线段比例问题。

第四章：垂直平分线的作图4.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何作一条线段的垂直平分线。

4.2 作图方法1：利用直尺和圆规作图。

4.3 作图方法2：利用直尺和圆规作图的变体。

4.4 作图方法3：利用尺规作图的其他方法。

第五章：垂直平分线的综合应用5.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在不同情境下的应用。

5.2 综合应用1：在几何题目中综合运用垂直平分线的性质与判定。

5.3 综合应用2：解决实际问题中涉及垂直平分线的问题。

5.4 拓展思考：探讨垂直平分线在其他数学领域中的应用。

第六章：线段垂直平分线与圆的关系6.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线与圆的关系。

6.2 性质3：线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

6.3 判定3：若一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，则该直线是线段的垂直平分线。

6.4 应用4：利用线段垂直平分线性质解决与圆相关的问题。