当前位置：文档之家 › 新东方线性代数笔记--第五讲_特征值与特征向量--李永乐

新东方线性代数笔记--第五讲_特征值与特征向量--李永乐

  • 格式：doc
  • 大小：2.50 MB
  • 文档页数：24
Page 4 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 5 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 6 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 7 @Kaiziliu整理
Page 24 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
第五章特征值与特征向量
Page 1 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 2 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 3 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 8 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 9 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 10 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 11 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 12 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 13 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 21 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
第五讲练习题
Page 22 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 23 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 18 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 19 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 20 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
Page 14 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 15 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 16 @Kaiziliu整理
第五章特征值与特征向量
新东方线性代数笔记（主讲：李永乐）
Page 17 @Kaiziliu整理

合集下载

线性代数第五、六章 特征值与特征向量

线性代数第五、六章 特征值与特征向量


特征值即为其主对角线元素。
2 1 1
【例
2】求
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
2 1 1 【解】 f ( ) A E 0 2 0
4 1 3 (2 ) 2 1 (1 )(2 )2，
4 3 令 f ( ) 0，解得 A的特征值为
1 1, 2 3 2
1 0
0 4
0 1
0 1
x2 x3
0 0
,得非零解为
x
k2
0 4
k3
11,
即为 A的属于特征值2 3 2的所有特征向量,其中k2 , k3
为不全为零的常数。
1 1 0
【例
3】求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
【简解】⑴ A的特征值为1 2,2 3 1。
0
⑵对于1 =2,
⑴ 特征多项式 f ( ) | A E |； ⑵ 求特征方程 f ( ) | A E | 0的解1,2 , ,n， 则1,2 , ,n为 A的特征值（也称特征根）； ⑶ 对于每个i (i 1,2, , n)，求齐次线性方程组
（A i E）x 0 的（所有）非零解 x，即得 A的属于特征值i的（所有）
【定理 5.7】 设 A为n阶实对称阵，则必有正交阵 P ，使得
1
P 1 AP
，其中
1
,
n
,n为 A的特征值。
（一定要记住定理 5.7 的结论）
定理 5.7 表明n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。
求正交阵P的方法与步骤（一定要掌握）
①求出A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量。
②如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有 一个，将它单位化;
线性代数专业知识讲座

线性代数专业知识讲座


例设 计算
1 0 2
A
0
1
1
0 1 0
g(A) 2A8 3A5 A4 A2 4E
25
§5.3 特征值与特征向量
解:
1 0 2
f () E A 0 1 1
0 1
3 2 1
令
g() 28 35 4 2 4
g() f ()(25 43 52 9 14)
将特征值 3 5 代入特征方程组 (E A)X 0
得特征向量
1 X 3 1
1
13
§5.3 特征值与特征向量
T 旳属于特征值 1 2 1 旳线性无关旳特征向量
1
1
(1,2 ,3 ) X1
(1
,
2
,
3
)
0
1
3
1
0
2
(1, 2 ,3 ) X 2
(1
,
2
,
3
)
1
2
3
1
T 旳属于特征值 1 2 1 旳全部特征向量
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵旳特征值与特征向量旳环节： (1) 计算矩阵 A 旳特征多项式
En A (1 )(2 )
(2) 由
En A 0
(n )
得全部根 1 , 2 ,, n 即为矩阵A旳特征值
(3) 对 A 旳不同特征值 i , 分别求解方程组
(i E A) X 0
得基础解系 1, 2 , , r
20
§5.3 特征值与特征向量
(1) 特征多项式 f () 是有关 项旳 n 次多项式 (2) n 次项( n 项)旳系数为 1 (3) n-1 次项(n-1 项)旳系数为 – (a11+ a22+…+ ann)
线性代数第5章 特征值及特征向量

线性代数第5章 特征值及特征向量


k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于1 2 的全部特征向量.
18
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
④
23
二、填空题
１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则
|A|＝（
－６
），
Ａ－１的特征值为（ ＡＴ的特征值为（
１，-1/2, 1/3
１，－２，３．
）， ）， ）．
Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（
4, 1, 16 0
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（
）．
当
齐次线性方程组为 ( A 2E ) X O 2 3 2 时，
4 1 1 4 1 1 A 2E 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 得基础解系 P2 1 , P3 0 . 1 4
( ) a0 a1 a22 am m
是
( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am
的特征值。如果 A 可逆，则
( ) a k k a11 a0 a1 am m
是
( A) a k A k a1 A1 a0 E a1 A am Am
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
1
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
特征值与特征向量

特征值与特征向量


例1 设有4阶方阵A满足条件 2EA? ? 0, AAT ? 2E, A ? 0, 其中E 为4阶单位矩阵，求A的伴随矩阵 A? 的一个特征值。
分析 A?的特征值为 A ，其中 ? 是A的特征值。因
?
此，本题的关键在于计算 A 以及A的一个特征值，而这 由已知条件均很容易得到。
解 由 2E ? A ? ? 2E ? A ? 0 ，得A的一个特征值
对应于特征值3的全部特征向量为
k3 P? 1? 3
（ k3 是不全为零的任意常数）
二、求抽象矩阵的特征值与特征向量
对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条 件，利用特征值与特征向量的定义，即满足 A? ? ?? ，? ? o 的 ? 和 ? 为A的特征值和相应的特征向量；或利用特征 方程? E ? A ? 0 ，满足特征方程的? 即为A的特征值；或 利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。
? ? 设 A ?
aij
的
n? n
n
个特征值为
?1, ?2 ,
, ?n ，则
? ? ? ?? ? 1 ? 2 ? ? n ? a11 ? a22 ? ? ann , 1 2 t ? A
?3 2 2? ?0 1 0?
例1
设矩阵
A
?
? ?
2
3
2,?? P ? ??1
0
1 ??, B ? P?1 A? P,
第二步 求解齐次线性方程组 ??i E ? AO?? ?i ? 1, 2, ,t ?，
其基础解系
? ?? i12, i ,, isi ?1 ? si ? ri, i ? 1, 2,, t ?
就是A对应特征值 ? i的线性无关特征向量，而A对应特